2021届南昌高三理科数学二模试卷及答案.pdf

1、 高三理科数学（模拟二）答案第1页 NCS20210607 项目第二次模拟测试卷项目第二次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A A B C B D C A D C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分 13 4 3 (, ) 5 5 14108 15(, 1a 16 1 2 三解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 17 题-21 题为必考题，

2、 每个试题考生都必须作答第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答 17. 【解析】 （）由BAcossin，A为钝角，所以 2 BA； 3 分 因为BC2， CBABA, 2 ， 知 24 , 24 3C B C A ，所以 4 C； 6 分 （）由（）知 4 C，所以 8 , 8 5 BA； 8 分 由正弦定理知： C c B b A a sinsinsin ， 所以 8 sin4, 8 5 sin4 ba， 10 分 2 4 sin4 4 sin 8 sin 8 cos8 4 sin 8 sin 8 5 sin8sin 2 1 2 CabS ABC 12 分 18. 【解析】 （）

3、证明：因为折叠前BDAC，所以ACBE，ACDE， 因为DEBEE，所以AC 平面BDE， 3 分 又AC 平面ABC，平面DBE 平面ABC. 5 分 （）由（）知，平面DBE 平面ABC， 过点D作DOBE，则DO 平面ABC， 6 分 1。当点D在面ABC内的投影O落在 ABC内时， 因为4AB ， 2 3 ABC ，所以 2 3CEAE ，2DEBE， 因为 3 4 OD DC ，4DC ，所以3OD ， 7 分 则1BOOE，如图所示，建立空间直角坐标系，则1 0 0B( , , )，0 03D( , ,)， 1 2 3 0C (, )， 1 0 0E (, , )，则 12 33C

4、D ( ,) ，2 2 3 0BC (, ) ， 高三理科数学（模拟二）答案第2页 O z y x A B C D E z y x H E D D B A 设平面BCD的法向量为 1 nx y z ( , , ) ，则 22 30 2 330 xy xyz ， 则3 1 1n (, , ) ， 8 分 因为平面BCE的法向量为 2 0 0 1n ( , , ) ， 所以 12 12 5 5 n n nn cos ； 10 分 2 。当点 D在面ABC内的投影H落在ABC外时，因为面BDE 面ABC, 所以点H在BE的延长线上，Rt DHE中，2,31DEDHHE. 如图以E为原点，,EB EC

5、所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0),(0,2 3,0),( 1,0, 3),(0,0,0)BCDE, 所以(3,0,3),( 2,2 3,0)DBBC , 设平面DBC的法向量为 1111 ( ,)mx y z ,由 1 1 0, 0 m DB m BC ，得到 11 11 330, 22 30 xz xy ， 令 1 0y ，有 1 ( 3,1,3)m , 而平面BCE的一个法向量为 2 (0,0,1)m , 12 12 12 33 13 cos, 13| |3 1 9 1 m m m m mm 所以二面角DBCE的余弦值为 5 5 或 3 13 13 . 12

6、 分 19. 【解析】 （）由题： 3 2 c a ，且 1 224 2 ab，又 222 abc ， 所以2,1ab， 4 分 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y. 5 分 （）设 00 (,)P xy，则 2 2 0 0 1 4 x y即 22 00 4(1)xy， 不妨设(0,1),(0, 1)CD，直线PC： 0 0 1 1 y yx x ， 令0y 得 0 0 1 x x y ，故 0 0 (,0) 1 x M y ；同理可求 0 0 (,0) 1 x N y . 7 分 则 2 000 1 2 2 000 1111 4 yyy k k xxx ， 0 3 0 y k x ，所

7、以 0 0 4 x k y ， 8 分 高三理科数学（模拟二）答案第3页 所以直线l为 0 00 0 () 4 x yyxx y ，令0y 得 22 00 0 4 xy x x ，又 2 2 0 0 1 4 x y， 故 0 4 x x 即 0 4 (,0)Q x . 10 分 000 000000 288 | | | 11(1)(1) xxx MQNQ yyxyyx 11 分 又 2 2 0 0 1 4 x y即 22 00 4(1)xy，代入上式得： 0 2 00 28 | | 0 4 x MQNQ xx . 12 分 20. 【解析】 （） （i）记事件A为“甲答对了某道题”， 事件B为

8、“甲确实会做”， 则 1 ()5 2 (|) 11 1 ( )6 22 5 P AB P B A P A ； 3 分 （ii）X可取 0、1、2、3、4，甲答对某道题的概率为 11 13 ( )= 22 55 P A，5 分 则X 3 (4, ) 5 B， 4 4 32 ()( ) ( )(0,1,2,3,4) 55 kkk P XkCk ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 16 625 96 625 216 625 216 625 81 625 则 312 ()4 55 E X . 8 分 （）记事件 i A为“甲答对了i道题”， 事件 i B为“乙答对了i道题”，其中甲答对某道

9、题的概率为 111 +(1) 222 pp，答错某道题的概率为 11 1(1)(1) 22 pp 则 12 12 111 ()(1)(1)(1) 222 P ACppp， 22 2 11 () (1)(1) 24 P App， 2 0 11 ()( ) 39 P B， 1 12 2 14 () 3 39 P BC， 所以甲答对题数比乙多的概率为 102120102120 2222 ()()()() 111411115 (1)(1)(1)(3107) 2949493636 P ABA BA BP ABP A BP A B ppppp 11 分 解得 2 1 3 p.甲的亲友团助力的概率p的最小值

10、为 2 3 . 12 分 高三理科数学（模拟二）答案第4页 21. 【解析】证明： （）( )sincos a fxxxx x ， 1 分 由题 2 ( )11 2 a f ，所以a. 2 分 故( )sinln ,( )sincosf xxxx fxxxx x ， 方法一：方法一： ( )sincossintancos2sinfxxxxxxxx xxx ， 令( )2sing xx x ，知( )g x在 (0,) 2 x单调递增， 所以 ( )( )0 2 g xg，也即( )0fx ， 4 分 所以( )f x在 (0,) 2 x上单调递减， 2 ( )( )ln(1 ln)0 2222

11、4 f xf， 所以，在 (0,) 2 x，( )0f x 得证； 6 分 方法二：方法二： 2 ( )sincoscos(1 cos)fxxxxxxxxx xxx ， 令 2 ( )1 cosh xx x ， 3 2 ( )sinh xx x ，知( )h x在 (0,) 2 x单调递减， 所以 2 16 ( )( )10 2 h xh ， 知( )h x在 (0,) 2 x单调递增， 所以 4 ( )( )10 2 h xh ，也即( )0fx ， 4 分 所以( )f x在 (0,) 2 x上单调递减， 2 ( )( )ln(1 ln)0 22224 f xf， 所以，在 (0,) 2

12、x，( )0f x 得证； 6 分 方法三：方法三： 2 ( )sincos1sin()fxxxxxx xx ， 因为sin()1x， 2 ( )1fxx x ，设 2 ( )1g xx x ，显然( )g x在(0,) 2 x 单调 递增， 2 2 ( )1120 4 g xx x ，所以( )0fx ， 4 分 所以( )f x在(0,) 2 x 单调递减，故( )( )ln 222 f xf ，因为 1 ln 22 ， 所以( )( )ln0 222 f xf . 6 分 高三理科数学（模拟二）答案第5页 （）当,2nN n时， 1 (0,) 32n ， 因为 11 1 3nn ，所以

13、11 sin()sin(1) 3nn ， 8 分 则 1111 sin()sin(1) 3 nn nnnn ，由（1）知：(0,) 2 x 时，sinlnxxx， 令 1,( 2, ) k xkn k ， 11111 sin()sin(1)ln() 3 nn n nnnnn ， 10 分 所以 313 414111 sin()ln,sin()ln,sin()ln 2322 33333 nn nnn ， 相加得 3141111 sin()sin()sin()ln 23233332 nn nn . 12 分 22. 【解析】 （）由cos ,sinxy知： 曲线 2 C的极坐标方程为 2 sinc

14、os3； 3 分 曲线 1 C的普通方程为 22 4xy. 5 分 （）由 22 4 3 xy xy 解得 1 3 x y 或 3 1 x y 或 1 3 x y 或 3 1 x y ，7 分 不妨设(1, 3), ( 3,1), ( 1,3),(3, 1)ABCD ，由图可知四边形ABCD为矩形， 2( 3 1),2( 3 1)ABBC， 所以四边形面积4SAB BC. 10 分 23. 【解析】 （）( ) | 1|1| |1 (1)| |2|f xxaxbxaxbab ，3 分 因为,(0,1)a b，所以( )2f xab，当11axb 时取到最小值2ab， 所以2cab 即2abc ； 5 分 （）因为2abc ，所以 2 ()4abc 即 222 2224abcabbcac ， 7 分 因为 22 2bcbc ，所以 2222 2222222abcabbcacabcabbcac 即 2 2424aabbcac . 10 分