小学奥数习题教案-4-2-4 图形的分割.教师版.doc
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1、4-2-4 图形的分割 题库page 1 of 9 4-2-4.4-2-4.图形的分割图形的分割 知识点拨知识点拨 几何面积问题除了利用常规的五大模型、 各种公式求得之外, 还可以用图形分割的思想来做。 我们发现, 在迎春杯几何问题中,这类题目很多。掌握好这种思想方法,可以帮助我们解决很多几何难题。 解题关键解题关键:分割其实就是运用特殊的三角形(等角直角三角形、等边三角形等) 、正方形、等边图形的特殊性 质进行分割而得,所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。 解题思想:解题思想:这其实就是一种化整为零的思想,各位同学不仅要学会几何题中的这种方法,更要细细体味这种 思想在解决各种问题中的妙
2、用。 例题精讲例题精讲 模块一、简单分割模块一、简单分割 【例【例 1 1】 3 个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图如图),顶点顶点 A 和和 B 分别与正方形中心点重合分别与正方形中心点重合,如如 果所构成图形的周长是果所构成图形的周长是 48 厘米,那么这个图形覆盖的面积是厘米,那么这个图形覆盖的面积是_平方厘米平方厘米. 【考点】图形的分割【难度】2 星【题型】填空 【关键词】迎春杯,中年级组,复试,4 题 【解析】将这3 个正方形分割, 可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和, 故正方形边长为 488=6 (厘米) ,则图中每
3、个分割得到的小正方形边长为 62=3(厘米) ,所以这个图形覆盖的面积为 662+332=90(平方厘米) 。 【答案】90平方厘米 【例【例 2 2】 正方形正方形ABCD的面积是的面积是 1 平方米,将四条边分别向两端各延长一倍,连结八个端点得到一个正方平方米,将四条边分别向两端各延长一倍,连结八个端点得到一个正方 形形( (如图如图) ),求大正方形的面积,求大正方形的面积 ? D ? C ? B ? A 【考点】图形的分割【难度】2 星【题型】解答 【解析】四条边分别向两端各延长一倍,很容易可以观察出,大正方形有 9 个小正方形组成,所以,大正方 形的面积是:1 99(平方米) 【答案
4、】9平方米 【例【例 3 3】 将边长为将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形,再将第二个正方形各边的中点连结成第三的正方形各边的中点连结成第二个正方形,再将第二个正方形各边的中点连结成第三 个正方形,依此规律,继续下去,得到个正方形,依此规律,继续下去,得到下图下图那么,边长为那么,边长为a的正方形面积是图中阴影部分面积的的正方形面积是图中阴影部分面积的 _ 倍倍. . 4-2-4 图形的分割 题库page 2 of 9 【考点】图形的分割【难度】3 星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第 6 题,4 分 【解析】【解析】阴影部分是大正方形的 0.50.50.50.5=
5、1 16 ,所以正方形是阴影的 16 倍 【答案】16倍 【例【例 4 4】 正三角形正三角形ABC的面积是的面积是 1 平方米,将三条边分别向两端各延长一倍,连结六个端点得到一个六边平方米,将三条边分别向两端各延长一倍,连结六个端点得到一个六边 形形( (如右图如右图) ),求六边形的面积,求六边形的面积 【考点】图形的分割【难度】3 星【题型】解答 【解析】采用分割法,过A、B、C分别作平行线,得到右上图,其中所有小三角形的面积都相同,所以六 边形面积等于 13 平方米 【答案】13平方米 【例【例 5 5】 正六边形正六边形ABCDEF的面积是的面积是 1 平方米,将六条边分别向两端各延
6、长一倍,交于六个点,组成如下平方米,将六条边分别向两端各延长一倍,交于六个点,组成如下 图的图形,求这个图形的面积图的图形,求这个图形的面积 【考点】图形的分割【难度】3 星【题型】解答 【解析】采用分割法,连接正六边形的对角线,会发现,所有的三角形面积都相同,一共有 12 个小三角形, 原来正六边形的面积是 1 平方米,由 6 个小三角形组成,所以现在的大图形的面积是:1 22(平 方米) 【答案】2平方米 【例【例 6 6】 长方形长方形 ABCD 的面积是的面积是 40 平方厘米,平方厘米,E、F、G、H 分别为分别为 AC、AH、DH、BC 的中点。三角的中点。三角形形 EFG 的面积
7、是的面积是平方厘米。平方厘米。 【考点】图形的分割【难度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯,五年级,初赛,第 3 题 【解析】【解析】 11 405 24 (平方厘米) 【答案】5平方厘米 【例【例 7 7】 把同一个三角形的三条边分别把同一个三角形的三条边分别 5 等分等分、7 等分等分(如图如图 1,图图 2),然后适当连接这些等分点然后适当连接这些等分点,便得到了便得到了 4-2-4 图形的分割 题库page 3 of 9 若干个面积相等的小三角形若干个面积相等的小三角形 已知图已知图 1 中阴影部分面积是中阴影部分面积是 294 平方分米平方分米, 那么图那么图 2 中阴影部分的面
8、中阴影部分的面 积是积是_平方分米平方分米 【考点】图形的分割【难度】3 星【题型】填空 【解析】图 1 中阴影部分占整个三角形面积的 12 25 ,图 2 中阴影部分占整个三角形面积的 16 49 ,故图 2 中阴影 部分的面积为 294 1216 2549 =200(平方分米) 【答案】200平方分米 【例【例 8 8】 右图中的大正方形右图中的大正方形 ABCD 的面积是的面积是 1,其它点都是它所在的边的中点。请问:阴影三角形的面积,其它点都是它所在的边的中点。请问:阴影三角形的面积 是多少?是多少? 【考点】图形的分割【难度】3 星【题型】解答 【关键词】华杯赛,初赛,第 6 题 【
9、解析】图中有大、中、小三个正方形,每个面积是前一个的 1 2 ,所以小正方形面积是 1 4 ,将小正方形各顶 点标上字母如右图,很容易看出三角形 JFG 面积三角形 IHG 面积 1 4 正方形 EFGH 面积,三角 形 EJI 面积 1 4 三角形 EFH 面积 1 8 正方形 EFGH 面积。 所以阴影三角形 JGI 面积(1 1 4 1 4 1 8 )小正方形面积 3 8 小正方形面积 3 32 。 【答案】 3 32 【例【例 9 9】 下图中有四条弦下图中有四条弦,每一条弦都把大圆分割成两个面积比为每一条弦都把大圆分割成两个面积比为 1:3 的区域的区域,而且这些弦的交点恰好是一而且
10、这些弦的交点恰好是一 个正方形的四个顶点。这些弦把圆分割成个正方形的四个顶点。这些弦把圆分割成 9 个区域,则此正方形的面积是区域个区域,则此正方形的面积是区域 P 面积的面积的 倍倍。 (3.14) 【考点】图形的分割【难度】4 星【题型】填空 【关键词】学而思杯,6 年级,第 1 题 【解析】【解析】去掉两边的弓形之后,中间部分面积是整个圆的一半,横竖两块中间部分面积和就等于圆面积,所 以重叠部分面积等于 4 个 P 面积的和。即正方形面积是 P 的 4 倍。 【答案】4 4-2-4 图形的分割 题库page 4 of 9 模块二、化整为零模块二、化整为零 【例【例 1010】在图中,三角
11、形在图中,三角形 ABC 和和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形,其中是两个完全相同的等腰直角三角形,其中 DF 长长 9 厘米,厘米,CF 长长 3 厘厘 米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米? 【考点】图形的分割【难度】3 星【题型】解答 【解析】方法一方法一:如图,将原题中图形分为 12 个完全一样的小等腰三角形ABC 占有 9 个小等腰三角形, 其中阴影部分占有 6 个小等腰三角形, ABC S=992=40.5(平方厘米),所以阴影部分的面积为 40.596=27(平方厘米) 方法二方法二: 如图, 连接 IG, 有四边形 ADGI 为正方形
12、, 易知 FG=FC=3(厘米), 所以 DG=DF-FG=9-3=6(厘 米), 于是 S HIG S= 1 4 AIGD S正方形= 1 4 2 6=9.而四边形 IGFB 为长方形, 有 BF=AD=DG=6(厘米), GF=3(厘 米),所以 IGFB S长方形=63=18阴影部分面积为 A HIG 与长方形 IGFB 的面积和,即为 9+18=27(平方 厘米) 方法三:方法三:如图,为了方便叙述,将图 6-10 中某些交点标上字母 易知三角形 BIE、CGF、AIH、DGH 均为等腰直角三角形 先求出等腰直角三角形 AHI、CGF 的面积,再用已知的等腰三角形 ABC 的面积与其作
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