2021届衡水名校联盟高考押题预测数学试卷（及答案）.pdf

1、数学试题 第1页（共6页）数学试题 第2页（共6页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ 绝密启用前绝密启用前 衡水名校联盟2021年高考押题预测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题：

2、本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1设集合 22 1 ,1Py yxMx yx，则集合M与集合P的关系是（ ） AMPBPM CM P DP M 2设复数 2021 1 2 i z i ，则z的的虚部是（ ） A 3 5 B 3 5 iC 1 5 D 1 5 i 3根据国家统计局数据显示，我国20102019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法错 误的是（ ） 年份2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 比重47.9 48.5 49.0 49.0 49.2 49.

3、7 50.6 48.4 49.6 50.6 A20102019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加 B可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万 C2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数 D2019年我国研究生在校总人数不超过285万 4已知,0, 2 ，且 cos tan 1 sin ，则sin(2 )（ ） A1 B 3 2 C 2 2 D 1 2 5如图所示，在梯形ABCD中， 2 A ，/AB CD，2AB ，1CD ，2AD ，E，F分别为边 CD，BC的中点，则AE AF （ ） A 5 4 B 11 4 C3 D4 6函数sinlnyxx的部分图象大致是（ ）

4、 A B C D 7设函数 4 3 11 1,1 xx f x xx ，则当01x ， ff x表达式的展开式中二项式系数最大值为（ ） A32 B4 C24 D6 8已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 左、右焦点分别为 12 ,F F，过 1 F，且斜率为 24 7 的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若 1212 0FFF AF A ，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A 3 2 yx B 2 3 3 yx 数学试题 第3页（共6页） 数学试题 第4页（共6页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ C 3 4 yx= D 4 3 yx 二、选择题：本题共4小

5、题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9已知, x yR，且0 xy，则下列说法错误的是（ ） A 11 0 xy Bsinsin0 xy C 11 0 22 xy Dlnlnx xy y 10设函数( )sincos 0,| 2 f xxx 的最小正周期为，且过点(0,2) ，则下列正确的为（ ） A 4 B ( )f x在0, 2 单调递减 C(|)fx的周期为 D把函数 ( )f x的图像向左平移 2 个长度单位得到的函数( )g x的解析式为( )2cos2g xx 11正方体 1111 ABCDAB

6、C D的棱长为2,E F G分别为 11 ,BC CC BB的中点.则（ ） A直线 1 D D与直线AF垂直 B直线 1 AG与平面AEF平行 C平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 2 D点 1 A和点D到平面AEF的距离相等 12意大利画家列奥纳多达芬奇（14524 15195）的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽 ，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名 的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：( )cosh x f xa a ，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函

7、数表达式为coshx ee 2 xx ，相应地双曲正弦函数的表达式为sinhx ee 2 xx 若直线xm与双曲余弦函数C1与双曲正弦函数C2的图象分别相交于点A，B，曲线C1在点A处的切线l1与曲 线C2在点B处的切线l2相交于点P，则下列结论正确的为（ ） Acosh(xy)coshxcoshysinhxsinhy Bysinhxcoshx是偶函数 C(coshx)sinhx D若PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则实数m0 第卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13函数 sin2f xaxaR在点 0,0f处的切线方程为2yx ，则a _ 14写出一个图象关于直线1x

8、 对称的奇函数( )f x _ 15为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念星等 的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应 用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与 亮度满足m1m22.5（lgE2lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k1，2）已知“心宿二”的星等是1. 00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的_倍（结果精确到0.01当|x|较小时 ，10 x1+2.3x+2.7x2） 16已知点M在抛物线C：

9、2 4yx上运动，圆 C 过点5,0，2, 3，3, 2，过点M引直线 1 l， 2 l 与圆 C 相切，切点分别为P，Q，则PQ的取值范围为_. 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10分） 如图，在ABCA中，6AB ， 3 cos 4 B ，点D在BC边上，4AD，ADB为锐角 数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页） 内装订线 外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_ （1）若 6 2AC ，求线段DC的长度； （2）若2BADDAC ，求sinC的值 18（12分） 已知数列 n a的前n项和 n S满足2 nn Sna

10、n，n N，且 2 3a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 11 1 n nnnn b aaaa ， n T为数列 n b的前n项和，求使 9 20 n T 成立的最小正整数n的值 19（12分） 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，/AB DC，90BAD ， 222PDDCBCPAAB，PDDC （1）求证：PA 平面ABCD； （2）设01BMBD ，当二面角APMB的余弦值为 7 7 时，求的值. 20（12分） 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n1个电子元件组成，各个电子元件能正常工 作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立若系

11、统中有超过一半的电子元件正常工作，则系 统G可以正常工作，否则就需维修 （1）当 1 2, 2 np时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设 为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望； （2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的 概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时， 可以提高整个系统G的正常工作概率？ 21（12分） 已知F是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左焦点，焦距为4，且C过点 3,1P. （1）求C的方程; （

12、2）过点F作两条互相垂直的直线 12 ,l l，若 1 l与C交于,A B两点， 2 l与C交于,D E两点，记AB 的中点为,M DE的中点为N，试判断直线MN 是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过定点，请说明理由. 22（12分） 已知函数 32sin310f xxxx， 3 313132 sin x g xexx （1）求 fx在0,上的最小值； （2）证明： f xg x 数学 第1页（共13页） 衡水名校联盟2021年高考押题预测卷 数学解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A D A B A D D ABD BC BCD ACD 1【答案】D 【解析

13、】， 2 1 |11,)Py yxy y 2 1Mx yxR 所以故选D PM 2【答案】A 【解析】, 2021 1 2 i z i 4 505 1211 2222 iiiii iiii 1 3 5 i 所以的的虚部是.故选A z 3 5 3【答案】D 【解析】20102019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故A项正确； 由于20102019年，我国研究生在校女生人数逐年增加，且2019年人数为144.8万，故可以预测2020年，我 国研究生在校女生人数将不低于144万，故B项正确； 2017年我国研究生在校女生人数所占比重为48.4%，不足一半，故C项正确； 因为，故2019年我国研究

14、生在校总人数超过285万，故D项错误 144.8 286.166 0.506 故选D 4【答案】A 【解析】由题意，所以， cossin tan 1 sincos coscossinsinsin ， sincoscossinsincos() 因为，所以，所以，所以， ,0, 2 sin0cos()00, 2 所以，所以故选A () 2 sin(2 )1 5【答案】B 数学 第2页（共13页） 【解析】在梯形中, ABCD 2 A 则可建立以为原点,方向为轴正方向的直角坐标系,如下图所示: A,AB AD , x y 由题可得, (0,0),(2,0),(0,2),(1,2)ABDC 因此, 1

15、3 ( ,2),( ,1) 22 EF 所以, 13 ( ,2),( ,1) 22 AEAF 所以,故选B 311 2 44 AE AF 6【答案】A 【解析】由题可知函数定义域为，则， 0 x x sinlnyf xxx 又 sinlnsinlnfxxxxxf x 所以是奇函数，且时，故选项A正确.故选A sinlnyxx0,1x0y 7【答案】D 【解析】, 4 3 11 1,1 xx f x xx 当时, 01x 3 ( )11f xx 故, 433 (1)(2)ff xfxx 而的展开式共有5项, 43 (2)x 故其中二项式系数最大值为,故选D 2 4 6C 8【答案】D 【解析】由

16、题可知， 2112 F AF AFF 若 1212 0FFF AF A 数学 第3页（共13页） 即为 121112 0FFF AF AFF 可得. 22 112 F AFF 即有 121 2AFF Fc 由双曲线的定义可知 21 2 ,AFAFa 可得. 2 22AFac 由于过的直线斜率为 1 F 24 7 所以在等腰三角形中 12 AFF ，则， 12 24 tan 7 AFF 12 7 cos 25 AFF 由余弦定理得: 2 22 12 44227 cos 252 22 ccac AFF cc 化简得 35 ,ca 即 34 , 55 ac bc 可得 :3:4,a b 所以此双曲线

17、的渐近线方程为.故选D 4 3 yx 9【答案】ABD 【解析】因为，不妨取，则，故A错误； 0 xy2,1xy 111 10 2xy 因为正弦函数是周期函数不单调，所以由推不出，故B错误； sin x0 xysinsin0 xy 因为函数是单调减函数，所以由得到，故C正确； 1 2 x y 0 xy 11 22 xy 因为函数，所以在上单减，在上单增，所以由推不出lnyxx 1 lnyx 1 (0, ) e 1 ( ,) e 0 xy ，故D错误； lnlnx xy y 故选ABD. 10【答案】BC 数学 第4页（共13页） 【解析】由已知， 22 ( )2sin()cos()2sin()

18、 224 f xxxx 所以， 2 T 2 又，又，所以，A错误； ( )2sin()2 4 f x 2 42 k kZ 2 4 ，时，由余弦函数性质得B正确； ( )2sin(2)2cos2 2 f xxx 0, 2 x 20,x 是偶函数，周期为，C正确； ( )f x(|)( )fxf x 把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数解析式这 ( )f x 2 ，D错 ( )2cos2()2cos(2)2cos2 2 g xxxx 故选BC 11【答案】BCD 【解析】因为，而与显然不垂直，因此与不垂直，A错； 11 / /D DC C 1 CC AF 1 DD AF 取中点，连接，由分别是

19、中点，得， 11 BC H 1 ,AH GH 1 BC,G E F 11 ,BB BC CC 1 /HGBCEF 又，是平行四边形，所以， 11 /HEBBAA 11 HEBBAA 1 AHEA 1 /AHAE AEEFE 平面，所以平面，平面， ,AE EF AEF 1 / /AH AEF/HGAEF 而，平面，所以平面平面， 1 AHHGH 1 ,AH HG 1 AHG 1 /AHG AEF 又平面，所以平面B正确； 1 AG 1 AHG 1 / /AG AEF 由正方体性质，连接，则截面即为四边形，它是等腰梯形， 11 ,FD AD AEF 1 AEFD ，等腰梯形的高为， 1 2 2,

20、2ADEF 1 5D FAE 2 2 2 223 2 ( 5) 22 h 截面面积为，C正确， 13 29 ( 22 2) 222 S 设，易知是的中点，所以两点到平面的距离相等D正确 11 ADADOO 1 AD 1, A D 1 AEFD 故选BCD 数学 第5页（共13页） 12【答案】ACD 【解析】 eeeeeeeeee cosh coshsinh sinh 22222 xxyyxxyyx yx y xyxy cosh(xy)，A正确； ysinhxcoshx，记以，则， 22 4 xx ee 22 ( ) 4 xx ee h x 22 ()( ) 4 xx ee hxh x ( )

21、h x 为奇函数，即ysinhxcoshx是奇函数，B错误； ，即(coshx)sinhx，C正确； eeee () 22 xxxx 对于D，因为轴，因此若PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则，由ABx0 PA k PA k 解得，D正确故选ACD 0 2 mm ee 0m 13【答案】 1 【解析】，则，故当时， sin2f xaxaR cosfxax 0 x (0)fa 又函数在点处的切线方程为， f x 0,0f2yx 所以，故答案为:. 1a 1 14【答案】 sin 2 x 【解析】当时， ( )sin 2 f xx xR ，又，所以是奇函数； ()sinsin( ) 22 fxx

22、xf x xR ( )f x 的对称轴方程为， ( )sin 2 f xx , 22 xkkZ 12 ,xk kZ 当时，所以的图象关于直线对称，符合题意. 0k 1x ( )f x 1x 数学 第6页（共13页） 故答案为：. sin 2 x 15【答案】1.26 【解析】由题意，两颗星的星等与亮度满足：m1m22.5（lgE2lgE1）， 令“心宿二”的星等m11.00，“天津四“的星等m21.25， 则m2m12.5（lgE1lgE2）1.251.000.25， 所以lgE1lgE2，即， 0.25 =0.1 2.5 1 2 lg0.1 E E 所以， 0.12 1 2 1012.3 0

23、.12.7 0.11.257 E E 则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍，故答案为：1.26 16【答案】 2 2,4 【解析】设圆的方程为，将，分别代入，可得C 22 0 xyDxEyF5,0 2, 33, 2 ，解得，即圆：； 2550 7230 13320 DF DEF DEF 6 0 5 D E F C 2 2 34xy 如图，连接，易得， MCC PC QPQC PMPC QMQMCPQ 所以四边形的面积为； MPC Q 1 2 MCPQ 另外四边形的面积为面积的两倍，所以， MPC QMPCA 1 2 MCPQMPC P 故， 2 MP C P Q C P M 2 2

24、44 4 4 1 C M C M C M 故当最小时，最小， C MPQ 设，则，所以当时，当,M x y 2 2 3MCxy 2 29xx 1x min 2 2MCx 正无穷大时，趋近圆的直径4，故的取值范围为. PQPQ2 2,4 故答案为： 2 2,4 数学 第7页（共13页） 17（10分） 【解析】（1）在中，由余弦定理得， ABD 2222 36163 12 co 24 s ABBDAD B AB B BD DBD 所以或 5BD 4BD 当时，则，不合题意，舍去； 4BD 161636 cos0 244 ADB 2 ADB 当时，则，符合题意 5BD 162536 cos0 24

25、5 ADB 2 ADB 所以 5BD 在中， ABC 2222 36723 12 co 24 s ABBCAC B AB B BC CBC 所以或（舍） 12BC 3BC 所以 7DCBCBD （2）记，则在中， DAC2BADABD 222 9 coscos2 216 ABADBD BAD AB AD 所以为锐角，得，即， 2 2 1cos27 sin 232 5 7 sin2 16 14 sin 8 5 2 cos 8 法一：，同理 17 14 sin3sin2 coscos2 sin 64 5 2 cos3 64 由知：， 3 cos 4 B 7 sin 4 B 所以 7 14 sins

26、in3sin3sincos3cossin3 32 CBBBB 法二：， 222 1625361 cos 22 4 58 ADBDAB BDA AD BD 3 7 sin 8 BDA 数学 第8页（共13页） 所以. 7 14 sinsinsincoscossin 32 CBDABDABDA 18（12分） 【解析】（1）由，得 2 nn Snan 11 211 nn Snan 将上述两式相减，得 11 211 nnn anana 所以 1 11 nn nana 所以 12 11 nn nana ，得， 12 20 nnn nanana 所以 21 2 nnn aaa 故数列为等差数列 n a

27、又由，及，得，的公差 11 21Sa 2 3a 1 1a n a2d 所以 12121 n ann （2）由（1）知， 1 21212121 n b nnnn 所以 1 21212121 n b nnnn 12121111 2221212121 nn nnnn 所以 111111111 22213352121 n T nn 11 1 221n 由，得所以， 9 20 n T 119 1 22021n 11 1021n 21100n 99 2 n 所以使成立的最小正整数的值为50 9 20 n T n 19（12分） 数学 第9页（共13页） 【解析】（1）取的中点，连接， CDEBE 四边形为

28、直角梯形，且为的中点， ABCD90BAD /AB DC2CDABECD 且，所以，四边形为矩形， /AB DEABDEABEDBECD1CE ， 22 3ADBEBCCE ， 1PA 2PD 222 PAADPDPAAD ， PDCD/AB CDABPD ， 90BAD o QABAD ，平面， PDADDABPAD 平面， PAPADPAAB ，平面； ABADAQIPAABCD （2）由（1）可知，、两两垂直，以点为坐标原点，分别以、PAABADAABADAP 所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， xyzAxyz 则、，所以， 1,0,0B0, 3,0D0,0,1P1,0,

29、1BP 1, 3,0BD uuu r 设平面的法向量为， PBD 111 ,mx y z 由，得，令，得，. 0 0 m BP m BD 11 11 0 30 xz xy 1 1y 11 3xz3,1, 3m ， 1, 3,0, 3 ,0BMBD 1, 3 ,0AMABBM 设平面的法向量为， PAM 222 ,nxy z 0,0,1AP 由，得，令，则， 0 0 n AP n AM 2 22 0 130 z xy 2 3x 2 1y 2 0z ， 3 ,1,0n 数学 第10页（共13页） 由于二面角的余弦值为， APMB 7 7 则，整理可得， 2 417 cos, 7 7421 m n

30、m n mn 2 20 ，解得. 01Q 1 2 20（12分） 【解析】（1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为2n 33 2 3 111 222 C ，设为该电子产品需要维修的系统个数，则， X 1 3, 2 XB 500X 所以， 3 3 11 (500 )(),0,1,2, 22 kk k PkP XkCk 所以的分布列为： 0 500 1000 1500 P 1 8 3 8 3 8 1 8 所以 1 500 3750 2 E （2）记个元件组成的系统正常工作的概率为 21k k p 个元件中有 个正常工作的概率为， 21k i 21 21 (1) iiki k

31、Cpp 因此系统工常工作的概率 21 21 21 (1) k iiki kk i k pCpp 在个元件组成的系统中增加两个元件得到21k 21k 个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形： （a）原系统中至少个元件正常工作，概率为； 1k 1 21 (1) kkk kk pCpp （b）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作， k 概率为； 21 21 1 (1)(1) kkk k pCpp （c）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作， 1k 数学 第11页（共13页） 概率为所以 211 21 (1) kkk k p Cpp 因此， 211

32、 211 1212121 11111 kkk kkkkkk kkkkk pp CpppCpppCpp 211 211 1212121 11111 kkk kkkkkk kkkkk ppp CpppCppCpp ， 1 21 121 k kk k ppCp 故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性 1 1 2 p k p 21（12分） 【解析】（1）由题意可得，解得：或(舍）， 22 222 24 31 1 c ab abc 2 6a 2 2 2b 故椭圆的方程为. C 22 1 62 xy （2）由题意知，当其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为，此时直线为轴； 12 ,l l

33、0MNx 当的斜率都存在且不为时，设， 12 ,l l0 1 ():20lxmym 设，联立，整理得 1122 (),A x yB xy 22 2 1 62 xmy xy 22 3420mymy ， 22 16830mm 1212 22 42 , 33 m yyy y mm 则 1212 2 12 4 3 xxm yy m 所以的中点 AB 22 62 , 33 m M mm 同理由，可得的中点 22 1 2 1 62 xy m xy DE 2 22 62 , 31 31 mm N mm 则 22 2 2 22 22 4 331 6631 331 MN mm m mm k mm mm 数学 第

34、12页（共13页） 所以直线的方程为 MN 22 2 246 3331 mm yx mmm 化简得 2 22 4243 123131 mmm yxx mmm 故直线恒过定点. MN 3 ,0 2 综上，直线过定点 MN 3 ,0 2 22（12分） 【解析】（1），令，得， 32cosfxx ( ) 0fx = 3 cos 2 x 故在区间上，的唯一零点是， 0, ( ) fx 6 x 当时，单调递减， 0, 6 x ( ) 0fx fx 故在区间上，的最小值为 0, fx 3 32 66 f （2）要证：当时， 0 x 3 31 32sin313132 sin x xxxx e 即证：当时，

35、 0 x 3 3sin3131 x h xxxe 33 13cos33sin31 xx h xx exxe ， 3 33sin3cos43 x xxxe 令， 33sin3cos43xxxx 所以， 33cos3sin32 3sin 3 xxxx 所以时， 0, 6 x , 336 x 所以，所以， 31 sin, 322 x 0 x 数学 第13页（共13页） 所以时， , 6 x 2 , 363 x 所以，所以， 1 sin,1 32 x 0 x 所以在上单调递减，在上单调递增， x 0, 6 , 6 所以， 3333 43130 66226 x 所以时， 0,x 0 x 而时， ,x 32 3sin4332 3430 6 xxx 综上，时，即， 0 x 0 x 0h x 即是上的增函数， h x () 0,+ 所以 031h xh