专题09 二次函数的图象与性质的应用（举一反三）（原卷版）.docx

1、【方法点拨】【方法点拨】在二次函数 y = ax2+ bx + c（a0）中： 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越 小 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左侧； 当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右侧 （简 称：左同右异） 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数 =b2 4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b2 4ac=

2、0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点 【例 1】（2021福田区二模）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴是直线 x1下列结论： abc0； a+cb； 4a+c0； a+bm（am+b）（m 为实数） 其中结论正确的个数为（） A4 个B3 个C2 个D1 个 【变式 1-1】（2021铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题： 如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点在（3，0） 和（4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得 20 分，写错一个结论

3、倒扣 10 分； 小涛得到了如下结论：c0；4ab0；3a+c0；4a2bat2+bt（t 为实数）；点（ 3，y1），（5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则 y1y3y2则小涛此题得分为（） A100 分B70 分C40 分D10 分 【变式 1-2】（2021槐荫区一模）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 M（2，0）下列结论： ac0； 2a+b0； 若关于 x 的方程 ax2+bx+ct0 有两个不相等的实数根，则 t0； 若 ax12+bx1ax22+bx2，且 x1x2，则 x1+x24 其中正确的有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【变式 1-3】（20

4、21肇源县模拟）二次函数 yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（2， 9a），下列结论： abc0；4a+2b+c0；5ab+c0；若方程 a（x+5）（x1）1 有两个根 x1和 x2，且 x1x2，则5x1x21； 若方程|ax2+bx+c|2 有四个根，则这四个根的和为4 其中正确的结论有（） A2 个B3 个C4 个D5 个 【方法点拨】【方法点拨】二次函数图象与性质综合题中,求最值的方法： 1.找点.找出所求图形的顶点,其中动点的横、纵坐标用含未知数的代数式表示出来. 2.求线段长.根据点的坐标求出该图形中关键线段的长度,如三角形中,需求出底和该底上的高,若利用分

5、割 法求解,则需求出过某个顶点的竖直方向上线段的高度和水平方向上线段的宽度. 3.列式.利用面积公式求出图形的面积关于未知数的函数关系式. 4.解决问题.若求面积的最大值,可利用函数的性质求解,若要根据图形面积之间的数量关系求相关量的值, 可列方程求解.若要求得与线段长有关的量的最值,根据二次函数的性质求解即可.若要求得线段之间满足 某种数量关系时某个量的值,则根据题意列方程求解即可. 【例 2】（2021瑶海区模拟）如图，二次函数 yx2+（k1）x+3 的图象与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，且 OAOB （1）求该二次函数的解析式； （2）若点 C 是二次函数图象上的一

6、个动点，且位于第二象限； 若 CACB，求点 C 的坐标； 设ABC 的面积为 S，试求出 S 的最大值 【变式 2-1】（2020滨海县一模）如图，二次函数 y=昀 ? 2x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（2，0）和点 B （4，0），与 y 轴交于点 E，以 AB 为边在 x 轴下方作正方形 ABCD，点 M 是 x 轴上一动点，连接 CM， 过点 M 作 MNMC，与 AD 边交于点 N，与 y 轴交于点 F （1）求该抛物线的表达式； （2）在第一象限的抛物线上任取一点 P，连接 EP、PB，请问：EPB 的面积是否存在最大值？若存在， 求出此时点 P 的坐标；若不存在，请

7、说明理由； （3）当点 M 在线段 OB（点 M 不与 O、B 重合）上运动至何处时，线段 OF 的长有最大值？并求出这个 最大值 【变式 2-2】（2021南开区一模）已知抛物线 yax2+bx+c（a0）经过 A（4，0）、B（1，0）、C（0， 4）三点 （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图 1，点 D 是在直线 AC 上方的抛物线的一点，DNAC 于点 N，DMy 轴交 AC 于点 M，求 DMN 周长的最大值及此时点 D 的坐标； （3）如图 2，点 P 为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接 OP，OP 与 AC 相交于点 Q，求?th ?th的 最大值 【变式 2-3】（20

8、21东莞市一模）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于 A（1，0），B（m，0） 两点，与 y 轴相交于点 C（0，3），抛物线的顶点为 D （1）求抛物线的解析式； （2）若点 E 在 x 轴上，且ECBCBD，求点 E 的坐标 （3）若 P 是直线 BC 下方抛物线上任意一点，过点 P 作 PHx 轴于点 H，与 BC 交于点 M 求线段 PM 长度的最大值 在的条件下，若 F 为 y 轴上一动点，求 PH+HF+ 2 2 CF 的最小值 【方法点拨】【方法点拨】新定义问题多以新运算、新概念、新方法的形式呈现,新运算以给出计算公式为主,新概念以 理解概念所包含的对象及其特征

9、为主,新方法以建立解题模型为主,要求考生读懂题意并结合已有知识求解. 解决新定义问题关键要把握两点: 1.掌握问题原型的特点及解决问题的思想方法; 2.根据问题情境的变化,通过认真思考,合理进行思想方法的迁移. 【例 3】（2020雨花区校级模拟）定义：（一）如果两个函数 y1，y2，存在 x 取同一个值，使得 y1y2， 那么称 y1，y2为“合作函数”，称对应 x 的值为 y1，y2的“合作点”； （二）如果两个函数为 y1，y2为“合作函数”，那么 y1+y2的最大值称为 y1，y2的“共赢值” （1）判断函数 yx+2m 与 y= ? ?是否为“合作函数”，如果是，请求出 m1 时它们

10、的合作点；如果不是， 请说明理由； （2）判断函数 yx+2m 与 y3x1（|x|2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是， 请说明理由； （3）已知函数 yx+2m 与 yx2（2m+1）x+（m2+4m3）（0 x5）是“合作函数”，且有唯一合 作点 求出 m 的取值范围； 若它们的“共赢值”为 24，试求出 m 的值 【变式 3-1】（2020长春模拟）定义：关于 x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线” 例如：y（x1）22 的“同轴对称抛物线”为 y（x1）2+2 （1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合： （2）求抛物线 y=昀 ?

11、 2x 2+x+1 的“同轴对称抛物线” （3）如图，在平面直角坐标系中，点 B 是抛物线 L：yax24ax+1 上一点，点 B 的横坐标为 1，过点 B 作 x 轴的垂线， 交抛物线 L 的 “同轴对称抛物线” 于点 C， 分别作点 B、 C 关于抛物线对称轴对称的点 B、 C，连接 BC、CC、BC、BB 当四边形 BBCC 为正方形时，求 a 的值 当抛物线 L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有 11 个横、纵坐标均为整 数的点时，直接写出 a 的取值范围 【变式 3-2】定义：把函数 C1：y1ax24ax5a（a0）的图象绕点 P（O，n）旋转 180，得到

12、新函数 C2的图象，我们称 C2是 C1关于点 P 的相关函数，C2的图象顶点纵坐标为 m （1）当 n0 时，求新函数 C2的顶点坐标（用含 a 的代数式表示）； （2）若 a1，当昀 ? 2 ?xm 时，函数 C1的最大值为 y1，最小值为 y2，且 y1+y27，求 C2的解析式； （3）当 n1 时，C2的图象与直线 y2 相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴相交于点 D把 线段 AD 绕点（0，2）逆时针旋转 90，得到它的对应线段 AD，若线 AD与 C2的图象有公共 点，结合函数图象，请直接写出 a 的取值范围 【变式 3-3】（2020南昌模拟）定义：如

13、图，若两条抛物线关于直线 xa 成轴对称，当 xa 时，取顶点 x a 左侧的抛物线的部分；当 xa 时，取顶点在 xa 右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物 线称为关于直线 xa 的一对伴随抛物线例如：抛物线 y（x+1）2（x0）与抛物线 y（x1）2（x 0）就是关于直线 x0（y 轴）的一对伴随抛物线 （1）求抛物线 y（x+1）2+3（x1.5）关于直线 x1.5 的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式 （2）设抛物线 ymx22m2x+2（m0，m4）交 y 轴于点 A，交直线 x4 于点 B 求直线 AB 平行于 x 轴时的 m 的值 求AOB 是直角时抛物线 ymx22

14、m2x+2 关于直线 x4 的“伴随抛物线”的顶点横坐标 已知点 C、D 的坐标分别为（8，2）、（8，0），直接写出抛物线 ymx22m2x+2 及其关于直线 x 4 的“伴随抛物线”与矩形 OACD 不同的边有四个公共点时 m 的取值范围 【方法点拨】【方法点拨】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题, 这类问题的知识覆盖面较广, 综 合性较强, 题意构思非常精巧, 解题方法灵活, 对学生分析问题和解决问题的能力要求较高, 是近几年来 各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是: 假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的 结果, 就做出“存在”的判断, 导出矛盾, 就做出不存

15、在的判断。 【例 4】（2021陕西模拟）如图所示，抛物线 L：yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A、B（6，0）两点，对 称轴为直线 x2，顶点为 E （1）求抛物线 L 的函数表达式； （2）将抛物线 L 向左平移 2 个单位长度得到抛物线 L，点 M 为抛物线 L 的对称轴上一动点，点 N 为抛 物线 L上一动点是否存在以 A，E，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标； 若不存在，请说明理由 【变式 4-1】（2021铁岭二模）已知，如图，已知抛物线 yax2+bx昀?与 x 轴交于 A（3，0），B（1， 0）两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，B

16、C，若点 M 是 x 轴上的动点（不与点 B 重合），MNAC 于点 N， 连接 CM （1）求抛物线的解析式； （2）当 MN1 时，求点 N 的坐标； （3）是否存在以点 C，M，N 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存 在，请说明理由 【变式 4-2】（2021河南模拟）如图（1），抛物线 y= ? 2x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B（4，0），与 y 轴交于 点 C直线 y= ? 2x+n 经过点 B，C （1）求抛物线的解析式及点 A 的坐标 （2）点 D 是抛物线上一点，过点 D 作 DEx 轴于点 E，交 BC 于点 F 若点 D 是线

17、段 EF 的三等分点，求点 D 的坐标 当点 D 在第四象限内时，如图（2），连接 CD，是否存在点 D，使得CDF 的一个内角等于ABC 的 2 倍？若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【变式 4-3】（2021天桥区一模）如图，拋物线 y=昀 ? 2x 2+bx+c 的图象经过点 C（0，2），交 x 轴于点 A（ 1，0）和 B，连接 BC，直线 ykx+1 与 y 轴交于点 D，与 BC 上方的抛物线交于点 E，与 BC 交于点 F （1）求抛物线的表达式及点 B 的坐标； （2）求? ?的最大值及此时点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点 M 为直线 DE 上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 B、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由