小学奥数习题教案-2-2-3 不定方程与不定方程组.教师版.doc
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1、3-2-3.不定方程与不定方程组.题库教师版page 1 of 4 教学目标教学目标 1.利用整除及奇偶性解不定方程 2.不定方程的试值技巧 3.学会解不定方程的经典例题 知识精讲知识精讲 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称 不定方程为丢番图方程中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题, 公元5世纪的张丘建算经中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究宋代数学家秦九韶的 大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来 考点说明 在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外
2、,不定方程还经常作为解题的重要方 法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重 要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具 解题。 二、不定方程基本定义 1、定义:、定义:不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组) 。 2、不定方程的解:、不定方程的解:使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解,不定方程的解不唯一。 3、研究不定方程要解决三个问题:、研究不定方程要解决三个问题:判断何时有解;有解时确定解的个数;求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 1、奇偶性 2、整除的特点(
3、能被 2、3、5 等数字整除的特性) 3、余数性质的应用(和、差、积的性质及同余的性质) 例题精讲例题精讲 模块一、利用整除性质解不定方程 【例【例 1】 求方程求方程 2x3y8 的整数解的整数解 【考点】不定方程【难度】2 星【题型】解答 【解析】方法一方法一:由原方程,易得 2x83y,x4 3 2 y,因此,对 y 的任意一个值,都有一个 x 与之对应, 不定方程与不定方程组不定方程与不定方程组 3-2-3.不定方程与不定方程组.题库教师版page 2 of 4 并且,此时 x 与 y 的值必定满足原方程,故这样的 x 与 y 是原方程的一组解,即原方程的解可表为: 3 4 2 xk
4、yk ,其中 k 为任意数说明由 y 取值的任意性,可知上述不定方程有无穷多组解 方法二:方法二:根据奇偶性知道 2x 是偶数,8 为偶数,所以若想 2x3y8 成立,y 必为偶数, 当 y0,x4;当 y2,x7;当 y4,x10,本题有无穷多个解。 【答案】无穷多个解 【巩固】 求方程求方程 2x6y9 的整数解的整数解 【考点】不定方程【难度】2 星【题型】解答 【解析】因为 2x6y2(x3y),所以,不论 x 和 y 取何整数,都有 2|2x6y,但 29,因此,不论 x 和 y 取什么整数,2x6y 都不可能等于 9,即原方程无整数解 说明:说明:此题告诉我们并非所有的二元一次方程
5、都有整数解。 【答案】无整数解 【例【例 2】 求方程求方程 4x10y34 的正整数解的正整数解 【考点】不定方程【难度】2 星【题型】解答 【解析】因为 4 与 10 的最大公约数为 2,而 2|34,两边约去 2 后,得 2x5y17,5y 的个位是 0 或 5 两种 情况,2x 是偶数,要想和为 17,5y 的个位只能是 5,y 为奇数即可;2x 的个位为 2,所以 x 的取值 为 1、6、11、16 x1 时,172x15,y3, x6 时,172x 5,y1, x11 时,172x17 22,无解 所以方程有两组整数解为: 16 , 31 xx yy 【答案】 16 , 31 xx
6、 yy 【巩固】 求方程求方程 3x5y12 的整数解的整数解 【考点】不定方程【难度】2 星【题型】解答 【解析】由 3x5y12,3x 是 3 的倍数,要想和为 12(3 的倍数) ,5y 也为 3 的倍数,所以 y 为 3 的倍数即 可,所以 y 的取值为 0、3、6、9、12 y0 时,125y12,x4, x3 时,125y1215,无解 所以方程的解为: 4 0 x y 【答案】 4 0 x y 【巩固】 解不定方程:解不定方程:2940 xy(其中(其中 x,y 均为正整数)均为正整数) 【考点】不定方程【难度】2 星【题型】解答 【解析】方法一:2x 是偶数,要想和为 40(偶
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