专题03 选择压轴题之几何最值问题（举一反三）（解析版）.docx

1、【方法点拨】【方法点拨】涉及旋转、对称、折叠的最值问题中, 若无法直接求解,可先找到关键点的运动轨迹,再利用 “垂线段最短”来求解. 【例 1】（2020南谯区二模）如图，ABC 中，A30，ACB90，BC2，D 是 AB 上的动点， 将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90，得到线段 CE，连接 BE，则 BE 的最小值是（） A ? ?1B ? ? C ?D2 【分析】如图，过点 C 作 CKAB 于 K，将线段 CK 绕点 C 逆时针旋转 90得到 CH，连接 HE，延长 HE 交 AB 的延长线于 J首先证明四边形 CKJH 是正方形，推出点 E 在直线 HJ 上运动，求出 BJ，根

2、据 垂线段最短解决问题即可 【解答】解：如图，过点 C 作 CKAB 于 K，将线段 CK 绕点 C 逆时针旋转 90得到 CH，连接 HE，延 长 HE 交 AB 的延长线于 J DCEKCH90， DCKECH， CDCE，CKCH， CKDCHE（SAS）， CKDH90， CKJKCHH90， 四边形 CKJH 是矩形， CKCH， 四边形 CKJH 是正方形， 点 E 在直线 HJ 上运动，当点 E 与 J 重合时，BE 的值最小， 在 RtCBK 中，BC2，ABC60， CKBCsin60?，BKBCcos601， KJCK? BJKJBK? ?1， BE 的最小值为 ? ?1，

3、 补充方法：AC 上截取 CF2，得三角形 CFD 全等于三角形 CBE，DF 在 DF 垂直 AB 时最小 故选：A 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的判定和性质，垂线 段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考 问题 【变式 1-1】（2021怀宁县模拟）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC4，P 是ABC 的高 CD 上一个动点，以 B 点为旋转中心把线段 BP 逆时针旋转 45得到 BP，连接 DP，则 DP的最小值 是（） A2 ? ? ?B42 ?C2?D ? ? t 【分析】在 BC 上截

4、取 BEBD，由等腰直角三角形的性质可得 BA4 ?，ABCBACBCD DCA45，BDCDAD2 ? ?BE，由旋转的性质可得 BPBP，PBP45，可证BDP BEP，可得 PEPD，当 PECD 时，PE 有最小值，即 DP有最小值，由直角三角形的性质可求 DP 的最小值 【解答】解：如图，在 BC 上截取 BEBD，连接 EP， ACB90，ACBC4，CDAB， BA4 ?，ABCBACBCDDCA45，BDCDAD2 ? ?BE 旋转 BPBP，PBP45， BEBD，ABCPBP45，BPBP BDPBEP（SAS） PEPD 当 PECD 时，PE 有最小值，即 DP有最小值

5、， PECD，BCD45， CE?PEBCBE42 ? PE2 ? ?2 故选：A 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形判定和性质，添加恰当辅助线构 造全等三角形是本题的关键 【变式 1-2】（2020南山区校级一模）如图， ABCD 中，DAB60，AB6，BC2，P 为边 CD 上 的一动点，则 PB? ? ? PD 的最小值等于（） A ?B3C3 ? D2+2 ? 【分析】过点 P 作 PEAD，交 AD 的延长线于点 E，有锐角三角函数可得 EP? ? ? PD，即 PB? ? ? PD PB+PE，则当点 B，点 P，点 E 三点共线且 BEAD 时，PB

6、+PE 有最小值，即最小值为 BE 【解答】解：如图，过点 P 作 PEAD，交 AD 的延长线于点 E， ABCD， EDPDAB60， sinEDP? ?t ?t ? ? ? ， EP? ? ? PD PB? ? ? PDPB+PE 当点 B，点 P，点 E 三点共线且 BEAD 时，PB+PE 有最小值，即最小值为 BE， sinA? ? ? ? ? ? ， BE3 ?， 故选：C 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化 的思想思考问题，属于中考常考题型 【变式 1-3】（2021太和县一模）在ABC 中，ACB90，P 为 AC 上一

7、动点，若 BC4，AC6，则 ?BP+AP 的最小值为（） A5B10C5 ?D10 ? 【分析】 ?BP+AP?（BP? ? ? AP），求 BP? ? ? AP 的最小值属“胡不归”问题，以 A 为顶点，AC 为 一边在下方作 45角即可得答案 【解答】解：以 A 为顶点，AC 为一边在下方作CAM45，过 P 作 PFAM 于 F，过 B 作 BDAM 于 D，交 AC 于 E，如图： ?BP+AP?（BP? ? ? AP），要使 ?BP+AP 最小，只需 BP? ? ? AP 最小， CAM45，PFAM， AFP 是等腰直角三角形， FP? ? ? AP， BP? ? ? AP 最小

8、即是 BP+FP 最小，此时 P 与 E 重合，F 与 D 重合，即 BP? ? ? AP 最小值是线段 BD 的 长度， CAM45，BDAM， AEDBEC45， ACB90， sinBECsin45? ? ?，tanBEC? ? ?， 又 BC4， BE4 ?，CE4， AC6， AE2， 而 sinCAMsin45? ? ?， DE?， BDBE+DE5 ?， ?BP+AP 的最小值是 ?BD10， 故选：B 【点睛】本题考查线段和的最小值，解题的关键是做 45角，将求 BP? ? ? AP 的最小值转化为求垂线段 的长 【方法点拨【方法点拨】“将军饮马”问题是中考的热点问题之一,解决

9、这类问题的方法是找出两定点中任一点关于动 点所在直线的对称点,再将另一点与对称点相连,连线与直线的交点即为所求的点.通常情况下, 求三角形 或四边形的周长的最小值时,往往也是利用轴对称进行解题. 【例 2】（2021淮南一模）如图，RtABC 中BAC90，AB1，AC2 ?点 D，E 分别是边 BC， AC 上的动点，则 DA+DE 的最小值为（） A? ? Btt ? C? ? ? Dtt ? ? 【分析】如图，作 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AA，交 BC 于 F，过 A作 AEAC 于 E，交 BC 于 D， 则 ADAD，此时 AD+DE 的值最小，就是 AE 的长，根据相似

10、三角形对应边的比可得结论 【解答】解：作 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AA，交 BC 于 F，过 A作 AEAC 于 E，交 BC 于 D，则 ADAD，此时 AD+DE 的值最小，就是 AE 的长； RtABC 中，BAC90，AB1，AC2 ?， BC?t? t? ? ?， SABC? t ?ABAC? t ?BCAF， 12 ? ?3AF， AF? ? ? ? ， AA2AF? ? ? ? ， AFDDEC90，ADFCDE， AC， AEABAC90， AEABAC， ?h ?h? ? ? ?， ? ? ? ?h? ? ? ? ?， AE? tt ? ， 即 AD+DE 的最小

11、值是tt ? ； 故选：B 【点睛】本题考查轴对称最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知 识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题 【变式 2-1】（2020荆门）在平面直角坐标系中，长为 2 的线段 CD（点 D 在点 C 右侧）在 x 轴上移动，A （0，2），B（0，4），连接 AC，BD，则 AC+BD 的最小值为（） A2 ?B2 ttC6 ?D3 ? 【分析】设 C（m，0），则有 AC+BD? ?t? ? ?，推出要求 AC+BD 的最小值，相当 于在 x 轴上找一点 P（m，0），使得点 P 到 M（0，2）

12、和 N（2，4）的距离和最小，如图 1 中，作点 M 关于 x 轴的对称点 Q，连接 NQ 交 x 轴于 P，连接 MP，此时 PM+PN 的值最小，求出 NQ 即 可解决问题 【解答】解：设 C（m，0）， CD2， D（m+2，0）， A（0，2），B（0，4）， AC+BD? ?t? ? ?， 要求 AC+BD 的最小值，相当于在 x 轴上找一点 P（m，0），使得点 P 到 M（0，2）和 N（2，4） 的距离和最小， 如图 1 中，作点 M 关于 x 轴的对称点 Q，连接 NQ 交 x 轴于 P，连接 MP，此时 PM+PN 的值最 小， N（2，4），Q（0，2） PM+PN 的最

13、小值PN+PQNQ? t?2 tt， AC+BD 的最小值为 2 tt 故选：B 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是 学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选 择题中的压轴题 【变式 2-2】（2020红桥区一模）如图，在四边形 ABCD 中，AD90，AB5，AD4，CD3， 点 P 是边 AD 上的动点，则PBC 周长的最小值为（） A8B? ?C12Dt ? 【分析】作点 C 关于 AD 的对称点 E，连接 EB 交 AD 于点 P，连接 CP，则 EPCP，EDCD， 此时PBC 周

14、长最小为：PC+PB+BCPE+PB+BCEB+BC，作 BFDC 的延长线于点 F，在 RtBCF 和 RtBFE 中，根据勾股定理即可得PBC 周长的最小值 【解答】解：作点 C 关于 AD 的对称点 E，连接 EB 交 AD 于点 P， 连接 CP，则 EPCP，EDCD， 此时PBC 周长最小为： PC+PB+BCPE+PB+BCEB+BC， 作 BFDC 的延长线于点 F， AADC90， 四边形 ABFD 是矩形， BFAD4，DFAB5， CFDFCD532， EFDF+ED5+38， 在 RtBCF 和 RtBFE 中，根据勾股定理，得 BC? ?2 ?， BE? ?4 ?，

15、BC+BE6 ? 所以PBC 周长的最小值为 6 ? 故选：D 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理，解决本题的关键是掌握轴对称性质 【变式 2-3】（2020市南区二模）如图，在矩形 ABCD 中，AD12，AEBD，垂足为 E，ED3BE，点 P、 Q 分别在 BD，AD 上，则 AP+PQ 的最小值为（） A4 ?B2 ?C6 ?D4 ? 【分析】在 RtABE 中，利用三角形相似可求得 AE、DE 的长，设 A 点关于 BD 的对称点 A，连接 A D，可证明ADA为等边三角形，当 PQAD 时，则 PQ 最小，所以当 AQAD 时 AP+PQ 最小，从 而可求得 AP+PQ

16、 的最小值等于 DE 的长，可得出答案 【解答】解：设 BEx，则 DE3x， 四边形 ABCD 为矩形，且 AEBD， ABEDAE， AE2BEDE，即 AE23x2， AE?x， 在 RtADE 中，由勾股定理可得 AD2AE2+DE2，即 122（?x）2+（3x）2，解得 x2 ?， AE6，DE6 ?， 如图，设 A 点关于 BD 的对称点为 A，连接 AD，PA， 则 AA2AE12AD，ADAD12， AAD 是等边三角形， PAPA， 当 A、P、Q 三点在一条线上时，AP+PQ 最小， 又垂线段最短可知当 PQAD 时，AP+PQ 最小， AP+PQAP+PQAQDE6 ?

17、 故选：C 【点睛】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出 A 的对称点，从而确定出 AP+PQ 的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明ADA 是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复 杂的计算 【方法点拨】【方法点拨】利用“到定点的距离等于定长的点位于同一个圆上”或“90的圆周角所对的弦是直径”等 可以确定某些动点的运动轨迹是圆(或圆弧).当圆外一定点与圆上一动点位于圆心同侧,且三点共线时,该 动点到圆外定点的距离最短;当圆外一定点与圆上一动点位于圆心异侧,且三点共线时,该动点到圆外定点 的距离最长. 【例 3】（2020百色模拟）如图，在长方形纸片 ABCD 中，AB4，

18、AD6点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边上的一个动点将AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到GEF则 GC 长的最小值是（） A? tt ? ?B? tt ? tC2 t?D2 tt 【分析】以点 E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接 CE，当点 G 在线段 CE 上时，GC 的长取最小值， 根据折叠的性质可知 GE2， 在 RtBCE 中利用勾股定理可求出 CE 的长度， 用 CEGE 即可求出结论 【解答】解：以点 E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接 CE，当点 G 在线段 CE 上时，GC 的长取最小 值，如图所示 根据折叠可知：GEAE? t ?AB2 在 RtBCE

19、中，BE? t ?AB2，BC6，B90， CE? ?2 tt， GC 的最小值CEGE2 tt ?2 故选：A 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出 GC 取最小值时点 A的位 置是解题的关键 【变式 3-1】（2020河北模拟）数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半”，用含 30角的直角三角板做实验，如图，ACB90，BC6cm，M，N 分别是 AB， BC 的中点，标记点 N 的位置后，将三角板绕点 C 逆时针旋转，点 M 旋转到点 M，在旋转过程中，线 段 NM的最大值是（） A7cmB8 cmC9cmD10cm 【

20、分析】根据直角三角形的性质得到 AB2BC12，CM6，CN3，在旋转过程中，点 M始终在以 C 为圆心，CM 为半径的圆上，当 M旋转当与 B，C 在一条直线上时，即到 D 的位置时，线段 NM的 值最大，于是得到结论 【解答】解：ACB90，BC6cm，A30， AB2BC12， M，N 分别是 AB，BC 的中点， CM6，CN3， 将三角板绕点 C 逆时针旋转，点 M 旋转到点 M， 在旋转过程中，点 M始终在以 C 为圆心，CM 为半径的圆上， 当 M旋转当与 B，C 在一条直线上时，即到 D 的位置时，线段 NM的值最大， 即 NM的最大值DN6+39， 故选：C 【点睛】本题考查

21、了旋转的性质，含 30角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握 直角三角形的性质是解题的关键 【变式 3-2】（2020芜湖二模）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 E 是正方形内部一点，连接 BE， CE，且ABEBCE，点 P 是 AB 边上一动点，连接 PD，PE，则 PD+PE 长度的最小值为（） A8 ?B4 ttC8 ? ?4D4 t? ?4 【分析】根据正方形的性质得到ABC90，推出BEC90，得到点 E 在以 BC 为直径的半圆上 移动，如图，设 BC 的中点为 O，作正方形 ABCD 关于直线 AB 对称的正方形 AFGB，则点 D 的对应点是 F，

22、连接 FO 交 AB 于 P，交O 于 E，则线段 EF 的长即为 PD+PE 的长度最小值，根据勾股定理即可得 到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABC90， ABE+CBE90， ABEBCE， BCE+CBE90， BEC90， 点 E 在以 BC 为直径的半圆上移动， 如图，设 BC 的中点为 O，作正方形 ABCD 关于直线 AB 对称的正方形 AFGB，则点 D 的对应点是 F， 连接 FO 交 AB 于 P，交半圆 O 于 E，则线段 EF 的长即为 PD+PE 的长度最小值，OE4， G90，FGBGAB8， OG12， OF? ?4 t?， EF4 t? ?4

23、， PD+PE 的长度最小值为 4 t? ?4， 故选：D 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用凡是涉及最短距离 的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 【变式 3-3】（2021海安市模拟）如图，在 RtABC 中，ACB90，ABC60，BC2 ?，Q 为 AC 上的动点，P 为 RtABC 内一动点，且满足APB120，若 D 为 BC 的中点，则 PQ+DQ 的最小 值是（） A ? ?4B ?C4D ? ?4 【分析】如图以 AB 为边，向左边作等边ABE，作ABE 的外接圆O，连接 OB，则点 P

24、在O 上作 点 D 关于 AC 的对称点 D，连接 OD， OP， PD，PD交 AC 于 Q， 则 PQ+QDPQ+QDPD， 根据 PDODOP，求出 OP，OD即可解决问题 【解答】解：如图以 AB 为边，向左边作等边ABE，作ABE 的外接圆O，连接 OB，则点 P 在O 上 在 RtABC 中，ACB90，ABC60，BC2 ?， AB4 ?， 则易知 OB4，OBBC， 作点 D 关于 AC 的对称点 D， 连接 OD， OP， PD， PD交 AC 于 Q， 则 PQ+QDPQ+QDPD， PDODOP，OPOB4，OD? t? ?， PD? ?4， PQ+DQ 的最小值为 ?

25、?4， 故选：A 【点睛】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问 题，属于中考选择题中的压轴题 【方法点拨】【方法点拨】几何图形面积最值问题的解题通法: 1. 观察几何图形,若能直接判断出当动点在何位置时,几何图形的面积取得最值,则直接计算即可. 2.若根据动点的位置,无法直接判断几何图形面积的最值,则可设出未知数,用含未知数的代数式表示出该 几何图形的面积,利用函数的性质求解. 【例 4】（2020立山区二模）如图，O 的半径是 2，直线 l 与O 相交于 A、B 两点，M、N 是O 上的 两个动点，且在直线 l 的异侧，若AMB45，则四边形 MA

26、NB 面积的最大值是（） A2 ?B4C4 ?D8 ? 【分析】过点 O 作 OCAB 于 C，交O 于 D、E 两点，连接 OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周 角定理推出OAB 为等腰直角三角形，求得 AB?OA2 ?，根据已知条件即可得到结论 【解答】解：过点 O 作 OCAB 于 C，交O 于 D、E 两点，连接 OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图， AMB45， AOB2AMB90， OAB 为等腰直角三角形， AB?OA2 ?， S四边形MANBSMAB+SNAB， 当 M 点到 AB 的距离最大，MAB 的面积最大；当 N 点到 AB 的距离最大时，NAB 的面积最

27、大， 即 M 点运动到 D 点，N 点运动到 E 点， 此时四边形 MANB 面积的最大值S四边形DAEBSDAB+SEAB? t ?ABCD? t ?ABCE? t ?AB （CD+CE） ? t ?AB DE? t ? ?2 ? ?44 ? 故选：C 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角 定理，正确的作出辅助线是解题的关键 【变式 4-1】（2020岐山县二模）如图，正方形 BEFG 的顶点 E 在正方形 ABCD 的边 AD 上，CD、EF 交 于点 H，AD16，连接 EC，FC，则CEF 的面积的最小值为（） A16 ?B48C96

28、D256 【分析】由于 SCEFSCHF+SCHE? t ?CHEM，根据全等三角形的性质得到 EMAB16，求得 SCEF 8CH，根据相似三角形的性质得到? ? ? ? ?，设 AE 为 x，于是得到 DH? t tt（x 2+16x）? t tt（x 8）2+44，即可得到结论 【解答】解：过 F 作 FGDC 于点 G，FMAD，交 AD 的延长线于 M，连接 CF， SCEFSCHF+SCHE? t ?CHEM， EMFBAE， EMAB16， SCEF8CH， EDHBAE， ? ? ? ? ?， 设 AE 为 x，则 DH? t tt（x 2+16x）? t tt（x8） 2+4

29、4， DH4， CH12，CH 最小值是 12， CEF 面积的最小值是 96 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是找出线段 DN 的最大值，根据三角形的面积公式找出 其去最值的条件，再结合二次函数的性质去解决最值问题 【变式 4-2】（2020昆山市二模）如图，在ABC 中，AB10，AC2 ?，ACB45，D 为 AB 边上 一动点（不与点 B 重合），以 CD 为边长作正方形 CDEF，连接 BE，则BDE 的面积的最大值等于（ ） . A9 ?B18C36D20 ? 【分析】如图，过点 E 作 EMBA 于 M，过点 C 作 CNBA 交 BA 的延长线于 N，过点

30、A 作 AHBC 于 H解直角三角形求出 BN 的长，设 BDx，则 DN12x，再利用全等三角形的性质证明 EMDN 12x，利用三角形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题 【解答】解：如图，过点 E 作 EMBA 于 M，过点 C 作 CNBA 交 BA 的延长线于 N，过点 A 作 AH BC 于 H 在 RtACH 中，AHC90，ACH45，AC2 ?， AHCHACcos45?tt， 在 RtABH 中，AHB90，AB10，AH?tt， BH? ?tt? t tt?3 tt， BCBH+CH4 tt， SACB? t ?BCAH? t ?ABCN， CN4， 在

31、 RtACN 中，AN? ?t? ? ?2， BNBA+AN12，设 BDx，则 DN12x， 四边形 EFCD 是正方形， DEDC，EDCEMDDNC90， EDM+ADC90，ADC+DCN90， EDMDCN， EMDDNC（AAS）， EMDN12x， SDBE? t ?BDEM? t ?x（12x）? t ?x 2+6x?t ?（x6） 2+18， ? t ? 0， 当 x6 时，BDE 的面积的最大，最大值为 18 故选：B 【点睛】本题考查正方形的性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数 构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题 16（2021石家庄模

32、拟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的O 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是O 上一动点，点 C 为弦 AB 的中点，直线 y? ? ?x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E，则CDE 面积 的最小值与最大值分别为（） A2；7B3；6C4；9D5；16 【分析】连接 OC，由垂径定理得 OCAB，再由圆周角定理得点 C 在以 OA 为直径的圆上（点 O、A 除 外），以 OA 为直角作P，过 P 点作直线 PHDE 于 H，交P 于 M、N，利用一次函数解析式确定 D （0，3），D（4，0），则 AB5，然后证DPHDEO，利用相似比求出 PH 的长，得 MP、N

33、H 的长，当 C 点与 M 点重合时，S 最大；C 点与 N 点重合时，S 最小，然后计算出 SNED和 SMED得到 S 的范围，即可求解 【解答】解：连接 OC，如图， 点 C 为弦 AB 的中点， OCAB， ACO90， 点 C 在以 OA 为直径的圆上（点 O、A 除外）， 以 OA 为直角作P，过 P 点作直线 PHDE 于 H，交P 于 M、N， 当 x0 时，y? ? ?x33，则 D（0，3）， 当 y0 时，? ?x30， 解得 x4，则 D（4，0）， OD4， AB? ?5， A（2，0）， P（1，0）， OP1， PDODOP3， PDHEDO，PHDEOD， DPHDEO， PH：OEDP：DE， 即 PH：33：5， 解得 PH? ? ?， MPPH+1? t? ? ，NHPH1? ? ?， SNED? t ? ?5? ? ? ?2，SMED? t ? ?5? t? ? ?7， 设CDE 面积为 S， 当 C 点与 M 点重合时，S 最大；C 点与 N 点重合时，S 最小， S 的范围为 2S7， CDE 面积的最小值为 2，CDE 面积的最大值为 7， 故选：A 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周 角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质