(新教材)2022年人教B版数学选择性必修第一册教学案:第1章 1.1 1.1.2 空间向量基本定理.doc
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1、1.1.2空间向量基本定理 学 习 任 务核 心 素 养 1 理解共面向量定理以及空间向量基本 定理, 并能应用其证明空间向量的共线、 共面问题(重点、易混点) 2理解空间向量的基底、基向量及向量 的线性组合的概念,并能应用其解决有 关问题(难点) 1通过基底、基向量及向量的线性组 合空间向量基本定理的学习,培养数 学抽象素养 2借助任一空间向量可用一组基向量 线性表示,提升数学运算素养 学生小李参加某大学自主招生考试,在一楼咨询处小李得知:面试地点由此 向东 100 米,再向南 150 米,然后乘 1 号电梯到位于 6 楼的 2 号学术报告厅参加 面试设 e1是向东的单位向量,e2是向南的单
2、位向量,e3是向上的单位向量假 定每层楼高为 3 米,你能用 e1,e2,e3表示出由咨询处到面试地点的向量 p 吗? 知识点 1共线向量基本定理 如果 a0 且 ba, 则存在唯一的实数, 使得 ba 两个空间向量 a, b(b0), ab 的充要条件是存在唯一的实数,使得 ab 在此充要条件中,要特别注意 b0,若不加 b0,则该充要性不一定 成立例如,若 a0,b0,则 ab,但不存在,该充要性也就不成立了 1若非零向量 e1,e2不共线,则使 ke1e2与 e1ke2共线的 k 的值为 _ 1 或1若 ke1e2与 e1ke2共线, 则有 ke1e2(e1ke2) 又 e1,e2不共线
3、,所以 k, 1k, 所以 k1, 1 或 k1, 1, 所以 k 的值为 1 或1 知识点 2共面向量定理 如果两个向量 a,b 不共线,则向量 a,b,c 共面的充要条件是存在唯一的实 数对(x,y),使 cxayb 1平面向量基本定理中对于向量 a 与 b 有什么条件,在空间中能成立 吗? 提示平面向量基本定理中要求向量 a 与 b 不共线,在空间中仍然成立 2对于空间的任意三个向量 a,b b,2a3b,它们一定是() A共面向量B共线向量 C不共面向量D既不共线也不共面的向量 A根据共面向量定理知 a,b,2a3b 一定共面 知识点 3空间向量基本定理 (1)定理:如果空间中的三个向
4、量 a,b,c 不共面,那么对空间中的任意一个 向量 p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 pxaybzc 特别地,当 a,b,c 不共面时,可知 xaybzc0 时,xyz0 (2)相关概念 线性组合:表达式 xaybzc 一般称为向量 a,b,c 的线性组合或线性表 达式 基底:空间中不共面的三个向量 a,b,c 组成的集合a,b,c,常称为空 间向量的一组基底 基向量:基底a,b,c中 a,b,c 都称为基向量 分解式:如果 pxaybzc,则称 xaybzc 为 p 在基底a,b,c下的 分解式 2平面向量的基底要求两个基向量不共线,那么构成空间向量基底的 三个向量有什么条件?
5、 提示空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底, 基底选 定后,空间任意向量均可由基底唯一表示 3基向量和基底一样吗?0 能否作为基向量? 提示基底是指一个向量组,基向量是基底中的某一个向量,因为 0 与其他 任意两个非零向量共面,所以 0 不能作为基向量 拓展:设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的 有序实数组x,y,z,使OP xOA yOB zOC ,当且仅当 xyz1 时,P,A, B,C 四点共面 3思考辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)若a,b,c为空间一个基底,则a,b,2c也可构成空间一个基底 () (2)若三个非零向量 a,b
6、,c 不能构成空间的一个基底,则 a,b,c 共面 () (3)若 a,b 是两个不共线的向量,且 cab(,R 且0),则a,b, c构成空间的一个基底() 答案(1)(2)(3) 提示(1)a,b,c为空间一个基底,则 a,b,c 不共面,a,b,2c 也不共面,故a,b,2c也构成空间一个基底 (2)由共面定理知(2)正确 (3)由 cab 知 a,b,c 共面,不能构成基底 4如图,点 M 为 OA 的中点,OA , OC ,OD 为空间的一组基底,DM xOA yOC zOD ,则有序实数组(x,y,z)_ 1 2,0,1DM OM OD 1 2OA OD ,x1 2,y0,z1,即
7、(x,y, z) 1 2,0,1 类型 1向量共线问题 【例 1】 如图所示, 在正方体 ABCDA1B1C1D1中, E 在 A1D1上, 且A1E 2ED1 , F 在对角线 A1C 上,且A1F 2 3FC 求证:E,F,B 三点共线 证明设AB a,AD b,AA1 c A1E 2ED1 ,A1F 2 3FC , A1E 2 3A 1D1 ,A1F 2 5A 1C , A1E 2 3AD 2 3b, A1F 2 5(AC AA1 ) 2 5(AB AD AA1 )2 5a 2 5b 2 5c EF A 1F A1E 2 5a 4 15b 2 5c 2 5 a2 3bc 又EB EA 1
8、 A1A AB 2 3bcaa 2 3bc, EF 2 5EB E,F,B 三点共线 用向量法证明三点共线所选取的向量是唯一的吗? 提示不是的如本例中,可选取EB 与EF,FB与EF或EB与BF等 跟进训练 1如图所示,四边形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形,且不共面,M,N 分 别是 AC,BF 的中点,判断CE 与MN 是否共线 解CE 与MN 共线 证明:M,N 分别是 AC,BF 的中点,而四边形 ABCD,ABEF 都是平行四 边形 MN MA AF FN 1 2CA AF 1 2FB , 又MN MC CE EB BN 1 2CA CE AF 1 2FB , 1 2CA A
9、F 1 2FB 1 2CA CE AF 1 2FB , CE CA 2AF FB2(MA AF FN )2MN , CE MN ,即CE 与MN 共线 类型 2共面向量定理及应用 【例 2】 已知 A,B,C 三点不共线, 平面 ABC 外的一点 M 满足OM 1 3OA 1 3OB 1 3OC (1)判断MA , MB ,MC 三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解(1)易知OA OB OC 3OM , OA OM (OM OB )(OM OC ), MA BM CM MB MC , 向量MA , MB ,MC 共面 (2)由(1)知向量MA , MB ,MC 共面
10、,三个向量的基线又有公共点 M,M,A, B,C 共面,即点 M 在平面 ABC 内 判断三个(或三个以上)向量共面的方法 (1)应用共面向量定理,即其中一个向量能用另两个向量线性表示,通常应结 合图形,选择其中某两个向量作为基向量,其他向量都用这两个基向量线性表示 (2)选择目标向量以外的一组基底,通过待定系数法,建立这三个向量的一个 线性关系式 跟进训练 2如图所示,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,连接 PA,PB,PC, PD,点 E,F,G,H 分别是PAB,PBC,PCD,PDA 的重心,分别延长 PE,PF,PG,PH,交对边于 M,N,Q,R,并顺次连接 MN,NQ,
11、QR,RM应 用共面向量定理证明:E,F,G,H 四点共面 证明E,F,G,H 分别是所在三角形的重心, M,N,Q,R 为所在边的中点, 顺次连接 M, N, Q, R, 所得四边形为平行四边形, 且有PE 2 3PM , PF 2 3PN , PG 2 3PQ ,PH 2 3PR 四边形 MNQR 为平行四边形, EG PG PE 2 3PQ 2 3PM 2 3MQ 2 3(MN MR ) 2 3(PN PM )2 3(PR PM ) 2 3 3 2PF 3 2PE 2 3 3 2PH 3 2PE EF EH , 由共面向量定理得EG , EF ,EH 共面, 所以 E,F,G,H 四点共
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