小学奥数习题教案-3-2-6 变速问题.教师版.doc

1、3-2-6.变速问题.题库教师版page 1 of 18 变速问题变速问题 教学目标教学目标 1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点 2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变” 知识精讲知识精讲 变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于 这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。 算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来； 折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定； 方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等

2、量关系式，把大量的推理过程 转化成了计算 行程问题常用的解题方法有行程问题常用的解题方法有 公式法公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括 公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推 知需要的条件； 图示法图示法 在一些复杂的行程问题中， 为了明确过程， 常用示意图作为辅助工具 示意图包括线段图和折线图 图 示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析 往往也是最有效的解题方法； 比例法比例法 行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用

3、比例法可求得具体数值更重要的是，在一 些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能 用比例解题； 分段法分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段， 在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； 方程法方程法 在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知 数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解 【例【例 1】 小红和小强同时从家里出发相向而行小红和小强同时从家里出发相向而行。 小红每分走小红每分走 52 米米， 小强每分走小强每分走

4、70 米米， 二人在途中的二人在途中的 A 3-2-6.变速问题.题库教师版page 2 of 18 处相遇。若小红提前处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在米，则两人仍在 A 处相遇。小处相遇。小 红和小强两人的家相距多少米？红和小强两人的家相距多少米？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为小红的速度不变， 相遇的地点不变， 所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变， 也就是说， 小强第二次走的时间比第一次少 4 分钟。 （704）（90-70）=14 分钟 可知小强第二次走了 14 分钟，他第一

5、次走了 144=18 分钟； 两人家的距离： （52+70）18=2196（米）. 【答案】2196 米 【例【例 2】 甲甲、乙两人沿乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后相遇后 甲比原来速度增加甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用米秒，结果都用 24 秒同时回到原地。秒同时回到原地。 求甲原来的速度。求甲原来的速度。 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用

6、24 秒，则相遇前两人和跑 一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的 路程之和等于 400 米，24V +24（V +2 ）=400 易得 V = 1 7 3 米/秒 【答案】 1 7 3 米/秒 【例【例 3】 A、 B 两地相距两地相距 7200 米米，甲甲、乙分别从乙分别从 A， B 两地同时出发两地同时出发，结果在距结果在距 B 地地 2400 米处相米处相 遇如果乙的速度提高到原来的遇如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提前倍，那么两人可提前 10 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行分钟相遇，则甲的速度是每分钟行 多

7、少米？多少米？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度 比为 (7200 2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的 2/3乙的速度提高 3 倍 后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了 全程的 33 325 两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 10 分 钟，所以甲的速度为 33 6000()9150 58 (米/分) 【答案】150米/分 【例【例 4】 甲甲、乙两车分别从

8、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在小时后相遇在 C 点点如果甲车速度不变如果甲车速度不变， 乙车每小时多行乙车每小时多行 5 千米千米，且两车还从且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行两地同时出发相向而行，则相遇地点距则相遇地点距 C 点点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距千米，则相遇地点距 C 点点 16 千米甲车千米甲车 原来每小时行多少千米？原来每小时行多少千米？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设乙增加速度后，两车在 D 处

9、相遇，所用时间为 T 小时。甲增加速度后，两车在 E 处相遇。 由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。于是，甲、乙不增加速度时，经 T 小时分别到达 D、E。DE121628（千米） 。由于甲或乙增加速度每小时 5 千米，两车在 D 或 E 相遇，所以用每小时 5 千米的速度，T 小时 走过 28 千米，从而 T285 28 5 小时,甲 用 6 28 5 2 5 （小时） ，走过 12 千米，所以甲原来每小时行 12 2 5 30（千米） 【答案】30 千米 【巩固】【巩固】 甲甲、乙二人分别从乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在小

10、时后相遇在 C 点点。如果甲速度不变如果甲速度不变，乙乙 每小时多行每小时多行 4 千米千米，且甲且甲、乙还从乙还从 A、B 两地同时出发相向而行两地同时出发相向而行，则相遇点则相遇点 D 距距 C 点点 lO 千千 3-2-6.变速问题.题库教师版page 3 of 18 米米；如果乙速度不变如果乙速度不变，甲每小时多行甲每小时多行 3 千米千米，且甲且甲、乙还从乙还从 A、B 两地同时出发相向而行两地同时出发相向而行，则则 相遇点相遇点 E 距距 C 点点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】

11、解答 【解析】当乙每小时多行 4 千米时， 5 小时可以多行 20 千米， 所以当两人相遇后继续向前走到 5 小时， 甲可以走到 C 点，乙可以走到 C 点前面 20 千米。而相遇点 D 距 C 点 lO 千米，因此两人 各走了 10 千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比乙每小时多行 4 千米。 同理可得， 甲每小时多行 3 千米时，乙走 5 千米的时间甲可以走 10 千米，即甲的速度是乙的 2 倍。 (4+3)(2-1)+4=11(千米/小时)，所以甲原来的速度是每小时 11 千米。 【答案】11 千米 【例【例 5】 A、 B 两地间有一座桥两地间有一座桥(桥的长度忽略不计桥的长度忽

12、略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，甲、乙二人分别从两地同时出发，3 小时后在桥小时后在桥 上相遇如果甲加快速度，每小时多走上相遇如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前千米，而乙提前 0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相小时出发，则仍能恰在桥上相 遇遇如果甲延迟如果甲延迟 0.5 小时出发小时出发，乙每小时少走乙每小时少走 2 千米千米，还会在桥上相遇还会在桥上相遇则则 A、 B 两地相距两地相距 多少千米？多少千米？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次 走的路程也是一样的

13、在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是 3 小时，他提 前了 0.5 小时，那么甲到桥上的时间是 3 -0.5 =2.5 小时甲每小时多走 2 千米，2.5 小时就多 走 2 2.5= 5 千米，这 5 千米就是甲原来 3- 2.5 =0.5 小时走的，所以甲的速度是 5 0.5= 10 千 米/时在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是 3 小时，他延迟了 0.5 小时， 那么乙到桥上的时间是 3 0.5 =3.5 小时乙每小时少走 2 千米，3.5 小时就少走 2 3.5 =7 千 米，这 7 千米就是甲原来 3.5 3= 0.5 小时走的，所以乙的速度就是 7 0.

14、5 =14 千米/时所以 A、 B 两地的距离为 （10 14） 3 =72 千米 【答案】72 千米 【例【例 6】 一列火车出发一列火车出发 1 小时后因故停车小时后因故停车 0.5 小时小时，然后以原速的然后以原速的 3/4 前进前进，最终到达目的地晚最终到达目的地晚 1.5 小小 时时若出发若出发 1 小时后又前进小时后又前进 90 公里再因故停车公里再因故停车 0.5 小时小时，然后同样以原速的然后同样以原速的 3/4 前进前进，则到则到 达目的地仅晚达目的地仅晚 1 小时，那么整个路程为多少公里？小时，那么整个路程为多少公里？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答

15、【解析】出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3 4 前进，最终到达目的地晚 1.5 小时，所以后 面以原速的 3 4 前进的时间比原定时间多用1.50.51小时，而速度为原来的 3 4 ，所用时间为原来 的 4 3 ，所以后面的一段路程原定时间为 4 1(1)3 3 小时，原定全程为 4 小时；出发 1 小时后 又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3 4 前进，则到达目的地仅晚 1 小时， 类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程原定时间为 4 (10.5)(1)1.5 3 小时 所以原速度行 驶 90 公里需要 1.5 小时，而原定全程为 4 小

16、时，所以整个路程为901.54240公里 【答案】240公里 【例【例 7】 王叔叔开车从北京到上海王叔叔开车从北京到上海，从开始出发从开始出发，车速即比原计划的速度提高了车速即比原计划的速度提高了 1/9，结果提前一个半小结果提前一个半小 时到达时到达；返回时返回时，按原计划的速度行驶按原计划的速度行驶 280 千米后千米后，将车速提高将车速提高 1/6，于是提前于是提前 1 小时小时 40 分分 到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，

17、即车速为原计划的 10/9，则所用时间为原计划 的 110/9=9/10，即比原计划少用 1/10 的时间，所以一个半小时等于原计划时间的 1/10，原计划 3-2-6.变速问题.题库教师版page 4 of 18 时间为：1.51/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，即此后车速为 原来的 7/6，则此后所用时间为原计划的 17/6=6/7，即此后比原计划少用 1/7 的时间，所以 1 小 时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的 1/7，则按原计划的速度行驶 280 千 米后余下的时间为：5/31/7=35/3(小时)，所以，原计划

18、的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市 间的路程为：84 15= 1260(千米) 【答案】1260 千米 【例【例 8】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山 速度的速度的 1.5 倍倍，而且甲比乙速度快而且甲比乙速度快。两人出发后两人出发后 1 小时小时，甲与乙在离山顶甲与乙在离山顶 600 米处相遇米处相遇，当当 乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 【考点】行程问题之变速问

19、题【难度】3 星【题型】解答 【解析】甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的 11.5+1/2=2 倍，就是 说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路， 这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用 1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时） 【答案】1.5 小时 【例【例 9】 小华以每小时小华以每小时 8/3 千米的速度登山千米的速度登山，走到途中走到途中 A 点后点后，他将速度改为每小时他将速度改为每小时 2 千米千米，在接下来在接下来 的的 1 小时中小时中，他走到山顶他走到山顶，又立即下山又立即下

20、山，并走到并走到 A 点上方点上方 500 米的地方米的地方如果他下山的速度是如果他下山的速度是 每小时每小时 4 千米，下山比上山少用了千米，下山比上山少用了 52.5 分钟那么，他往返共走了多少千米？分钟那么，他往返共走了多少千米？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】11 千米 【答案】11 千米 【例【例 10】甲甲、乙两车从乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行两地同时出发相向而行，5 小时相遇小时相遇；如果乙车提前如果乙车提前 1 小时出发小时出发，则差则差 13 千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前 1 小时出发，则

21、过中点小时出发，则过中点 37 千米后与乙车相遇，千米后与乙车相遇， 那么甲车与乙车的速度差等于多少千米那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？小时？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】第一次行程甲、乙两车同时出发，所以两车走的时间相同；第二次乙车提前 1 小时出发，所以 这次乙车比甲车多走了 1 小时； 第三次甲车提前 1 小时出发， 所以这次甲车比乙车多走了 1 小 时那么如果把第二次和第三次这两次行程相加，那么甲车和乙车所走的时间就相同了，而所走 的路程为 2 个全程由于两人合走一个全程要 5 小时，所以合走两个全程要 10 小时由于第 二次在乙车在差 13

22、 千米到中点与甲车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 13 千米；第三 次在过中点 37 千米后与乙车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 37 千米；这两次合起来 甲车走了一个全程加上 13 37 =50 千米，所以乙车走了一个全程少 50 千米，甲车比乙车多走 50 2 =100 千米而这是在 10 小时内完成的，所以甲车与乙车的速度差为 100 10 =10 千米/时 【答案】10 千米/时 【例【例 11】甲甲、 乙两名运动员在周长乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行米的环形跑道上进行10000米长跑比赛米长跑比赛， 两人从同一起跑线同时起两人从同一起跑线同时起 跑，甲每分钟跑

23、跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的 速度比原来快速度比原来快 1 4 ，甲每分钟比原来多跑甲每分钟比原来多跑18米米，并且都以这样的速度保持到终点并且都以这样的速度保持到终点问问：甲甲、乙两乙两 人谁先到达终点？人谁先到达终点？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】从起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为40040036010(分钟)甲到达终点还需要跑 74 10000400 104001814 209 (分钟)，乙还需要跑 3-2-6.变速问题.题库教师版p

24、age 5 of 18 12 10000360 10360114 49 (分钟)，由于 274 9209 ，所以乙先到达终点 【答案】乙先到达终点 【例【例 12】环形场地的周长为环形场地的周长为1800米米，甲甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速甲速大于乙速)，12分钟分钟 后相遇如果每人每分钟多走后相遇如果每人每分钟多走25米，则相遇点与前次相差米，则相遇点与前次相差33米，求原来二人的速度米，求原来二人的速度 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】甲、乙原来的速度和为：180012150(米/分)，如果每人每分钟多走2

25、5米，现在的速度之和为： 150252200(米/分)，现在相遇需要的时间为：18002009(分钟)题目中说相遇点与前次 相差33米，但并不知道两者的位置关系，所以需要先确定两次相遇点的位置关系由于以原来的 速度走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程12；提速后走一圈，甲比乙多走的 路程为每分钟甲比乙多走的路程9； 故提速后走一圈与以原来速度走一圈相比， 甲比乙多走的路 程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差即为 两次相遇点的距离33米所以现在问题转化为：甲以原速度走 12 分钟走到某一处，现在甲以比 原速度提高 25 米/分的速度走 9

26、分钟，走到距离前一处还有 33 米的地方，求甲的速度所以，甲 原来的速度为：(3325 9)(129)86(米/分)，乙原来的速度为：1508664(米/分) 【答案】64米/分 【例【例 13】王刚骑自行车从家到学校去王刚骑自行车从家到学校去，平常只用平常只用 20 分钟分钟。因途中有因途中有 2 千米正在修路千米正在修路，只好推车步行只好推车步行，步步 行速度只有骑车速度的行速度只有骑车速度的 1 3 ，结果这天用了，结果这天用了 36 分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】途中有 2

27、 千米在修路，导致了王刚上学时间比平时多用362016分钟，由于在别的路段上还是 骑车，所以多用的时间都是耗费在修路的 2 千米上由于步行速度是汽车速度的 1 3 ，所以步行 2 千米所用的时间是骑车 2 千米所用时间的 3 倍，多用了 2 倍，这个多出来的时间就是 16 分钟， 所以骑车 2 千米需要1628分钟 由于 8 分钟可以骑 2 千米，而王刚平时骑车 20 分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离为 2(208)5千米 【答案】5千米 【例【例 14】甲、乙两车分别从甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行出发时，甲，乙的速度之比是两地同时出发，相向而行出发时，甲，乙的速度之比是

28、5:4，相遇，相遇 后甲的速度减少后甲的速度减少20%，乙的速度增加乙的速度增加20%这样当甲到达这样当甲到达B地时地时，乙离开乙离开A地还有地还有10千米千米那那 么么A、B两地相距多少千米？两地相距多少千米？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】出 发 时 ， 两 车 的 速 度 之 比 为5:4， 所 以 相 遇 以 后 两 辆 车 的 速 度 之 比 为 5120% :4120%5:6，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5:4，所以相遇后两辆 车还需要行驶的路程之比为4:5，所以甲还需要行驶全部路程的 4 9 ，当甲行驶这段路程的同时， 乙行驶了全程的 48

29、56 915 ，距离A地还有 481 1 91545 ，所以A、B两地相距 1 10450 45 千米 【答案】450千米 【例【例 15】甲甲、乙往返于相距乙往返于相距1000米的米的A，B两地两地甲先从甲先从A地出发地出发，6分钟后乙也从分钟后乙也从A地出发地出发，并在距并在距 A地地600米的米的C地追上甲地追上甲乙到乙到B地后立即原速向地后立即原速向A地返回地返回，甲到甲到B地休息地休息1分钟后加快速度分钟后加快速度 3-2-6.变速问题.题库教师版page 6 of 18 向向A地返回，并在地返回，并在C地追上乙问：甲比乙提前多少分钟回到地追上乙问：甲比乙提前多少分钟回到A地？地？

30、【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】由于甲比乙早出发 6 分钟，乙在走了 600 米时追上甲，可见乙走 600 米比甲要少用 6 分钟，那么 对于剩下的400米，乙比甲要少用 400 64 600 (分钟)，也就是说乙比甲早 4 分钟到达B地那么 乙从B地出发比甲早415 (分钟)，走到C地被甲追上，相当于甲走 400 米比乙少用 5 分钟， 那么对于剩下的 600 米，甲比乙要少用 600 57.5 400 (分钟)所以甲比乙提前7.5分钟回到A地 【答案】7.5分钟 【例【例 16】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高

31、一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高 50%。出发出发 2 小时后小时后，小轿车与大货车第一次相遇小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲小轿车刚好走到甲、 乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】此题的关键是分析清楚题目中所提到的小轿车返回时速度提高50%所带来的变化， 所以可以先假 设小轿车返回时速度不发生变化会是什么样，然后再进行对比分析如果小轿车返回时速度不提 高，那么大

32、货车到达乙地时，小轿车又走了甲、乙两地距离的 11 (150%) 23 ，所以，从甲地到 乙地小轿车与大货车的速度比为： 1 (1):14:3 3 ，小轿车到达乙地时，大货车走了全程的 3 4 ， 还差 1 4 小轿车从乙地返回甲地时，与大货车的速度比为4(150%):32:1，小轿车从乙地返 回到与大货车相遇时，大货车又走了全程的 111 41212 ，即相遇时大货车共走了全程的 315 4126 ， 那么大货车从甲地到乙地需要 512 2 65 小时， 小轿车从甲地到乙地需要 1239 545 小 时，小轿车往返一次需要 99 (150%)3 55 小时 【答案】3小时 【例【例 17】甲

33、、乙两地间平路占甲、乙两地间平路占 1 5 ，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的 2 3 ，一辆汽车从甲，一辆汽车从甲 地到乙地共行了地到乙地共行了10小时小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢已知这辆车行上山路的速度比平路慢20%，行下山路的速度比平路快行下山路的速度比平路快 20%，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据题意，可以把甲、乙两地之间的距离看作 25，这样两地间的平路为 5，从甲地去往乙地，上 山路为 2

34、 208 23 ，下山路为 3 2012 23 ；再假设这辆车在平路上的速度为 5，则上山时的 速度为 4，下山时的速度为 6，于是，由甲地去乙地所用的总时间为：84551265；从 乙地回到甲地时，汽车上山、下山的速度不变，但是原来的上山路变成了此时的下山路，原来的 下山路变成了此时的上山路，所以回来时所用的总时间为： 1 12455865 3 由于从甲 地到乙地共行了 10 小时，所以从乙地回来时需要 12 105 510 33 小时 【答案】 2 10 3 小时 【例【例 18】甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑甲、乙二人在同一条圆形跑道上

35、作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑 3-2-6.变速问题.题库教师版page 7 of 18 完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 2 3 甲跑甲跑 第二圈的速度比第一圈提高了第二圈的速度比第一圈提高了 1 3 ，乙跑第二圈的速度提高了，乙跑第二圈的速度提高了 1 5 ，已知沿跑道看从甲、乙两人第，已知沿跑道看从甲、乙两人第 二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，问这条跑道长多少米？米，问这条跑道长多少米？ 【考点】行程

36、问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】从起跑由于跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 2 3 ，所以第一次相遇的地方在距起点 2 5 (或者 3 5 ) 处由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈，甲跑完第一圈时，乙跑了 2 3 圈，此时乙距出发 点还有 1 3 圈， 根据题意， 此时甲要回头加速跑， 即此时甲与乙方向相同， 速度为乙的 12 12 33 倍所以乙跑完剩下的 1 3 圈时甲又跑了 2 3 圈，此时甲距出发点还有 1 3 圈，而乙又要回头跑，所以 此时两人相向而行，速度比为 121 1:15:3 335 ，所以两人第二次相遇点距离出发点 131 3538 ，两次相遇点间隔

37、2121 5840 ，注意到 211921 1 404040 ，所以最短距离为 19 40 圈，所 以跑道长 19 190400 40 米 【答案】400米 【例【例 19】甲、乙两人沿甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去相遇后米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去相遇后 甲比原来速度增加甲比原来速度增加4米秒，乙比原来速度减少米秒，乙比原来速度减少4米秒，结果都用米秒，结果都用25秒同时回到原地求甲秒同时回到原地求甲 原来的速度原来的速度 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为相遇前后甲、乙的速度和没有改

38、变，如果相遇后两人合跑一圈用 25 秒，则相遇前两人合跑 一圈也用 25 秒 (法 1)甲以原速V甲跑了 25 秒的路程与以4V 甲 的速度跑了 25 秒的路程之和等于 400 米， 25254400VV 甲甲 ，解得6V 甲 米/秒 (法 2)由跑同样一段路程所用的时间一样，得到4VV 乙甲 ，即二者速度差为 4；而二者速度和为 400 16 25 VV 乙甲 ，这是个典型的和差问题可得V甲为：16426米/秒 【答案】6米/秒 【巩固】从【巩固】从A村到村到B村必须经过村必须经过C村，其中村，其中A村至村至C村为上坡路，村为上坡路，C村至村至B村为下坡路，村为下坡路，A村至村至B村的村的

39、总路程为总路程为20千米某人骑自行车从千米某人骑自行车从A村到村到B村用了村用了2小时，再从小时，再从B村返回村返回A村又用了村又用了1小时小时45 分分已知自行车上已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍倍求求A、 C之间的路程及自行车上坡时的速度之间的路程及自行车上坡时的速度 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设A、C之间的路程为x千米，自行车上坡速度为每小时y千米，则C、B之间的路程为(20) x 3-2-6.变速问题.题库教师版page 8 of 18 千米，自行车下坡速

40、度为每小时2y千米依题意得： 20 2 2 203 1 24 xx yy xx yy ，两式相加，得： 20203 21 24yy ，解得8y ；代入得12x 故A、C之间的路程为12千米，自行车上坡时的 速度为每小时8千米 【答案】8千米 【例【例 20】欢欢和贝贝是同班同学欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里并且住在同一栋楼里早晨早晨7:40，欢欢从家出发骑车去学校欢欢从家出发骑车去学校，7:46追追 上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度 提高到原来的提高到原

41、来的2倍倍，回家换好校服回家换好校服，再赶往学校再赶往学校；欢欢欢欢8:00赶到学校时赶到学校时，贝贝也恰好到学校贝贝也恰好到学校如如 果欢欢在家换校服用去果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是点点 分分 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，六年级 【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了6分钟，那么她调头后速度提高到原来的2倍，回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了206365分钟，故她以 原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6 分

42、钟，还剩下 4 分钟的路程，而这 4 分 钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走146421分钟，也就是说欢欢 追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7 点 25 分出发的 【答案】7 点 25 分 【例【例 21】甲、乙两人都要从甲、乙两人都要从A地到地到B地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟 60 米米乙比甲早出乙比甲早出发发 20 分钟，甲在距分钟，甲在距A地地 1920 米的米的C处追上乙，两人继续向前，甲发现自己忘带东西，于是将速处追上乙，两人继续向前，甲发现自己忘带东西，于是将速 度提高到原来的度提高到原来的1

43、.5倍，马上返回倍，马上返回A地去取，并在距离地去取，并在距离C处处 720 米的米的D处遇上乙处遇上乙甲到达甲到达A地地 后在后在A地停留了地停留了 5 分钟分钟，再以停留前的速度骑往再以停留前的速度骑往B地地，结果甲结果甲、乙两人同时到达乙两人同时到达B地地A、B 两地之间的距离是两地之间的距离是米米 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】填空 【解析】乙从A地到C处所用时间为19206032分钟，甲用的时间为322012分钟，甲的速度为 192012160米/分钟，速度提高后为160 1.5240米/分钟甲从D处回到A地并停留 5 分钟， 共用时间1920720240516分钟

44、，此 时乙又走了60 16960米，两人 的距离为 19207209603600米， 此时相当于追及问题， 追及时间为36002406020分钟， 所以A、 B两地之间的距离为240204800米 【答案】4800米 【例【例 22】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上 学走这两条路所用的时间一样多学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的已知下坡的速度是平路的1.6倍倍，那么上坡的速度是平路速度那么上坡的速度是平路速度 的多少倍？的多少倍？ 【考点】行程问题之变

45、速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设小芳上学路上所用时间为2，那么走一半平路所需时间是1由于下坡路与一半平路的长度相 同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是 5 1 1.6 8 ，因此，走上坡路 3-2-6.变速问题.题库教师版page 9 of 18 需要的时间是 53 21 88 ，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为 3 1:18:11 8 ， 所以，上坡速度是平路速度的 8 11 倍 【答案】 8 11 倍 【例【例 23】赵伯伯为锻炼身体，每天步行赵伯伯为锻炼身体，每天步行 3 小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。假设赵伯小时，他先

46、走平路，然后上山，最后又沿原路返回。假设赵伯 伯在平路上每小时行伯在平路上每小时行 4 千米，上山每小时行千米，上山每小时行 3 千米，下山每小时行千米，下山每小时行 6 千米，在每天锻炼中，他千米，在每天锻炼中，他 共行走多少米？共行走多少米？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】因为是原路返回，所以上坡的路程和下坡的路程相等.上下坡的平均速度为 2（13+16）=4，与 平路速度相等，所以全程的平均速度为 4 千米/小时，3 小时共步行 43=12 千米. 【答案】12 千米 【例【例 24】王老师王老师每天早上晨练，他第一天跑步每

47、天早上晨练，他第一天跑步 1000 米，散步米，散步 1600 米，共用米，共用 25 分钟；第二天跑步分钟；第二天跑步 2000 米米，散步散步 800 米米，共用共用 20 分钟分钟。假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。求求：(1)王老王老 师跑步的速度；师跑步的速度； (2)王老师散步王老师散步 800 米所用的时间。米所用的时间。 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 (1) 第二天跑步 2000 米，散步 800 米，共用 20 分钟，那么跑步 4000 米，散步 1600 米

48、，共用 40 分钟， 又已知跑步 1000 米， 散步 1600 米， 共用 25 分钟， 所以王老师跑步 4000-1000=3000(米)， 用时 40-25=15(分钟)，即王老师跑步的速度为 300015=200(米/分钟) (2)因为王老师跑步 2000 米，散步 800 米，共用时 20 分钟，所以王老师散步 800 米，用时 2000 20201010 200 分 【答案】(1) 200 米/分钟(2)10分 【例【例 25】某校在某校在 400 米环形跑道上进行米环形跑道上进行 1 万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的

49、速度始终保持 不变，开始时甲比乙慢，在第不变，开始时甲比乙慢，在第 15 分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第 18 分钟时甲分钟时甲 追上乙并且开始超过乙。在第追上乙并且开始超过乙。在第 23 分钟时甲再次追上乙，而在分钟时甲再次追上乙，而在 23 分分 50 秒时甲到达终点。那么秒时甲到达终点。那么， 乙跑完全程所用的时间是多少分钟？乙跑完全程所用的时间是多少分钟？ 【考点】行程问题之变速问题【难度】3 星【题型】解答 【关键词】祖冲之杯，小学数学邀请赛 【解析】本题中乙的速度始终保持不变，甲则有提速的情况，但是甲提速后速度就保持不变，所以可

50、以从 甲提速后的情况着手进行考虑根据题意可知，甲加速后，每过23 185（分钟）比乙多跑一 圈，即每分钟比乙多跑400580（米） 由于第 18 分钟时甲、乙处于同一位置，则在 23 分 50 秒时甲到达终点时，乙距终点的距离就是此时甲、乙之间的距离，即乙距离终点还有 501400 802318 603 （米） ，即乙在 23 分 50 秒内跑了 1400 10000 3 米，由于乙的速度始终 保持不变，所以乙每分钟跑 140050 1000023400 360 （米） 所以，乙跑完全程需要1000040025（分钟） 【答案】25分钟 【例【例 26】甲甲、乙两人同时同地同向出发乙两人同时同