（新教材）2022年人教B版数学选择性必修第一册教学案：第2章 2.3 2.3.4　圆与圆的位置关系.doc

1、2.3.4圆与圆的位置关系 学 习 任 务核 心 素 养 1掌握圆与圆的位置关系及判定方 法(重点) 2了解两圆相离、相交或相切时一些简 单的几何性质的应用(重点) 3 掌握利用圆的对称性灵活解决问题的 方法(难点) 1通过学习圆与圆的位置关系，培 养直观想象的核心素养 2借助圆与圆的位置关系的应用， 培养数学运算的核心素养 魔术钢圈有很多的版本，通常有三连环和四连环三连环中，有一个环是有 缺口的，而另外两个环是密封的；而四连环的原理基本相同，唯一不同的是有两 个环本来就连在一起，其余是一个有缺口的环和一个密封的环表演时的常用手 法是敲击法：一手拿一个环，右手拿的是有缺口的环缺口环的口要在右手

2、的尾 指处用右手的环敲击左手的环先装作敲两下，第三下时右手的环迅速向下敲， 同时让左手的环的上端穿过右手的环的缺口，穿进去后便连在一起在魔术师美 轮美奂的表演中，对于圈而言，有时分开，有时相连；如果把魔术圈看成圆，那 么图中两个圆的位置关系能否用圆心间的距离和半径来刻画呢？ 知识点 1圆与圆的位置关系及判断 位置关系 相离 相交 相切 外离内含外切内切 图示 交点个数00211 判 定 几何 法 d r1r2 0d |r1 |r1r2| dr1r2 dr1r2 d |r1r2| 方 法 r2| 代数 法 00000 说明：d 为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，为联立两圆方程消去一个 未

3、知数后的一元二次方程的根的判别式 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切 () (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交() (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的 直线方程() 答案(1)(2)(3) 提示(1)错误，还可能是内切 (2)错误，还需要大于两半径之差的绝对值 (3)错误，在相交的情况下才是 知识点 2两圆的公切线 同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线当两圆的位置关系不同时，公 切线的条数也不同具体情况如下表： 位置 关系 外离外切相交内切内含 切线 图示 切线 条数 4

4、3210 2圆 C1：(x2)2(y2)21 和圆 C2：(x2)2(y5)216 的公切线 有() A2 条B3 条C4 条D1 条 B圆 C1的圆心为 C1(2，2)，半径 r11， 圆 C2的圆心为 C2(2，5)，半径 r24， 圆心距|C1C2| 22 25225，r 1r25，故两圆外切，公切线的条 数为 3 类型 1圆与圆位置关系的判定 【例 1】已知圆 C1：x2y22mx4ym250，圆 C2：x2y22x2my m230 (1)当 m 为何值时，圆 C1与圆 C2外切？ (2)当圆 C1与圆 C2内含时，求 m 的取值范围 解对于圆 C1与圆 C2的方程，经配方后，有 C1

5、：(xm)2(y2)29，C2：(x1)2(ym)24 两圆的圆心 C1(m，2)，C2(1，m)，半径 r13，r22，且|C1C2| m12m22 (1)若圆 C1与圆 C2外切，则|C1C2|r1r2， 即 m12m225 解得 m5 或 m2 (2)若圆 C1与圆 C2内含，则 0|C1C2|r2r1|1， 即 m12m221 解得2m1 1判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围问题有以下 几个步骤： (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径； (2)计算两圆圆心的距离 d； (3)通过 d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必 要时可借助于

6、图形，数形结合 2应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的， 要理清圆心距与两圆半径的关系 跟进训练 1当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x 14yk0 相交、相切？ 解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21， C2：(x1)2(y7)250k 圆 C1的圆心为 C1(2，3)，半径 r11； 圆 C2的圆心为 C2(1，7)，半径 r2 50k(k50) 从而|C1C2| 2123725 当 1 50k5，k34 时，两圆外切 当| 50k1|5， 50k6，k14 时，两圆内切 当|r2r1|C1C2|r2r

7、1， 即 14k34 时，两圆相交 类型 2两圆相交的有关问题 【例 2】(对接教材人教 B 版 P114例 2)已知圆 C1：x2y210 x10y0 和圆 C2：x2y26x2y400 相交于 A，B 两点，求弦 AB 的长 解法一：两圆方程相减得 4x3y100，此即为两圆相交弦所在直线 AB 的方程 由 4x3y100， x2y210 x10y0， 解得 x2， y6 或 x4， y2. A，B 的坐标分别为(2，6)，(4，2) |AB| 24262210 即弦 AB 的长为 10 法二：由解法一得直线 AB 的方程为 4x3y100 圆心 C1(5，5)到直线 AB 的距离为 d|

8、201510| 5 5， 而圆 C1的半径为 r5 2 由圆的性质可知|AB|2 r2d22 502510 即弦 AB 的长为 10 1求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦 所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解， 否则应先调整系数 2求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式 求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的 一半构成的直角三角形求解 3已知圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 相交， 则过两圆交点的圆的方程可设为 x2y2D1xE1

9、yF1(x2y2D2xE2y F2)0(1) 跟进训练 2(1)圆 O1：x2y24x6y0 和圆 O2：x2y26x0 交于 A，B 两点，则 线段 AB 的垂直平分线的方程是_ (2)经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点且圆心在直线xy 40 上的圆的方程为_ (1)3xy90(2)x2y2x7y320(1)两圆的方程相减得 AB 的方程 为 x3y0，圆 O1的圆心为(2，3)，所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y3 3(x2)，即 3xy90 (2)解方程组 x2y26x40， x2y26y280， 得两圆的交点 A(1，3)，B(6，2) 设所求圆的圆心为(a，b)

10、，因圆心在直线 xy40 上，故 ba4 则有 a12a432 a62a422， 解得 a1 2，故圆心为 1 2， 7 2 ， 半径为 1 21 2 7 23 2 89 2 故圆的方程为 x1 2 2 y7 2 2 89 2 ， 即 x2y2x7y320 类型 3圆与圆的相切问题 【例 3】 求与圆 x2y22x0 外切且与直线 x 3y0 相切于点 M(3， 3) 的圆的方程 1圆与圆相切有哪几种情况？ 提示两圆相切指的是内切和外切两种情况 2两圆相切可用什么方法求解？ 提示(1)几何法利用圆心距 d 与两半径 R，r 之间的关系求得， dRr 为外切，d|Rr|为内切 (2)代数法将两圆

11、联立消去 x 或 y 得到关于 y 或 x 的一元二次方程，利用 0 求解 解设所求圆的方程为 (xa)2(yb)2r2(r0)， 由题知所求圆与圆 x2y22x0 外切， 则 a12b2r1 又所求圆过点 M 的切线为直线 x 3y0， 故b 3 a3 3， |a 3b| 2 r 解由组成的方程组得 a4，b0，r2 或 a0，b4 3，r6故所求圆的方程为(x4)2y2 4 或 x2(y4 3)236 1 将本例变为“求与圆 x2y22x0 外切，圆心在 x 轴上，且过点(3， 3) 的圆的方程”，如何求？ 解因为圆心在 x 轴上， 所以可设圆心坐标为 (a，0)，半径为 r， 则所求圆的

12、方程为(xa)2y2r2(r0)， 又因为与圆 x2y22x0 外切，且过点(3， 3)， 所以 a1202r1， 3a2 32r2， 解得 a4， r2， 所以圆的方程为(x4)2y24 2将本例改为“若圆 x2y22x0 与圆 x2y28x8ym0 相外切，试 求实数 m 的值” 解圆 x2y22x0 的圆心为 A(1，0)，半径为 r11，圆 x2y28x8y m0 的圆心为 B(4，4)，半径为 r2 32m因为两圆相外切， 所以 4124021 32m，解得 m16 处理两圆相切问题的 2 个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆 内切、外切两种

13、情况讨论 (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的 绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时) 跟进训练 3已知圆 M：(xa)2y24(a0)与圆 N：x2(y1)21 外切，则直线 x y 20 被圆 M 截得的线段的长度为() A1B 3C2D2 3 D由题意，知 a2121，a0，a2 2，圆心 M(2 2，0)到直线 x y 20 的距离 d|2 20 2| 2 1，直线 xy 20 被圆 M 截得的线段 的长度为 2 412 3，故选 D 1两圆 x2(y2)21 和(x2)2(y1)216 的公切线条数是() A1B2C3D4 B两圆圆心分别为(0，

14、2)和(2， 1)， 半径分别为 1 和 4， 圆心距 d 49 13，|r1r2|d|r1r2|，两圆相交故两圆有 2 条公切线，选 B 2若圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8yn0 内切，则 n() A21B9C19D11 DC2化为标准方程(x3)2(y4)225n， 其圆心为(3，4)，半径 r 25n，C1圆心为(0，0)，半径为 1 若两圆内切，则有 302402| 25n1|，解得 n11 3已知两圆的圆心距为 6，两圆的半径分别是方程 x26x80 的两个根， 则两圆的位置关系为() A外离B外切C相交D内切 B由题意知 r1r26(两圆圆心距)， 两圆外切 4圆

15、 x2y28 与圆 x2y24x160 的公共弦长为_ 4两圆方程作差得 x2，当 x2 时，由 x2y28 得 y2844，即 y 2，即两圆的交点坐标为 A(2，2)，B(2，2)，则|AB|2(2)4 5已知两圆相交于点 A(1，3)，B(m，1)，两圆的圆心均在直线 xyc0 上，则 mc 的值为_ 3分析题意，可知 AB 的中点 m1 2 ，1 在直线 xyc0 上，m1 2 1 c0， m2c1 又直线 AB 与直线 xyc0 垂直， 131 1m ， m5， c2，mc3 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1如何用几何法判断圆与圆的位置关系？ 提示(1)将两圆的方程化为标准方程 (2)求两圆的圆心坐标和半径 r1，r2 (3)求两圆的圆心距 d (4)比较 d 与|r1r2|，r1r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系 2如何求两圆的公共弦长？ 提示(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公 式求出弦长 (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构 成的直角三角形，根据勾股定理求解