2021年浙江省台州市温岭中学高考数学模考试卷（4月份）.docx

1、第 1页（共 21页） 2021 年浙江省台州市温岭中学高考数学模考试卷（年浙江省台州市温岭中学高考数学模考试卷（4 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）已知集合 |2Ax yx， | 34Bxx ，则()( RA B ) A( 3,2)B(2,4)C2，4)D2，3) 2 （3 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为( ) A20 xyB20 xyC20 xyD20 xy 3 （3 分）若实数x，y满足约束条件 3 2 2 xy yx xy

2、，则2zxy的最大值为() A0B4C5D3 4 （3 分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为() A(72 2)B(102 2)C(104 2)D(114 2) 5 （3 分）函数 3 ( ) xx x f x ee 的图象大致为() A B C 第 2页（共 21页） D 6 （3 分）设1a ，1b ，则“ab”是“ ab beae”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 7 （3 分）设a， 1 (0, ) 2 b，随机变量X的分布列如表所示() X02a1 P

3、a 1 2 b A()E X增大()D X增大 B()E X增大()D X减小 C()E X为定值，()D X先增大后减小 D()E X为定值，()D X先减小后增大 8 （3 分）如图，已知正四棱锥PABCD的各棱长均相等，M是AB上的动点（不包括端 点） ，N是AD的中点，分别记二面角PMNC，PABC，PMDC为， 则() ABCD 9 （3 分）如图，焦点在x轴上的椭圆 22 2 1(0) 3 xy a a 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P是 椭圆上位于第一象限内的一点，且直线 2 F P与y轴的正半轴交于A点， 1 APF的内切圆 在边 1 PF上的切点为Q，若 1 |4FQ

4、 ，则该椭圆的离心率为() 第 3页（共 21页） A 1 4 B 1 2 C 7 4 D 13 4 10 （3 分）已知函数 2 1 ()|,1 ( ) ( 1)1,1 x xax xx f x efx ，若函数( )2yf x恰有两个零点，则 实数a的取值范围为() A 31,2)B 311,2) C 311,) D 31,) 二、填空题（共二、填空题（共 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 21 分）分） 11 （3 分）复数( ,)zxyi x yR的共轭复数为z，已知4z z，4 (zzi i为虚数单位） ， z的虚部为，z 12 （3 分）已知 2 012 (2)n

5、 n n xaa xa xa x（中*)nN，且 0 a， 1 a， 3 a成等差数 列，则n ， 4 a 13 （3 分）已知直线:1l mxy，若直线l与直线10 xmy 平行，则m的值为，动 直线l被圆 22 280 xyy截得的弦长最短为 14 （3 分）如图，在ABC中，D为BC边上靠近B的三等分点，7AB ，30ADC， 3AD ，则BD ，ABC的面积等于 15 （3 分）马伯庸的小说长安十二时辰中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息同 名改编电视剧中，望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白 色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有 512

6、种不同的颜色组合，即代 表 512 种不同的信息 现要求每一行， 每一列至多有一个紫色小方格 （如图所示即满足要求） ， 那么一共可以传递种不同的信息 （用数字作答） 第 4页（共 21页） 16 （3 分）已知0 x ，0y ，且 21 83xy xy ，则 2 xy xy 的最大值为 17 （3 分）在平面中，已知| 5AB ，| 2 2AC ，2(1)()AGABACR ，点P在 AB上，若|AG 的最小值为 4，则PB PC 的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 45 分）分） 18若函数( )2sin()cos 6 f xxx 求函数( )f x的对称中

7、心与单调递增区间 19 （15 分）已知矩形ABCD中，2AB ，5AD E，F分别在AD，BC上且1AE ， 3BF ，沿EF将四边形AEFB折成四边形A EFB，使点B在平面CDEF上的射影H在直 线DE上 （）求证：/ /A D平面B FC； （）求二面角ADEF的大小 20 （15 分）正项等差数列 n a和等比数列 n b满足 1 1a ， 12 12 2 2 2 n n n aaan bbb （）求数列 n a， n b的通项公式； （）若数列 12 11 1 , ()() n nnn nnnn b cSccc baba ，求最大整数 0 n，使得 0 2020 2021 n S

8、21如图：已知抛物线 2 :C yx与(12)P，Q为不在抛物线上的一点，若过点Q的直线的l 与抛物线C相交于AB两点，直线PA与抛物线C交于另一点M，直线PB与抛物线C交于 另一点N，直线MB与NA交于点R 第 5页（共 21页） （1）已知点A的坐标为(9,3)，求点M的坐标； （2）是否存在点Q，使得对动直线l，点R是定点？若存在，求出所有点Q组成的集合； 若不存在，请说明理由 22 （15 分）已知函数( )f xxlnx， 2 ( )1g xxax，aR （）若对任意1x，)，不等式 1 ( )( ) 2 f xg x恒成立，求a的取值范围； （）已知函数( ) |( )|h xf

9、xa有 3 个不同的零点 1 x， 2 x， 3123 ()xxxx （）求a的取值范围； （）求证： 32 1212xxaa 第 6页（共 21页） 2021 年浙江省台州市温岭中学高考数学模考试卷（年浙江省台州市温岭中学高考数学模考试卷（4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）已知集合 |2Ax yx， | 34Bxx ，则()( RA B ) A( 3,2)B(2,4)C2，4)D2，3) 【解答】解：集合 |2 |20 |2Ax yxxxx x， 所以 |2

10、 RA x x， 又集合 | 34Bxx ， 所以() |24(2 RA Bxx ，4) 故选：B 2 （3 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为( ) A20 xyB20 xyC20 xyD20 xy 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) yx ab ab 的离心率为3， 可得3 c a ，即 22 2 3 ab a ，可得2 b a 则该双曲线的渐近线方程为：20 xy 故选：D 3 （3 分）若实数x，y满足约束条件 3 2 2 xy yx xy ，则2zxy的最大值为() A0B4C5D3 【解答】解：由约束条件作出

11、可行域如图， 第 7页（共 21页） 联立 2 3 xy xy ，(2,1)A， 由2zxy，得2yxz ，由图可知，当直线2yxz 过A时，直线在y轴上的截距 最大， z有最大值为 5 故选：C 4 （3 分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为() A(72 2)B(102 2)C(104 2)D(114 2) 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥， 几何体的表面积为： 1 442 223(104 2) 2 故选：C 第 8页（共 21页） 5 （3 分）函数 3 ( ) xx

12、 x f x ee 的图象大致为() A B C D 【解答】解：函数的定义域为 |0 x x ， 33 ()( ) xxxx xx fxf x eeee ，则( )f x是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D， 当0 x 时，( )0f x ，排除B， 故选：A 6 （3 分）设1a ，1b ，则“ab”是“ ab beae”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：设( ) x e f x x ，则 2 (1) ( ) x ex fx x ， 当1x 时， 2 (1) ( )0 x ex fx x ， 当1x 时，( )f x单调递增， 1 a

13、b ab ee abbeae ab 故选：C 7 （3 分）设a， 1 (0, ) 2 b，随机变量X的分布列如表所示() X02a1 P a 1 2 b A()E X增大()D X增大 B()E X增大()D X减小 C()E X为定值，()D X先增大后减小 第 9页（共 21页） D()E X为定值，()D X先减小后增大 【解答】解：由题意可得 1 1 2 ab，所以 1 2 ba， 111 ()021 222 E Xaabaa ， 2 22222 1111111 ()(0)(2 )(1)22() 2222448 D Xaabaaa， 因为 1 (0, ) 2 a，所以当 1 (0,

14、) 4 a时，()D X单调递减，当 1 1 ( , ) 4 2 a时，()D X单调递增， 故选：D 8 （3 分）如图，已知正四棱锥PABCD的各棱长均相等，M是AB上的动点（不包括端 点） ，N是AD的中点，分别记二面角PMNC，PABC，PMDC为， 则() ABCD 【解答】解 连接AC，BD交于O，令AC交MN于E， 作OF垂直DM与F，连接PE，PF， 易知PEO ，PMO ，PFO ， tan OP OE ， tan OP OM ， tan OP OF ， 显然OMOE，OMOF， 第 10页（共 21页） tan最小， 最小， 故选：D 9 （3 分）如图，焦点在x轴上的椭圆

15、 22 2 1(0) 3 xy a a 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，P是 椭圆上位于第一象限内的一点，且直线 2 F P与y轴的正半轴交于A点， 1 APF的内切圆 在边 1 PF上的切点为Q，若 1 |4FQ ，则该椭圆的离心率为() A 1 4 B 1 2 C 7 4 D 13 4 【解答】解：如图， 1 APF的内切圆在边 1 PF上的切点为Q 根据切线长定理可得| |AMAN， 11 | |FMFQ，| |PNPQ 12 | |AFAF， 12 | |AMF MANPNPF， 122 | | |F MPNPFPQPF， 12 | |PQF MPF， 则 121211221 |

16、 | | 2| 8PFPFFQPQPFFQFMPFPFFQ， 即28a ，4a ， 又 2 3b ， 第 11页（共 21页） 222 13cab，则13c ， 椭圆的离心率 13 4 c e a 故选：D 10 （3 分）已知函数 2 1 ()|,1 ( ) ( 1)1,1 x xax xx f x efx ，若函数( )2yf x恰有两个零点，则 实数a的取值范围为() A 31,2)B 311,2) C 311,) D 31,) 【解答】解：由题意，函数 2 1 ()|,1 ( ) ( 1)1,1 x xax xx f x efx 可转化为 22 2 12 22,0 ( )2, 10 2

17、1,1 x xaxax f xaxax eaax 函数( )2yf x恰有两个零点，即分段函数( )yf x的图象与直线2y 有两个交点 当0a 时，分段函数( )f x在R上连续且单调递增， 此时分段函数( )yf x的图象与直线2y 最多只有 1 个交点，不满足题意； 当0a 时， 1 2 1,1 ( )0, 10 2,0 x ex f xx xx ，图象如下： 第 12页（共 21页） 此时分段函数( )yf x的图象与直线2y 也只有 1 个交点，不满足题意； 当0a 时，分段函数( )f x在(，1为增函数，在 1, 2 a 上为减函数，在,) 2 a 上为 增函数 x， 2 ( )

18、21f xaa且( )2f x 恰有两个零点， ( 1)2f，或 2 21( ) 2 ( )2 2 a aaf a f ，或 2 2 21( ) 2 ( )221 2 a aaf a faa ， 解得31a ，或12a 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 21 分）分） 11 （3 分）复数( ,)zxyi x yR的共轭复数为z，已知4z z，4 (zzi i为虚数单位） ， z的虚部为2，z 【解答】解：因为复数zxyi且4z z，4zzi， 则 22 ()()4z zxyi xyixy，()()24zzxyixyiyii， 所以 2

19、2 4 24 xy y ，解得0 x ，2y ， 所以2zi，z的虚部为 2 故答案为：2；2i 12 （3 分）已知 2 012 (2)n n n xaa xa xa x（中*)nN，且 0 a， 1 a， 3 a成等差数 列，则n 8， 4 a 【解答】解：通项公式 1 2 kn kk kn TCx ， 0 2na， 11 1 2n n aC ， 3 3 2 n aC 3n ， 0 a， 1 a， 3 a成等差数列， 113 2222 nn nn CC 3n ， 化为：(2)48n n ， 解得8n ，*nN， 48 44 48 8765 221120 432 1 aC 第 13页（共 2

20、1页） 故答案为：8，1120 13 （3 分）已知直线:1l mxy，若直线l与直线10 xmy 平行，则m的值为1， 动直线l被圆 22 280 xyy截得的弦长最短为 【解答】 解： 因为两直线平行， 所以 1 m m ， 解得1m ， 当1m 时， 两直线重合， 所以1m ； 圆方程整理为： 22 (1)9xy，圆心坐标为(0,1)，半径3r ， 当过(0, 1)P的直线与P与圆心的连线垂直时， 直线l被圆 22 280 xyy截得弦长最小，为 2 2 922 5 故答案为：1；2 5 14 （3 分）如图，在ABC中，D为BC边上靠近B的三等分点，7AB ，30ADC， 3AD ，则

21、BD 1，ABC的面积等于 【解答】解：因为在ABD中，7AB ，30ADC，3AD ， 所以150ADB，由余弦定理 222 2cosABADBDAD BDADB， 可得 2 3 7323() 2 BDBD ，整理可得 2 340BDBD，解得1BD （负值舍 去） ， 因为在ABC中，D为BC边上靠近B的三等分点， 所以3BC ， 因为在ABD中， 222 7135 7 cos 21427 1 ABBDAD B AB BD ， 可得 2 21 sin1 14 Bcos B， 所以 11213 3 sin73 22144 ABC SAB BCB 故答案为：1， 3 3 4 15 （3 分）马

22、伯庸的小说长安十二时辰中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息同 名改编电视剧中，望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白 色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有 512 种不同的颜色组合，即代 第 14页（共 21页） 表 512 种不同的信息 现要求每一行， 每一列至多有一个紫色小方格 （如图所示即满足要求） ， 那么一共可以传递34种不同的信息 （用数字作答） 【解答】 解； 由题意紫色小方格最多3 个， 所以可分为 4 类， 一类有 3 紫方格时共有 111 321 6C C C 个信息，二类有 2 紫方格时共有 11 94 18 2 C C 个信息

23、， 三类有 1 紫方格时共有 9 个信息，四类有 0 紫方格时共有 1 个信息，则由加法原理 6189134 故答案是 34 16 （3 分）已知0 x ，0y ，且 21 83xy xy ，则 2 xy xy 的最大值为 1 6 【解答】解：令 21 t xy ， 因为0 x ，0y ，且 21 83xy xy ， 所以 121116118 8(8 )()(10)(108) yx xyxy txytxytt ，当且仅当 16yx xy 即4xy 时取等号， 所以 18 83 3xy t ， 所以 18 3t t ， 解得6t或3t（舍)， 则 111 12 26 xy xyt yx ，即最大

24、值为 1 6 故答案为： 1 6 17 （3 分）在平面中，已知| 5AB ，| 2 2AC ，2(1)()AGABACR ，点P在 AB上，若|AG 的最小值为 4，则PB PC 的最小值为 529 100 【解答】解：如图， 第 15页（共 21页） 设2ADAC ，| 4 2AD ， 则(1)AGABAD ，B，G，D三点共线， 当AG取最小值时，AGBD， 在Rt ABG和Rt ADG中，4DG ，3BG ， 在ABD中， 2 22 |2| | cosBDABADABADBAD ， 4925322| | cosABADBAD ，| | cos4ABADBAD ， | | cos2ABA

25、CBAD ， 设APkAB ，则(1)PBk AB ，PCACAPACk AB ， 2 (1)()(1)(1)PB PCk ABACkABk AB ACkk AB 2 (1)| | cos25 (1)25272kABACBADkkkk ， 当 27 50 k 时，PB PC 的最小值为 529 100 ， 故答案为： 529 100 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，满分小题，满分 45 分）分） 18若函数( )2sin()cos 6 f xxx 求函数( )f x的对称中心与单调递增区间 【解答】解： 2 311cos231 ( )2(sincos )cos3sincossin2si

26、n(2) 222262 x f xxxxcos xxxxx ， 令2 6 xk ，()kZ，可得对称中心为 1 (, ) 1222 k ，kZ， 令222 262 kxk ，()kZ， 解之得 3262 kk x ，()kZ， 第 16页（共 21页） 递增区间为, 3262 kk ，()kZ 19 （15 分）已知矩形ABCD中，2AB ，5AD E，F分别在AD，BC上且1AE ， 3BF ，沿EF将四边形AEFB折成四边形A EFB，使点B在平面CDEF上的射影H在直 线DE上 （）求证：/ /A D平面B FC； （）求二面角ADEF的大小 【解答】( ) I证明：/ /A EB F，

27、A E平面B FC，B F平面B FC / /A E 平面B FC， 由/ /DEFC，同理可得/ /DE平面B FC， 又A EDEE 平面/ /A ED平面B FC， / /A D平面B FC ()II解：如图，过E作/ /ERDC，过E作ES 平面EFCD， 分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系 B在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设(0B，y，)(zy，)zR (2F，2，0)，5B E，3B F 22 22 5 4(2)9 yz yz 解得 1 2 y z (0B ，1，2) ( 2, 1,2)FB 121 2 (, ) 333 3 EAFB 第 17页（共 2

28、1页） 设平面A DE的法向量为 000 (,)nxyz ，又有(0,4,0)ED 0 0 n EA n ED 得 212 0 333 40 xyz y ，令1x ，则1z ，0y ，得到(1,0,1)n 又平面CDEF的法向量为(0,0,1)m 设二面角ADEF的大小为，显然为钝角 2 cos|cos,| 2 n m 135 20 （15 分）正项等差数列 n a和等比数列 n b满足 1 1a ， 12 12 2 2 2 n n n aaan bbb （）求数列 n a， n b的通项公式； （）若数列 12 11 1 , ()() n nnn nnnn b cSccc baba ，求最大

29、整数 0 n，使得 0 2020 2021 n S 【解答】解：( ) I设正项等差数列 n a的公差为0d，等比数列 n b的公比为q 12 12 2 2 2 n n n aaan bbb ， 1n时， 1 1 3 2 2 a b ， 又 1 1a ，可得 1 2b 2n时， 112 1 121 1 2 2 n n n aaan bbb ， 相减可得： 2 n n n an b ， 2n ，3 时， 2 2 2 12 22 ad bq ， 3 23 3 123 22 ad bq ，0d 解得：1d ，2q ， 11 n ann ，2n n b 11 11 12111 () ()()(2)(2

30、1)22(1) n n n nnnn nnnn b II c babannnn 第 18页（共 21页） 2231 111111 2122222322(1) n nn S nn 1 1 1 2(1) n n 令 1 12020 1 2(1)2021 n n ， 化为： 1 2(1)2021 n n ， 令( )2xf xx，2x ( )2210 x fxln ，2x ( )f x在2，)上单调递增， 而f（9） 10 2101014，(10)2037f， 最大整数 0 9n ，使得 0 2020 2021 n S 21如图：已知抛物线 2 :C yx与(12)P，Q为不在抛物线上的一点，若过点

31、Q的直线的l 与抛物线C相交于AB两点，直线PA与抛物线C交于另一点M，直线PB与抛物线C交于 另一点N，直线MB与NA交于点R （1）已知点A的坐标为(9,3)，求点M的坐标； （2）是否存在点Q，使得对动直线l，点R是定点？若存在，求出所有点Q组成的集合； 若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）设 2 (A a，)a， 2 (B b，)b， 2 (M m，)m， 2 (N n，)n， 因为A，P，M三点共线， 所以 2 332 991 m m ，解得5m ， 所以点(25,5)M 第 19页（共 21页） （2）直线AM的方程为()am yxam， 将点P代入可得2()1amam ，

32、解得 21 2 a m a ， 同理可得 21 2 b n b ， 再将直线AN和BM联立，得 () () an yxan bm yxbm ， 解得 R anbm y abnm ， 代入得 2121 (2)(21)(2)(21) 22 2121 ()(2)(2)(21)(2)(21)(2) 22 R ba ab a abb na ba y ba ab abbaab ab ba 2()2(21)2 227(2)27 abababa abababa ， 因为直线AB的方程为()ab yxab过点( , )Q s t， 则()ab tsab， 解得 ats b at ， 代入上式得， 2 2 (21

33、)2 (21)(22 )2 (2)(7)27 (2)27 R ats aa tas ast at y ats tas ast aa at 为常数， 只需要 21222 2727 tsst k tsst ， 即 72 2 ( 21 2 k s k kR k t k 且2)k ， 所以存在点Q满足的集合为 72 ( , )| 2 k x yx k ， 21( 2 k ykR k 且2)k 22 （15 分）已知函数( )f xxlnx， 2 ( )1g xxax，aR （）若对任意1x，)，不等式 1 ( )( ) 2 f xg x恒成立，求a的取值范围； （）已知函数( ) |( )|h xf

34、xa有 3 个不同的零点 1 x， 2 x， 3123 ()xxxx （）求a的取值范围； （）求证： 32 1212xxaa 第 20页（共 21页） 【解答】解： （）若对任意1x，)，不等式 1 ( )( ) 2 f xg x恒成立， 即 2 21xlnx xax在1，)恒成立，即 1 2alnxx x ，(1)x， 记 1 ( )2F xlnxx x ，(1)x，则( )maxa F x， 又 2 22 21(1) ( )10 x F x xxx ， 故( )F x在1，)上单调递减，故( )maxF xF（1）0， 故a的取值范围是0，)； （）( ) i令( )0h x ，得|(

35、)|f xa， 问题转化为|( )|yf x的图像和ya的图像有 3 个不同的交点， 而( )f xxlnx，( )1fxlnx， 令( )0fx，解得： 1 x e ，令( )0fx，解得： 1 0 x e ， 故( )f x在 1 (0, ) e 递减，在 1 (e，)递增， 而0 x 时，( )0f x ， 11 ( )f ee ，x 时，( )f x ， 画出函数|( )|yf x的图像，如图示： 结合图像，a的取值范围是 1 (0, ) e ； ( )ii证明：令 2 ( )21P xxlnxx，(0)x ，则( )2(1)22(1)P xlnxxlnxx， 12(1) ( )2(1

36、) x Px xx ， 令( )0Px，解得：01x，令( )0Px，解得：1x ， 故( )P x在(0,1)递增，在1，)递减，( )P xP（1）0， 第 21页（共 21页） 故( )P x在1，)递减，( )P xP（1）0，故 2 1 0 2 x xlnx ， 01x时， 2 1 0 2 x xlnx ，故 2 1 | 2 x xlnx ，画出草图，如图示： 设直线ya和 2 1 | 2 x y 在0 x 时的交点横坐标为 4 x， 5 x，结合图像， 3254 xxxx，而由 2 1 | 2 ya x y ，解得： 4 12xa， 5 12xa， 故 32 1212xxaa，原结论成立