2021安徽蚌高考四模文科数学试题（及答案）.pdf

1、书书书 蚌埠市 届高三年级第四次教学质量检查考试 数学（ 文史类） 本试卷满分 分， 考试时间 分钟 注意事项： 答卷前， 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上 写在 本试卷上无效 一、 选择题： 本题共 小题， 每小题 分， 共 分 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合 题目要求的 已知集合 ， ， 则 瓓 （ ， ） 设 （ ） ， 其中 ， ， 则 槡 槡 若 ， 则下列不等式一定成立的是 （ ） 记 为等差

2、数列 的前 项和 若 ， ， 则数列 的公差为 已知 ， 则 已知实数 ， 满足约束条件 ， ， ， 则 的最大值为 已知直线 ： ， 直线 ： ， 则“ ” 是“ ” 的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 在 中， ， 则 ）页共（页第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 已知函数 （ ） ， ， ， ， 则满足 （ ） 的 的取值范围是 ， () ， () （ ， ） （ ， ） 九章算术 中有述： 今有蒲生一日， 长三尺， 莞生一日， 长 尺， 蒲生日自半， 莞生日自倍 意思是： “ 今有蒲第一天长高 尺， 莞第一天长高 尺， 以后蒲每天长高前一天的一半， 莞 每天

3、长高前一天的倍 ” 请问当莞长高到长度是蒲的倍时， 需要经过的天数是（ 结果精 确到 参考数据： ， ） 天 天 天 天 设抛物线 的焦点为 ， 直线 ： ， 为抛物线上一点， ， 为垂足， 如果直 线 的斜率为槡 ， 那么 等于 已知函数 () （ ） 在区间 ， () 内有且仅有一个极大值点， 则 的最大 值为 二、 填空题： 本题共 小题， 每小题 分， 共 分 已知直线 槡 与圆 交于 ， 两点， 则 已知曲线 （ ） 在 ， () 处切线的斜率为 ， 则 已知双曲线 ： （ ， ） 的左焦点为 ， 右顶点为 ， 虚轴上顶点为 若双 曲线 的离心率是槡 ， 则 有四个半径为 的小球，

4、球 ， 球 ， 球 放置在水平桌面上， 第四个小球 放在这三 个小球的上方， 四个小球两两外切 在四个小球之间有一个小球 ， 与这四个小球均外 切 则球 的半径为 三、 解答题： 共 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 题为必考题， 每个试 题考生都必须作答 第 、 题为选考题， 考生根据要求作答 （ 一） 必考题： 共 分 （ 分） 在 中， 角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 其外接圆半径为 ， 已知 （ ） （ ） 求角 ； （ ） 若边 的长是该边上高的槡 倍， 求 的值 ）页共（页第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 （ 分） 如图， 四棱锥 的底面 是边长为 的菱形，

5、底面 （ ） 求证： 平面 平面 ； （ ） 若 ， 中点为 ， 求点到平面 的距离 （ 分） 年 月 日， 博鳌亚洲论坛 年年会开幕式在海南博鳌举行， 国家主席习近平以 视频方式发表题为 同舟共济克时艰， 命运与共创未来 的主旨演讲， 某校政治老师为了解 同学们对此事的关注情况， 在一个班级进行了调查， 发现在全班 人中， 对此事关注的同 学有 人， 该班在上学期期末考试中政治成绩（ 满分 分） 的茎叶图如下： （ ） 求对此事不关注者的政治期末考试成绩的中位数与平均数； （ ） 若成绩不低于 分记为“ 及格” ， 从对此事不关注者中随机抽取人， 求该同学及格的 概率； （ ） 若成绩不低于

6、 分记为“ 优秀” ， 请以是否优秀为分类变量， 请补充下列的 列联 表， 并判断能否在犯错概率不超过 的前提下， 认为“ 对此事是否关注” 与“ 政治期 末成绩是否优秀” 有关系？ 政治成绩优秀政治成绩不优秀合计 对此事关注者 对此事不关注者 合计 附： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， 其中 （ ） ）页共（页第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 （ 分） 已知椭圆 ： （ ） 的离心率为槡 ， 过点 ， 槡 () （ ） 求椭圆 的标准方程； （ ） 设点 ， 分别是椭圆 的左顶点和上顶点， ， 为椭圆 上异于 ， 的两点， 满足 ， 记 ， 的斜率分别为 ， ， 求证： 为定值 （

7、 分） 已知函数 （ ） ， （ ） 讨论函数 （ ） 的单调性， （ ） 设 （ ） （ ） ， （ ） 在区间 ， 上的最大值为 （ ） ， 求 （ ） 的最小值 （ 二） 选考题： 共 分 请考生在第 、 题中任选一题作答 如果多做， 则按所做的第一题计分 选修 ： 坐标系与参数方程 （ 分） 在直角坐标系 中， 直线 的参数方程为 槡 ， 槡 （ 为参数） 以坐标原点 为极 点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 的极坐标方程为 （ ） 求曲线 与直线 的直角坐标方程； （ ） 若直线 与直线 和曲线 分别交于点 ， （ 均异于原点 ） ， 且 槡 ， 求实 数 的值 选修 ： 不等

8、式选讲 （ 分） 已知 ， ， 为正数， 且满足 证明： （ ） ； （ ） ）页共（页第卷试）文（学数级年三高市埠蚌 蚌埠市 届高三年级第四次教学质量检查考试 数学（ 文史类） 参考答案及评分标准 一、 选择题： 题号 答案 二、 填空题： 槡 槡 三、 解答题： （ 分） （ ） 由已知条件 （ ） 及正弦定理得， （ ） ， 即 ， 分 由余弦定理可得 ，分 而 ， 于是 分 （ ） 记 边上的高为 ， 不妨设 ， 则 ， ， 槡 ， 由余弦定理得 槡 ，分 在 中， 记 ， 则 槡 槡 ， 槡 ， 分 所以 （ ） 槡 分 （ 分） （ ） 证明： 由 平面 ， 且 平面 ， 故 ，分

9、 因为四边形 为菱形， 故 ， 又 ， 所以 平面 ，分 因为 平面 ， 所以平面 平面 分 （ ） 设点 到平面 的距离为 ， 因为点 是线段 的中点， 所以点 到平面 的距离为 故 ， 又 菱形 槡 分 由 平面 可知， ， 且 和 均为直角三角形， 故 槡 ， ）页共（页第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌 于是易得 槡 分 又 槡 所以 槡 槡 ， 即 槡 故所求点 到平面 的距离为 槡 分 （ 分） （ ） 对此事不关注的 名同学， 成绩从低到高依次为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中位数为 ；分 平均数为 （ ） ；分 （ ） 因为对此事不关注的 个人中

10、共有 人及格， 所以所求概率 ，分 （ ） 政治成绩优秀政治成绩不优秀合计 对此事关注 对此事不关注 合计 分 （ ） 所以能在犯错概率不超过 的前提下， 认为“ 对此事是否关注” 与“ 政治期末成绩 是否优秀” 有关系 分 （ 分） （ ） 由 槡 可得， ， 分 点 ， 槡 () 代入椭圆方程 ， 解得 ， ， 分 即椭圆 的标准方程为 ； 分 （ ） 设 （ ， ） ， （ ， ） ， 由题意 ， 的斜率存在， 设直线 ： （ ） 设直线 ： 由（ ） 椭圆方程 ： 联立得（ ） ， ）页共（页第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌 解得 （ ） ， 即 （ ） ， () 分 联立， 可得

11、， 即 ， （ ） () ， 分 故 （ ） （ ） ， 即 为定值 分 （ 分） （ ） 由题意 （ ） 的定义域为 ， （ ） 分 若 ， 则 （ ） ， 所以 （ ） 在 上为单调递增函数；分 若 ， 由 （ ） 解得 槡 ， 槡 ， （ ） 的解为 槡 或 槡 ， （ ） 的解为 槡 槡 ， 即 （ ） 的增区间为 ， 槡 () ， 槡 ， () ， 减区间为 槡 ， 槡 () 分 （ ） 若 ， 则 （ ） （ ） ， （ ） （ ） （ ） ， 又由（ ） 知 （ ） 在 ， 上为增函数， 故 （ ） （ ） ， （ ） ；分 若 ， 易知 （ ） ， 槡 () 槡 ， （ ） ，

12、 （ ） ， 槡 () 槡 ， （ ） ， ?若 ， 则 槡 ， 且 槡 () 槡 （ ， ） ， 故 槡 () （ ） ， 所以 （ ） （ ） ， 槡 () ， （ ） （ ） ， （ ） ， 则 （ ） ， ， ， 分 ? 若 ， 则 （ ） ， 且 槡 ， 故 （ ） 在 ， 上为减函数， 则 （ ） （ ） ， （ ） 综上， （ ） ， ， ， ， ， ， 所以 （ ） 分 ）页共（页第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌 （ 分） 解： （ ） 由直线 的参数方程 槡 槡 （ 为参数） ， 消去 得直线 的直角坐标方程为 ；分 由曲线 的极坐标方程为 ， 两边同时乘以 得 ， ， ， 曲线 的直角坐标方程为（ ） 分 （ ） 直线 的极坐标方程为 （ ） ， 联立 ， （ ） ， 解得 （ 槡 ， ） （ ）分 联立 ， ， 解得 （ 槡 ， ） ，分 由 槡 槡 槡 ， 解得 分 （ 分） 解： （ ） （ ） （ ） （ ） ， （ ） 分 当且仅当 时， 等号成立， 因为 ， ， 为正数， 且满足 ， （ ） （ ） ， 即 分 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）分 槡 槡 槡 当且仅当 ， ， 时， 上式等号成立 分 （ 以上答案仅供参考， 其它解法请参考以上评分标准酌情赋分） ）页共（页第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌