小学奥数习题教案-8-7 游戏与策略.教师版.doc
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1、8-7.游戏与策略.题库教师版page 1 of 24 游戏与策略游戏与策略 教学目标教学目标 1.通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律 2.在操作过程中,体会数学规律的并且设计最优的策略和方案 3.熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题 知识点拨知识点拨 实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力,激发学生探索数学规律的兴趣, 并通过寻找最佳策略过程,培养学生的创造性思维能力,这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。 例题精讲例题精讲 模块一、探索与操作 【例【例 1】 将将 113 这这 13 个自然数分别写在个自然数分别写在 13 张卡片上张卡片上, 再
2、将这再将这 13 张卡片按一定的顺序从左至右排好张卡片按一定的顺序从左至右排好 然然 后进行如下操作:将从左数第一张和第二张依次放到最后,将第三张取出而这张卡片上的数后进行如下操作:将从左数第一张和第二张依次放到最后,将第三张取出而这张卡片上的数是是 1;再将下面的两张依次放到最后并取出下一张再将下面的两张依次放到最后并取出下一张,取出的卡片上面的数是取出的卡片上面的数是 2;继续将下面的两张继续将下面的两张 依次放到最后并取出下一张,取出的卡片上面的数是依次放到最后并取出下一张,取出的卡片上面的数是 3如此进行下去,直到取出最后一张如此进行下去,直到取出最后一张 是是 13 为止则为止则 1
3、3 张卡片最初从左到右的顺序为张卡片最初从左到右的顺序为 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【关键词】北京奥校杯 【解析】这 13 张卡片依次是原来的第 3,第 6,第 9,第 12,第 2,第 7,第 11,第 4,第 10,第 5,第 1, 第 8,第 13 张,所以原来的顺序为 11,5,1,8,10,2,6,12,3,9,7,4,13 【答案】11,5,1,8,10,2,6,12,3,9,7,4,13 【例【例 2】 在纸上写着一列自然数在纸上写着一列自然数 1,2,98,99一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去,然然 后把这三个
4、数的和写在数列的最后面例如第一次操作后得到后把这三个数的和写在数列的最后面例如第一次操作后得到 4,5,98,99,6;而第二;而第二 次操作后得到次操作后得到 7,8,98,99,6,15这样不断进行下去,最后将只剩下一个数,则最后这样不断进行下去,最后将只剩下一个数,则最后 剩下的数是剩下的数是 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【关键词】迎春杯 【解析】第一轮:分 33 次划 19,后面写上 6,15,24,294 共 33 个数第二轮:分 11 次划去这 33 个数,后面写上 45,126,207,855,共 11 个数之后的操作一次减少 2 个数,故还需 操作 5 次 设
5、这 11 个数为: 1 a, 2 a, 11 a则接下去的数是: 123 ()aaa, 456 ()aaa, 789 ()aaa, 1011123 ()aaaaa, 4567891011123 ()aaaaaaaaaaa 因此最后一数为: 12311 12994950aaaa 【答案】4950 【巩固】【巩固】 在在 1,9,8,9 后面写一串这样的数字后面写一串这样的数字:先计算原来这先计算原来这 4 个数的后两个之和个数的后两个之和 8917,取个位数取个位数 8-7.游戏与策略.题库教师版page 2 of 24 字字 7 写在写在 1,9,8,9 的后面成为的后面成为 1,9,8,9,
6、7;再计算这;再计算这 5 个数的后两个之和个数的后两个之和 9716;取;取 个位数字个位数字 6 写在写在 1,9,8,9,7 的后面成为的后面成为 1,9,8,9,7,6;再计算这;再计算这 6 个数的后两个之个数的后两个之和和 7613,取个位数字取个位数字 3 写在写在 1,9,8,9,7,6 的后面成为的后面成为 1,9,8,9,7,6,3. 继续这样求继续这样求 和,这样添写,成为数串和,这样添写,成为数串 1,9,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4那么这个数串的前那么这个数串的前 398 个数个数 字的和是字的和是_. 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【关键词
7、】迎春杯,决赛 【解析】前 16 个数字是 1,9,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,9 可见除去前 2 个数字 1、9 后,每 12 个数字一组重复出现.因此前 398 个数字的和是 19(897639213471) 3982 12 1060331990 【答案】1990 【例【例 3】 圆周上放有圆周上放有N枚棋子,如图所示,枚棋子,如图所示,B点的那枚棋子紧邻点的那枚棋子紧邻A点的棋子小洪首先拿走点的棋子小洪首先拿走B点处的点处的 1 枚棋子枚棋子,然后沿顺时针方向每隔然后沿顺时针方向每隔 1 枚拿走枚拿走 2 枚棋子枚棋子,这样连续转了这样连续转了 10 周周,9 次
8、越过次越过A当将要当将要 第第 10 次越过次越过A处棋子取走其他棋子时处棋子取走其他棋子时,小洪发现圆周上余下小洪发现圆周上余下 20 多枚棋子多枚棋子若若N是是 14 的倍数的倍数, 请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子?请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子? ? A ? B 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】设圆周上余a枚棋子,从第 9 次越过A处拿走 2 枚棋子到第 10 次将要越过A处棋子时,小洪拿 了2a枚棋子,所以在第 9 次将要越过A处棋子时,圆周上有3a枚棋子依次类推,在第 8 次将 要越过A处棋子时,圆周上有 2 3 a枚棋子,在第 1 次将要越过A处棋子时
9、,圆周上有 9 3 a枚 棋 子 , 在 第 1 次 将 要 越 过A处 棋 子 之 间 , 小 洪 拿 走 了 9 2 311a 枚 棋 子 , 所 以 9910 2(31)1331Naaa 10 31590491Naa 是 14 的倍数,N是 2 和 7 的公倍数, 所以a必须是奇数;又78435417843541Naaa ,所以41a 必须是 7 的倍数当 21a ,25,27,29 时,41a 不是 7 的倍数,当23a 时,4191a 是 7 的倍数所以,圆周 上还有 23 枚棋子 【答案】23 【例【例 4】 有足够多的盒子依次编号有足够多的盒子依次编号 0,1,2,只有只有 0
10、号是黑盒号是黑盒,其余的都是白盒其余的都是白盒开始时把开始时把 10 个球个球 放入白盒中,允许进行这样的操作:如果放入白盒中,允许进行这样的操作:如果k号白盒中恰有号白盒中恰有k个球,可将这个球,可将这k个球取出,并给个球取出,并给 0 号、号、1 号、号、,(1)k 号盒中各放号盒中各放 1 个如果经过有限次这样的操作后,最终把个如果经过有限次这样的操作后,最终把 10 个球全放入个球全放入 黑盒中,那么黑盒中,那么 4 号盒中原有号盒中原有个球个球 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【关键词】两岸四地,华杯赛 【解析】使用倒推法最终各盒中依次有球(10,0,0,0,),前一次
11、必然分的是 1 号盒中的球,否则 1 号盒中最终至少有 1 个球所以,倒数第一次分前盒中依次有球(9,1,0,0,)依次倒推, 为:(10,0,0,0,)(9,1,0,0,)(8,0,2,0,0,)(7,1,2,0,0,)(6, 0,1,3,0,)(5,1,1,3,0,)(4,0,0,2,4,)(3,1,0,2,4,)(2,0, 2,2,4,)(1,1,2,2,4,)(0,0,1,1,3,5),0 号盒中此时为 0 个球,不能再 倒推所以,4 号盒中原有 3 个球 【答案】3 【例【例 5】 一个数列有如下规则一个数列有如下规则:当数当数n是奇数时是奇数时,下一个数是下一个数是1n ;当数当数
12、n是偶数时是偶数时,下一个数是下一个数是 2 n 如如 果这列数的第一个数是奇数,第四个数是果这列数的第一个数是奇数,第四个数是11,则这列数的第一个数是,则这列数的第一个数是 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【解析】本题可以进行倒推11的前一个数只能是偶数22,22的前一个数可以是偶数44或奇数21,44的 8-7.游戏与策略.题库教师版page 3 of 24 前一个是可以是偶数88或奇数43,而21的前一个只能是偶数42 由于这列数的第一个是奇数,所以只有 43 满足故这列数的第一个数是 43 也可以顺着进行分析假设第一个数是a,由于a是奇数,所以第二个数是1a ,是个偶数
13、,那 么第三个数是 1 2 a ,第四个数是 11,11 只能由偶数 22 得来,所以 1 22 2 a ,得到43a ,即这 列数的第一个数是 43 【答案】43 【巩固】【巩固】 在信息时代信息安全十分重要,往往需要对信息进行加密,若按照在信息时代信息安全十分重要,往往需要对信息进行加密,若按照“乘乘 3 加加 1 取个位取个位”的方式逐的方式逐 位加密,明码位加密,明码“16”加密之后的密码为加密之后的密码为“49”,若某个四位明码按照上述加密方式,经过两次加密,若某个四位明码按照上述加密方式,经过两次加密 得到的密码是得到的密码是“2445”,则明码是,则明码是 【考点】游戏与策略【难
14、度】3 星【题型】填空 【关键词】走美杯,初赛,六年级 【解析】09 这 10 个数字乘以 3 所得的数的个位数字互不相同是本题可以进行判断的基础 采用倒推法,可以得到经过一次加密之后的密码是“7118”,再进行倒推,可以得到原来的 明码是 2009. 【答案】2009 【例【例 6】 设有设有 25 个标号筹码,其中每个筹码都标有从个标号筹码,其中每个筹码都标有从 1 到到 49 中的一个不同的奇数,两个人轮流选取筹中的一个不同的奇数,两个人轮流选取筹 码码 当一个人选取了标号为当一个人选取了标号为x的筹码时的筹码时, 另一个人必须选取标号为另一个人必须选取标号为99x的最大奇因数的筹码的最
15、大奇因数的筹码 如如 果第一个被选取的筹码的编号为果第一个被选取的筹码的编号为 5,那么当游戏结束时还剩,那么当游戏结束时还剩个筹码个筹码 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【关键词】武汉,明星奥数挑战赛 【解析】解若x99x 547 4713 1343 437 723 2319 195 当一个人拿到 19 时,下一个人就要拿 5 了,故游戏结束,拿了 7 个剩25718(个) 【答案】18 【例【例 7】 一个盒子里有一个盒子里有 400 枚棋子,其中黑色和白色的棋子各枚棋子,其中黑色和白色的棋子各 200 枚,我们对这些棋子做如下操作:每枚,我们对这些棋子做如下操作:每 次拿出
16、次拿出 2 枚棋子,如果颜色相同,就补枚棋子,如果颜色相同,就补 1 枚黑色棋子回去;如果颜色不同,就补枚黑色棋子回去;如果颜色不同,就补 1 枚白色的棋枚白色的棋 子回去这样的操作,实际上就是每次都少了子回去这样的操作,实际上就是每次都少了 1 枚棋子,那么,经过枚棋子,那么,经过 399 次操作后,最后剩下次操作后,最后剩下 的棋子是的棋子是颜色颜色(填黑或者白填黑或者白) 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】填空 【关键词】北大附中,资优博雅杯 【解析】由于起初白子 200 枚是偶数,若同色,补黑子 1 枚,白子仍为偶数;若异色,补白子 1 枚,白子 仍为偶数因此最后 1 枚不可能是
17、白子,故应是黑子 【答案】黑 【巩固】【巩固】 30 粒珠子依粒珠子依 8 粒红色、粒红色、2 粒黑色、粒黑色、8 粒红色、粒红色、2 粒黑色、粒黑色、的次序串成一圈一只蚱蜢从第的次序串成一圈一只蚱蜢从第 2 粒黑珠子起跳,每次跳过粒黑珠子起跳,每次跳过 6 粒珠子落在下一粒珠子上这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑粒珠子落在下一粒珠子上这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑 珠子上珠子上 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【关键词】走美杯,试题 【解析】这些珠子按 8 粒红色、2 粒黑色、8 粒红色、2 粒黑色、的次序串成一圈,那么每 10 粒珠子 一个周期,我们可以推断出这 30 粒
18、珠子数到第 9 和 10、19 和 20、29 和 30、39 和 40、49 和 50 粒的时候,会是黑珠子刚才是从第 10 粒珠子开始跳,中间隔 6 粒,跳到第 17 粒,接下来 是第 24 粒、31 粒、38 粒、45 粒、52 粒、59 粒,一直跳到 59 粒的时候会是黑珠子,所以至少要 跳 7 次 【答案】7 次 8-7.游戏与策略.题库教师版page 4 of 24 【巩固】【巩固】 在黑板上写上在黑板上写上1、2、3、4、2008,按下列规定进行按下列规定进行“操怍操怍”:每次擦去其中的任意两个每次擦去其中的任意两个 数数a和和b,然后写上它们的差,然后写上它们的差(大数减小数大
19、数减小数),直到黑板上剩下一个数为止问黑板上剩下的数是,直到黑板上剩下一个数为止问黑板上剩下的数是 奇数还是偶数?为什么?奇数还是偶数?为什么? 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】根据等差数列求和公式,可知开始时黑板上所有数的和为12320082009 1004是一个 偶数, 而每一次“操作”, 将a、b两个数变成了()ab, 它们的和减少了2b, 即减少了一个偶数 那 么从整体上看,总和减少了一个偶数,其奇偶性不变,还是一个偶数所以每次操作后黑板上剩 下的数的和都是偶数,那么最后黑板上剩下一个数时,这个数是个偶数 【答案】偶数 【例【例 8】 桌上有一堆石子共桌上有一堆石
20、子共 1001 粒粒。第一步从中扔去一粒石子第一步从中扔去一粒石子,并把余下的石子分成两堆并把余下的石子分成两堆。以后的每一以后的每一 步步,都从某个石子数目多于都从某个石子数目多于 1 的堆中扔去一粒的堆中扔去一粒,再把某一堆分作两堆再把某一堆分作两堆。问问:能否在若干步之后能否在若干步之后, 桌上的每一堆中都刚好有桌上的每一堆中都刚好有 3 粒石子?粒石子? 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】不可能事实上,如果可能的话,那么假定最后在桌上剩下了n堆石子,每堆 3 粒,则在此之前 一共进行了(1)n 次操作(开始时只有一堆石子,每操作一次,多分出一堆,操作1n 次后分成
21、n堆) 而每操作一次,都扔去一粒石子,所以一共扔去(1)n 粒石子因此,3(1)1001nn, 得到41002n ,但 1002 不是 4 的倍数,说明n不是整数,导致矛盾所以不可能 【答案】不可能 【巩固】【巩固】 有有 3 堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一 石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆 开始时开始时, 第一堆有第一堆有 1989 块石子块石子, 第二堆有第二堆有 989 块石子,第三堆有块石子,第三堆有 89 块
22、石子块石子问,能否做到:问,能否做到:某某 2 堆石子全部取光?堆石子全部取光?3 堆中的所有石子都堆中的所有石子都 被取走?被取走? 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】要使得某两堆石子全部取光,只需使得其中有两堆的石子数目一样多,那么如果我们把最少的一 堆先取光,只要剩下的两堆中有一堆数目是偶数,再平分一下就可以实现了而题中数字正好能 满足要求所以,全部取光两堆是可以的 对于第二个问题,要取走全部 3 堆,则必须 3 堆石子的总数是 3 的倍数才有可能,但 1989、989、 89 之和并非 3 的倍数,所以是不可能的 可以取光其中的两堆石子如进行如下的操作: 第 1 堆
23、第二堆第三堆 198998989 19009000(第一步:三堆各取走 89 块) 1900450450 (第二步:第二堆 900 是偶数,将其一半移入第三堆) 145000(第三步:三堆各取走 450 块) 不能将三堆全部取光 因为每一次取走石子是从三堆中同时取走相同数目的石子,那么每次 取走的石子数都是 3 的倍数,则不论怎么取,取走的石子总数是 3 的倍数, 而1989989893067,3067 被 3 除余 1,不是 3 的整数倍,所以不能将三堆石子全部取光 【答案】可以;不能 【例【例 9】 今有今有 101 枚硬币,其中有枚硬币,其中有 100 枚同样的真币和枚同样的真币和 1
24、枚伪币,伪币和真币的重量不同现需弄清楚枚伪币,伪币和真币的重量不同现需弄清楚 伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平,那么怎样利用这架天平称两次,来达伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平,那么怎样利用这架天平称两次,来达 到目的?到目的? 【考点】游戏与策略【难度】3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】101 枚硬币,如果进行称重的话应该保证天平两边的硬币数相等因此应该首先拿掉一个,把剩 下的 100 枚硬币在天平两边各放 50 个如果这时天平两边重量相等的话,就说明剩下的那个是 伪币只要任意拿出一个真币和这个伪币再称一次就可以知道真币和伪币那种比较重了 如果天平两边重
25、量不相等的话, 就是说伪币还在这 100 个硬币中 可以拿出其中比较轻的 50 个 这 时同样还是把他们分成两个 25 枚,分到天平两边称重 如果两边重量相等,说明这 50 个硬币都是真的伪币在比较重的那 50 个中,因此伪币就应该比 真币重如果两边重量不相等,说明伪币就在这 50 个比较轻的硬币中,显然伪币就应该比真币 8-7.游戏与策略.题库教师版page 5 of 24 轻同样道理,也可以把比较重的那 50 个硬币分成两个 25 进行称重,同样也可以得出结论 【巩固】【巩固】 9 个金币中,有一个比真金币轻的假金币,你能用天平称两次就找出来吗(天平无砝码)个金币中,有一个比真金币轻的假金
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