小学奥数习题教案-4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型(二).教师版.doc
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1、4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 1 of 10 例题精讲例题精讲 板块一三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积底高2 从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小); 如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小); 这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化但是,当三角形的底和高同时发生 变化时,三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍,底变为原来的 1 3 ,则三角形面积与原来的一 样这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高
2、和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化同时 也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状 在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论: 等底等高的两个三角形面积相等; 两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图 12 :SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图 ACDBCD SS ; 反之,如果 ACDBCD SS ,则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; 两个平行四边形高相等,面积比等于它们
3、的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比 板块二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角相等角或互补角)两夹边的乘积之比两夹边的乘积之比 如图在如图在ABC中,中,,D E分别是分别是,AB AC上的点如图上的点如图 (或或D在在BA的延长线上,的延长线上,E在在AC上上), 则则:():() ABCADE SSABACADAE 图图 【例【例 1】 如图在如图在ABC中,中,,D E分别是分别是,AB AC上的点,且上的
4、点,且:2:5AD AB ,:4:7AE AC ,16 ADE S 平平 4-3-2.4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型三角形等高模型与鸟头模型 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 2 of 10 方厘米,求方厘米,求ABC的面积的面积 ? E ? D ? C ? B ? A ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】连接BE,:2:5(24):(54) ADEABE SSAD AB , :4:7(45):(75) ABEABC SSAE AC ,所以:(24):(75) ADEABC SS ,设8 ADE S 份,
5、则35 ABC S 份,16 ADE S 平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,ABC的 面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相 等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】70 【巩固】如图,三角形【巩固】如图,三角形ABC中,中,AB是是AD的的 5 倍,倍,AC是是AE的的 3 倍,如果三角形倍,如果三角形ADE的面积等于的面积等于 1,那,那 么三角形么三角形ABC的面积是多少?的面积是多少? ? E ? D ? C ? B ? A ? A ? B ? C ? D ? E 【考点】三角形的鸟头模型【难度】2 星【题型】解答
6、 【解析】连接BE 3ECAE 3 ABCABE SS 又5ABAD 515 ADEABEABC SSS ,1515 ABCADE SS 【答案】15 【巩固【巩固】如图如图,三角形三角形 ABC 被分成了甲被分成了甲(阴影部分阴影部分)、乙两部分乙两部分,4BDDC,3BE ,6AE ,乙部分面乙部分面 积是甲部分面积的几倍?积是甲部分面积的几倍? ? 乙 ? 甲 ? E ? D ? C ? B ? A ? A ? B ? C ? D ? E ? 甲 ? 乙 【考点】三角形的鸟头模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】连接AD 3BE ,6AE 3ABBE,3 ABDBDE SS 又4BDD
7、C, 2 ABCABD SS ,6 ABCBDE SS ,5SS 乙甲 【答案】5 【例【例 2】 如图在如图在ABC中,中,D在在BA的延长线上,的延长线上,E在在AC上,且上,且:5:2AB AD , :3:2AE EC ,12 ADE S 平方厘米,求平方厘米,求ABC的面积的面积 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 3 of 10 ? E ? D ? C ? B ? A ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】连接BE,:2:5(23):(5 3) ADEABE SSAD AB :3:(32)(3 5): (3
8、2)5 ABEABC SSAE AC , 所以:(32): 5(32)6:25 ADEABC SS ,设6 ADE S 份,则25 ABC S 份,12 ADE S 平方厘 米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,ABC的面积是50平方厘米由此我们得到 一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50 【例【例 3】 如图所示,在平行四边形如图所示,在平行四边形 ABCD 中,中,E 为为 AB 的中点,的中点,2AFCF,三角形,三角形 AFE(图中阴影部分图中阴影部分)的的 面积为面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方
9、厘米?平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米? 【考点】三角形的鸟头模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】连接 FB三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的 2 倍,而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的 2 倍,所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 3 倍;又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积 的 2 倍,所以平行四边形的面积是三角形 AFE 面积的326()倍因此,平行四边形的面积为 8648(平方厘米) 【答案】48 【例【例 4】 已知已知DEF的面积为的面积为7平方厘米,平方厘米,,2,3BECE ADBD CFAF,求,求ABC的面积的面积 ? F
10、 ? E ? D ? C ? B ? A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】3 星【题型】解答 【解析】:():()(1 1):(23)1:6 BDEABC SSBDBEBABC , :():()(1 3):(24)3:8 CEFABC SSCECFCBCA :():()(2 1):(34)1:6 ADFABC SSADAFABAC 设24 ABC S 份,则4 BDE S 份,4 ADF S 份,9 CEF S 份,244497 DEF S 份,恰好是7 平方厘米,所以24 ABC S 平方厘米 【答案】24 【例【例 5】 如图如图 16-4,已知,已知AE= 1 5 AC,CD= 1 4
11、BC,BF= 1 6 AB,那么,那么 DEF ABC? 三角形的面积 三角形的面积 等于多少等于多少? 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 4 of 10 【考点】三角形的鸟头模型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】迎春杯,决赛,第一题,9 题 【解析】如下图,连接 AD,BE,CF. 有ABE, ABC 的高相等, 面积比为底的比, 则有 ABE ABC S S = AE AC , 所以 ABE S= AE AC ABC S= 1 5 ABC S 同理有 AEF S= AF AB ABE S,即= AEF S= 1 5 5 6 ABC S= 1 6 ABC S. 类似的还
12、可以得到 CDE S= 1 4 4 5 ABC S= 1 5 ABC S, BDF S= 1 6 1 3 ABC S= 1 8 ABC S 所以有 DEF S= ABC S-( AEF S+ CDE S+ BDF S)=(1- 1 6 - 1 5 - 1 8 ) ABC S= 61 120 ABC S 即 DEF ABC? 三角形的面积 三角形的面积 为 61 120 【答案】 61 120 【例【例 6】 如图,三角形如图,三角形ABC的面积为的面积为 3 平方厘米,其中平方厘米,其中:2:5AB BE ,:3:2BC CD ,三角形,三角形BDE的面的面 积是多少?积是多少? ? A ?
13、B ? E ? C ? D ? D ? C ? E ? B ? A 【考点】三角形的鸟头模型【难度】2 星【题型】解答 【解析】由于180ABCDBE ,所以可以用共角定理,设2AB 份,3BC 份,则5BE 份, 325BD 份,由共角定理:():()(23):(5 5)6:25 ABCBDE SSABBCBEBD ,设 6 ABC S 份,恰好是3平方厘米,所以1份是0.5平方厘米,25份就是250.512.5平方厘米,三角 形BDE的面积是12.5平方厘米 【答案】12.5 【例【例 7】 如图所示如图所示,正方形正方形ABCD边长为边长为 6 厘米厘米, 1 3 AEAC, 1 3 C
14、FBC三角形三角形DEF的面积为的面积为_ 平方厘米平方厘米 【考点】三角形的鸟头模型【难度】3 星【题型】解答 4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型 题库page 5 of 10 【关键词】走美杯,五年级,初赛 【解析】由题意知 1 3 AEAC、 1 3 CFBC,可得 2 3 CEAC根据”共角定理”可得, :():()1 2 :(3 3)2:9 CEFABC SSCFCECBAC ;而66218 ABC S ;所以4 CEF S ; 同理得,:2:3 CDEACD SS ;,183212 CDE S ,6 CDF S 故412610 DEFCEFDECDFC SSSS (平方厘米) 【
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