小学奥数习题教案-1-2-1-2 等差数列计算题.教师版.doc

1、1-2-1-2.等差数列的认识与公式运用.题库教师版page 1 of 7 等差数列计算题等差数列计算题 知识点拨知识点拨 等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式三个重要的公式 通项公式：递增数列：末项通项公式：递增数列：末项首项首项(项数项数1)公差，公差， 1 1 n aand（） 递减数列：末项递减数列：末项首项首项(项数项数1)公差，公差， 1 1 n aand（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其 实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手同时还可延伸出来这样一个 有用的公式： nm aanmd（），nm（

2、） 项数公式：项数项数公式：项数(末项末项首项首项)公差公差+1 由通项公式可以得到： 1 1 n naad（）(若 1n aa)； 1 1 n naad（）(若 1n aa) 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、(46、47、48)，注意等差是 3 ， 那么每组有3个数， 我们数列中的数都在每组的第1位， 所以46应在最后一组第1位， 4到48有484145 项，每组 3 个数，所以共45315组，原数列有 15 组

3、 当然还可以有其他的配组方法 求和公式：和求和公式：和=(首项首项末项末项)项数项数2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路 1)1239899100 1 1002993985051 共50个101 （）（）（）（） 101 505050 (思路 2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 100999897321 2101101101101101101101 和=1 +和 倍和 即，和 (1001) 1002101 505050 (2) 中项定理：中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首 项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等

4、于中间项乘以项数 譬如：譬如：48123236436922091800（）， 题中的等差数列有题中的等差数列有 9 项，中间一项即第项，中间一项即第 5 项的值是项的值是 20，而和恰等于，而和恰等于209； 65636153116533233 331089 （）， 题中的等差数列有题中的等差数列有 33 项，中间一项即第项，中间一项即第 17 项的值是项的值是 33，而和恰等于，而和恰等于33 33 例题精讲例题精讲 1-2-1-2.等差数列的认识与公式运用.题库教师版page 2 of 7 【例【例 1 1】 用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？ 3

5、456767778 13578799 471013404346 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【解析】【解析】根据例 1 的结果知：算式中的等差数列一共有 76 项，所以： 34567677783787623078（） 算式中的等差数列一共有 50 项，所以：13578799(199)5022500 算式中的等差数列一共有 15 项，所以：471013404346446152375（） 【答案】30782500375 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】1 2 8 9 10 9 8 2 1 _。 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试

6、【解析】1+2+3+n+3+2+1=nn，所以原式=1010=100 【答案】100 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】1966、1976、1986、1996、2006 这五个数的总和是多少这五个数的总和是多少? 【考点】等差数列计算题【难度】1 星【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】1986 是这五个数的平均数，所以和198659930。 【答案】9930 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：110111112126 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【关键词】走美杯，四年级，初赛 【解析】原式(110126) 1722006 【答案】2006 【巩固】【巩固

7、】【巩固】【巩固】计算下面结果计算下面结果 48 12163236 65636153 1 34599100 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【解析】根据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数(末项首项)公差1 等差数列的和（首项末项）项数2 项数：364419 （）； 和：43692180 （） 项数：65 12133 （）；和：16533233 331089（） 项数：10031 198 （）；和：31009825047（） 【答案】18010895047 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？ 345676

8、7778 13578799 471013404346 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【解析】【解析】（1） 算式中的等差数列一共有 76 项， 所以：34567677783787623078（） （2）算式中的等差数列一共有 50 项，所以：13578799(199)5022500 （3） 算式中的等差数列一共有 15 项， 所以：471013404346446152375（） 【答案】 （1）3078（2）2500（3）375 1-2-1-2.等差数列的认识与公式运用.题库教师版page 3 of 7 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算下列一组数的和：计算下列一组数的和

9、：105，110，115，120，195，200 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【解析】根据等差数列求和公式，必须知道首项、末项和项数，这里首项是 105，末项是 200，但项数不 知道若利用 1 (1) n aand，可有 1 ()1 n naad 据此可先求出项数，再求数列的和 解：数列的项数 1 ()1 n naad (200 105)5 1 955 1 20 故数列的和是： 1 ()2 n Saan (105200)202 305 202 3050 【答案】3050 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】聪明的小朋友们，聪明的小朋友们，PK一下吧一下吧 48 121632

10、36 65636153 1 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【解析】根据刚刚学过的求项数以及求和公式，项数(末项首项)公差1 等差数列的和（首项末项）项数2 项数：364419 （）； 和：43692180 （）； 项数：65 12133 （）；和：16533233 331089（） 【答案】1801089 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】巧算下题：巧算下题： 500024698 100 1357199519971999 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【解析】原式500024698 10050002100502500025502450（）（） 这一串加数可

11、以组成首项为 1、末项为 1999，公差为 2 的等差数列， 项数19991211000 （），原式1 1999100022000 100021000000（） 【答案】24501000000 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】(123200720082007321)2008 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【关键词】走美杯，四年级，初赛 【解析】观察原式可知，1、2、32007 分别可与 2007、2006、20051 组成 2008，于是括号中有 2008 个 2008，故原式结果为 2008。 【答案】2008 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】2008)201120102

12、0092008200720062005(_ 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】根据中项定理知: 2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=20087,所以原式= 200872008=7 【答案】7 1-2-1-2.等差数列的认识与公式运用.题库教师版page 4 of 7 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：150+250+9850+9950= 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】原式=()()123459899501999925099L 【

13、答案】99 【例【例 2 2】 计算：计算： 1351997199924619961998（）-（） 40005101595100 99198297396495594693792891990 【考点】等差数列计算题【难度】3 星【题型】计算 【解析】（方法一）第一个数列的项数 1000，第二个数列的项数为 999，利用求和公式得： 1 1999100022199899921000（）（） （方法二）第一个括号内共有 1000 个数，第二个括号内有 999 个数把 1 除外，第一个括号 内的各数依次比第二个括号里相应的数大 1，因此可简捷求和 原式13254199919981 11l （）（）（

14、）(共 1000 个 1)1000 通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可先求这些减数的和，再从被减数中 减去这个和 400051015951004000510159510040005100202（）（） （） 400010502950当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些 减数的和，再从被减数中减去这个和 99198297396495594693792891990 100120023003100010 100200300100012310（） 10010001021 10102（）（） 550055 5445 【答案】100029505445 【巩固】【

15、巩固】【巩固】【巩固】计算计算2461984198619881351983 1985 1987（）（） 【考点】等差数列计算题【难度】3 星【题型】计算 【解析】根据求项数公式可知两个括号内的算式都各有 994 项 原式2 1432 143(1988 1987)（）（）（）（） 1 1 1 11994 994个 【答案】994 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：20072006200520042003200254321 【考点】等差数列计算题【难度】3 星【题型】计算 【关键词】走美杯，3 年级，决赛 【解析】找规律并分组计算如下： 2007200620052004200320025

16、4321 20031 = 20072006200520042003200254321 =1+1+1+1 =2004 个 【答案】2004 1-2-1-2.等差数列的认识与公式运用.题库教师版page 5 of 7 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：2469698100135959799（）（） 13467910121366676970； 1000999998997996995106105104103102101 616926993699946999956999996 【考点】等差数列计算题【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】 和式2498100，1359799中的项成等差数列

17、，从而可能想到先求和，再 做减法这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出一个好 想法：运用加减运算性质先做减法：21，43，65，10099，它们的差都等于 1， 然后，计算等于 1 的差数有多少个由于题中 1 至 100 的全部偶数之和作为被减数，奇数之和 为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小)，共得 50 个差数 1，从而， 原式214398971009950（）（）（）（） 以把这个数列拆分为两个数列14710136770和369126669，对 它们分别求和：原式1702423692321680（）（）； 本题也可以按照上题的方法做， 但还有更简便的办法

18、， 把式子中的减法都计算出来可以得到下 式：1000199711061 1031 这是1000997106103和1 11 1 的组合，分别计算结果即可： 原式100010330021 300165750 （） 原式709700870007700006700000570000004（）（）（）（）（）（） 77777709876547777731（） 【答案】5016801657507777731 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：13520092462008（）（） 【考点】等差数列计算题【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】方法一：让学生用等差数列求和公式分别计算前后两部分

19、，然后讲方法二，这样可以让学生体会 观察数列规律，动脑思考的重要性 原式120091005222008100421005（）（） 方法二：把括号去掉，两两结合，简便计算 原式 10051 13254200920081 1 11 1 11005 个 （）（）（） 【答案】1005 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：24620081352007（）（） 【考点】等差数列计算题【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】方法一：等差数列求和 原式220081004212007100421004（）（） 方法二：把括号去掉，两两结合，简便计算 原式 10041 2143200820071 1

20、 11 1 11004 个 （）（）（） 【答案】1004 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算： 200820072006200520042003200220014321 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【解析】【解析】方法一：原式200820072006200520042003200220014321（）（）（） 5024 44445022008 个 方法二：原式20082007200620052004200320022001200054（）（）（）（）（） 321 20081 1 1 11 1 12008 （） 方法三：2008200620072005200420

21、02423 12 ，观察到这一点就好办了， 改变原来的运算顺序不难发现每两个数放在一起就是 2，就等于说每一个数都看成 1 就 1-2-1-2.等差数列的认识与公式运用.题库教师版page 6 of 7 行了，原式有 2008 项，所以最后答案就是 2008 （让学生体会观察数列规律动脑思考的 重要性 ） 【答案】2008 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固】计算：计算：123456789979899 【考点】等差数列计算题【难度】3 星【题型】计算 【解析】【解析】原式123456789979899（）（）（）（） 036996 396 963312 1584 （）（） 【答案】1584 【例【

22、例 3 3】 计算：计算：1.13.35.57.79.911.11 13.1315.1517.1719.19 【考点】等差数列计算题【难度】2 星【题型】计算 【关键词】第十三届，迎春杯，试题 【解析】【解析】原式5.5 515.15 5 5.515.155 20.565103.25 （） 【答案】103.25 【例【例 4 4】 计算计算 1231990 1990199019901990 _ 【考点】等差数列计算题【难度】3 星【题型】计算 【解析】原式 1231990 1990 (1 1990) 19902 1990 1 995 2 【答案】 1 995 2 【巩固】【巩固】【巩固】【巩固

23、】计算计算468 103436 以质数以质数 71 做分母的最简真分数有做分母的最简真分数有 123 ,., 71 71 71 69 70 ,; 71 71 求这列数的和求这列数的和 计算：计算： 567891011 135791113 13131313131313 【考点】等差数列计算题【难度】3 星【题型】计算 【解析】这是一个等差数列，根据等差数列求和公式计算得：(436) 172340 方法一：将这列数的分子从左往右排起来是 1，2，3，469，70可以发现这是一个等差数列， 首项是 1，末项是 70，项数是 70我们可以用等差数列求和公式“和(首项末项)项数2”求 出分子相加的和，再

24、求出以质数 71 做分母的最简真分数的和 12346970 . 717171717171 1234.6970 (170)702 71 35 方法二：将这列数排列起来，可以发现： 第二项比第一项多 1 71 ， 1-2-1-2.等差数列的认识与公式运用.题库教师版page 7 of 7 第三项比第二项多 1 71 ， 第四项比第三项多 1 71 ， 因此，可以直接使用等差数列求和公式求和 12346970 . 717171717171 170 702 7171 35 带分数加法，我们先计算整数部分，再计算分数部分，认真观察我们发现整数部分和分数部分 都可以利用等差数列求和公式进行计算. 567891011 135791113 13131313131313 567891011 (1357911 13)() 13131313131313 (511)72 (1 13)72 13 4 49413 4 5313 【答案】34035 4 5313