2021海南海口市高三数学5月调研试题定稿（及答案）.pdf

1、数学试题第1页（共 5 页） 保密启用前 2021 年海口市高考调研考试 数 学 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷的指定位置上。 2 回答选择题时， 选出每个小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡指 定位置上。写在本试卷上无效。 3本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1复数 1 12 i i + 的虚部是（ ） A 3 5 B.

2、1 5 C. 1 5 D. 3 5 2设集合 2 |90Ax x= ， |30Bxxa=+，且 |13ABxx=，则a =（ ） A1 B3 C1 D3 3已知函数( )(0)f xkxb k=+，则“(0)0f=”是“函数( )f x为奇函数”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4二项式 53 (2)xx+的展开式中， 3 x的系数为（ ） A10 B20 C40 D80 5某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区 某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 150 个地块，从这些地块中用简单随机抽样 的方法

3、抽取 15 个作为样区，调查得到样本数据( ,)(1, 2,15) ii xyi =，其中 i x和 i y分别 表示第i个样区的植物覆盖面积 （单位： 公顷） 和这种野生动物的数量， 经统计得 15 1 60 i i x = = ， 15 1 1200 i i y = = ，则该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样 区这种野生动物数量的平均数乘以地块数） （ ） A60 B. 1200 C. 12000 D. 6000 数学试题第2页（共 5 页） 6随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征 的新型基础设施建设越来越受到关注5

4、G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至 2020 年底我国已累计开通 5G 基站 70 万个，未来将进一步完善基础网络体系稳步推进 5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇 5G 网络覆盖2021 年 1 月计划新建设 5 万个 5G 基站，以后每个月比上一个月多建设 1 万个，预计我国累计开通 500 万个 5G 基站时要到（ ） A2022 年 12 月 B2023 年 2 月 C2023 年 4 月 D2023 年 6 月 7已知函数 1 ( )( )1 2 x f xx=+，则不等式( )0f x 的解集是（ ） A. ( 1,0) B. (0,1) C. (,1)(0,)

5、+ D. ( 1,1) 8设点O在ABC内部，且有23OAOBOC+= 0，点D是边BC的中点，设ADC与 AOC的面积分别为 1 S、 2 S，则 12 :SS =（ ） A1:2 B1:3 C3:2 D5:3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9已知椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab +=的两个焦点分别为 1 F， 2 F，与y轴正半轴交于点B， 下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E标准方程的选项是（ ） A 12 BF F是等腰直角三角形

6、 B已知椭圆E的离心率为 1 2 ，短轴长为2 C 12 BF F是等边三角形，且椭圆E的离心率为 1 2 D设椭圆E的焦距为4，点B在圆 22 ()9xcy+=上 10关于函数( )cos2sinf xxx=+的性质，下列选项中正确的是（ ） A. ( )f x的最大值是3 B( )f x的最小正周期是 C对任意 1 x， 2 x， 12 |( )()|3f xf x D若 0 3 sin 3 x =， 00 6 cos() 3 xx=R，则将( )f x图象向右平移 0 x个单位后，图象过 原点 数学试题第3页（共 5 页） 11( )f x是定义在区间, c c上的奇函数，其图像如图所示

7、令( )g x =( )af xb+，则下列 关于函数( )g x的叙述正确的是（ ） A若0a ，则函数( )g x的图象关于原点对称 B若1a = ，20b ，则方程( )0g x =有大于2的实根 C若0a ，2b =，则方程( )0g x =有两个实根 D若1a ，22b ，则方程( )0g x =有三个实根 12. 如图，正方体 1111 ABCDABC D中，点E为棱 1 DD的中点，点P 是线段 1 C D上的动点， 1 2AA =，则下列选项正确的是（ ） A. 直线AP与 1 B E是异面直线 B三棱锥 11 AAB E的体积为 1 6 C过点C作平面 1 AEB的垂线，与平

8、面 11 ABC D交与点Q，若 11 3C DC P=，则QAP D点P到平面 1 AEB的距离是一个常数 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13设 n S为等差数列 n a的前n项和， 5 20S =， 41 6aa=，则 n a =_ 14已知三棱柱 111 ABCABC是一个正三棱柱，2AB=， 1 4AA =，则该三棱柱外接球的体 积为_ 15博鳌亚洲论坛 2021 年年会将于 4 月 18 日至 21 日在海南举行，论坛组委会对某高校选 派的 4 名志愿者进行工作安排，一共需要工作 5 天，每天只能有 1 人负责志愿者工作， 其中甲需要参加 2 天， 其

9、他人只需各参加 1 天 假设每名志愿者分配到某一天工作是等 可能的，则甲被安排在连续两天工作的概率是_ 16已知双曲线 22 :1 412 xy C=，右焦点为F，点P是直线2x =在第一象限上的动点，直线 PF与双曲线C的一条渐近线在第一象限上的交点为Q，若2FPPQ=，则|FQ = _ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 在：8a =，cos 7 1 A= ；： 1 cos 2 C =，cos 1 7 B =这两个条件中任选一个，补充到 下面问题中进行解答 问题： 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知

10、10bc+=， _ 求c的值和ABC的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 数学试题第4页（共 5 页） 18 （12 分） 已知数列 n a满足： 1 1a =， *1 1 2() n n a n a + =N （1）求证：1 n a +为等比数列，并求出数列 n a的通项公式； （2）若 12nnnn baaa + =+，求数列 n b的前n项和 n T 19 （12 分） 如图， 在五面体ABCDEF中， 底面四边形ABCD为正方形， 面ABFE面CDEFEF=， ADED，CDEA （1）求证：/AB EF； （2） 若1EFED=，3CD =， 求平面ADE与平面BC

11、F 所成的锐二面角的余弦值 20 （12 分） 已知曲线C： 2 4 x y =与直线l：2yxt=+ （1）若直线l与曲线C相切，求t的值； （2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点(0,1)M，O为坐标原点，当t为何值时， OMAOMB=？ 21 （12 分） 2020 年 10 月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了关于全面加强和改进新时代学 校体育工作的意见 ， 某地积极开展中小学健康促进行动， 决定在 2021 年体育中考中再增加 一定的分数，规定：考生须参加游泳、长跑、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分 20 分，某校在初三上学期开始要掌握全年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了

12、100 名学生 进行测试，得到如图所示频率分布直方图，且规定计分规则如下表： 数学试题第5页（共 5 页） （1）现从样本的 100 名学生中任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率； （2）根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳 个数都有明显进步， 整体成绩差异略有变化 假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初 三上学期开始时个数增加 10 个，方差为169，且该校初三年级所有学生正式测试时每分钟 的跳绳个数X服从正态分布 2 ( ,)N ，用样本数据的期望和方差估计总体的期望和方差 （各组数据用区间的中点值代替） 若在全年级所有学生中任意选取3

13、人， 记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为， 求随机变量的分布列和期望； 判断该校初三年级所有学生正式测试时的满分率是否能达到 85%，说明理由 附：若随机变量X服从正态分布 2 ( ,)N ，则()0.6826PX+=， (22 )0.9544PX+=，(33 )0.9974PX+= 22 （12 分） 已知函数 ln ( ) x f x x = （1）判断 ( )f x的单调性，并比较 2021 2020与 2020 2021的大小； （2）若函数 2 ( )(2)(2 ( )1) 2 a g xxxf x=+，其中 1 22 e a，判断( )g x的零点的个数， 并说明理由 参考数

14、据：ln20.693 数学试题-参考答案第1页（共 5 页） 2021 年海口市高考调研考试 参考答案(数学) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C C C B A C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9 10 11 12 BD AD BD ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 1322n 14 256

15、3 27 15 2 5 162 3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） （选择条件） 【解】由余弦定理： 222 2cosabcbcA=+得： 1 分 22 ()22cosabcbcbcA=+ 2 分 代入8a =， 1 cos 7 A= ，10bc+=得：21bc = 3 分 解得：3b =，7c =或7b =，3c = 5 分 所以7c =或3c = 6 分 由0A，所以sin0A，又cos 7 1 A= ，所以： 2 4 3 sin1cos 7 AA= 8 分 所以ABC的面积 114 3 sin216 3 227 S

16、bcA= 10 分 （选择条件） 【解】由0C，所以sin0C ，又 1 cos 2 C =，所以： 2 3 sin1 cos 2 CC=， 1 分 数学试题-参考答案第2页（共 5 页） 同理可求 4 3 sin 7 B = 2 分 由正弦定理： sinsin bc BC =， 3 分 代入sin B，sinC，得： 4 33 72 bc =，所以 78bc= 4 分 联立10bc+=，解得 1416 33 cb=， 6 分 在ABC中，()ABC=+，所以 sinsin()ABC=+， 7 分 所以 3114 35 3 sinsin()sincoscossin 272714 ACBCBCB

17、=+=+=+=， 9 分 所以ABC的面积 1114165 340 3 sin 2233149 SbcA= 10 分 18 （12 分） 【解】 （1）由 1 1 2 n n a a + =，得： 1 21 nn aa + =+，所以 1 122 nn aa + + =+，即 1 12(1) nn aa + + =+， 2 分 所以数列1 n a +是公比为 2 的等比数列 3 分 数列1 n a +的首项为 1 12a + =， 4 分 由 1 1 1(1)2n n aa + =+， 5 分 所以数列 n a的通项公式： * 21() n n an=N 6 分 （2）由（1） * 21()

18、n n an=N，所以 12 12 22237 23 nnnn nnnn baaa + + =+=+ = ， 8 分 所以： 23 2(21) 7(2222 )373 2 1 n n n Tnn =+= ， 11 分 化简得： 1 7 2314 n n Tn + = 12 分 19 （12 分） 【解】 （1）在正方形ABCD中，/AB CD，因为CD平面CDEF，AB平面 ABFE，所以 /AB 平面CDEF 2 分 因为ABABFE平面，平面ABFECDEFEF=平面， 数学试题-参考答案第3页（共 5 页） 所以/AB EF 5 分 （2）因为四边形ABCD是正方形，所以CDAD因为CD

19、AE，ADAEA=， ,AD AE面ADE，所以CD 平面ADE因为DE 平面ADE，所以CDDE 由ADDE，所以可以如图以点D为坐标原点建立空间直角坐标系 7 分 由已知， (3,3,0)B ， (0,3,0)C ， (0,1,1)F 易知平面ADE的法向量为 (0,1,0)=m 8 分 设平面BCF的法向量为 ( , , )x y z=n ，所以： 0, 0, BC FC = = n n 则： 0, 0, BC FC = = n n 所以： 30, 20, x yz = = 令 1y = ，解得：2z =，0 x =，所以平面BCF的法向量： (0,1,2)=n 10 分 设平面ADE与

20、平面BCF所成锐二面角为，则 15 cos 55 = m n mn 所以平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值为 5 5 12 分 20 （12 分） 【解】 （1）设直线l与曲线C相切于点 00 (,)P xy，由 2 4 x y =，则 0 0 2 x x x y = =， 2 分 所以 0 2 2 x =，解得 0 4x =，所以 2 0 0 4 4 x y =，即(4,4)P 4 分 将点(4,4)P代入直线l的方程：48t=+，解得4t = 5 分 （2）设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，直线MA，MB的斜率分别为 1 k， 2 k将2yxt=+代入 曲线C的

21、方程整理，整理得 2 840 xxt=所以 12 8xx+=， 12 4x xt= ， 6 分 且64160t =+，即4t 7 分 1）当直线l交x轴于非负半轴时，若过点(0, 1)M，则点M，A，B三点共线，显然 有OMAOMB=，代入直线方程得1t = 8 分 2）当直线l交x轴与负半轴时，若OMAOMB=，则 12 0kk+=，所以 12 12 12 11yy kk xx + +=+= 1212 12 4(1)() 0 x xt xx x x + =， 10 分 代入 12 8xx+=， 12 4x xt= ，解得1t = 11 分 综上所述，1t =或1t = 时，OMAOMB= 1

22、2 分 数学试题-参考答案第4页（共 5 页） 21 （12 分） 【解】 （1）设“选取得 2 人得分之和不大于 35 分”为事件A，则事件A的基本事件总 数为 2 100 ( )4950nC = 1 分 由题意，得 17 分的学生人数为1000.066=人， 得 18 分得的人数为100 0.1212=人 2 分 事件A发生包含两种可能：一种时两人得分均为 17 分，另一种是两人中 1 人得 17 分， 1 人得 18 分，所以事件A的基本事件个数 211 6612 ( )87n ACC C=+= 3 分 所以事件A的概率 ( )29 ( ) ( )1650 n A P A n = 4 分

23、 （2）185x = 5 分 由题意，正式测试时，10195x=+=，16913=，则 2 (195,13 )XN所以： (195)()0.5P XP X= 6 分 即在全年级所有学生中任取 1 人，每分钟跳绳个数在 195 个以上的概率为 0.5 由题意 1 (3, ) 2 B，则 3 33 111 ()( ) ( )( ) (0,1,2,3) 222 kkkkk PkCCk = 7 分 则的分布列： 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 所以 13 3 22 E= = 8 分 由 2 (195,13 )XN，所以 11 (182)()()0.8413 22 P XP XPX=

24、+=， 10 分 所以预测正式测试时每分钟跳绳个数在182个以上的人数比例为0.84130.85，由题意， 每分钟跳绳个数不少于185个才能得到满分， 因此可以预测该校初三年级所有学生正式测试 时的满分率0.84130.85p 12 分 22 （12 分） 【解】 （1）已知 ( )f x的定义域为(0,)+， 2 1ln ( ) x fx x = ， 1 分 当0 xe时， ( )0fx ，所以函数 ( )f x在(0, ) e上单调递增；当xe 时， ( )0fx ， ， 所以函数 ( )f x在()e +， 上单调递减 3 分 因为函数 ( )f x在()e +， 上单调递减，所以： 数

25、学试题-参考答案第5页（共 5 页） ()()20202021ff，即 ln2020ln2021 20202021 ， 4 分 所以2021 ln20202020 ln2021，即 20212020 ln2020ln2021， 所以 20212020 20202021 5 分 （2） 2 ( )(44)2ln 2 a g xxxxx=+ 1 () 22 e a，所以： 2 2(21)2(1)(2) ( )21 axaxaxx g xaxa xxx + =+ = 6 分 当 1 2 a =时， 2 1 ( )(2)2ln 4 g xxxx=+， 2 (2) ( )0 2 x g x x = ，所

26、以 ( )g x在(0,)+上单 调递增， 由 (2)2ln220g= ，(6) 2ln620g= ， 知当 1 2 a =时， 存在 0 (2,6)x ， 0 ()0f x=， 即函数 ( )g x有且仅有 1 个零点 7 分 当 1 22 e a时， (1)(2) ( ) axx g x x = ，注意到 1 2 a ， 所以： 1 0 x a 时，( )0g x，( )g x在 1 (0, a 上单调递增；12x a 时，( )0g x，( )g x 在 1 (,2) a 上单调递减；2x 时， ( )0g x ， ( )g x在2,)+上单调递增 8 分 所以 ( )g x在(0,)+

27、上有极小值(2)2ln220g= ， 有极大值 11 ( )22ln2 2 gaa aa = 9 分 一方面，注意到(6)82ln6642ln662ln620ga=+=，所以存在唯一的 0 2,6)x ， 0 ()0g x= 10 分 另一方面，设 1 ( )22ln2 2 h aaa a =，则： 2 2 1211 ( )22(1)0, 2222 e h aa aaa =+=， 故( )h a在 1 ( , 2 2 e 上单调递增，所以： 1 ( )( )22ln0 22 ee h ahe e =， 11 分 所以 ( )g x在 1 (0, a 上恒小于 0，在 1 (,2) a 上恒小于 0，即 ( )g x在(0,2)上不存在零点 综上所述：当 1 ( , 2 2 e a时，( )g x有且仅有 1 个零点 12 分