（新教材）2022年人教B版数学选择性必修第一册同步练习：2.7.2　抛物线的几何性质（含解析）.doc

1、课后同步练习(二十四)抛物线的几何性质 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3， 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为() A3 4 B1C5 4 D7 4 C由抛物线的定义，有|AF|BF| xAp 2 xBp 2 xAxBp3，故 xA xB3p5 2，故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 5 4 2已知点 P(6，y)在抛物线 y22px(p0)上，若点 P 到抛物线焦点 F 的距离 等于 8，则焦点 F 到抛物线准线的距离等于() A2B1C4D8 C抛物线 y22px(p0)的准线为 xp 2，因为

2、 P(6，y)为抛物线上的点，所 以点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线的距离，所以 6p 28，所以 p4，即焦点 F 到抛物线准线的距离等于 4 3抛物线 y24x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的点，点 M 为其准线上的动 点，当FPM 为等边三角形时，面积为() A2 3B4C6D4 3 D据题意知，FPM 为等边三角形，|PF|PM|FM|， PM 垂直抛物线的准线，设 P m2 4 ，m ，则 M(1，m)，等边三角形边长为 1 m 2 4 ，又由 F(1，0)，|PM|FM|得 1m 2 4 112m2，得 m212， 等边三角形的边长为 4，其面积为 4 3 4直线 l 过

3、抛物线 C：y22px(p0)的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，|AB| 4，若 AB 的中点到 y 轴的距离为 1，则 p 的值是() A1B2C3D4 B由题意知，直线 l 过抛物线的焦点 F p 2，0，且与抛物线交于 A，B 两点， A 到准线 xp 2的距离为 x Ap 2， B 到准线 xp 2的距离为 x Bp 2， 线段 AB 的中点到准线的距离为xAxB 2 p 2， 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为xAxB 2 1， 即 xAxB2， 由抛物线定义，|AF|p 2x A， |BF|p 2x B， |AB|xAxBp4， 即 xAxB4p， 4p2，即 p2 5 已知

4、抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则y1y2 x1x2的值一定等于( ) A4B4Cp2Dp2 A若焦点弦 ABx 轴， 则 x1x2p 2，x 1x2p 2 4 ， y1p，y2p，y1y2p2， y1y2 x1x24 若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴， 可设 AB 的直线方程为 yk xp 2 ， 联立 y22px 得 k2x2(k2p2p)xp 2k2 4 0， 则 x1x2p 2 4 ，y1y2p2，故y1y2 x1x24 二、填空题 6已知点 A(0， 3)，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，射线 FA

5、与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N若|FM|MN|12，则抛物线的方程是 _ y24x依题意 F 点的坐标为 p 2，0， 如图，设 M 在准线上的射影为 K， 由抛物线的定义知|MF|MK|， |FM|MN|12， |KN|KM| 31|OA| |OF|， 3p2 3， p2抛物线方程为 y24x 7已知直线 l 经过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，且与抛物线交于 P，Q 两 点，由 P，Q 分别向准线引垂线 PK，QS，垂足分别为 K，S，如果|PF|a，|QF| b，M 为 KS 的中点，则|MF|的值为_ abPQ 与 x 轴不垂直时，如图， 根据抛物线的定义，有|

6、PF|PK|，|QF|QS|，易知KFS 为直角三角形，故 要求的是直角三角形斜边上的中线长在直角梯形 PKSQ 中，容易求得|KS| 2 ab 故|FM|1 2|KS| ab PQx 轴时， |MF|pab ab 综上可知， |MF| ab 8已知一条过点 P(2，1)的直线与抛物线 y22x 交于 A，B 两点，且 P 是弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为_ xy10依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 y212x1，y222x2，两 式相减得 y21y222(x1x2)，即y1y2 x1x2 2 y1y21，直线 AB 的斜率为 1，直线 AB 的方程是 y1x2

7、，即 xy10 三、解答题 9已知点 P(1，m)是抛物线 C：y22px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF| 2，直线 l：yk(x1)与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B (1)求抛物线 C 的方程； (2)若|AB|8，求 k 的值 解(1)抛物线 C：y22px 的准线为 xp 2， 由|PF|2 得 1p 22，得 p2 所以抛物线的方程为 y24x (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 ykx1， y24x， 可得 k2x2(2k24)xk20，16k2160， x1x22k 24 k2 直线 l 经过抛物线 C 的焦点 F， |AB|x1x2p2k 24 k2

8、 28， 解得 k1， 所以 k 的值为 1 或1 10已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 P(2，0)的直线交抛物线于 A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，直线 AF，BF 分别与抛物线交于点 M，N (1)求 y1y2的值 (2)记直线 MN 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，证明：k1 k2为定值 解(1)依题意，设 AB 的方程为 xmy2(m0)，代入 y24x，得 y24my 80，从而 y1y28 (2)证明：设 M(x3，y3)，N(x4，y4)， k1 k2 y3y4 x3x4 x1x2 y1y2 y3y4 y23 4 y 2 4 4 y21 4 y 2

9、 2 4 y1y2 y1y2 y3y4， 设直线 AM 的方程为 xny1，代入 y24x 消去 x 得：y24ny40，所以 y1y34， 同理 y2y44，k1 k2 y1y2 y3y4 y1y2 4 y1 4 y2 y1y2 4， 由(1)知 y1y28，所以k1 k22 为定值 1已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2， 直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则|AB|DE|的最小值 为() A16B14C12D10 A法一：抛物线 C：y24x 的焦点为 F(1，0)，由题意可知直线 l1，l2的斜 率

10、存在且不为 0不妨设直线 l1的斜率为 k，则 l1：yk(x1)，l2：y1 k(x1)， 由 y24x， ykx1， 消去 y 得 k2x2(2k24)xk20设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22k 24 k2 2 4 k2，由抛物线的定义可知，|AB|x 1x222 4 k224 4 k2同理可得|DE|44k 2，所以|AB|DE|44 k244k 284 1 k2k 2 88 16，当且仅当 1 k2k 2，即 k1 时取等号，故|AB|DE|的最小值为 16 法二： 设直线 l1的倾斜角为， 则直线 l2的倾斜角为 2或 2， 则|AB| 4 sin2， |DE|

11、 4 sin2 2 (或 4 sin2 2 ) 4 cos2 所以|AB|DE|4 1 sin2 1 cos2 4 sin2cos2 4 1 4sin 22 16 sin2216， 当 4或 3 4 时，取等号，即|AB|DE|的最小值为 16 2(多选题)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 l 的斜率为 3，且 经过点 F，直线 l 与抛物线 C 交于点 A，B 两点(点 A 在第一象限)与抛物线的准线 交于点 D，若|AF|4，则以下结论正确的是() Ap2BF 为 AD 中点 C|BD|2|BF|D|BF|2 ABC如图，F p 2，0，直线 l 的斜率为 3，则直线

12、l 的方程为 y 3 xp 2 ， 联立 y22px， y 3 xp 2 ， 得 12x220px3p20解得：xA3 2p，x B1 6p， 由|AF|3 2p p 22p4，得 p2 抛物线方程为 y24x 又 xB1 6p 1 3，则|BF| 1 31 4 3， |BD| |BF| cos 60 4 3 1 2 8 3，|BD|2|BF|， |BD|BF|8 3 4 34，则 F 为 AD 中点故选 ABC 3已知点 M(1，1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB90，则 k_ 2由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过 C 的焦点

13、且斜率为 k 的直线方程为 yk(x1)(k0)，由 ykx1， y24x 消去 y 得 k2(x1)24x，即 k2x2(2k24)x k20设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22k 24 k2 ，x1x21由 ykx1， y24x 消 去 x 得 y24 1 ky1，即 y24 ky40，则 y 1y24 k，y 1y24由AMB90， 得MA MB (x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10， 将 x1x22k 24 k2 ，x1x21 与 y1y24 k，y 1y24 代入，得 k2 4已知点 A(2，0)，抛物线 C：x24y 的焦

14、点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交 于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|MN|_ 1 5抛物线 C：x24y 的焦点为 F(0，1)，点 A 坐标为(2，0)，抛物 线的准线方程为 l： y1， 直线 AF 的斜率为 k01 20 1 2 过 M 作 MPl 于 P， 根据抛物线的定义得|FM|PM| RtMPN 中，tanMNPk1 2， |PM| |PN| 1 2， 可得|PN|2|PM|， 得|MN| |PN|2|PM|2 5|PM| |PM| |MN| 1 5， 可得|FM|MN|PM|MN|1 5 如图，已知 m 是非零实数，抛物线 C： y22px(p0)的焦点 F 在

15、直线 l：xmym 2 2 0 上 (1)若 m2，求抛物线 C 的方程； (2)设直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作抛物线 C 的准线的 垂线，垂足为 A1，B1，AA1F，BB1F 的重心分别为 G，H，求证：对任意非零 实数 m，抛物线 C 的准线与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外 解(1)由焦点 F p 2，0在直线 l 上，得 pm2 又 m2，p4， 抛物线 C 的方程为 y28x (2)抛物线 C 的焦点 F p 2，0在直线 l 上， pm2， 抛物线 C 的方程为 y22m2x 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 xmym 2

16、 2 ， y22m2x 消去 x 得 y22m3ym40 m0，4m64m40， 且有 y1y22m3，y1y2m4 设 M1，M2分别为线段 AA1，BB1的中点， 2M1G GF ，2M2H HF ， G x1 3 ，2y1 3 ，H x2 3 ，2y2 3 ， x1x2 6 my1y2m 2 6 m 4 3 m 2 6 ，2y12y2 6 2m 3 3 ， 线段 GH 的中点 M m4 3 m 2 6 ，2m 3 3 设 R 是以线段 GH 为直径的圆的半径， 则 R21 4|GH| 21 9(m 24)(m21)m4 设抛物线的准线与 x 轴的交点为 N m 2 2 ，0 ， 则|MN|2 m4 3 m 2 6 m 2 2 2 2m3 3 2 1 9m 4(m48m24)1 9m 4(m21)(m24) 3m21 9m 4(m21)(m24)R2 故点 N 在以线段 GH 为直径的圆外即对任意非零实数 m，抛物线 C 的准线 与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外