专题04 选择压轴题之几何最值问题（针对训练）（解析版）.docx

1、1（2020贵阳）如图，RtABC 中，C90，利用尺规在 BC，BA 上分别截取 BE，BD，使 BEBD； 分别以 D， E 为圆心、 以大于? ?DE 的长为半径作弧， 两弧在CBA 内交于点 F； 作射线 BF 交 AC 于点 G 若 CG1，P 为 AB 上一动点，则 GP 的最小值为（） A无法确定B? ? C1D2 【分析】如图，过点 G 作 GHAB 于 H根据角平分线的性质定理证明 GHGC1，利用垂线段最短 即可解决问题 【解答】解：如图，过点 G 作 GHAB 于 H 由作图可知，GB 平分ABC， GHBA，GCBC， GHGC1， 根据垂线段最短可知，GP 的最小值为

2、 1， 故选：C 【点睛】本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本 知识，属于中考常考题型 2（2020 春新乡模拟）如图，在 RtABC 中，BAC90，且 BA9，AC12，点 D 是斜边 BC 上的 一个动点，过点 D 分别作 DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，点 G 为四边形 DEAF 对角线交点，则线段 GF 的最小值为（） A? ? B?t ? C? ? D? ? 【分析】由勾股定理求出 BC 的长，再证明四边形 DEAF 是矩形，可得 EFAD，根据垂线段最短和三角 形面积即可解决问题 【解答】解：连接 AD、EF， BAC90，且

3、BA9，AC12， BC? ?15， DEAB，DFAC， DEADFABAC90， 四边形 DEAF 是矩形， EFAD， 当 ADBC 时，AD 的值最小， 此时，ABC 的面积? ? ?ABAC? ? ?BCAD， AD? ?t? t ? ? ? ? ?t ? ， EF 的最小值为?t ? ， 点 G 为四边形 DEAF 对角线交点， GF? ? ?EF? ?t ? ； 故选：B 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟 练掌握基本知识，属于中考常考题型 3（2020杭州模拟）如图，在ABC 中，ACB90，CAB30，BC6，D 为 A

4、B 上一动点（不 与点 A 重合），AED 为等边三角形，过 D 点作 DE 的垂线，F 为垂线上任一点，G 为 EF 的中点，则 线段 BG 长的最小值是（） A6 ?B9C3 ?D6 【分析】如图，连接 DG，AG，设 AG 交 DE 于点 H，先判定 AG 为线段 DE 的垂直平分线，再判定BAC BAG（AAS），然后由全等三角形的性质可得答案 【解答】解：如图，连接 DG，AG，设 AG 交 DE 于点 H， DEDF，G 为 EF 的中点， DGGE， 点 G 在线段 DE 的垂直平分线上， AED 为等边三角形， ADAE， 点 A 在线段 DE 的垂直平分线上， AG 为线段

5、DE 的垂直平分线， AGDE，DAG? ? ?DAE30， 点 G 在射线 AH 上，当 BGAH 时，BG 的值最小，如图所示，设点 G为垂足， ACB90，CAB30， ACBAGB，CABBAG， 则在BAC 和BAG中， ?t ? ?t ?t ? ?t? ?t ? ?t ， BACBAG（AAS） BGBC6， 故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性 质及定理是解题的关键 4（2020 春云梦县模拟）如图，RtABC 中，ACB90，ABC30，AC6，D 是线段 AB 上一 个动点，以 BD 为边在ABC 外作等边BDE

6、若 F 是 DE 的中点，则 CF 的最小值为（） A6B8C9D10 【分析】连接 BF，依据等边三角形的性质，即可得到点 F 在DBE 的角平分线上运动；当点 D 在 CF 上时，CFB90，根据垂线段最短可知，此时 CF 最短，最后根据 CB 的长即可得到 CF 的长 【解答】解：如图所示，连接 BF， 等边BDE 中，F 是 DE 的中点， BFDE，BF 平分DBE， DBF30，即点 F 在DBE 的角平分线上运动， 当点 D 在 CF 上时，CFB90，根据垂线段最短可知，此时 CF 最短， 又ABC30， CBF60， RtABC 中，ACB90，ABC30，AC6， BC?A

7、C6 ?， RtBCF 中，CFBCsinCBF? t ? ? ? ? ?9， 故选：C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，即等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60连接 BF， 得到点 F 在DBE 的角平分线上运动是解决问题的关键 5（2020鼓楼区二模）如图，ABC 中，BAC45，ABC60，AB4，D 是边 BC 上的一个动 点，以 AD 为直径画O 分别交 AB、AC 于点 E、F，则弦 EF 长度的最小值为（） A ?B tC2 ? D2 ? 【分析】作 AHBC 于 H，连接 OE、OF，如图，利用圆周角定理得EOF90，利用等腰直角三角 形的性质得到 EF?OE，所以当

8、O 的半径最小时，EF 的值最小，此时 AD 最小，AD 的最小值为 AH 的长，然后在 RtABH 中计算出 AH 的长就可得到 EF 的最小值 【解答】解：作 AHBC 于 H，连接 OE、OF，如图， EOF2EAF24590， 而 OEOF， EF?OE， 当 OE 的值最小时，EF 的值最小， 此时 AD 最小，AD 的最小值为 AH 的长， 在 RtABH 中，sinABH? ?宋 ?t ?sin60， AH? ? ? AB2 ?， OE 的最小值为 ?， EF 的最小值为 ? ? ?t 故选：B 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条

9、弧所对 的圆心角的一半也考查了垂线段最短 6（2020泰安）如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中 点，连接 PB，则 PB 的最小值是（） A2B4C ?D? ? 【分析】根据中位线定理可得出点 P 的运动轨迹是线段 P1P2，再根据垂线段最短可得当 BPP1P2时， PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知 BP1P1P2，故 BP 的最小值为 BP1的长，由勾股 定理求解即可 【解答】解：如图： 当点 F 与点 C 重合时，点 P 在 P1处，CP1DP1， 当点 F 与点 E 重合时，点 P 在 P2处，EP2

10、DP2， P1P2CE 且 P1P2? ? ?CE 当点 F 在 EC 上除点 C、E 的位置处时，有 DPFP 由中位线定理可知：P1PCE 且 P1P? ? ?CF 点 P 的运动轨迹是线段 P1P2， 当 BPP1P2时，PB 取得最小值 矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点， CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12 ADECDECP1B45，DEC90 DP2P190 DP1P245 P2P1B90，即 BP1P1P2， BP 的最小值为 BP1的长 在等腰直角 BCP1中，CP1BC2 BP12 ? PB 的最小值是 2 ? 故选：D 【点睛】本题考查

11、轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度 7（2020恩施州）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 AB 上且 BE1，F 为对角线 AC 上一动点， 则BFE 周长的最小值为（） A5B6C7D8 【分析】连接 ED 交 AC 于一点 F，连接 BF，根据正方形的对称性得到此时BFE 的周长最小，利用勾 股定理求出 DE 即可得到答案 【解答】解：如图，连接 ED 交 AC 于一点 F，连接 BF， 四边形 ABCD 是正方形， 点 B 与点 D 关于 AC 对称， BFDF， BFE 的周长BF+EF+BEDE+BE，此时BEF 的周长最小， 正

12、方形 ABCD 的边长为 4， ADAB4，DAB90， 点 E 在 AB 上且 BE1， AE3， DE? ? ?， BFE 的周长5+16， 故选：B 【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾 股定理的计算依据正方形的对称性，连接 DE 交 AC 于点 F 时BFE 的周长有最小值，这是解题的关 键 8（2020西藏）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD3，动点 P 满足 SPAB? ? ?S 矩形ABCD，则点 P 到 A、 B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（） A2 ?B2 ?tC3 ?D ? 【分析】先由 SPAB? ?

13、?S 矩形ABCD，得出动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，作 A 关于直 线 l 的对称点 E，连接 AE，BE，则 BE 的长就是所求的最短距离然后在直角三角形 ABE 中，由勾股定 理求得 BE 的值，即可得到 PA+PB 的最小值 【解答】解：设ABP 中 AB 边上的高是 h SPAB? ? ?S 矩形ABCD， ? ?ABh? ? ?ABAD， h? ? ?AD2， 动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上， 如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，BE，则 BE 的长就是所求的最短距离 在 RtABE 中，A

14、B6，AE2+24， BE?t? ?t? ?2 ?， 即 PA+PB 的最小值为 2 ? 故选：A 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理， 结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 9（2021利辛县模拟）如图，在锐角ABC 中，AB6，ABC60，ABC 的平分线交 AC 于点 D， 点 P，Q 分别是 BD，AB 上的动点，则 AP+PQ 的最小值为（） A6B6 ?C3D3 ? 【分析】在 BC 上取 E，使 BEBQ，这样 AP+PQ 转化为 AP+PE 即可得出答案 【解答】解：如答图： 在 BC 上取 E，使 BEBQ

15、，连接 PE，过 A 作 AHBC 于 H， BD 是ABC 的平分线， ABDCBD， BPBP，BEBQ， BPQBPE（SAS）， PEPQ， AP+PQ 的最小即是 AP+PE 最小， 当 AP+PEAH 时最小， 在 RtABH 中， AB6，ABC60， AHABcos603 ? AP+PQ 的最小为 3 ?， 故选：D 【点睛】本题考查两条线段和的最小值，解题的关键是作辅助线把 PQ 转化到 BD 的另一侧 10（2021港南区一模）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E，F 分别是 BC，CD 边上的动点，满 足 BECF则 AE+AF 的最小值为（） A ?B? ?

16、C? ? ? ?D? ? 【分析】连接 DE，作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 BA、EA，易得 AE+AFAE+DEAE+DE， 当 D、E、A在同一直线时，AE+AF 最小，利用勾股定理求解即可 【解答】解：连接 DE， 根据正方形的性质及 BECF， DCEADF（SAS）， DEAF， AE+AFAE+DE， 作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 BA、EA， 则 AEAE， 即 AE+AFAE+DEAE+DE， 当 D、E、A在同一直线时，AE+AF 最小， AA2AB4， 此时，在 RtADA中，DA? ? ? ?， 故 AE+AF 的最小值为 ? ? 故选：D 【点睛

17、】本题考查正方形的性质和最短距离问题，解题的关键是把两条线段的和转化在同一条线段上求 解 11（2021覃塘区模拟）如图，点 P 是菱形 AOBC 内任意一点，C45，OP2，点 M 和点 N 分别是 射线 OA，OB 上的动点，则PMN 周长的最小值是（） A2B2 ?C4D2 ? 【分析】设点 P 关于 OA 的对称点为 J，关于 OB 的对称点为 K，当点 M、N 在 JK 上时，PMN 的周长 最小 【解答】解：四边形 AOBC 是菱形，C45， AOB45， 分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 J、K，连接 JK，分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OJ、OK 点 P 关于

18、 OA 的对称点为 J，关于 OB 的对称点为 K， PMJM，OPOJ，JOAPOA； 点 P 关于 OB 的对称点为 K， PNKN，OPOK，KOBPOB， OJOKOP2，JOKJOA+POA+POB+KOB2POA+2POB2AOB90， JOK 是等腰直角三角形， JK? ? ?2 ? PMN 的周长的最小值PM+MN+PNJM+MN+KNCJK2 ?， 故选：B 【点睛】此题主要考查轴对称最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键 12（2020贵港）如图，动点 M 在边长为 2 的正方形 ABCD 内，且 AMBM，P 是 CD 边上的一个动点， E 是 AD 边的中点

19、，则线段 PE+PM 的最小值为（） A ?t ?1B ? ?1C ?tD ? ?1 【分析】作点 E 关于 DC 的对称点 E，设 AB 的中点为点 O，连接 OE，交 DC 于点 P，连接 PE，由轴 对称的性质及 90的圆周角所对的弦是直径， 可知线段 PE+PM 的最小值为 OE的值减去以 AB 为直径的 圆的半径 OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可 【解答】解：作点 E 关于 DC 的对称点 E，设 AB 的中点为点 O，连接 OE，交 DC 于点 P，连接 PE， 如图： 动点 M 在边长为 2 的正方形 ABCD 内，且 AMBM， 点 M 在以 AB 为直径的圆上，OM?

20、 ? ?AB1， 正方形 ABCD 的边长为 2， ADAB2，DAB90， E 是 AD 的中点， DE? ? ?AD? ? ? ?21， 点 E 与点 E关于 DC 对称， DEDE1，PEPE， AEAD+DE2+13， 在 RtAOE中，OE? ? ?t， 线段 PE+PM 的最小值为： PE+PM PE+PM ME OEOM ?t ?1 故选：A 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点， 数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键 13（2020瑶海区一模）如图，在 RtABC 中，ACB90，B30，AB4，点 D、F 分别是边 A

21、B，BC 上的动点，连接 CD，过点 A 作 AECD 交 BC 于点 E，垂足为 G，连接 GF，则 GF? ? ?FB 的最 小值是（） A ? ? ?B ? ? ?C? ? ? ? ?D? ? ? ? ? 【分析】由? ?FB 联想到给 FB 构造含 30角的直角三角形，故把 RtABC 补成等边ABP，过 F 作 BP 的垂线 FH，故 GF? ? ?FBGF+FH，易得当 G、F、H 成一直线时，GF? ? ?FB 最短又由于点 G 为动点， 易证点 G 在以 AC 为直径的圆上，求点 G 到 PB 的最短距离即当点 G 在点 O 到 BP 的垂线段上时，GQ 的长度 【解答】解：延

22、长 AC 到点 P，使 CPAC，连接 BP，过点 F 作 FHBP 于点 H，取 AC 中点 O，连接 OG，过点 O 作 OQBP 于点 Q， ACB90，ABC30，AB4 ACCP2，BPAB4 ABP 是等边三角形 FBH30 RtFHB 中，FH? ? ?FB 当 G、F、H 在同一直线上时，GF? ? ?FBGF+FHGH 取得最小值 AECD 于点 G AGC90 O 为 AC 中点 OAOCOG? ? ?AC A、C、G 三点共圆，圆心为 O，即点 G 在O 上运动 当点 G 运动到 OQ 上时，GH 取得最小值 RtOPQ 中，P60，OP3， sinP? ?t ? ? ?

23、 ? OQ? ? ? OP? ? ? ? GH 最小值为? ? ? ? ? 故选：C 【点睛】本题考查了含 30直角三角形性质，垂直平分线性质，点到直线距离，圆上点与直线距离，最 短路径解题关键是找到点 G 运动到什么位置时，GH 最小，进而联想到找出点 G 运动路径再计算 14如图，矩形 ABCD 中，AB2，AD3，点 E、F 分别为 AD、DC 边上的点，且 EF2，点 G 为 EF 的 中点，点 P 为 BC 上一动点，则 PA+PG 的最小值为（） A3B4C2 ?D5 【分析】因为 EF2，点 G 为 EF 的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出 DG1，所以 G 是以 D 为

24、圆心，以 1 为半径的圆弧上的点，作 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AD，交 BC 于 P，交以 D 为 圆心，以 1 为半径的圆于 G，此时 PA+PG 的值最小，最小值为 AG 的长；根据勾股定理求得 AD5， 即可求得 AGADDG514，从而得出 PA+PG 的最小值 【解答】解：EF2，点 G 为 EF 的中点， DG1， G 是以 D 为圆心，以 1 为半径的圆弧上的点， 作 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AD，交 BC 于 P，交以 D 为圆心，以 1 为半径的圆于 G， 此时 PA+PG 的值最小，最小值为 AG 的长； AB2，AD3， AA4， AD5， AGA

25、DDG514， PA+PG 的最小值为 4， 故选：B 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，判断出 G 点的轨迹是解题的关键凡是涉及最短距离的问 题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 15（2020安庆一模）如图，在边长为 2 ?的等边ABC 中，点 D、E 分别是边 BC、AC 上两个动点，且 满足 AECD，连接 BE、AD 相交于点 P，则线段 CP 的最小值为（） A1B2C ?D2 ? ?1 【分析】易证ABDBCE，可得BADCBE，根据APEABE+BAD，APEBPD， ABE+CBE60，即可求得APEABC，推出APB120

26、，推出点 P 的运动轨迹是?t ?，AOB 120，连接 CO，求出 OC，OA，再利用三角形的三边关系即可解决问题 【解答】解：CDAE，BCAC， BDCE， 在ABD 和BCE 中， ?t ? t ?t? ? ?t? t? ? ? ， ABDBCE（SAS）， BADCBE， APEABE+BAD，APEBPD，ABE+CBE60， BPDAPEABC60， APB120， 点 P 的运动轨迹是?t ?，AOB120，连接 CO， OAOB，CACB，OCOC， AOCBOC（SSS）， OACOBC，ACOBCO30， AOB+ACB180， OAC+OBC180， OACOBC90，

27、 OCACcos304，OA? ? ?OC2， OP2， PCOCOP， PC2， PC 的最小值为 2 故选：B 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、圆等知识，解题 的关键是发现点 P 的运动轨迹， 学会利用三角形的三边关系解决最值问题， 属于中考填空题中的压轴题 16（2020涡阳县模拟）如图所示，已知矩形 ABCD，AB4，AD3，点 E 为边 DC 上不与端点重合的一 个动点，连接 BE，将BCE 沿 BE 翻折得到BEF，连接 AF 并延长交 CD 于点 G，则线段 CG 长度的最 大值是（） A1B1.5C4?D4? 【分析】以 B 为圆心，

28、BC 长为半径作圆 B，当 AF 与B 相切时，即 E，G 两点重合时，CG 值最大，证 明ABEAEB，得出 AEAB4，由勾股定理求出 DE? ?，即可得出结果 【解答】解：以 B 为圆心，BC 长为半径作圆 B，如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， CDAB4，BCAD3，BCEADE90， 由折叠的性质得：BFEBCE90，BFBC3， BFEF， 当 AF 与B 相切时，即 E，G 两点重合时，A、F、E 三点共线，CG 值最大， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD， CEBABE， 由折叠的性质得：AEBCEB， ABEAEB， AEAB4， 在 RtADE 中，ADE90，

29、DE? ? ?， AG 的最大值为：CDDE4?， 故选：D 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、切线的性质等知识；熟 练掌握折叠的性质，判断出当 AF 与B 相切时，即 E，G 两点重合时，CG 值最大是解题的关键 17等腰直角ABC 中，C90，ACBC4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD，过点 C 作 CHBD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为（） A2 ?B2 ? ?2C4D2 ? ?2 【分析】根据CHB90，BC 是定值，可知 H 点是在以 BC 为直径的半圆上运动，当 A、H、O 三点 共线时，AH 最短，借助勾股定理求解 【解答】

30、 解： CHB90， BC 是定值， H 点是在以 BC 为直径的半圆上运动 （不包括 B 点和 C 点） ， 连接 HO，则 HO? ? ?BC2 当 A、H、O 三点共线时，AH 最短，此时 AHAOHO2 ? ?2 故选：B 【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是找准 H 点运动的轨迹 18（2021庐阳区校级一模）如图，在 RtABC 中，ACB90，BC3，AB5，点 D 是边 BC 上一 动点，连接 AD， 在 AD 上取一点 E，使DACDCE，连接 BE，则 BE 的最小值为（） A2 ? ?3B ? ? C ? ?2D? ? 【分析】取 AC 的

31、中点 O，连接 OE，OB，由DACDCE，得出AEC90，可得 CEAD 于点 E， 可得 E 点在以 O 为圆心，半径为 OA 的圆上运动，当 O，E，B 三点在同一直线上时，BE 最短，即可求 出 BE 【解答】解：RtABC 中，ACB90，BC3，AB5， AC4， 如图，取 AC 的中点 O，连接 OE，OB， DACDCE，DCE+ACE90， DAC+ACE90， AEC90， CEAD， 可得 E 点在以 O 为圆心，半径为 OA 的圆上运动，当 O，E，B 三点在同一直线上时，BE 最短， 可得此时 OEOCOA2， 在 RtOCB 中，OB? ?， 故 BE 的最短值为：

32、OBOE? ?2， 故选：C 【点睛】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理得出 AC，利用最短路径解答 19（2021武汉模拟）如图，AC 为边长为 ? ?的菱形 ABCD 的对角线，ABC60，点 M，N 分别从 点 B，C 同时出发，以相同的速度沿 BC，CA 向终点 C 和 A 运动，连接 AM 和 BN，求APB 面积的最 大值是（） A? ?B? ? ? ?C? ?D ? 【分析】证明ABMBCN（SAS），推出BAMCBN，推出ABP+CBN60，推出ABP+ BAM60， 推出APB18060120， 推出点 P 在弧 AB 上运动， 可知当? ? ? ?t ?时， PAB

33、 的面积最大 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABCBCDAD， ABC60， ABC 是等边三角形， ACBABM60， 点 M，N 分别从点 B，C 同时出发，以相同的速度沿 BC，CA 向终点 C 和 A 运动， BMCN， 在ABM 和BCN 中， t? ? t ?th ? ?t? th ? ? ， ABMBCN（SAS）， BAMCBN， ABP+CBN60， ABP+BAM60， APB18060120， 点 P 在弧 AB 上运动， 当? ? ? ?t ?时，PAB 的面积最大，最大值? ? ? ?2 ? ?1?， 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，轨迹，

34、菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解 题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型 20（2020浉河区校级一模）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），C 的圆心坐 标为（0，1），原点（0，0）在C 上，E 是C 上的一动点，则ABE 面积的最小值为（） A1B2? ? ? C1? ? ? D? t ? ? t 【分析】 先判断出点 E 的位置， 点 E 在过点 C 垂直于 AB 的直线和C 在点 C 上方的交点， 然后求出 AB， 进而根据三角形面积公式得出 CD，即可得出得出 DE，再用三角形的面积公式即可得出结论 【解答】解：如图，过点 C 作

35、CDAB，交C 于 E，此时ABE 面积的值最小（AB 是定值，只要圆上 一点 E 到直线 AB 的距离最小， A（2，0），B（0，1）， AB? ?， C 的圆心坐标为（0，1），原点（0，0）在C 上， OC1， BC2， ? ?BCOA? ? ?ABCD， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?CD， CD? ? ? ? ， DECDCE? ? ? ? ?1， SABE的最小值? ? ?ABDE? ? ?（ ? ? ? ?1）? ?2? ? ? ， 故选：B 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，待定系数法，求两条直线的交点的方法，三角形的 面积公式，解本题的关键是判断出点 E

36、 的位置，是一道中等难度的试题 21 （2020武汉模拟）如图在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 CD，CB 上的动点，其中 AD1，若FAE 45，则FAE 面积的最大值为（） A ? ?1B? ? C t ?D ? ? 【分析】设 BFx，DEy，则 CF1x，CE1y，将ABF 绕点 A 逆时针旋转 90得ADG，证 明AEFAEG，得 EFEGx+y，进而得?h? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ?，再根据勾股定理与 三角形三边关系求得 x+y 的最大值，进而求得结果 【解答】解：设 BFx，DEy，则 CF1x，CE1y， 将ABF 绕点 A 逆时针旋转 90得AD

37、G， BAFDAG，AFAG，ADGB90， E、D、G 三点共线， BAD90，EAF45， BAF+DAE45， DAG+DAE45， GAEEAF45， AEAE， AEFAEG（SAS）， EFEGx+y， ?h? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t? ?， EFCE+CF， x+y1x+1y， x+y1， 当 E、C、F 三点共线时，x+y 的值最大为 1， 当 x+y1 时，FAE 面积的最大为? ? 故选：B 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，三角形的面积 公式，关键是作辅助线，构造全等三角形 22（2021硚口区模拟）如图，半径为

38、2 的O 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是O 上一动点，点 C 为 弦 AB 的中点，直线 y? ? ?x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E，则CDE 面积的最小值为（ ） A1B ?C3D2 【分析】如图，连接 OB，取 OA 的中点 M，连接 CM，过点 M 作 MNDE 于 N首先证明点 C 的运动 轨迹是以 M 为圆心，1 为半径的M，设M 交 MN 于 C求出 MN，当点 C 与 C重合时，CDE 的面积最小 【解答】解：如图，连接 OB，取 OA 的中点 M，连接 CM，过点 M 作 MNDE 于 N ACCB，AMOM， MC? ? ?OB1， 点 C 的运动轨迹是

39、以 M 为圆心，1 为半径的M，设M 交 MN 于 C 直线 y? ? ?x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E， D（4，0），E（0，3）， OD4，OE3， DE? ? ?5， MDNODE，MNDDOE， DNMDOE， h? ? ? ?h ? ， h? ? ? ? ?， MN? ? ?， 当点 C 与 C重合时，CDE 的面积最小，CDE 的面积最小值? ? ? ?5（? ? ?1）2， 故选：D 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型 23（2021泗洪县二模）如图，

40、在ABC 中，ABAC5，BC4 ?，D 为边 AC 上一动点（C 点除外）， 把线段 BD 绕着点 D 沿着顺时针的方向旋转 90至 DE，连接 CE，则CDE 面积的最大值为（） A16B8C32D10 【分析】如图，过点 E 作 EFAC 于 F，作 BHAC 于点 H，由勾股定理可求可求 AH3，由旋转的性 质可求 BDDE，BDE90，由 AAS 可证BDHDEF，可得 EFDH，由三角形面积公式和二 次函数的性质可求解 【解答】解：如图，过点 E 作 EFAC 于 F，作 BHAC 于点 H， EFDBHD90， BH2BC2CH2，BH2AB2AH2， 80（5+AH）225AH

41、2， AH3， 将线段 BD 绕 D 点顺时针旋转 90得到线段 ED， BDDE，BDE90， BDF+EDF90，且EAF+AEF90， AEFBDF， 在BDH 和DEF 中， ?t?h ? ?h ?t宋? ? ?h? t? ? ? ， BDHDEF（AAS）， EFDH， CDE 面积? ? ?CDEF? ? ? ?CD（8CD）? ? ?（CD4） 2+8， 当 CD4 时，CDE 面积的最大值为 8， 故选：B 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，添加 恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键 24（2020惠山区一模）如图，矩形 AB

42、CD 中，AB8，AD4，E 为边 AD 上一个动点，连接 BE，取 BE 的中点 G，点 G 绕点 E 逆时针旋转 90得到点 F，连接 CF，则CEF 面积的最小值是（） A16B15C12D11 【分析】过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 H，则FEHEBA，设 AEx，可得出CEF 面积 与 x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值 【解答】解：过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 H， AH90，FEB90， FEH90BEAEBA， FEHEBA， 宋h ? ? 宋? ?t ? ?h t? ? ? ?， 设 AEx， AB8，AD4， HF? ? ?x，EH4，DHx， CEF 面积? ? ?（4+x）8? ? ? ? ? ?x4? ? ? ?（8? ? ?x）x? ? ?x 2x+16? ?（x2） 2+15， 当 x2 时，CEF 面积的最小值是 15 故选：B 【点睛】本题考查了旋转的性质，二次函数的最值，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，通过构造 K 形图，建立CEF 面积与 AE 长度的函数关系式是解题的关键