（新教材）2022年人教B版数学选择性必修第一册教学案：第2章 2.6 2.6.2　双曲线的几何性质.doc

1、2.6.2双曲线的几何性质 学 习 任 务核 心 素 养 1了解双曲线的简单几何性质(范围、 对称性、顶点、实轴长和虚轴长等) 2理解离心率的定义、取值范围和渐近 线方程(重点) 3 能用双曲线的简单几何性质解决一些 简单问题(难点) 1通过对双曲线几何性质的学习， 培养直观想象素养 2借助于几何性质的应用，提升逻 辑推理、数学运算素养 我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0，1)， 它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎 样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行

2、探究吧！HS*9 知识点 1双曲线的几何性质 标准 方程 x2 a2 y 2 b2 1 (a0，b0) y2 a2 x 2 b2 1 (a0，b0) 性质 图形 焦点(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c) 焦距2c 范围xa 或 xa，yRya 或 ya，xR 对称 性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a) 轴实轴：线段 A1A2，长：2a； 虚轴：线段 B1B2，长：2b； 半实轴长：a，半虚轴长：b 离心 率 ec a (1，) 渐近 线 yb a xya b x 1能否用 a，b 表示双曲线的离心率？ 提示能ec a a2

3、b2 a 1b 2 a2 2离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？ 提示有影响，因为 ec a a2b2 a 1b 2 a2 ，故当b a 的值越大，渐近 线 yb a x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口 的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)双曲线y 2 a2 x 2 b2 1(a0，b0)的渐近线方程为 yb a x() (2)离心率越大，双曲线x 2 a2 y 2 b2 1 的渐近线的斜率绝对值越大() 答案(1)(2) 提示(1)由y 2 a2 x 2 b2 1，得 ya b x，

4、所以渐近线方程为 ya b x (2)由b a c2a2 a e21 (e1)，所以 e 越大，渐近线 yb a x 斜率 的绝对值越大 知识点 2等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线是 yx，离心率 e 2 2等轴双曲线的一个焦点是 F1(6，0)，则它的标准方程是() Ay 2 18 x2 181 Bx 2 18 y 2 18 1 Cx 2 8 y 2 8 1Dy 2 8 x 2 8 1 B等轴双曲线的一个焦点是 F1(6，0)， 设等轴双曲线的标准方程为x 2 a2 y 2 a2 1，a0， 且 a2a236，解得 a218 故等轴双曲线的标准方程是x 2 1

5、8 y 2 18 1 类型 1由双曲线的标准方程求其简单的几何性质 【例 1】 (对接教材人教 B 版 P145例 1)求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、 焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程 解将 9y24x236 变形为x 2 9 y 2 4 1， 即x 2 32 y 2 22 1， a3，b2，c 13 ， 因此顶点为 A1(3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为 F1( 13 ，0)，F2( 13 ，0)， 实轴长是 2a6，虚轴长是 2b4， 离心率 ec a 13 3 ， 渐近线方程 yb a x2 3 x 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为

6、标准形式是解决本题的关键 (2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值 (3)由 c2a2b2求出 c 值，从而写出双曲线的几何性质 跟进训练 1求双曲线x 2 3 y 2 4 1 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和 渐近线方程 解由题意知 a23，b24， 所以 c2a2b2347，解得 a 3 ，b2，c 7 因此，双曲线的实轴长 2a2 3 ，虚轴长 2b4 顶点坐标为( 3 ，0)，( 3 ，0)， 焦点坐标为( 7 ，0)，( 7 ，0) 离心率 ec a 7 3 21 3 ， 由于该双曲线的焦点在 x 轴上，所以渐近线方程为 yb a x，即 y2 3 3 x 类型

7、 2由双曲线的几何性质确定标准方程 【例 2】根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程 (1)过点 P(3， 2 )，离心率 e 5 2 ； (2)与双曲线x 2 9 y 2 16 1 有共同的渐近线，且过点(3，2 3 ) 解(1)依题意，双曲线的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，分别讨论如 下： 若双曲线的焦点在 x 轴上， 设双曲线的方程为x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0) 由 e 5 2 ，得c 2 a2 5 4 由点 P(3， 2 )在双曲线上，得 9 a2 2 b2 1 又 a2b2c2，结合，得 a21，b21 4 双曲线的方程为 x2y 2 1 4 1 若双曲线

8、的焦点在 y 轴上， 设双曲线的方程为y 2 a2 x 2 b2 1(a0，b0) 同理有c 2 a2 5 4 ， 2 a2 9 b2 1，a2b2c2， 解得 b217 2 (不合题意，舍去) 故双曲线的焦点只能在 x 轴上， 所求双曲线的方程为 x2y 2 1 4 1 (2)法一：双曲线x 2 9 y 2 16 1 的渐近线方程为 y4 3 x 当所求双曲线的焦点在 x 轴上时， 设标准方程为x 2 a2 y 2 b2 1(a0，b0)， 由题意，得 b a 4 3， 9 a2 12 b21， 解得 a29 4 ，b24 双曲线的方程为x 2 9 4 y 2 4 1 当所求双曲线的焦点在

9、y 轴上时， 设标准方程为y 2 a2 x 2 b2 1(a0，b0)， 由题意可得 a b 4 3， 12 a2 9 b21， 此方程组无解， 所求双曲线的方程为x 2 9 4 y 2 4 1 法二：所求双曲线与双曲线x 2 9 y 2 16 1 有共同的渐近线 设所求双曲线的方程为x 2 9 y 2 16 (0) 将点(3，2 3 )代入，得9 9 12 16 ，即1 4 ， 双曲线的方程为x 2 9 y 2 16 1 4 ，即为x 2 9 4 y 2 4 1 求双曲线的标准方程的方法与技巧 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方 程(组)，但要注意焦点的位

10、置，从而正确选择方程的形式 (2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x 2 a2 y2 b2 (0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性 拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2 a2 y2 b21(a0，b0) (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2 a2 x2 b21(a0，b0) (3)与双曲线x 2 a2 y2 b21 共焦点的双曲线方程可设为 x2 a2 y2 b21(0， b 2 a2) (4)与双曲线x 2 a2 y2 b21 具有相同渐近线的双曲线方程可设为 x2 a2

11、y2 b2(0) (5)渐近线为 ykx 的双曲线方程可设为 k2x2y2(0) (6)渐近线为 axby0 的双曲线方程可设为 a2x2b2y2(0) 跟进训练 2求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为13 5 ； (2)渐近线方程为 y1 2x，且经过点 A(2，3) 解(1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13，又c a 13 5 ， a5，b2c2a2144， 故其标准方程为y 2 25 x2 1441 (2)双曲线的渐近线方程为 y1 2x， 若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，则 b

12、 a 1 2 A(2，3)在双曲线上， 4 a2 9 b21 由联立，无解 若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0)，则 a b 1 2 A(2，3)在双曲线上， 9 a2 4 b21 由联立，解得 a28，b232 所求双曲线的标准方程为y 2 8 x 2 321 类型 3求双曲线的离心率 【例 3】已知 A，B 为双曲线 E 的左、右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等 腰三角形，且顶角为 120，求 E 的离心率 解设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，如图所示，|AB|BM|，ABM 120，过点 M 作 MNx 轴，垂足

13、为 N，在 RtBMN 中，|BN|a，|MN| 3a， 故点 M 的坐标为 M(2a， 3a)，代入双曲线方程得 a2b2，所以 e 2 (变换条件)设 F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两个焦点，若 PF1PF2且PF1F230，求离心率 解在直角三角形 PF1F2中，由题设可知：|F1F2|2c，|PF2|c，|PF1| 3c， 又|PF1|PF2|2a，所以 2a 3cc，ec a 2 31 31 因为 ec a， c a 2b2， 所以 e a2b2 a 又b a e 21， 所以 b2a2(e21) 因 此，在双曲线的四个参数 a，b，c，e 中，只

14、要知道其中两个，便可以求出其他两 个 跟进训练 3已知双曲线的渐近线方程是 y4x，则其离心率为_ 17或 17 4 若双曲线焦点在 x 轴上，依题意得，b a4， b 2 a216，即 c2a2 a2 16，e217，e 17 若双曲线焦点在 y 轴上，依题意得，a b4 b a 1 4， b2 a2 1 16，即 c2a2 a2 1 16 e217 16，故 e 17 4 ， 即双曲线的离心率是 17或 17 4 类型 4求双曲线的渐近线方程 【例 4】如图，已知 F1，F2为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点，过 F 2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P，且PF1

15、F230，求双曲线的渐近线方程 解设 F2(c，0)(c0)，P(c，y0)， 则c 2 a2 y20 b21，解得 y 0b 2 a |PF2|b 2 a 在 RtPF2F1中，PF1F230，则|PF1|2|PF2| 由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a 由，得|PF2|2a |PF2|b 2 a ，2ab 2 a ，即 b22a2 b a 2 渐近线方程为 y 2x 1双曲线x 2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 y b ax，双曲线 y2 a2 x2 b21 的渐近线方程 为 ya bx，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解 即得渐近线方程 2若已知渐

16、近线方程为 mxny0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上，可用下面的方法来解决： 方法一：分两种情况设出方程进行讨论 方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程 m2x2n2y2(0)，求出即可 显然方法二较好，避免了讨论 跟进训练 4双曲线 C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为 F1，F2，虚轴的一个端 点为 A，若AF1F2是顶角为 120的等腰三角形求双曲线 C 的渐近线方程 解因为AF1F2是顶点为 120的等腰三角形 所以 c 3b，所以 c23b2，即 a2b23b2，a22b2， 解得b a 2 2 ，或a b 2 所以双曲线的渐近线方程为 y 2x

17、 或 y 2 2 x 1若 0ka，则双曲线 x2 a2k2 y2 b2k21 与 x2 a2 y2 b21 有( ) A相同的实轴B相同的虚轴 C相同的焦点D相同的渐近线 C0ka，a2k20 c2(a2k2)(b2k2)a2b2 2中心在原点，实轴长为 10，虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是() Ax 2 25 y2 9 1Bx 2 25 y2 9 1 或y 2 25 x2 9 1 C x2 100 y2 361 D x2 100 y2 36或 y2 100 x2 361 B实轴长为 10，虚轴长为 6，所以 a5，b3 当焦点在 x 轴上时， 方程为x 2 25 y2 9 1； 当焦点

18、在 y 轴上时， 方程为y 2 25 x2 9 1 3已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程是 y 3 3 x，则双曲线的 离心率为() A3 2 B2 3 3 C 7 4 D 5 5 B由双曲线的渐近线方程是 y 3 3 x 知b a 3 3 ，所以 b 3 3 a，所以 c2a2 b2a21 3a 24 3a 2，所以 e2c2 a2 4 3，所以 e 2 3 3 故选 B 4已知双曲线的渐近线方程为 yx 2，虚轴长为 4，则该双曲线的标准方程 是_ x2 16 y2 4 1 或 y2x 2 4 1若双曲线的焦点在 x 轴上，则b a 1 2，2b4，解得 b 2

19、，a4，所以此时双曲线的标准方程为x 2 16 y2 4 1；若双曲线的焦点在 y 轴上， 则a b 1 2，2b4，解得 b2，a1，所以此时双曲线的标准方程为 y 2x2 4 1综 上可知，该双曲线的标准方程是x 2 16 y2 4 1 或 y2x 2 4 1 5已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两条渐近线方程为 y 3 3 x，若顶点 到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为_ x2 4 3 4y 21 双曲线右顶点为(a，0)，一条渐近线为 x 3y0， 1 a 13 a 2 a2， 又b a 3 3 ，b2 3 3 ， 双曲线方程为x 2 4 3 4y 21 回顾本节知

20、识，自我完成以下问题： 1如何用几何图形解释 c2a2b2？a，b，c 在双曲线中分别表示哪些线段的 长？ 提示由于 c2a2b2，则 a，b，c 就是图中 RtOAB 的三边长，其中 a 为 半实轴长，b 为半虚轴长，c a2b2这从另一个角度反映了参数 a，b，c 的几 何意义 2双曲线的渐近线确定时，其标准方程能确定吗？ 提示不能，每条双曲线对应唯一一组渐近线，但当渐近线确定时，它对应 无数条双曲线且焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上 3双曲线的焦点到渐近线的距离是否为定值？ 提示是双曲线的焦点到渐近线的距离为 b 设双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，一条渐近线为 y b ax， 即 bxay0，一个焦点为(c，0)， 则焦点到渐近线的距离 d |bc| a2b2 bc c b 此结论在解题时可直接应用