2019年吉林省长春市中考数学试题（原卷+解析）.doc

1、 2019 年吉林省长春市中考数学试卷年吉林省长春市中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （3 分）如图，数轴上表示2 的点 A 到原点的距离是（ ） A2 B2 C D 2 （3 分） 2019 年春运前四日， 全国铁路、 道路、 水路、民航共累计发送旅客约为 275000000 人次，275000000 这个数用科学记数法表示为（ ） A27.5107 B0.275109 C2.75108 D2.75109 3 （3 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（ ） A B C D

2、4 （3 分）不等式x+20 的解集为（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 5 （3 分） 九章算术是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡， 人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每 人出九钱，会多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱问人数、买鸡的钱数各是多少？设 人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为（ ） A B C D 6 （3 分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子 AB 的长是 3 米若梯子与地面 的夹角为 ，则梯子顶端到地面的距离 C 为（ ） A3sin 米 B3cos 米 C米 D米 7 （3 分）如图

3、，在ABC 中，ACB 为钝角用直尺和圆规在边 AB 上确定一点 D使 ADC2B，则符合要求的作图痕迹是（ ） A B C D 8 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的顶点 A、C 的坐标分别是（0，3） 、 （3、 0） ACB90，AC2BC，则函数 y（k0，x0）的图象经过点 B，则 k 的值 为（ ） A B9 C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 9 （3 分）计算：3 10 （3 分）分解因式：ab+2b 11 （3 分）一元二次方程 x23x+10 的根的判别式的值是 12 （3 分）如图，直线

4、 MNPQ，点 A、B 分别在 MN、PQ 上，MAB33过线段 AB 上的点 C 作 CDAB 交 PQ 于点 D，则CDB 的大小为 度 13 （3 分）如图，有一张矩形纸片 ABCD，AB8，AD6先将矩形纸片 ABCD 折叠，使 边 AD 落在边 AB 上，点 D 落在点 E 处，折痕为 AF；再将AEF 沿 EF 翻折，AF 与 BC 相交于点 G，则GCF 的周长为 14 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax22ax+（a0）与 y 轴交于点 A， 过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 MP 为抛物线的顶点若直线 OP 交直线 AM 于 点 B，且 M 为线段 A

5、B 的中点，则 a 的值为 三、解答题（共三、解答题（共 10 小题，满分小题，满分 78 分）分） 15 （6 分）先化简，再求值： （2a+1）24a（a1） ，其中 a 16 （6 分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家” 、 “家” “乐” ，除汉字外其余均相同小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后 放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法， 求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率 17 （6 分）为建国 70 周年献礼，某灯具厂计划加工 9000 套彩灯，为尽快完成任务，实际 每天加工彩灯的数量是原计划的 1.

6、2 倍， 结果提前 5 天完成任务 求该灯具厂原计划每天 加工这种彩灯的数量 18 （7 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，以边 AB 为直径作O，点 E 在 BC 边上，连结 AE 交O 于点 F，连结 BF 并延长交 CD 于点 G （1）求证：ABEBCG； （2）若AEB55，OA3，求的长 （结果保留 ） 19 （7 分）网上学习越来越受到学生的喜爱某校信息小组为了解七年级学生网上学习的 情况，从该校七年级随机抽取 20 名学生，进行了每周网上学习的调查数据如下（单位： 时） ： 3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5

7、2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的数据，得到表格如下： 网上学习时间 x（时） 0x1 1x2 2x3 3x4 人数 2 5 8 5 样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 统计量 平均数 中位数 众数 数值 2.4 m n 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中的中位数 m 的值为 ，众数 n 的值为 （2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按 18 周计算）网上学习 的时间 （3）已知该校七年级学生有 200 名，估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数 20 （7 分）图、图、图均是 66 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 小正方形的

8、边长为 1，点 A、B、C、D、E、F 均在格点上在图、图、图中，只 用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写 出画法 （1）在图中以线段 AB 为边画一个ABM，使其面积为 6 （2）在图中以线段 CD 为边画一个CDN，使其面积为 6 （3）在图中以线段 EF 为边画一个四边形 EFGH，使其面积为 9，且EFG90 21 （8 分）已知 A、B 两地之间有一条 270 千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以 60 千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往 B 地， 乙车从 B 地沿此公路匀速开往 A 地， 两车 分别到达目的地后停止甲、乙两车相距的路程

9、 y（千米）与甲车的行驶时间 x（时）之 间的函数关系如图所示 （1）乙车的速度为 千米/时，a ，b （2）求甲、乙两车相遇后 y 与 x 之间的函数关系式 （3）当甲车到达距 B 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程 22 （9 分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第 78 页的部分内容 例 2 如图，在ABC 中，D，E 分别是边 BC，AB 的中点，AD，CE 相交于点 G，求证： 证明：连结 ED 请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程 结论应用：在ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为边 BC 的中点，AE、BD 交于 点 F （1）如图，若ABCD

10、 为正方形，且 AB6，则 OF 的长为 （2）如图，连结 DE 交 AC 于点 G，若四边形 OFEG 的面积为，则ABCD 的面积 为 23 （10 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC20，BC15点 P 从点 A 出发，沿 AC 向终点 C 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿射线 CB 运动，它们的速度均为每秒 5 个 单位长度，点 P 到达终点时，P、Q 同时停止运动当点 P 不与点 A、C 重合时，过点 P 作 PNAB 于点 N，连结 PQ，以 PN、PQ 为邻边作PQMN设PQMN 与ABC 重叠 部分图形的面积为 S，点 P 的运动时间为 t 秒 （1）AB 的长为

11、； PN 的长用含 t 的代数式表示为 （2）当PQMN 为矩形时，求 t 的值； （3）当PQMN 与ABC 重叠部分图形为四边形时，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过PQMN 一边中点时，直接写出 t 的值 24 （12 分）已知函数 y（n 为常数） （1）当 n5， 点 P（4，b）在此函数图象上，求 b 的值； 求此函数的最大值 （2）已知线段 AB 的两个端点坐标分别为 A（2，2） 、B（4，2） ，当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时，直接写出 n 的取值范围 （3）当此函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4，求 n

12、的取值范围 2019 年吉林省长春市中考数学试卷年吉林省长春市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1 【分析】根据绝对值的定义即可得到结论 【解答】解：数轴上表示2 的点 A 到原点的距离是 2， 故选：B 2 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 275000

13、000 用科学记数法表示为：2.75108 故选：C 3 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最右边有一个正方形 故选：A 4 【分析】直接进行移项，系数化为 1，即可得出 x 的取值 【解答】解：移项得：x2 系数化为 1 得：x2 故选：D 5 【分析】直接利用每人出九钱，会多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱，分别得出方程求 出答案 【解答】解：设人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为： 故选：D 6 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 sin，进而得出答案 【解答】解：由题意可

14、得：sin， 故 BC3sin（m） 故选：A 7 【分析】由ADC2B 且ADCB+BCD 知BBCD，据此得 DBDC，由 线段的中垂线的性质可得答案 【解答】解：ADC2B 且ADCB+BCD， BBCD， DBDC， 点 D 是线段 BC 中垂线与 AB 的交点， 故选：B 8 【分析】根据 A、C 的坐标分别是（0，3） 、 （3、0）可知 OAOC3，进而可求出 AC， 由 AC2BC，又可求 BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点 B 的坐标，再求出 k 的值 【解答】解：过点 B 作 BDx 轴，垂足为 D， A、C 的坐标分别是（0，3） 、 （3、0） ， OAOC3，

15、 在 RtAOC 中，AC， 又AC2BC， BC， 又ACB90， OACOCA45BCDCBD， CDBD， OD3+ B（，）代入 y得：k， 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 9 【分析】直接合并同类二次根式即可求解 【解答】解：原式2 故答案为：2 10 【分析】直接提取公因式 b，进而分解因式即可 【解答】解：ab+2bb（a+2） 故答案为：b（a+2） 11 【分析】根据根的判别式等于 b24ac，代入求值即可 【解答】解：a1，b3，c1， b24ac（3）24115， 故答案为：5 12 【分析】 直

16、接利用平行线的性质得出ABD 的度数， 再结合三角形内角和定理得出答案 【解答】解：直线 MNPQ， MABABD33， CDAB， BCD90， CDB903357 故答案为：57 13 【分析】根据折叠的性质得到DAFBAF45， 根据矩形的性质得到 FCED2， 根据勾股定理求出 GF，根据周长公式计算即可 【解答】解：由折叠的性质可知，DAFBAF45， AEAD6， EBABAE2， 由题意得，四边形 EFCB 为矩形， FCED2， ABFC， GFCA45， GCFC2， 由勾股定理得，GF2， 则GCF 的周长GC+FC+GF4+2， 故答案为：4+2 14 【分析】先根据抛物

17、线解析式求出点 A 坐标和其对称轴，再根据对称性求出点 M 坐标， 利用点 M 为线段 AB 中点， 得出点 B 坐标； 用含 a 的式子表示出点 P 坐标， 写出直线 OP 的解析式，再将点 B 坐标代入即可求解出 a 的值 【解答】解：抛物线 yax22ax+（a0）与 y 轴交于点 A， A（0，） ，抛物线的对称轴为 x1 顶点 P 坐标为（1，a） ，点 M 坐标为（2，） 点 M 为线段 AB 的中点， 点 B 坐标为（4，） 设直线 OP 解析式为 ykx（k 为常数，且 k0） 将点 P（1，）代入得k y（）x 将点 B（4，）代入得（）4 解得 a2 故答案为：2 三、解答

18、题（共三、解答题（共 10 小题，满分小题，满分 78 分）分） 15 【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案 【解答】解：原式4a2+4a+14a2+4a 8a+1， 当 a时，原式8a+12 16 【分析】画出树状图，共有 9 个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的 结果有 5 个，由概率公式即可得出结果 【解答】解：画树状图如图： 共有 9 个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有 5 个， 小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为 17【分析】 该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套， 由题意列出方程： 5，解方程即可 【解答】

19、解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 x 套，则实际每天加工彩灯的 数量为 1.2x 套， 由题意得：5， 解得：x300， 经检验，x300 是原方程的解，且符合题意； 答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为 300 套 18 【分析】 （1）根据四边形 ABCD 是正方形，AB 为O 的直径，得到ABEBCG AFB90，根据余角的性质得到EBFBAF，根据全等三角形的判定定理即可得到 结论； （2）连接 OF，根据三角形的内角和得到BAE905535，根据圆周角定理 得到BOF2BAE70，根据弧长公式即可得到结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，AB 为O

20、的直径， ABEBCGAFB90， BAF+ABF90，ABF+EBF90， EBFBAF， 在ABE 与BCG 中， ABEBCG（ASA） ； （2）解：连接 OF， ABEAFB90，AEB55， BAE905535， BOF2BAE70， OA3， 的长 19 【分析】 （1）把 20 个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众 数； （2）由平均数乘以 18 即可； （3）用总人数乘以每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数所占的比例即可 【解答】解： （1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5， 2.5，2.5

21、，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4， 中位数 m 的值为2.5，众数 n 为 2.5； 故答案为：2.5，2.5； （2）2.41843.2（小时） ， 答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按 18 周计算）网上学习的时间为 43.2 小时 （3）200130（人） ， 答：该校七年级学生有 200 名，估计每周网上学习时间超过 2 小时的学生人数为 130 人 20 【分析】 （1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； （2）直接利用三角形面积求法得出答案； （3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案 【解答】解： （1）如图所示，ABM 即为所求； （2

22、）如图所示，CDN 即为所求； （3）如图所示，四边形 EFGH 即为所求； 21 【分析】 （1）根据图象可知两车 2 小时后相遇，根据路程和为 270 千米即可求出乙车的 速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定 a、b 的值； （2）运用待定系数法解得即可； （3）求出甲车到达距 B 地 70 千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可 【解答】解： （1）乙车的速度为： （270602）275 千米/时， a270753.6，b270604.5 故答案为：75；3.6；4.5； （2）603.6216（千米） ， 当 2x3.6 时，设 yk1x+b1，根据题意得： ，解得， y

23、135x270（2x3.6） ； 当 3.6x4.6 时，设 y60x， ； （3）甲车到达距 B 地 70 千米处时行驶的时间为： （27070）60（小时） ， 此时甲、乙两车之间的路程为：135270180（千米） 答：当甲车到达距 B 地 70 千米处时，求甲、乙两车之间的路程为 180 千米 22 【分析】 教材呈现： 如图， 连结 ED 根据三角形中位线定理可得 DEAC， DEAC， 那么DEGACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明 ； 结论应用： （1）如图先证明BEFDAF，得出 BFDF，那么 BFBD，又 BOBD，可得 OFOBBFBD，由正方形的性质求

24、出 BD6，即可求出 OF ； （2）如图，连接 OE由（1）易证2根据同高的两个三角形面积之比等于底 边之比得出BEF 与OEF 的面积比2，同理，CEG 与OEG 的面积比2， 那么CEG 的面积+BEF 的面积2（OEG 的面积+OEF 的面积）21，所 以BOC 的面积，进而求出ABCD 的面积46 【解答】教材呈现： 证明：如图，连结 ED 在ABC 中，D，E 分别是边 BC，AB 的中点， DEAC，DEAC， DEGACG， 2， 3， ； 结论应用： （1）解：如图 四边形 ABCD 为正方形，E 为边 BC 的中点，对角线 AC、BD 交于点 O， ADBC，BEBCAD，

25、BOBD， BEFDAF， ， BFDF， BFBD， BOBD， OFOBBFBDBDBD， 正方形 ABCD 中，AB6， BD6， OF 故答案为； （2）解：如图，连接 OE 由（1）知，BFBD，OFBD， 2 BEF 与OEF 的高相同， BEF 与OEF 的面积比2， 同理，CEG 与OEG 的面积比2， CEG 的面积+BEF 的面积2（OEG 的面积+OEF 的面积）21， BOC 的面积， ABCD 的面积46 故答案为 6 23 【分析】 （1）根据勾股定理即可直接计算 AB 的长，根据三角函数即可计算出 PN （2）当PQMN 为矩形时，由 PNAB 可知 PQAB，根

26、据平行线分线段成比例定理可 得，即可计算出 t 的值 （3）当PQMN 与ABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况，PQMN 在三角 形内部时， PQMN 有部分在外边时 由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积 （4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过PQMN 一边中点时，有两种情况，过 MN 的中点，过 QM 的中点分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质 和可列方程计算 t 值 【解答】解： （1）在 RtABC 中，C90，AC20，BC15 AB25 ， 由题可知 AP5t， PNAPsinCAB3t 故答案为：25；3t （2）当PQMN 为矩形时，NPQ90， P

27、NAB， PQAB， ， 由题意可知 APCQ5t，CP205t， ， 解得 t， 即当PQMN 为矩形时 t （3）当PQMNABC 重叠部分图形为四边形时，有两种情况， 如解图（3）1 所示PQMN 在三角形内部时延长 QM 交 AB 于 G 点， 由（1）题可知：cosAsinB，cosB，AP5t，BQ155t，PNQM3t ANAPcosA4t，BGBQcosB93t，QGBQsinB124t， PQMN 在三角形内部时有 0QMQG， 03t124t， 0t NG254t（93t）16t 当 0t时， PQMN 与ABC 重叠部分图形为PQMN， S 与 t 之间的函数关系式 为

28、SPNNG3t （16t）3t2+48t 如解图（3）2 所示当 0QGQM，PQMN 与ABC 重叠部分图形为梯形 PQMG 时， 即：0124t3t，解得：， PQMN 与 ABC 重 叠 部 分 图 形 为 梯 形 PQMG 的 面 积 S 综上所述：当 0t时，S3t2+48t当，S （4）当过点 P 且平行于 BC 的直线经过PQMN 一边中点时，有两种情况， 如解题图（4）1，PRBC，PR 与 AB 交于 K 点，R 为 MN 中点，过 R 点作 RHAB， PKNHKRB， NKPNcotPKN3t， NRMR，HRPNQM， NHGH，HR， GMQMQG3t（124t ）7

29、t12HR KHHRcotHKR， NK+KHNH， ， 解得：t， 如解题图（4）2，PRBC，PR 与 AB 交于 K 点，R 为 MQ 中点，过 Q 点作 QH PR， HPNAQRH，四边形 PCQH 为矩形， HQQRsinQRH PC205t， 205t，解得 t 综上所述：当 t或时，点 P 且平行于 BC 的直线经过PQMN 一边中点时， 24 【分析】 （1）将 P（4，b）代入 yx2+x+；当 x5 时，当 x5 时有最大 值为 5；当 x5 时，当 x时有最大值为；故函数的最大值为； （2）将点（4，2）代入 yx2+nx+n 中，得到 n，所以n4 时，图象与线 段

30、AB 只有一个交点；将点（2，2）代入 yx2+nx+n 和 yx2+x+中，得到 n 2，n， 所以 2n时图象与线段 AB 只有一个交点； （3）当 xn 时，4，得到 n8；当 x时，+4，得到 n，当 xn 时， yn2+n2+nn，n4 【解答】解： （1）当 n5 时， y， 将 P（4，b）代入 yx2+x+， b； 当 x5 时，当 x5 时有最大值为 5； 当 x5 时，当 x时有最大值为； 函数的最大值为； （2）将点（4，2）代入 yx2+nx+n 中， n， n4 时，图象与线段 AB 只有一个交点； 将点（2，2）代入 yx2+nx+n 中， n2， 将点（2，2）代入 yx2+x+中， n， 2n时图象与线段 AB 只有一个交点； 综上所述：n4，2n时，图象与线段 AB 只有一个交点； （3）当 xn 时，yn2+n2+， 4，n8； 当 x时，y+， +4，n， 当 xn 时，yn2+n2+nn， n4； 函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4 时，n8 或 n4