（新教材）2022年人教B版数学选择性必修第一册同步练习：1.1.2　空间向量基本定理（含解析）.doc

1、课后同步练习(二)空间向量基本定理 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1若 a 与 b 不共线且 mab，nab，p2a，则() Am，n，p 共线Bm 与 p 共线 Cn 与 p 共线Dm，n，p 共面 Dp2amn，即 p 可由 m，n 线性表示，所以 m，n，p 共面 2对空间任一点 O 和不共线三点 A，B，C，能得到 P，A，B，C 四点共面的 是() AOP OA OB OC BOP 1 3OA 1 3OB 1 3OC COP OA 1 2OB 1 2OC D以上皆错 BOP 1 3OA 1 3OB 1 3OC ， 3OP OA OB OC ， OP OA (OB OP )(O

2、C OP )， AP PB PC ， PA PB PC ，P，A，B，C 共面 3给出下列命题： 若a，b，c可以作为空间的一个基底，d 与 c 共线，d0，则a，b，d也 可作为空间的基底；已知向量 ab，则 a，b 与任何向量都不能构成空间的一个 基底；A，B，M，N 是空间四点，若BA ， BM ，BN 不能构成空间的一个基底，那 么 A，B，M，N 共面；已知向量组a，b，c是空间的一个基底，若 mac， 则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是() A1B2C3D4 D根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个 基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然正

3、确中由BA ， BM ，BN 共面且 过相同点 B，故 A，B，M，N 共面 下面证明正确 假设 d 与 a，b 共面，则存在实数，使 dab， d 与 c 共线，c0， 存在实数 k，使 dkc， d0，k0，从而 c ka kb， c 与 a，b 共面与条件矛盾 d 与 a，b 不共面 同理可证也是正确的 4已知正方体 ABCDABCD，点 E 是 AC的中点，点 F 是 AE 的三等分点， 且 AF1 2EF，则AF 等于() AAA 1 2AB 1 2AD B1 2AA 1 2AB 1 2AD C1 2AA 1 6AB 1 6AD D1 3AA 1 6AB 1 6AD D由条件 AF1

4、 2EF 知，EF2AF， AEAFEF3AF， AF 1 3AE 1 3(AA AE ) 1 3(AA 1 2AC ) 1 3AA 1 6(AD AB )1 3AA 1 6AD 1 6AB 5已知 i 与 j 不共线，则存在两个非零常数 m，n，使 kminj 是 i，j，k 共面的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A若 i 与 j 不共线，且存在两个非零常数 m，n，使 kminj，则由共面向 量定理，知 i，j，k 共面若 i 与 j 不共线，且 k 与 i，j 共面，则存在唯一的一对 实数 m，n，使 kminj，但 m，n 不一定为非零常数

5、故选 A 二、填空题 6已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxaybc，若 m 与 n 共线，则 x_，y_ 11因为 m 与 n 共线，所以存在实数，使 mn，即 abcxa ybc， 于是有 1x， 1y， 1， 解得 x1， y1. 7如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 的中点用AB ， AD ，AA1 表示OC1 ，则OC1 _ 1 2AB 1 2AD AA1 OC1 OC CC1 1 2AC AA1 1 2(AB AD )AA1 1 2AB 1 2AD AA1 8如图在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 AC 和 BD 的交点，若AB a，

6、 AD b，AA1 c，则B1M _(用 a，b，c 表示) 1 2a 1 2bc B1M AM AB1 1 2(AB AD )(AB AA1 )1 2AB 1 2AD AA1 1 2a 1 2bc 三、解答题 9如图所示，在平行六面体 ABCDABCD中，AB a，AD b，AA c，P 是 CA的中点，M 是 CD的中点，N 是 CD的中点，点 Q 在 CA上，且 CQQA 41，用基底a，b，c表示以下向量： (1)AP ；(2)AM ；(3)AN ；(4)AQ 解连接 AC，AD，AC(图略) (1)AP 1 2(AC AA ) 1 2(AB AD AA ) 1 2(abc) (2)A

7、M 1 2(AC AD ) 1 2(AB 2AD AA ) 1 2ab 1 2c (3)AN 1 2(AC AD ) 1 2(AB AD AA )(AD AA ) 1 2(AB 2AD 2AA ) 1 2abc (4)AQ AC CQ AC 4 5(AA AC ) 1 5AC 4 5AA 1 5AB 1 5AD 4 5AA 1 5a 1 5b 4 5c 10如图所示，平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别在棱 B1B 和 D1D 上，且 BE1 3BB 1，DF2 3DD 1 (1)证明：A，E，C1，F 四点共面； (2)若EF xAB yAD zAA1 ，求 xyz 的值 解

8、(1)证明：连接 AC1(图略)因为AC1 AB AD AA1 AB AD 1 3AA 1 2 3AA 1 (AB 1 3AA 1 )(AD 2 3AA 1 )(AB BE )(AD DF )AE AF ， 所以AC1 与AE ，AF 共面， 又三者有公共点 A， 所以 A，E，C1，F 四点共面 (2)因为EF AF AE AD DF (AB BE )AD 2 3DD 1 AB 1 3BB 1 AB AD 1 3AA 1 ， x1，y1，z1 3， xyz111 3 1 3 1在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别在棱 BB1，BC， BA 上，且满足BE 3

9、4BB 1 ，BF 1 2BC ，BG 1 2BA ，O 是平面 B1GF、平面 ACE 与平 面 B1BDD1的一个公共点，设BO xBG yBF zBE ，则 xyz() A4 5 B6 5 C7 5 D8 5 B因为BO xBG yBF zBE xBG yBF 3z 4 BB1 ，又 O 在平面 B1GF 内， 所以 xy3z 4 1；同理可得x 2 y 2z1由 O 在平面 B 1BDD1内，易得 xy，解 得 xy1 5，z 4 5，所以 xyz 6 5，故选 B 2如图，M，N 分别是四面体 OABC 的边 OA，BC 的中点，P，Q 是 MN 的 三等分点(Q 靠近点 M)，则用

10、向量OA ， OB ，OC 表示OQ ，正确的是() AOQ 1 3OA 1 6OB 1 6OC BOQ 1 6OA 1 3OB 1 6OC COQ 1 6OA 1 3OB 1 3OC DOQ 1 3OA 1 3OB 1 6OC AM，N 分别是四面体 OABC 的边 OA，BC 的中点，P，Q 是 MN 的三等 分点(Q 靠近点 M)， AB OB OA ，BC OC OB ， MN MA AB BN 1 2OA AB 1 2BC 1 2OA (OB OA )1 2(OC OB ) 1 2OA 1 2OB 1 2OC ， OQ OM MQ 1 2OA 1 3MN 1 2OA 1 6OA 1

11、6OB 1 6OC 1 3OA 1 6OB 1 6OC 3在空间四边形 ABCD 中，AB a2c，CD 5a5b8c，对角线 AC，BD 的中点分别是 E， F， 则EF _ 向量AB ， CD ， EF _(填“能”或“否”) 构成一组基底 3a5 2b3c 否EF 1 2(ED EB )1 4(AD CD )1 4(AB CB )1 4AB 1 4BD 1 4CD 1 4AB 1 4CD 1 4DB 1 2(AB CD )3a5 2b3c 假设AB ， CD ，EF 共面，则EF AB CD a2c5a5b8c( 5)a5b(82)c3a5 2b3c 53， 55 2， 823， 解得

12、1 2， 1 2. EF ， AB ，CD 共面， 不能构成一组基底 4在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为正方体内一动点(包括表面)， 若AP xAB yAD zAA1 ，且 0 xyz1，则点 P 所有可能的位置所构成的几 何体的体积是_ 1 6 根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足 0 xy1 的点 P 在三棱柱 ACDA1C1D1内；满足 0yz1 的点 P 在三棱柱 AA1D1BB1C1内，故 同时满足 0 xy1 和 0yz1 的点 P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即 三棱锥 AA1C1D1，其体积是1 3 1 2111 1 6 如图，在四面体

13、 ABCD 中，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ3QC直线 PQ 与平面 BCD 是否平行？若平行，请给出证明；若 不平行，请说明理由 解直线 PQ平面 BCD，证明如下： 法一：过 P，Q 分别作 PSAD 交 BD 于点 S，QTAD 交 CD 于点 T，连接 ST，如图所示，则PS 1 2MD ，QT 1 4AD 因为MD 1 2AD ，所以PS QT ，所以四边形 PQTS 是平行四边形，则PQ ST 又 PQ平面 BCD，ST平面 BCD，所以 PQ平面 BCD 法二：由图易得PQ PB BC CQ 1 2MB BC 1 4CA 1 2(MA AB )BC 1 2CA 1 4AC 1 2(AB BC CA )1 2MA 1 2BC 1 4AC 1 4(DA AC )1 2BC 1 4DC 1 2BC 由于 PQ平面 BCD，所以 PQ平面 BCD