八年级下册数学人教版课件17-1 勾股定理（第1课时）.pptx

1、人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册 数学家曾建议用这个图作为与数学家曾建议用这个图作为与“外星人外星人”联系的信号联系的信号. . 导入新知导入新知 你知道这是你知道这是 为什么吗？为什么吗？ 1. 了解了解勾股定理勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的发现过程，掌握勾股定理 的内容，会用面积法证明勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理. 2. 能用勾股定理解决一些能用勾股定理解决一些简单问题简单问题. 素养目标素养目标 3. 通过用通过用多种方法证明多种方法证明勾股定理，培养学生勾股定理，培养学生发散发散 思维能力思维能力. 相传两千五百年前，一次 相传两千五百年前，一次 毕达哥拉斯

2、去朋友家作客，发毕达哥拉斯去朋友家作客，发 现朋友家用砖铺成的地面反映现朋友家用砖铺成的地面反映 直角三角形三边的某种数量关直角三角形三边的某种数量关 系，同学们，我们也来观察一系，同学们，我们也来观察一 下图案，看看你能发现什下图案，看看你能发现什么数么数 量关系？量关系？ 探究新知探究新知 知识点 1勾股定理的认识与证明勾股定理的认识与证明 B 2.由由这三个正方这三个正方形形A，B， C的边长构成的等腰直的边长构成的等腰直 角三角形三条边长度之角三角形三条边长度之 间有怎样的特殊关系？间有怎样的特殊关系？ 【思考思考】1.三三个正方形个正方形A，B，C 的面积有什么关系？的面积有什么关系

3、？ SA+SB=SC 探究新知探究新知 （图中每个小方格是（图中每个小方格是1个单位面积）个单位面积） A中含有中含有_个小方格，个小方格，即即 A的面积是的面积是 个单位面积个单位面积 B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积 C的面积是的面积是 个单位面积个单位面积 9 9 18 9 A B C 图图1 结论：结论：图图1中三个正方形中三个正方形A， B，C的面积之间的数量关系的面积之间的数量关系 是是: SA+SB=SC 【讨论讨论】1.三个正方形三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？的面积有什么关系？ 探究新知探究新知 【讨论讨论】2. SA+SB=SC在图在图2中还成立吗？中还成立

4、吗？ A B C 图图2 2 结论：结论：仍然仍然成立成立. . A的面积是的面积是 个个单位面积单位面积 B的面积是的面积是 个单位面积个单位面积 C的面积是的面积是 个个单位面积单位面积25 16 9 （图中每个小方格是（图中每个小方格是1 1个单位面积）个单位面积） 探究新知探究新知 你是怎样得到你是怎样得到 正方形正方形C的面积的面积 的？与同伴交的？与同伴交 流交流流交流 A B C 问题问题2 式式子子SA+SB=SC能用直角三能用直角三 角形的三边角形的三边a、b、c来表示吗来表示吗? ? 问题问题4 那那么直角三角形三边么直角三角形三边a、b、 c之间的关系式是之间的关系式是:

5、 : a b c c b a C B A 至至此，我们在网格中验证了此，我们在网格中验证了: :直角三角形两条直角边上的直角三角形两条直角边上的 正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC . a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 问题问题1 去去掉网格结论会改变吗？掉网格结论会改变吗？ 问题问题3 去去掉正方形结论会改变吗？掉正方形结论会改变吗？ 探究新知探究新知 命题命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为斜边长为c， 那么那么a2+b2=c2. a b c 猜猜想：想：

6、拼拼图证明图证明 是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和 猜想还不能把问题彻底搞清楚猜想还不能把问题彻底搞清楚. . 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一这就需要我们对一般的直角三角形进行证明下面我们就一 起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的 探究新知探究新知 以直角三角形的两条直角边以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两为边作两个正方形，把两 个正方形如图个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图连在一起，通过剪、拼把它拼成图

7、2的样子的样子.你能你能 做到吗？试试看做到吗？试试看. 赵爽拼图证明法：赵爽拼图证明法： c 图图1 ab 黄实黄实 图图2 c 小组活动小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方 形，拼成一个新的正方形形，拼成一个新的正方形. . 探究新知探究新知 黄实黄实 b b a a c b a b a b a ba c M MN NP P 剪、拼过程展示：剪、拼过程展示： 探究新知探究新知 “赵爽弦图赵爽弦图” 黄实 c a b 探究新知探究新知 S大正方形 大正方形 c2， S小正方形 小正方形 (b-a)2, S大正方形 大正方形 4

8、S三角形 三角形 S小正方形， 小正方形， 证明：证明： 2 222 1 4. 2 cabbaab 毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. . 探究新知探究新知 a a a a b b b b c c c c a2+b2+2ab=c2+2ab， a2 +b2 =c2. 证明：证明：S大正方形 大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形 大正方形=4S直角三角形直角三角形+ S小正方形小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab， 1 2 探

9、究新知探究新知 a a b b c c a2 + b2 = c2. 美国第二十任总统伽菲尔德的美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法总统证法”.”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：求证：a2 + b2 = c2. . 证明：证明： 探究新知探究新知 )( 2 1 babaS 梯形 , , 2 2 1 2 1 2 1 cababS 梯形 , , 勾股定理勾股定理 如果直角三角形两直角边分别如果直角三角形两直角边分别 为为a、b,斜边为斜边为c，那么，那么 222 abc 即直即直角三角形两直角边的平方和等于角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平

10、方斜边的平方. a b c 勾勾 股股 弦弦 a b c 表示为：表示为：RtABC中，中，C=90, 则则 . 222 cba 探究新知探究新知 A B C A B C 勾股定理给出了直角三角形三边之间的关勾股定理给出了直角三角形三边之间的关 系，即两直角边的平方和等于斜边的平方系，即两直角边的平方和等于斜边的平方. . c b a a2 + b2 =c2 a2=c2b2 b2 =c2-a2 探究新知探究新知 22 bca 22 bac 22 acb 公式变形公式变形 求求下列图中字母所表示的正方形的面积下列图中字母所表示的正方形的面积. . =625 225 400 A 225 81 B=

11、144 巩固练习巩固练习 例例1 如图，在如图，在RtABC中，中， C=90. . （1）若若a=b=5,求求c; （2）若若a=1,c=2,求求b. 解解：( (1) )据勾股定理得据勾股定理得 ( (2) )据勾股定理得据勾股定理得 C A B 利用勾股定理求直角三角形的边长利用勾股定理求直角三角形的边长素养考点素养考点 1 c b a 探究新知探究新知 2222 55505 2;cab 2222 213.bca 设直角三角形的两条直角边长分别为设直角三角形的两条直角边长分别为a和和b，斜边长为斜边长为c. （1）已知）已知a=6，c=10，求求b； （2）已知）已知a=5，b=12，求

12、求c； （3）已知）已知c=25，b=15，求求a. 解：解：由勾股定理得由勾股定理得52+122=c2 , c=13; 解：解：由勾股定理得由勾股定理得62+b2=102, b=8; 解：解：由勾股定理得由勾股定理得a2+152=252 , a=20. a c b 巩固练习巩固练习 a b c （1）若）若a：b=1：2 ，c=5, ,求求a; ;（2）若）若b=15，A=30, ,求求a,c. 例例2 在在RtABC中，中， C=90. . 解：解： ( (1) )设设a=x,b=2x,根据根据勾股定理勾股定理建立方程得建立方程得 x2+(2x)2=52， 解得解得5x ，5 .a ( (

13、2) )30 ,15,Ab2.ca 因此设因此设a=x,c=2x, ,根据根据勾股定理勾股定理建立方程得建立方程得(2x)2-x2=152， ， 解得解得5 3 .x 5 310 3 .ac， 提示：提示：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时， 要运用方程思想设未知数，根据要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程勾股定理列方程求解求解. . 探究新知探究新知 勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长素养考点素养考点 2 5x（舍去）（舍去） 35x（舍去）（舍去） 求求出下列直角三角形中未知边的长出

14、下列直角三角形中未知边的长度：度： 6 8 x 5 x 13 解：解：（1）由勾股定理得：由勾股定理得： =36+64 =100 x2=62+82 x=10; x2+52=132 x2=132-52 =169-25 =144 x=12. （2）由勾股定理得：由勾股定理得： 巩固练习巩固练习 1.在直角三角形中在直角三角形中，若勾为，若勾为3，股为股为4，则弦为则弦为（） A5 B6 C7 D8 A 2. 如如图，点图，点E在正方形在正方形ABCD的边的边AB上，上，若若EB1，EC2， 那么那么正方形正方形ABCD的面积为（）的面积为（） A B3 C D5 3 5 B 连接中考连接中考 E

15、1. 若若一个直角三角形的一个直角三角形的两直角边长两直角边长分别分别为为9和和12，则斜边则斜边的长为（的长为（ ） A.13 B.17 C. 15 D.18 2.若一个直角三角形的斜边长为若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为，一条直角边长为15，则则 另另一直角边长为（一直角边长为（ ） A.8 B.40 C.50 D.36 3.在在RtABC中，中，C=90，若，若ab=34，c=100，则，则 a= _，b = _. . C A 6080 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 A B C D 7cm 4如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角如

16、图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为形，其中最大的正方形的边长为7cm, ,则正方形则正方形A，B，C，D的的面面 积积之和为之和为_cm2 49 课堂检测课堂检测 在在RtABC中中，AB4，AC3，求，求BC的长的长. . 解：解：本题斜边不确定，需分类讨论：本题斜边不确定，需分类讨论： 当当AB为斜边时，如图为斜边时，如图， 当当BC为斜边时，如图为斜边时，如图， 4 3 AC B 4 3 C A B 22 437;BC 22 435.BC 图图图图 提示：提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边当直角三角形中所给的两条边没有指

17、明是斜边或直角边 时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下 一定要进行一定要进行分类讨论分类讨论，否则容易丢解，否则容易丢解. . 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 已知已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.求求CD的长的长. . 解：解：由勾股定理可得由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25，即，即 AB=5. . 根根据三角形面积公式，据三角形面积公式， ACBC= ABCD. CD= . A D B C 3 4 1 2 1 2 12 5 提示：提示：由直角三角形的面积求法可知直角三角形

18、两直角边的由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的 积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 勾股定理勾股定理 内 容内 容 在在RtABC中中， C=90,a,b为为 直角边，直角边，c为斜边，则有为斜边，则有a2+b2=c2. 注 意注 意 在在直角直角三角形中三角形中 看清哪个角是直角看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还已知两边没有指明是直角边还 是斜边时一定要是斜边时一定要分类讨论分类讨论 课堂小结课堂小结 证 明证 明 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习