小学奥数习题教案-3-3-2 行程综合问题.教师版.doc
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1、3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 1 of 13 行程综合问题行程综合问题 教学目标教学目标 1. 运用各种方法解决行程内综合问题。 2. 发现一些综合问题中,行程与其它模块的联系,并解决奥数综合问题。 知识精讲知识精讲 行程问题是奥数中的一个难点,内容多而杂。而在行程问题中,还有一些尤其复杂的综合问题。它们 大致可以分为两类: 一、行程内综合,把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中,这就是一道行程内综合 题目。例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起,把流水行船和发车间隔结合起来等等。 二、学科内综合,这种问题就不只是行程问题了,把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合 在一
2、起,这种综合性题目的难度也很大,比如行程与策略综合等等。 本讲内容主要就是针对这种综合性题目。虽然题目难度偏大,但是这种题目在杯赛和小升初试题中是 很受“偏爱”的。所以很重要。 模块一、行程内综合 【例【例 1】 邮递员早晨邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里,从邮局开始要走时出发送一份邮件到对面山里,从邮局开始要走 12 千米上坡路,千米上坡路,8 千米下坡路千米下坡路。 他上坡时每小时走他上坡时每小时走 4 千米,下坡时每小时走千米,下坡时每小时走 5 千米,到达目的地停留千米,到达目的地停留 1 小时以后,又从原路返小时以后,又从原路返 回,邮递员什么时候可以回到邮局回,邮递员什么
3、时候可以回到邮局? 【考点】变速问题与走停问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】法一:先求出去的时间,再求出返回的时间,最后转化为时刻。邮递员到达对面山里需时间: 124+85=4.6(小时);邮递员返回到邮局共用时间:84+125+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时) 邮递员回到邮局时的时刻是:7+10-12=5(时).邮递员是下午 5 时回到邮局的。 法二:从整体上考虑,邮递员走了(12+8)千米的上坡路,走了(12+8)千米的下坡路,所以共 用时间为: (12+8)4+(12+8)5+1=10(小时),邮递员是下午 7+10-12=5(时) 回到邮局的。 【答案】5
4、时 【例【例 2】 小红上山时每走小红上山时每走 30 分钟休息分钟休息 10 分钟分钟,下山时每走下山时每走 30 分钟休息分钟休息 5 分钟分钟已知小红下山的速度是已知小红下山的速度是 上山速度的上山速度的1.5倍,如果上山用了倍,如果上山用了 3 小时小时 50 分,那么下山用了多少时间?分,那么下山用了多少时间? 【考点】变速问题与走停问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】上山用了 3 小时 50 分,即60350230 (分),由2303010530 (),得到上山休息了 5 次, 走了230105180(分)因为下山的速度是上山的1.5倍,所以下山走了1801.5120 (分)由
5、120304知,下山途中休息了 3 次,所以下山共用1205 3135 (分)2小时 15 分 【答案】2小时 15 分 【例【例 3】 已知猫跑已知猫跑 5 步的路程与狗跑步的路程与狗跑 3 步的路程相同;猫跑步的路程相同;猫跑 7 步的路程与兔跑步的路程与兔跑 5 步的路程相同而猫步的路程相同而猫跑跑 3 步的时间与狗跑步的时间与狗跑 5 步的时间相同;猫跑步的时间相同;猫跑 5 步的时间与兔跑步的时间与兔跑 7 步的时间相同,猫、狗、兔沿着步的时间相同,猫、狗、兔沿着 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 2 of 13 周长为周长为 300 米的圆形跑道米的圆形跑道, 同时同
6、向同地出发同时同向同地出发 问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程? 【考点】环形跑道与猎狗追兔【难度】5 星【题型】解答 【解析】方法一:由题意,猫与狗的速度之比为9:25,猫与兔的速度之比为25:49 设单位时间内猫跑 1 米,则狗跑 25 9 米,兔跑 49 25 米 狗追上猫一圈需 25675 3001 94 单位时间, 兔追上猫一圈需 49625 3001 252 单位时间 猫、狗、兔再次相遇的时间,应既是 675 4 的整数倍,又是 625 2 的整数倍 675 4 与 625 2 的最小公倍数等于两个分数中,分子的最小公倍数除以分母的最
7、大公约数,即 675,625 675 62516875 ,8437.5 424,22 上式表明,经过8437.5个单位时间,猫、狗、兔第一次相遇 此时,猫跑了8437.5米,狗跑了 25 8437.523437.5 9 米,兔跑了 49 8437.516537.5 25 米 方法二:根据题意,猫跑 35 步的路程与狗跑 21 步的路程、兔跑 25 步的路程相等;而猫跑 15 步 的时间与狗跑 25 步、兔跑 21 步的时间相同 所以猫、狗、兔的速度比为 15 25 21 : 35 21 25 ,它们的最大公约数为 15,25,2115 25 211 , 35 21 2535,21,253 5
8、57 , 即设猫的速度为 151 225 353 557 ,那么狗的速度为 251 625 213 557 ,则兔的速度为 211 441 253 557 于是狗每跑 3 300(625225) 4 单位时追上猫; 兔每跑 25 300(441225) 18 单位时追上猫 而 3,25 3 2575 , 4 184,182 ,所以猫、狗、兔跑了 75 2 单位时,三者相遇 猫跑了 75 2258437.5 2 米,狗跑了 75 62523437.5 2 米,兔跑了 75 44116537.5 2 米 【答案】16537.5米 【例【例 4】 甲甲、乙两人沿乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步米
9、环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后相遇后 甲比原来速度增加甲比原来速度增加 2 米秒,乙比原来速度减少米秒,乙比原来速度减少 2 米秒,结果都用米秒,结果都用 24 秒同时回到原地。秒同时回到原地。 求甲原来的速度。求甲原来的速度。 【考点】环形跑道与变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】因为相遇前后甲,乙的速度和没有改变,如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒,则相遇前两人和跑 一圈也用 24 秒。以甲为研究对象,甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以(V +2 )跑了 24 秒的 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版p
10、age 3 of 13 路程之和等于 400 米,24V +24(V +2 )=400 易得 V = 1 7 3 米/秒 【答案】 1 7 3 米/秒 【例【例 5】 环形跑道周长是环形跑道周长是 500 米,甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑米,甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑 120 米,乙每分米,乙每分 跑跑 100 米,两人都是每跑米,两人都是每跑 200 米停下休息米停下休息 1 分。甲第一次追上乙需多少分?分。甲第一次追上乙需多少分? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】55 分。解:甲比乙多跑 500 米,应比乙多休息 2 次,
11、即 2 分。在甲多休息的 2 分内,乙又跑了 200 米,所以在与甲跑步的相同时间里,甲比乙多跑 500200700(米) ,甲跑步的时间为 700 (120100)35(分) 。共跑了 120354200(米) ,中间休息了 42002001 20(次) ,即 20 分。所以甲第一次追上乙需 352055(分) 。 【答案】55 分 【例【例 6】 甲甲、乙两人同时同地同向出发乙两人同时同地同向出发,沿环形跑道匀速跑步沿环形跑道匀速跑步如果出发时乙的速度是甲的如果出发时乙的速度是甲的2.5倍倍,当乙当乙 第一次追上甲时第一次追上甲时,甲的速度立即提高甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即减少
12、而乙的速度立即减少20%,并且乙第一次追上甲的并且乙第一次追上甲的 地点与第二次追上甲的地点相距地点与第二次追上甲的地点相距 100 米,那么这条环形跑道的周长是米,那么这条环形跑道的周长是米米 【考点】环形跑道与变速问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】如图,设跑道周长为 1,出发时甲速为 2,则乙速为 5假设甲、乙从A点同时出发,按逆时针方 向跑由于出发时两者的速度比为2:5,乙追上甲要比甲多跑 1 圈,所以此时甲跑了 2 1(52)2 3 ,乙跑了 5 3 ;此时双方速度发生变化,甲的速度变为2(125%)2.5,乙的速 度变为5(120%)4,此时两者的速度比为2.5:45:8;乙要
13、再追上甲一次,又要比甲多跑 1 圈,则此次甲跑了 5 1(85)5 3 ,这个 5 3 就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程从 环形跑道上来看,第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离,既可能是 52 1 33 个周长,又可 能是 51 2 33 个周长 那么,这条环形跑道的周长可能为 2 100150 3 米或 1 100300 3 米 【答案】300米 【例【例 7】 如图所示如图所示,甲甲、乙两人从长为乙两人从长为400米的圆形跑道的米的圆形跑道的A点背向出发跑步点背向出发跑步。跑道右半部分跑道右半部分(粗线部分粗线部分) 道路比较泥泞,所以两人的速度都将减慢,在正常的跑道上甲、乙速
14、度均为每秒道路比较泥泞,所以两人的速度都将减慢,在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米,而在泥米,而在泥 泞道路上两人的速度均为每秒泞道路上两人的速度均为每秒4米米。两人一直跑下去两人一直跑下去,问问:他们第他们第 99 次迎面相遇的地方距次迎面相遇的地方距A点点 还有还有米。米。 ? A 【考点】环形跑道与变速问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】本题中,由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同,可以发现,如果甲、乙各自绕 着圆形跑道跑一圈,两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同,那么两人所用的总时间 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 4 of 13 也就相同,所
15、以,两人同时出发,跑一圈后同时回到A点,即两人在A点迎面相遇,然后再从A 点出发背向而行,可以发现,两人的行程是周期性的,且以一圈为周期 在第一个周期内,两人同时出发背行而行,所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇,这是两人 第一次迎面相遇,然后回到出发点是第二次迎面相遇;然后再出发,又在同一个相遇点第三次相 遇,再回到出发点是第四次相遇可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点,偶数次相遇点都是 A点 本题要求的是第 99 次迎面相遇的地点与A点的距离, 实际上要求的是第一次相遇点与A点 的距离 对于第一次相遇点的位置,需要分段进行考虑:由于在正常道路上的速度较快,所以甲从出发到 跑完正常道路时,乙才
16、跑了20084100 米,此时两人相距 100 米,且之间全是泥泞道路,此 时两人速度相同,所以再各跑 50 米可以相遇所以第一次相遇时乙跑了10050150米,这就 是第一次相遇点与A点的距离,也是第 99 次迎面相遇的地点与A点的距离 【答案】150米 【例【例 8】 甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练:他们同时从同一地点出发,沿相反方向跑,每甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练:他们同时从同一地点出发,沿相反方向跑,每 人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲速度的人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈,跑第一圈时,乙的速度是甲速度的 2/3
17、.甲甲 跑第二圈时速度比第一圈提高了跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3;乙跑第二圈时速度提高了;乙跑第二圈时速度提高了 1/5已知沿跑道看从甲、乙两已知沿跑道看从甲、乙两 人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米,那么这条椭圆形跑道长多少米米,那么这条椭圆形跑道长多少米? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】3 星【题型】解答 【解析】设甲跑第一圈的速度为 3,那么乙跑第一圈的速度为 2,甲跑第二圈的速度为 4,乙跑第二圈的速 度为 12 5 .如下图: 第一次相遇地点逆时针方向距出发点 3 5 的跑道长度 有甲回到出发点时, 乙才跑了 2
18、3 的跑道长度. 在乙接下来跑了 1 3 跑道的距离时, 甲以“4”的速度跑了 12 24 33 圈 所以还剩下 1 3 的跑道长度, 甲以 4 的速度,乙以 12 5 的速度相对而跑,所以乙跑了 11212 4 355 1 8 圈.也就是第二次相 遇点逆时针方向距出发点 1 8 圈即第一次相遇点与第二次相遇点相差 3119 5840 圈,所以,这条 椭圆形跑道的长度为 19 190400 40 米 【答案】400米 【例【例 9】 如图如图 3-5,正方形正方形 ABCD 是一条环形公路是一条环形公路已知汽车在已知汽车在 AB 上时速是上时速是 90 千米千米,在在 BC 上的时速上的时速是
19、是 120 千米,在千米,在 CD 上的时速是上的时速是 60 千米千米,在在 DA 上的时速是上的时速是 80 千米从千米从 CD 上一点上一点 P,同时反向各同时反向各 发出一辆汽车发出一辆汽车,它们将在它们将在 AB 中点相遇中点相遇 如果从如果从 PC 的中点的中点 M,同时反向各发出一辆汽车同时反向各发出一辆汽车,它们将它们将在在 AB 上一点上一点 N 相遇问相遇问 A 至至 N 的距离除以的距离除以 N 至至 B 的距离所得到的商是多少的距离所得到的商是多少? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】2 星【题型】解答 【解析】如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形
20、ABCD 的边长为单位“1”. 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 5 of 13 有甲从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为 608090 PDDAAO 10.5 608090 PD . 乙从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为 6012090 PCBCBO 10.5 6012090 PD . 有甲、乙同时从 P 点出发,则在 AB 的中点 O 相遇,所以有: 1 6080 PD = 1 60120 PC 且有 PD=DC-PC=1-PC,代入有 11 6080 PC 1 60120 PC ,解得 PC= 5 8 . 所以 PM=MC= 5 16 ,DP= 3 8 . 现在甲
21、、乙同时从 PC 的中点出发,相遇在 N 点,设 AN 的距离为x. 有甲从 M 到达 N 点所需时间为 608090 MDDAAN 35 1 816 608090 x ; 乙从 M 到达 N 点所需时间为 6012090 MCCBBN 5 11 16 6012090 x . 有 35 1 816 608090 x 5 11 16 6012090 x ,解得 1 32 x .即 AN= 1 32 . 所以 ANBN 131 3232 1 31 【答案】 1 31 【例【例 10】一条环形道路,周长为一条环形道路,周长为 2 千米甲、乙、丙千米甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发,每人环行人从同一
22、点同时出发,每人环行 2 周现有自行周现有自行 车车 2 辆辆,乙和丙骑自行车出发乙和丙骑自行车出发,甲步行出发甲步行出发,中途乙和丙下车步行中途乙和丙下车步行,把自行车留给其他人骑把自行车留给其他人骑已已 知甲步行的速度是每小时知甲步行的速度是每小时 5 千米,乙和丙步行的速度是每小时千米,乙和丙步行的速度是每小时 4 千米,千米,3 人骑车的速度都是每人骑车的速度都是每 小时小时 20 千米千米请你设计一种走法请你设计一种走法,使使 3 个人个人 2 辆车同时到达终点辆车同时到达终点那么环行那么环行 2 周最少要用多少周最少要用多少 分钟分钟? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】4 星【题
23、型】解答 【解析】如果甲、乙、丙均始终骑车,则甲、乙、丙同时到达,单位“1”的路程只需时间 1 20 ;乙、丙情况 类似,所以先只考虑甲、乙,现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程,耽搁的时间比为: 1111 :3:4 520420 而他们需同时出发,同时到达,所以耽搁的时间应相等于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比, 即为 4:3;因为丙的情形与乙一样,所以甲、乙、丙三者步行距离比为 4:3:3 因为有 3 人,2 辆自行车,所以,始终有人在步行,甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长 于是,甲步行的距离为 2 4 433 =0.8 千米;则骑车的距离为 22-0.8=3.2 千米; 所
24、以甲需要时间为( 0.83.2 520 )60=19.2 分钟 环形两周的最短时间为 19.2 分钟 3-3-2.比例解行程问题.题库学生版page 6 of 13 参考方案如下:甲先步行 0.8 千米,再骑车 3.2 千米; 乙先骑车 2.8 千米,再步行 0.6 千米,再骑车 0.6 千米(丙留下的自行车) ; 丙先骑车 3.4 千米,再步行 0.6 千米 【答案】19.2 分钟 【例【例 11】甲、乙两人在甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行米圆形跑道上进行 10000 米比赛两人从起点同时同向出发,开始时甲的速米比赛两人从起点同时同向出发,开始时甲的速 度为每秒度为每秒 8 米,乙的
25、速度为每秒米,乙的速度为每秒 6 米当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少米当甲每次追上乙以后,甲的速度每秒减少 2 米,乙的速米,乙的速 度每秒减少度每秒减少 0.5 米这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速米这样下去,直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始,两人都把自己的速 度每秒增加度每秒增加 O.5 米,直到终点那么领先者到达终点时,另一人距终点多少米米,直到终点那么领先者到达终点时,另一人距终点多少米? 【考点】环形跑道与变速问题【难度】4 星【题型】解答 【解析】 对于这道题只能详细的分析逐步推算,以获得解答 先求出当第一次甲追上乙时的详细情况,因为甲乙同向,
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