（新教材）2022年人教B版数学选择性必修第一册同步练习：2.4　曲线与方程（含解析）.doc

1、课后同步练习(十八)曲线与方程 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1F(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 F(x，y)0 上的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 C由曲线与方程的概念可知，若点 P(x0，y0)在曲线 F(x，y)0 上，则必有 F(x0，y0)0；又当 F(x0，y0)0 时，点 P(x0，y0)也一定在方程 F(x，y)0 对应的 曲线上，故选 C 2方程 x2y21(xy0)的曲线形状是() ABCD C方程 x2y21(xy0)表示以原点为圆心，1 为半径的圆在第二、四象限 的部分 3方程 x22y22x2y3 20

2、 表示的曲线是( ) A一个点B一条直线 C一个圆D两条线段 A方程可化为(x1)22 y1 2 2 0，所以 x10， y1 20， 即 x1， y1 2， 它 表示点 1，1 2 故选 A 4已知 02，点 P(cos ，sin )在曲线(x2)2y23 上，则的值为 () A 3 B5 3 C 3或 5 3 D 3或 6 C由(cos 2)2sin23，得 cos 1 2 又 02， 3或 5 3 5已知点 A(2，0)，点 B 在圆 x2y21 上，点 C 是AOB 的平分线与线段 AB 的交点，则当点 B 运动时，点 C 的轨迹方程为() A x2 3 2 y24 9 B x2 3

3、2 y24 9 C x1 3 2 y24 9 D x1 3 2 y24 9 A设 B(x0，y0)，C(x，y) 由|OA| |OB|2，得 |AC| |CB|2，所以AC 2CB ，即(x2，y)2(x0 x，y0y)，所以 x03 2x1， y03 2y. 因为点 B(x0，y0)在圆 x2y21 上，所以 3 2x1 2 3 2y 2 1，化 简得 x2 3 2 y24 9故选 A 二、填空题 6方程(xy)2(xy1)20 表示的图形是_ 两个点由题意 xy0， xy1， 所以 x1， y1 或 x1， y1， 所以方程(xy)2 (xy1)20 表示的是两个点(1，1)或(1，1)

4、7动点 P 与平面上两定点 A( 2，0)，B( 2，0)连线的斜率的积为定值1 2， 则动点 P 的轨迹方程为_ x22y220(x 2)设 P(x，y)，由题意知，x 2，kAP y x 2， kBP y x 2，由条件知 k APkBP1 2， 所以 y x 2 y x 2 1 2， 整理得 x22y220(x 2) 8在平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1，2)与动点 P(x，y)满足OP OA 3，则点 P 的轨迹方程为_ x2y30由题意知OP (x，y)，OA (1，2)，则OP OA x2y， 由OP OA 3 得x2y3，即 x2y30 三、解答题 9 曲线 x2(y1

5、)24 与直线 yk(x2)4 有两个不同的交点， 求 k 的范围， 若有一个交点、无交点呢？ 解由 ykx24， x2y124， 得(1k2)x22k(32k)x(32k)240， 4k2(32k)24(1k2)(32k)2448k20 所以0，即 k 5 12时，直线与曲线有两个不同的交点； 0，即 k 5 12时，直线与曲线有一个交点； 0，即 k 5 12时，直线与曲线没有交点 10 设点 P 是圆 x2y24 上任意一点， 由点 P 向 x 轴作垂线 PP0， 垂足为 P0， 且MP0 3 2 PP0 ，求点 M 的轨迹方程 解设点 M(x，y)，P(x0，y0)， 则由题意知 P0

6、(x0，0) 由MP0 (x0 x，y)，PP0 (0，y0)， 且MP0 3 2 PP0 ，得(x0 x，y) 3 2 (0，y0)， 所以 x0 x0， y 3 2 y0， 于是 x0 x， y0 2 3y. 又 x20y204， 所以 x24 3y 24， 所以，点 M 的轨迹方程为x 2 4 y 2 3 1 1如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲 线 x4y22 围成的平面区域的直径为() A242B3C2 2D4 B易知曲线 x4y22 围成的平面区域，关于 x，y 轴对称，设曲线上的一点 P(x，y)，可得|OP| x2y2 9 4 1 2x 2 2 3

7、 2所以曲线 x 4y22 围成的平面 区域的直径为 3事实上，本题中曲线 x4y22 的示意图如图所示 2数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C：x2y21|x|y 就是 其中之一(如图)给出下列结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有正确结论的序号是() ABCD C由 x2y21|x|y，得 y2|x|y1x2，即 y|x| 2 2 13x 2 4 ，13x 2 4 0， x24 3，所以 x 可取的整数有 0，1，1，从而曲线 C：x 2y21|

8、x|y 恰好经过(0， 1)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，共 6 个整点，结论正确 由 x2y21|x|y，得 x2y21x 2y2 2 ，解得 x2y22，所以曲线 C 上任意 一点到原点的距离都不超过 2，结论正确 如图所示，易知 A(0，1)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)， 则四边形 ABCD 的面积 S 四边形ABCD1 21111 3 2，很明显“心形”区域 的面积大于 2S四边形ABCD，即“心形”区域的面积大于 3，结论错误故选 C 3已知两定点 A(2，0)，B(1，0)，如果动点 P 满足条件|PA|2|PB|，则动 点 P 的轨迹

9、方程为_，P 点轨迹所围成的图形的面积为_ (x 2)2 y2 44 设 P(x ， y) ， 由 |PA| 2|PB| 知 ，x22y2 2 x12y2，化简整理得(x2)2y24，所以动点 P 的轨迹为圆心为(2，0)，半 径为 2 的圆，此圆的面积为 S224 4已知点 P(2，2)，圆 C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点 (1)求 M 的轨迹方程； (2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积 解(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216， 所以圆心为 C(0，4)，半径为 4 设 M(x

10、，y)，则CM (x，y4)，MP (2x，2y) 由题设知CM MP 0，故 x(2x)(y4)(2y)0， 即(x1)2(y3)22 因为点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22 (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心， 2为半径的圆 因为|OP|OM|，所以 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，所以 ONPM 因为 ON 的斜率为 3，所以直线 l 的斜率为1 3， 所以 l 的方程为 y1 3x 8 3 又|OM|OP|2 2，O 到直线 l 的距离为4 10 5 ， 所以|PM|4 10 5 ，POM 的面积为16

11、5 在平面直角坐标系中，两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L距离”定义为|P1P2| |x1x2|y1y2|，则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1，F2的“L距离”之和 等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是() AB CD A设 M(x，y)是轨迹上任意一点，F1(c，0)，F2(c，0)，则|MF1|MF2| 2a， 其中 a 为常数， 且 ac0， 由“L距离”定义， 得|xc|y|xc|y|2a， 即|y|1 2(2a|xc|xc|)， 当 y0 时，y xa，xc， ac，cxc， xa，xc， 当 y0 时，y xa，xc， ac，cxc， xa，xc. 则满足上述关系的图像只有选项 A