（新教材）2022年人教B版数学选择性必修第一册同步练习：2.8　直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）.doc

1、课后同步练习(二十五)直线与圆锥曲线的 位置关系 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1已知双曲线x 2 4 y 2 5 1 的右焦点为 F，过点 F 作一条直线与其中一条渐近线 垂直，垂足为 A，O 为坐标原点，则 SOAF() A3B3 5C2 5D 5 D双曲线x 2 4 y 2 5 1 的右焦点为 F(3，0)，F 到渐近线5x2y0 的距离|FA| 3 5 54 5 则|AO| |OF|2|FA|2 3252 则 SOAF1 2|FA|OA| 1 2 52 5 2直线 yx3 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，过两点向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为 P，Q，则梯形 APQB

2、 的面积为() A48B56C64D72 A由 y24x， yx3， 消去 y 得， x210 x90，x1 或 9， x1， y2， 或 x9， y6. |AP|10，|BQ|2 或|BQ|10，|AP|2， |PQ|8，梯形 APQB 的面积为 48，故选 A 3 过椭圆 x22y24 的左焦点 F 作倾斜角为 3的弦 AB， 则弦 AB 的长为( ) A6 7 B16 7 C 7 16 D7 6 B椭圆的方程可化为x 2 4 y 2 2 1， F( 2，0) 又直线 AB 的斜率为 3， 直线 AB 的方程为 y 3x 6 由 y 3x 6， x22y24， 得 7x212 2x80 设

3、 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x212 2 7 ，x1x28 7， |AB| 1k2x1x224x1x216 7 4已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上 且|AK| 2|AF|，则AFK 的面积为() A4B8C16D32 B因为抛物线 C：y28x 的焦点为 F(2，0)， 准线为 x2， 所以 K(2，0)， 设 A(x0，y0)，如图所示，过点 A 向准线作垂线，垂足为 B， 则 B(2，y0) 因为|AK| 2|AF|， 又|AF|AB|x0(2)x02， 所以由|BK|2|AK|2|AB|2， 得 y20(x02)2

4、， 即 8x0(x02)2， 解得 x02，y04， 所以 SAFK的面积为1 2|KF|y 0|1 2448 5 如果 AB 是椭圆x 2 a2 y2 b21 的任意一条与 x 轴不垂直的弦， O 为椭圆的中心， e 为椭圆的离心率，M 为 AB 的中点，则 kABkOM的值为() Ae1B1e Ce21D1e2 C设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点 M(x0，y0)，x 2 1 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21，作差得 x1x2x1x2 a2 y2y1y2y1 b2 ， 所以 kABkOMy2y1 x2x1 y1y2 x1x2 b2 a2 c 2a2 a2 e

5、21 二、填空题 6直线 ykx2 与抛物线 y28x 有且只有一个公共点，则 k_ 0 或 1当 k0 时，直线与抛物线有唯一交点， 当 k0 时，联立方程消 y 得： k2x24(k2)x40， 由题意16(k2)216k20， k1 7若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y 2 3 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任 意一点，则OP FP 的最大值为_ 6由x 2 4 y 2 3 1 可得 F(1，0) 设 P(x，y)，2x2，则OP FP x2xy2x2x3 1x 2 4 1 4x 2x3 1 4(x2) 22， 当且仅当 x2 时，OP FP 取得最大值 6 8设双曲线

6、的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲 线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_ 51 2 设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐 近线方程为 yb ax， 而 kBFb c b a b c 1，整理得 b2ac c2a2ac0两边同除以 a2，得 e2e10， 解得 e1 5 2 或 e1 5 2 (舍去) 三、解答题 9已知抛物线 y2x 与直线 yk(x1)相交于 A，B 两点 (1)求证：OAOB； (2)当OAB 的面积等于 10时，求 k 的值 解(1)证明：如图所示，显然 k0，由 y2x， ykx1 消去

7、x 得，ky2yk 0 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得 y1y21，y1y21 k A，B 在抛物线 y2x 上， y21x1，y22x2，y21y22x1x2 kOAkOBy1 x1 y2 x2 y1y2 x1x2 1 y1y21，OAOB (2)设直线与 x 轴交于点 N，显然 k0 令 y0，得 x1，即 N(1，0) SOABSOANSOBN 1 2|ON|y 1|1 2|ON|y 2| 1 2|ON|y 1y2|， SOAB1 21 y 1y224y1y2 1 2 1 k 2 4 SOAB 10， 101 2 1 k24，解得 k 1 6 10已知椭圆 C

8、：x 2 a2y 21(a1)的上顶点为 A，右焦点为 F，直线 AF 与圆 M：(x3)2(y1)23 相切 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且AP AQ 0，求证：直 线 l 过定点，并求该定点的坐标 解(1)圆 M 的圆心为(3，1)，半径 r 3 由题意知 A(0，1)，F(c，0)， 直线 AF 的方程为x cy1，即 xcyc0 由直线 AF 与圆 M 相切，得|3cc| c21 3， 解得 c22，所以 a2c213， 故椭圆 C 的方程为x 2 3 y21 (2)法一：由AP AQ 0 知 APAQ，从而直线 AP

9、与坐标轴不垂直，故可设直 线 AP 的方程为 ykx1(k0)，则直线 AQ 的方程为 y1 kx1 由 ykx1， x2 3 y21， 消去 y 并整理得(13k2)x26kx0， 解得 x0 或 x 6k 13k2， 故点 P 的坐标为 6k 13k2， 13k2 13k2， 同理，得点 Q 的坐标为 6k k23， k23 k23 所以直线 l 的斜率为 k23 k23 13k2 13k2 6k k23 6k 13k2 k 21 4k ， 所以直线 l 的方程为 yk 21 4k x 6k k23 k 23 k23， 即 yk 21 4k x1 2 所以直线 l 过定点 0，1 2 法二

10、：由AP AQ 0 知 APAQ，从而直线 PQ 与 x 轴不垂直，故可设直线 l 的方程为 ykxt(t1)， 由 ykxt， x2 3 y21， 消去 y 并整理得(13k2)x26ktx3(t21)0 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1x2 6kt 13k2， x1x23t 21 13k2 ， (*) 由(6kt)24(13k2)3(t21)0， 得 3k2t21 由AP AQ 0， 得AP AQ (x1，y11)(x2，y21)(1k2)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20， 将(*)代入，得 t1 2 所以直线 l 过定点 0，1 2 1已知椭圆 C：x 2 4

11、 y21 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 AP，PB 分别交直线 x4 于 M，N 两点，则|MN|的最小值 为() A2B2 3C4D4 3 B依题意可知，直线 AP，PB 的斜率存在且不为零根据椭圆的几何性质 可知 A(2，0)，B(2，0) 设直线 AP 的方程为 yk(x2)，令 x4，得 yM6k 由 ykx2， x2 4 y21， 消去 y，得(14k2)x216k2x16k240， 解得 xA2，xP28k 2 14k2，故 y Pk(xP2) 4k 14k2 所以 kPByPyB xPxB 1 4k故直线 PB 的方程为 y 1

12、 4k(x2)，令 x4，得 y N 1 2k 所以|MN|yMyN|6k 1 2k|6k| 1 2k|2|6k| 1 2k|2 3， 当且仅当|6k| 1 2k|，即|k| 3 6 时，等号成立 故|MN|的最小值为 2 3 2(多选题)已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线 于 A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆交 x 轴于 M，N 两点，设线段 AB 的中点为 Q若抛物线 C 上存在一点 E(t，2)到焦点 F 的距离等于 3则下列说法正确的是 () A抛物线的方程是 x22y B抛物线的准线是 y1 CsinQMN 的最小值是1 2 D线段 AB

13、 的最小值是 6 BC抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F 0，p 2 ， 得抛物线的准线方程为 yp 2， 点 E(t，2)到焦点 F 的距离等于 3， 可得 2p 23，解得 p2， 则抛物线 C 的方程为 x24y，所以 A 不正确； 抛物线的准线方程：y1，所以 B 正确； 由题知直线 l 的斜率存在，F(0，1)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线 l 的方程为 ykx1， 由 ykx1， x24y， 消去 y 得 x24kx40， 所以 x1x24k，x1x24， 所以 y1y2k(x1x2)24k22， 所以 AB 的中点 Q 的坐标为(2k，2k21)， |

14、AB|y1y2p4k2224k24， 所以圆 Q 的半径为 r2k22， 在等腰QMN 中， sinQMN|yQ| r 2k 21 2k221 1 2k221 1 2 1 2， 当且仅当 k0 时取等号 所以 sinQMN 的最小值为1 2所以 C 正确； 线段 AB 的最小值是：y1y224k244 所以 D 不正确 3 椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)第一象限上一点与中心、 右焦点构成一个正三角形， 则此椭圆的离心率 e_，若此三角形的面积是 4 3，则 b2_ 318 3如图，由OPF 为正三角形，可得 P c 2， 3 2 c ，代入椭圆方程， 可得 c2 4a2 3c2 4b

15、21，又 b 2a2c2，得(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)， 解得 ec a 31，若 S OPF1 2c 3 2 c4 3，则 c4， a2 c2 312 16 42 3168 3，则 b 2a2c28 3 4过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 且斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于点 A， B(点A在第一象限)， 交其准线于点C， 若|BC|3|BF|， 则直线AB的斜率为_ 2 2如图，作 BDl 于 D(l 是准线)，则|BD|BF|，由题意|BC|3|BD|， |CD|2 2|BD|，tanCBD|CD| |BD|2 2，由 BDl 知 BDx 轴，CBD 与直线

16、AB 倾斜角相等，AB 的斜率为 2 2 如图，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 6 3 ，直线 l 与 x 轴交于点 E， 与椭圆 C 交于 A，B 两点当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，弦 AB 的长为2 6 3 (1)求椭圆 C 的方程 (2)若点 E 的坐标为 3 2 ，0 ， 点 A 在第一象限且横坐标为 3， 过点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P，求PAB 的面积 (3)是否存在点 E，使得 1 |EA|2 1 |EB|2为定值？若存在，请指出点 E 的坐标，并 求出该定值；若不存在，请说明理由 解(1)设 A(xA

17、，yA)，B(xB，yB) 由c a 6 3 ，设 a3k(k0)，则 c 6k，b23k2， 所以椭圆 C 的方程为 x2 9k2 y2 3k21 当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，xAxB 6k， 将 x 6k 代入椭圆方程，解得 yk， 于是 2k2 6 3 ，即 k 6 3 ，所以椭圆 C 的方程为x 2 6 y 2 2 1 (2)将 x 3代入x 2 6 y 2 2 1，解得 y1 因为点 A 在第一象限，所以 A( 3，1)， 由点 E 的坐标为 3 2 ，0 ，得 kAB 2 3， 则直线 AB 的方程为 y 2 3 x 3 2 ， 联立直线 AB 与椭

18、圆 C 的方程，解得 B 3 5 ，7 5 又 PA 过原点 O，则 P( 3，1)，|PA|4，直线 PA 的方程为 x 3y0， 所以点 B 到直线 PA 的距离 h| 3 5 7 3 5 | 2 3 3 5 ， 所以 SPAB1 24 3 3 5 6 3 5 (3)假设存在点 E，使得 1 |EA|2 1 |EB|2为定值，设 E(x 0，0) 当直线 AB 与 x 轴重合时，有 1 |EA|2 1 |EB|2 1 6x02 1 x0 62 122x20 6x202， 当直线 AB 与 x 轴垂直时，有 1 |EA|2 1 |EB|2 2 2 1x 2 0 6 6 6x20， 由122x

19、 2 0 6x202 6 6x20，解得 x 0 3， 6 6x202， 所以若存在点 E，此时点 E 的坐标为( 3，0)， 1 |EA|2 1 |EB|2为定值 2 根据对称性，只需考虑直线 AB 过点 E( 3，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 xmy 3 由 xmy 3， x2 6 y 2 2 1， 得(m23)y22 3my30， 所以 y1y22 3m m23 ，y1y2 3 m23 又 1 |EA|2 1 x1 32y21 1 m2y21y21 1 m21y21， 1 |EB|2 1 x2 32y22 1 m2y22y22 1 m21y22， 所以 1 |EA|2 1 |EB|2 1 m21y21 1 m21y22 y1y2 22y1y2 m21y21y22 2 3m m23 2 6 m23 m21 3 m23 2 2 综上所述，存在点 E( 3，0)，使得 1 |EA|2 1 |EB|2为定值 2