（新教材）2022年人教B版数学选择性必修第一册同步练习：1.2.2　空间中的平面与空间向量（含解析）.doc

1、课后同步练习(五)空间中的平面与空间向 量 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1设 A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM n0 的点 M 构成的图形是() A圆B直线C平面D线段 CM 构成的图形经过点 A，且是以 n 为法向量的平面 2在菱形 ABCD 中，若PA 是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立 的是() APA AB BPA CD CPC BD DPC AB D由题意知 PA平面 ABCD，所以与平面上的线 AB，CD 都垂直，A，B 正确又因为菱形的对角线互相垂直，又 AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影且 ACBD，由三垂线定理的逆定理

2、知 PCBD，故 C 正确 3设(2，2，1)是平面的法向量，a(3，4，2)是直线 l 的方向向量， 则直线 l 与平面的位置关系是() A平行或直线在平面内B垂直 C相交但不垂直D不能确定 A(2，2，1)是平面的法向量， a(3，4，2)是直线 l 的方向向量， a6820， 直线 l 与平面的位置关系是平行或直线在平面内 4平面经过三点 O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面的法向量 可以是() A(1，0，1)B(1，0，1) C(0，1，1)D(1，1，0) D平面经过三点 O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)， OA (2，2，0)，OB (

3、0，0，2)， 设平面的一个法向量 n(x，y，z)， 则 nOA，2x2y0， nOB，2z0， 取 x1，得 n (1，1，0)， 平面的法向量可以是(1，1，0) 5(多选题)已知平面内有一点 M(1，1，2)，平面的一个法向量为 n(6， 3，6)，则下列点中，在平面内的是() A(2，3，3)B(1，1，3) C 1 2， 1 2， 10 3D(2，2，3) AB设平面内一点 P(x，y，z)，则MP (x1，y1，z2) n(6，3，6)是平面的法向量， nMP ，即 nMP 6(x1)3(y1)6(z2)6x3y6z210 把各选项代入上式可知 A、B 适合 二、填空题 6已知直

4、线 l平面，且直线 l 的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为 1，1 2，2，则 m_ 8直线 l平面，直线 l 的方向向量与平面的法向量垂直，即 21 m1 2120，m8 7在平面 ABC 中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(1，0，1)，若 a(1， y，z)，且 a 为平面 ABC 的一个法向量，则 yz_ 1AB (1，1，0)，AC (1，1，2)， a(1，y，z)为平面 ABC 的一个法向量， aAB 0，aAC 0， 1y0，1y2z0， 联立解得 y1，z0，yz1 8如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，PD底 面 ABCD

5、，且 PD1，若 E，F 分别为 PB，AD 的中点，则直线 EF 与平面 PBC 的 位置关系是_ 垂直以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系(图略)，则 E 1 2， 1 2， 1 2 ， F 1 2，0，0， EF 0，1 2， 1 2 平面 PBC 的一个法向量 n(0，1，1)， EF 1 2n，EF n，EF平面 PBC 三、解答题 9 如图所示， 已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形， ABCBCD90， ABBCPBPC2CD，侧面 PBC底面 ABCD求证：PABD 证明如图，取 BC 的中点 O，连接 AO 交 BD

6、 于点 E，连接 PO 因为 PBPC，所以 POBC 又平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCDBC， 所以 PO平面 ABCD，所以 AP 在平面 ABCD 内的射影为 AO 在直角梯形 ABCD 中， 由于 ABBC2CD， 易知 RtABORtBCD， 所以BEOOABDBADBCDBA90，即 AOBD 由三垂线定理，得 PABD 10如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2， AF1，M 是线段 EF 的中点求证：AM平面 BDF 证明以 C 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A( 2，2， 0)， B(0，2，0)，

7、D( 2，0，0)，F( 2，2，1)， M 2 2 ， 2 2 ，1 所以AM 2 2 ， 2 2 ，1 ， DF (0，2，1)，BD ( 2， 2，0) 设 n(x，y，z)是平面 BDF 的一个法向量， 则 nBD ，nDF ， 所以 nBD， 2x 2y0， nDF， 2yz0， xy， z 2y， 取 y1，得 x1，z 2， 则 n(1，1， 2) 因为AM 2 2 ， 2 2 ，1 ， 所以 n 2AM ，得 n 与AM 共线 所以 AM平面 BDF 1(多选题)给出下列命题，其中为真命题的是() A直线 l 的方向向量为 a(1，1，2)，直线 m 的方向向量 b 2，1，1

8、 2 ， 则 l 与 m 垂直 B直线 l 的方向向量 a(0，1，1)，平面的法向量 n(1，1，1)，则 l C平面，的法向量分别为 n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，则 D平面经过三点 A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，向量 n(1， u，t)是平面的法向量，则 ut1 AD对于 A，a(1，1，2)，b 2，1，1 2 ， ab12112 1 2 0， ab，直线 l 与 m 垂直，A 正确； 对于 B，a(0，1，1)，n(1，1，1)， an011(1)(1)(1)0， an，l或 l，B 错误； 对于 C，n1(0，1，3)，n2(1，0，2)， n1与

9、 n2不共线， 不成立，C 错误； 对于 D，A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)， AB (1，1，1)，BC (1，1，0)， 向量 n(1，u，t)是平面的法向量， nAB，0， nBC，0， 即 1ut0， 1u0， 则 ut1，D 正确故选 A，D 2(多选题)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E 2 3A 1D，AF1 3AC，则以下结论不正确的是( ) AEF 至多与 A1D，AC 中的一个垂直 BEFA1D，EFAC CEF 与 BD1相交 DEF 与 BD1异面 ACD以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1

10、所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 1，则 A1(1，0，1)，D(0，0， 0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E 1 3，0， 1 3 ， F 2 3， 1 3，0，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， A1D (1，0，1)，AC (1，1，0)，EF 1 3， 1 3， 1 3 ，BD1 (1， 1，1)， EF 1 3BD 1 ，A1D EF 0，AC EF 0， 从而 EFBD1，EFA1D，EFAC 3设 u，v 分别是平面，的法向量，u(2，2，5)，当 v(3，2，2) 时，与的位置关系为_；当 v(4，4，10)时，与

11、的位置关系 为_ u，v 分别为平面，的法向量且 u(2，2，5)， 当 v(3，2，2)时，uv64100， uv，即； 当 v(4，4，10)时，v2u，uv，即 4如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E 为 CD 的中点若在 棱 AA1上取一点 P，使得 DP平面 B1AE，此时 AP 的长为_ 1 2 以 A 为坐标原点， AB ， AD ，AA1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建 立空间直角坐标系(如图所示) 设 ABa，则 A(0，0，0)，D(0，1，0)，E a 2，1，0，B1(a，0，1)，故AB1 (a， 0，1)，AE a 2，1，0

12、再设 P(0，0，z0)， 则DP (0，1，z0)设平面 B1AE 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nAB1，0， nAE，0， axz0， ax 2 y0. 取 x1，得 n 1，a 2，a 要使 DP平面 B1AE，只要 nDP ，则有a 2az 00， 解得 z01 2 又 DP平面 B1AE， 存在点 P，使得 DP平面 B1AE，此时 AP1 2 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 PABCD 中， 侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCD，E 为 PC 中点，点 F 在 PB 上，且 PB平

13、面 DEF，连接 BD，BE (1)证明：DE平面 PBC； (2)试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角；若不是， 说明理由 解(1)证明：因为 PD平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，所以可建立以 D 为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示 不妨令 ADa，DPCDb，则 D(0，0，0)，B(a，b，0)，C(0，b，0)，P(0， 0，b)，E 0，b 2， b 2 ，DE 0，b 2， b 2 ，PB (a，b，b)，PC (0，b，b) 设平面 PBC 的一个法向量为 n(x，y，z)，则 nPB，0， nPC，0， 即 axbybz0， bybz0， 解得 x0， yz， 令 z1，则 n(0，1，1)，所以DE b 2n，所以 DE n，则 DE平面 PBC (2)四面体DBEF是鳖臑 因为BE a，b 2， b 2 ， DE 0，b 2， b 2 ， 所以BE DE 0，所以BED 2由(1)知 DE平面 PBC，因为 EF平面 PBE，所以FED 2因为 PB平面 DEF，所以BFEBFD 2，所以四面体 DBEF 是鳖臑