专题03 选择压轴题之几何最值问题(举一反三)(解析版).docx
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1、【方法点拨】【方法点拨】涉及旋转、对称、折叠的最值问题中, 若无法直接求解,可先找到关键点的运动轨迹,再利用 “垂线段最短”来求解. 【例 1】(2020南谯区二模)如图,ABC 中,A30,ACB90,BC2,D 是 AB 上的动点, 将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90,得到线段 CE,连接 BE,则 BE 的最小值是() A ? ?1B ? ? C ?D2 【分析】如图,过点 C 作 CKAB 于 K,将线段 CK 绕点 C 逆时针旋转 90得到 CH,连接 HE,延长 HE 交 AB 的延长线于 J首先证明四边形 CKJH 是正方形,推出点 E 在直线 HJ 上运动,求出 BJ,根
2、据 垂线段最短解决问题即可 【解答】解:如图,过点 C 作 CKAB 于 K,将线段 CK 绕点 C 逆时针旋转 90得到 CH,连接 HE,延 长 HE 交 AB 的延长线于 J DCEKCH90, DCKECH, CDCE,CKCH, CKDCHE(SAS), CKDH90, CKJKCHH90, 四边形 CKJH 是矩形, CKCH, 四边形 CKJH 是正方形, 点 E 在直线 HJ 上运动,当点 E 与 J 重合时,BE 的值最小, 在 RtCBK 中,BC2,ABC60, CKBCsin60?,BKBCcos601, KJCK? BJKJBK? ?1, BE 的最小值为 ? ?1,
3、 补充方法:AC 上截取 CF2,得三角形 CFD 全等于三角形 CBE,DF 在 DF 垂直 AB 时最小 故选:A 【点睛】本题考查旋转的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形,正方形的判定和性质,垂线 段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考 问题 【变式 1-1】(2021怀宁县模拟)如图,在ABC 中,ACB90,ACBC4,P 是ABC 的高 CD 上一个动点,以 B 点为旋转中心把线段 BP 逆时针旋转 45得到 BP,连接 DP,则 DP的最小值 是() A2 ? ? ?B42 ?C2?D ? ? t 【分析】在 BC 上截
4、取 BEBD,由等腰直角三角形的性质可得 BA4 ?,ABCBACBCD DCA45,BDCDAD2 ? ?BE,由旋转的性质可得 BPBP,PBP45,可证BDP BEP,可得 PEPD,当 PECD 时,PE 有最小值,即 DP有最小值,由直角三角形的性质可求 DP 的最小值 【解答】解:如图,在 BC 上截取 BEBD,连接 EP, ACB90,ACBC4,CDAB, BA4 ?,ABCBACBCDDCA45,BDCDAD2 ? ?BE 旋转 BPBP,PBP45, BEBD,ABCPBP45,BPBP BDPBEP(SAS) PEPD 当 PECD 时,PE 有最小值,即 DP有最小值
5、, PECD,BCD45, CE?PEBCBE42 ? PE2 ? ?2 故选:A 【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形判定和性质,添加恰当辅助线构 造全等三角形是本题的关键 【变式 1-2】(2020南山区校级一模)如图, ABCD 中,DAB60,AB6,BC2,P 为边 CD 上 的一动点,则 PB? ? ? PD 的最小值等于() A ?B3C3 ? D2+2 ? 【分析】过点 P 作 PEAD,交 AD 的延长线于点 E,有锐角三角函数可得 EP? ? ? PD,即 PB? ? ? PD PB+PE,则当点 B,点 P,点 E 三点共线且 BEAD 时,PB
6、+PE 有最小值,即最小值为 BE 【解答】解:如图,过点 P 作 PEAD,交 AD 的延长线于点 E, ABCD, EDPDAB60, sinEDP? ?t ?t ? ? ? , EP? ? ? PD PB? ? ? PDPB+PE 当点 B,点 P,点 E 三点共线且 BEAD 时,PB+PE 有最小值,即最小值为 BE, sinA? ? ? ? ? ? , BE3 ?, 故选:C 【点睛】本题考查了平行四边形的性质,垂线段最短,解直角三角形等知识,解题的关键是学会用转化 的思想思考问题,属于中考常考题型 【变式 1-3】(2021太和县一模)在ABC 中,ACB90,P 为 AC 上一
7、动点,若 BC4,AC6,则 ?BP+AP 的最小值为() A5B10C5 ?D10 ? 【分析】 ?BP+AP?(BP? ? ? AP),求 BP? ? ? AP 的最小值属“胡不归”问题,以 A 为顶点,AC 为 一边在下方作 45角即可得答案 【解答】解:以 A 为顶点,AC 为一边在下方作CAM45,过 P 作 PFAM 于 F,过 B 作 BDAM 于 D,交 AC 于 E,如图: ?BP+AP?(BP? ? ? AP),要使 ?BP+AP 最小,只需 BP? ? ? AP 最小, CAM45,PFAM, AFP 是等腰直角三角形, FP? ? ? AP, BP? ? ? AP 最小
8、即是 BP+FP 最小,此时 P 与 E 重合,F 与 D 重合,即 BP? ? ? AP 最小值是线段 BD 的 长度, CAM45,BDAM, AEDBEC45, ACB90, sinBECsin45? ? ?,tanBEC? ? ?, 又 BC4, BE4 ?,CE4, AC6, AE2, 而 sinCAMsin45? ? ?, DE?, BDBE+DE5 ?, ?BP+AP 的最小值是 ?BD10, 故选:B 【点睛】本题考查线段和的最小值,解题的关键是做 45角,将求 BP? ? ? AP 的最小值转化为求垂线段 的长 【方法点拨【方法点拨】“将军饮马”问题是中考的热点问题之一,解决
9、这类问题的方法是找出两定点中任一点关于动 点所在直线的对称点,再将另一点与对称点相连,连线与直线的交点即为所求的点.通常情况下, 求三角形 或四边形的周长的最小值时,往往也是利用轴对称进行解题. 【例 2】(2021淮南一模)如图,RtABC 中BAC90,AB1,AC2 ?点 D,E 分别是边 BC, AC 上的动点,则 DA+DE 的最小值为() A? ? Btt ? C? ? ? Dtt ? ? 【分析】如图,作 A 关于 BC 的对称点 A,连接 AA,交 BC 于 F,过 A作 AEAC 于 E,交 BC 于 D, 则 ADAD,此时 AD+DE 的值最小,就是 AE 的长,根据相似
10、三角形对应边的比可得结论 【解答】解:作 A 关于 BC 的对称点 A,连接 AA,交 BC 于 F,过 A作 AEAC 于 E,交 BC 于 D,则 ADAD,此时 AD+DE 的值最小,就是 AE 的长; RtABC 中,BAC90,AB1,AC2 ?, BC?t? t? ? ?, SABC? t ?ABAC? t ?BCAF, 12 ? ?3AF, AF? ? ? ? , AA2AF? ? ? ? , AFDDEC90,ADFCDE, AC, AEABAC90, AEABAC, ?h ?h? ? ? ?, ? ? ? ?h? ? ? ? ?, AE? tt ? , 即 AD+DE 的最小
11、值是tt ? ; 故选:B 【点睛】本题考查轴对称最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知 识,解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题,属于中考填空题中的压轴题 【变式 2-1】(2020荆门)在平面直角坐标系中,长为 2 的线段 CD(点 D 在点 C 右侧)在 x 轴上移动,A (0,2),B(0,4),连接 AC,BD,则 AC+BD 的最小值为() A2 ?B2 ttC6 ?D3 ? 【分析】设 C(m,0),则有 AC+BD? ?t? ? ?,推出要求 AC+BD 的最小值,相当 于在 x 轴上找一点 P(m,0),使得点 P 到 M(0,2)
12、和 N(2,4)的距离和最小,如图 1 中,作点 M 关于 x 轴的对称点 Q,连接 NQ 交 x 轴于 P,连接 MP,此时 PM+PN 的值最小,求出 NQ 即 可解决问题 【解答】解:设 C(m,0), CD2, D(m+2,0), A(0,2),B(0,4), AC+BD? ?t? ? ?, 要求 AC+BD 的最小值,相当于在 x 轴上找一点 P(m,0),使得点 P 到 M(0,2)和 N(2,4) 的距离和最小, 如图 1 中,作点 M 关于 x 轴的对称点 Q,连接 NQ 交 x 轴于 P,连接 MP,此时 PM+PN 的值最 小, N(2,4),Q(0,2) PM+PN 的最
13、小值PN+PQNQ? t?2 tt, AC+BD 的最小值为 2 tt 故选:B 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题,坐标与图形的性质,两点间距离公式等知识,解题的关键是 学会利用参数解决问题,学会利用数形结合的思想思考问题,学会用转化的思想解决问题,属于中考选 择题中的压轴题 【变式 2-2】(2020红桥区一模)如图,在四边形 ABCD 中,AD90,AB5,AD4,CD3, 点 P 是边 AD 上的动点,则PBC 周长的最小值为() A8B? ?C12Dt ? 【分析】作点 C 关于 AD 的对称点 E,连接 EB 交 AD 于点 P,连接 CP,则 EPCP,EDCD, 此时PBC 周
14、长最小为:PC+PB+BCPE+PB+BCEB+BC,作 BFDC 的延长线于点 F,在 RtBCF 和 RtBFE 中,根据勾股定理即可得PBC 周长的最小值 【解答】解:作点 C 关于 AD 的对称点 E,连接 EB 交 AD 于点 P, 连接 CP,则 EPCP,EDCD, 此时PBC 周长最小为: PC+PB+BCPE+PB+BCEB+BC, 作 BFDC 的延长线于点 F, AADC90, 四边形 ABFD 是矩形, BFAD4,DFAB5, CFDFCD532, EFDF+ED5+38, 在 RtBCF 和 RtBFE 中,根据勾股定理,得 BC? ?2 ?, BE? ?4 ?,
15、BC+BE6 ? 所以PBC 周长的最小值为 6 ? 故选:D 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理,解决本题的关键是掌握轴对称性质 【变式 2-3】(2020市南区二模)如图,在矩形 ABCD 中,AD12,AEBD,垂足为 E,ED3BE,点 P、 Q 分别在 BD,AD 上,则 AP+PQ 的最小值为() A4 ?B2 ?C6 ?D4 ? 【分析】在 RtABE 中,利用三角形相似可求得 AE、DE 的长,设 A 点关于 BD 的对称点 A,连接 A D,可证明ADA为等边三角形,当 PQAD 时,则 PQ 最小,所以当 AQAD 时 AP+PQ 最小,从 而可求得 AP+PQ
16、 的最小值等于 DE 的长,可得出答案 【解答】解:设 BEx,则 DE3x, 四边形 ABCD 为矩形,且 AEBD, ABEDAE, AE2BEDE,即 AE23x2, AE?x, 在 RtADE 中,由勾股定理可得 AD2AE2+DE2,即 122(?x)2+(3x)2,解得 x2 ?, AE6,DE6 ?, 如图,设 A 点关于 BD 的对称点为 A,连接 AD,PA, 则 AA2AE12AD,ADAD12, AAD 是等边三角形, PAPA, 当 A、P、Q 三点在一条线上时,AP+PQ 最小, 又垂线段最短可知当 PQAD 时,AP+PQ 最小, AP+PQAP+PQAQDE6 ?
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