2021年四川省德阳市高考数学二诊试卷（理科）.docx

1、第 1页（共 24页） 2021 年四川省德阳市高考数学二诊试卷（理科）年四川省德阳市高考数学二诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集UR，集合 |1Ax yx，集合 2 |20Bx xx，则AB 等 于() A1，2)B(1,2)C0，1D(0，1 2 （5 分）设z是复数，若(1) |(ziii 是虚数单位） ，则下列说法正确的是() Az的虚部为 2 i B 1 2 i z C

2、| 1z D1zz 3 （5 分） 6 2 ()x x 展开式中的常数项为() A160B160C80D80 4 （5 分）如图是20102020年这 11 年我国考研人数统计图，则关于这 11 年考研人数下列 说法错误的是() A2015 年以来我国考研报名人数逐年增多 B这 11 年来考研报名人数的极差超过 160 万人 C2015 年是这 11 年来报考人数最少的一年 D2015 年的报录比最低 5（5 分） 如图是某著名高校的课程结业成绩 “绩点” 计算框图， 输入课程结业考试成绩0 x， 100，输出的s就是该门课程成绩x对应的“绩点” 本学期小王同学一共有三门课程结业， 考试成绩分

3、别是 60 分（1） 、80 分（2） 、100 分（2） ，括号里面的数字是该门课程对应的学 分已知每学期“平均绩点” （简称)GPA是该学期各门课程的绩点乘以该门课程的学分的 和除以总学分，那么小王同学本学期的“GPA”为() 第 2页（共 24页） A3.5B3.6C3.7D3.8 6 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为 2 的正方形，正视图和俯视图都 是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为() A 8 3 B8C 4 3 D4 7 （5 分）正项等比数列 n a中，已知 1011 3a，那么 313232021 logloglog(aaa) A4042B2021C403

4、6D2018 8 （5 分）图 1 是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图” ，它是由四个全等的直角三 角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三 个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图 2，若4AD ， 2BD ，那么(BE CD ) 第 3页（共 24页） A2B2C6D6 9 （5 分）已知函数( )sin2 3cosf xaxx，若( )0f t ，( )0f t，且( )f x在( ,)t t上 恰有一个最大值点，那么的取值范围是() A 5 (, 22 B 3 (, 22 C 35 (, 22 D(0， 10 （5 分）

5、 对圆 22 1xy上任意一点( , )P x y， 若|34|349|xyaxy的值都与x，y 无关，则实数a的取值范围是() A5aB55a C5a或5aD5a 11 （5 分）已知O为坐标原点，F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点，A、B分 别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，且PFx轴，过点A的直线与线段PF交于点M， 与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OEON，则双曲线C的离心率为( ) A 21 1 B2C 1 1 D 12 1 12 （5 分）已知向量 3 (1 | 1| a x ，1)， 3 (1,) 1 |1| b x 函数( )f

6、xa b ，若关于x的方 程( )(1)f xk x只有一个实数根，则实数k的取值范围是() A(，0B(，0(1,) C1，)D(0，1 二、填空题：共二、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.将答案填在答题卡上将答案填在答题卡上. 13 （5 分）如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量200)n ，若成绩在 60 分到 80 分之间的学生称为“临界生” ，那么样本中“临界生”人数约为 第 4页（共 24页） 14 （5 分）已知等差数列 n a中， 10 30a， 20 50a，那么等差数列 n a的通项公式为 n a 15 （5 分）把如图

7、的平面图形分别沿AB、BC、AC翻折，已知 1 D、 2 D、 3 D三点始终可 以重合于点D得到三棱锥DABC，那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积 为 16 （5 分）已知点A在抛物线 2 3yx上，过点A作抛物线的切线与x轴交于点B，抛物线 的焦点为F，若30BAF，则A的坐标为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知等腰ABC中，ABAC，D是AC的中点，且6BD （1）若3AD ，求ABC的面积； （2）若4BC ，求sinC 18 （12 分）已知在空间几何体ABCDE中，ABC、BCD、E

8、CD都是边长为 2 的正三 角形，平面CDE 平面BCD，平面ABC 平面BCD （1）A、E、B、D四点是否共面？说明理由； （2）求二面角BAEC的平面角的余弦值 第 5页（共 24页） 19 （12 分）针对时下的“网络文学热” ，某班团委对“学生性别是否与喜欢网络文学有关” 作了一次抽样调查，在抽取的样本中，女生人数是男生人数的 1 2 ，男生喜欢“网络文学” 的人数占男生人数的 1 6 ，女生喜欢“网络文学”的人数占女生人数的 2 3 设抽取的男生人 数为(*)x xN （1）完成22列联表，若有95%以上的把握认为喜欢“网络文学”与性别有关求男生人数 x的最小值； 喜欢网络 文学

9、不喜欢网 络文学 总计 男生 x 女生 2 x 总计 （2）当x取（1）中的最小值时，从喜欢网络文学的同学中抽取 3 名同学进行问卷调查，记 3 名同学中女生人数为，求的分布列和期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 2 ()P Kk 0.100.050.010.005 k2.7063.8416.6357.879 20 （12 分）已知直线m与椭圆 22 :1 43 xy C相切于点 3 (1, ) 2 P，直线n与椭圆C分别交于 点A、B（异于点)P，与直线m交于点Q，线段AB的中点H在直线 3 2 yx 上 （1）求直线m的方程；

10、（2）证明：|AQ、|PQ、|BQ成等比数列 第 6页（共 24页） 21 （12 分）设函数 2 ( )(1)() 2 xx a f xexeaR （1）当 1 a e 时，求 1 ( )( ) x g xfxe 的单调区间( )fx是( )f x的导数） ； （2）若( )f x有两个极值点 1 x、 212 ()xxx，且正实数使 12 1xx成立，求正实数 的取值范围 请考生在请考生在 22、23 二题中任选一题作答注意只能做所选定的题目如果多做二题中任选一题作答注意只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个则按所做第一个 题目计分题目计分，作答时作答时，请用请用 2B 铅笔在答题卡上

11、将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1cos ( 3sin xt t yt 为参数） ，在以原 点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 2 sin22 （1）求C的直角坐标方程和l的普通方程； （2）若直线l截曲线C所得线段的中点坐标为(1, 3)，求l的斜率 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数( ) |1|1|f xxxx （1）解不等式( ) 3f xx； （2）已知( )f x的最小值为m，正实数a、b满

12、足2abm，求 11 1ab 的最小值，并指 出此时a、b的值 第 7页（共 24页） 2021 年四川省德阳市高考数学二诊试卷（理科）年四川省德阳市高考数学二诊试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知全集UR，集合 |1Ax yx，集合 2 |20Bx xx，则AB 等 于() A1，2)B(1,2)C0，1D(0，1 【解答】解：集合 |1 |10

13、|1Ax yxxxx x， 集合 2 |20 |02Bx xxxx， 所以 |01(0ABxx ，1 故选：D 2 （5 分）设z是复数，若(1) |(ziii 是虚数单位） ，则下列说法正确的是() Az的虚部为 2 i B 1 2 i z C| 1z D1zz 【解答】解：(1) | 1zii ， 22 11111 1(1)(1)1122 ii zi iii ，故B错误； z的虚部为 1 2 ，故A错误； 22 112 |( )( ) 222 z ，故C错误； 1111 1 2222 zzii，故D正确 故选：D 3 （5 分） 6 2 ()x x 展开式中的常数项为() A160B160

14、C80D80 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 66 2 166 2 ()( 2) rrrrrr r TC xCx x ， 令620r，解得3r ， 故常数项为 33 6( 2) 20 ( 8)160C ， 故选：A 4 （5 分）如图是20102020年这 11 年我国考研人数统计图，则关于这 11 年考研人数下列 第 8页（共 24页） 说法错误的是() A2015 年以来我国考研报名人数逐年增多 B这 11 年来考研报名人数的极差超过 160 万人 C2015 年是这 11 年来报考人数最少的一年 D2015 年的报录比最低 【解答】解：对于选项A：由条形图可知，2015 年以来我

15、国考研报名人数逐年增多，所以 选项A正确， 对于选项B：由条形图可知，考研人数最大是 330 万左右，最小是 145 万左右， 极差估计为 185 万，所以选项B正确， 对于选项C：由条形图可知，报考人数最少的一年是 2010 年，所以选项C错误， 对于选项D：由折线图可知，2015 年的报录比最低，所以选项D正确， 故选：C 5（5 分） 如图是某著名高校的课程结业成绩 “绩点” 计算框图， 输入课程结业考试成绩0 x， 100，输出的s就是该门课程成绩x对应的“绩点” 本学期小王同学一共有三门课程结业， 考试成绩分别是 60 分（1） 、80 分（2） 、100 分（2） ，括号里面的数字

16、是该门课程对应的学 分已知每学期“平均绩点” （简称)GPA是该学期各门课程的绩点乘以该门课程的学分的 和除以总学分，那么小王同学本学期的“GPA”为() 第 9页（共 24页） A3.5B3.6C3.7D3.8 【解答】解：设三门课程的绩点分别为 1 S， 2 S， 3 S， 则 2 1 (10060) 43 1600 S ， 2 2 (10080) 43.75 1600 S ， 2 3 (100100) 44 1600 S ， 所以 123 122 3.7 122 SSS GPA 故选：C 6 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为 2 的正方形，正视图和俯视图都 是等腰直角

17、三角形，则该四棱锥的体积为() A 8 3 B8C 4 3 D4 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 第 10页（共 24页） 该几何体是四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，边长为 2， 侧棱PA 底面ABCD，2PA ， 则该四棱锥的体积 18 222 33 V 故选：A 7 （5 分）正项等比数列 n a中，已知 1011 3a，那么 313232021 logloglog(aaa) A4042B2021C4036D2018 【解答】解：正项等比数列 n a中， 1011 3a， 20212021 1220211011 3aaaa， 313232021 logloglogaaa 3

18、122021 log ()aaa 2021 3 1011 log a 2021 33 log 2021 故选：B 8 （5 分）图 1 是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图” ，它是由四个全等的直角三 角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三 个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图 2，若4AD ， 2BD ，那么(BE CD ) 第 11页（共 24页） A2B2C6D6 【解答】解：由题意可知，60FDEDEFEFD ， 120AECCFBBDA ， 又4AD ，2BD ，4BFCEAD，2BDDFCFEFAEDE， ()

19、()BE CDBDDECFFD BD CFBD FDDE CFDE FD | | cos60| | cos0| | cos60| | cos120BDCFBDFDDECFDEFD 111 2222 12222()24226 222 故选：C 9 （5 分）已知函数( )sin2 3cosf xaxx，若( )0f t ，( )0f t，且( )f x在( ,)t t上 恰有一个最大值点，那么的取值范围是() A 5 (, 22 B 3 (, 22 C 35 (, 22 D(0， 【解答】解：函数 2 ( )sin2 3cos12sin()f xaxxax， 其中 22 2 3 cos,sin

20、1212 a aa ， 则( )f x的最小正周期为2， 又( )0f t ，( )0f t，且( )f x在( ,)t t上恰有一个最大值点， 所以 5 22 ttt ，解得 5 (, 22 故选：A 第 12页（共 24页） 10 （5 分） 对圆 22 1xy上任意一点( , )P x y， 若|34|349|xyaxy的值都与x，y 无关，则实数a的取值范围是() A5aB55a C5a或5aD5a 【解答】解：设直线 1:3 40lxya， 2:3 490lxy， 则点P到直线 1 l的距离 1 |34| 5 xya d ，点P到 2 l的距离 2 |349| 5 xy d ， 因为

21、|34|349|xyaxy的值都与x，y无关， 所以 12 dd为常数， 所以两条直线在圆的同一侧，且与圆不相交， 因为直线 2 l在圆的下方，所以直线 1 l也在圆的下方， 则有圆心(0,0)到直线 1 l的距离 | 1 5 a d ， 解得5a或5a， 因为直线 1 l也在圆的下方， 所以5a 故选：A 11 （5 分）已知O为坐标原点，F是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点，A、B分 别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，且PFx轴，过点A的直线与线段PF交于点M， 与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OEON，则双曲线C的离心率为( ) A 21 1

22、 B2C 1 1 D 12 1 【解答】解：由题意知，(,0)Fc， 不妨取点P在第二象限，设点M为(,)c m，则0m ， (,0)Aa，( ,0)B a， 直线AM的方程为() m yxa ac ，直线BM的方程为() m yxa ac ， (0,) ma E ac ，N(0,) ma ac ， |OEON， | mama acac ，即(1)(1)ca， 第 13页（共 24页） 离心率 1 1 c e a 故选：C 12 （5 分）已知向量 3 (1 | 1| a x ，1)， 3 (1,) 1 |1| b x 函数( )f xa b ，若关于x的方 程( )(1)f xk x只有一个

23、实数根，则实数k的取值范围是() A(，0B(，0(1,) C1，)D(0，1 【解答】解：由题意， 2 6 ,1 (2) 336 ( ), 11 1 |1|1 |1|4 6 ,1 (2) x x x x f xa bx xxx x x x ， 6 ( 1)2( 1 1)0 41 fk ，(0)0f， 当 1x ，1时，( )()f xfx ， 1x 时，( )()f xfx ，可得( )f x在R上为奇函数， 当0 x 时， 22 22 33 0,01 (2)(2) ( ) 11 3()0,1 (2) x xx fx x xx ， 所以( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减

24、， 且f（1）2，当x 时，( )0f x ， 所以( )f x在(, 1) 上单调递减，在( 1,0)上单调递增， 且( 1)2f ，当x 时，( )0f x ， 作出( )f x的大致图象，如图所示： 直线(1)yk x恒过定点( 1,0)， 第 14页（共 24页） 当直线经过点(1,2)时，斜率 20 1 1( 1) k ， 因为方程( )(1)f xk x只有一个实数根，所以函数( )f x的图象与直线(1)yk x只有一个 交点， 结合图象可知0k或1k ， 即实数k的取值范围是(，0(1,) 故选：B 二、填空题：共二、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共

25、20 分分.将答案填在答题卡上将答案填在答题卡上. 13 （5 分）如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量200)n ，若成绩在 60 分到 80 分之间的学生称为“临界生” ，那么样本中“临界生”人数约为30 【解答】解：由频率分布直方图可得，样本中“临界生”人数约为： 第 15页（共 24页） 11 200(0.0060.009)20 22 2(69) 2 15 30（人) 故答案为：30 14 （5 分）已知等差数列 n a中， 10 30a， 20 50a，那么等差数列 n a的通项公式为 n a 210n 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 10 30a， 20

26、 50a， 1 930ad， 1 1950ad， 联立解得： 1 12a ，2d ， 那么等差数列 n a的通项公式为122(1)210 n ann 故答案为：210n 15 （5 分）把如图的平面图形分别沿AB、BC、AC翻折，已知 1 D、 2 D、 3 D三点始终可 以重合于点D得到三棱锥DABC，那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为 50 【解答】解：在三棱锥DABC中， 当且仅当DA 平面ABC时，三棱锥的体积达到最大， 此时，设外接球的半径为R，球心为O， 球心O到平面ABC的投影点为F，则有 2222 ROAOFAF， 又 15 22 OFAD， 15 22 AFAC，

27、所以 222 5525 ( )( ) 222 R ， 所以球的表面积为 2 25 4450 2 SR， 第 16页（共 24页） 故答案为：50 16 （5 分）已知点A在抛物线 2 3yx上，过点A作抛物线的切线与x轴交于点B，抛物线 的焦点为F，若30BAF，则A的坐标为 9 ( 4 ， 3 3 ) 2 【解答】解：设 2 ( 3 n A，)n，由 2 3yx，两边对x求导，可得23yy ， 即有 3 2 y y ，可得A处的切线的斜率为 3 2n ， 抛物线 2 3yx的焦点 3 (4F，0)， 由直线AF的斜率为 22 12 349 34 nn nn ， 所以 2 2 123 3 49

28、2 tan30 36 3 1 2 (49) n nn n nn ， 化为 22 3 (49)3(49) 64 nnn ， 解得 3 3 2 n ， 2 9 34 n ， 可得 9 (4A， 3 3 ) 2 故答案为： 9 (4A， 3 3 ) 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知等腰ABC中，ABAC，D是AC的中点，且6BD （1）若3AD ，求ABC的面积； （2）若4BC ，求sinC 【解答】解： （1）因为ABAC，D是AC的中点，且6BD ，3AD ， 所 以 在ABD中 ， 由 余 弦 定

29、 理 可 得 222222 6361 cos 22 6 34 ABADBD A AB AD ， 可 得 第 17页（共 24页） 2 15 sin1 4 Acos A， 所以 11159 15 sin66 2242 ABC SAB ACA （2）设CDx，由题意可得2ABACx， 在ABC中，由余弦定理可得： 22222 16441 cos 2242 CBCAABxx C CB CAxx ， 在BCD中，由余弦定理可得： 22222 163620 cos 2248 CDBCBDxx C BC CDxx ， 所以 2 120 8 x xx ，解得2 7x ， 所以 7 cos 14 C ， 可得

30、 2 3 21 sin1 14 Ccos C 18 （12 分）已知在空间几何体ABCDE中，ABC、BCD、ECD都是边长为 2 的正三 角形，平面CDE 平面BCD，平面ABC 平面BCD （1）A、E、B、D四点是否共面？说明理由； （2）求二面角BAEC的平面角的余弦值 【解答】解： （1）A、E、B、D四点共面，理由如下： 取DC中点M，因为ECD是正三角形，所以EMDC， 因为平面CDE 平面BCD，平面CDE平面BCDDC， 所以EM 平面BCD， 取BC中点N，同理ANBC，AN 平面BCD， 第 18页（共 24页） 连接MN，所以/ /MNBD， 又因为ABC、BCD、EC

31、D都是边长为 2 的正三角形， 所以EMAN，/ /EMAN，所以四边形AEMN为平行四边形， 所以AEMN，/ /AEMN，所以/ /AEBD， 所以A、E、B、D四点共面 （2）取AE中点P，连接PC，因为CACE，所以PCAE， 取BD中点Q，连接PQ，因为四边形AEDB为等腰梯形， 所以PQAE，所以CPQ为二面角BAEC的平面角， 连接CQ，交MN于O，连接PO，所以/ /POEM， PO是CQ的垂直平分线， 设QPO，则 1 tan 2 OQ PQ ，所以 2 2 13 cos2 15 tan tan ， 所以二面角BAEC的平面角的余弦值为 3 5 19 （12 分）针对时下的“

32、网络文学热” ，某班团委对“学生性别是否与喜欢网络文学有关” 作了一次抽样调查，在抽取的样本中，女生人数是男生人数的 1 2 ，男生喜欢“网络文学” 的人数占男生人数的 1 6 ，女生喜欢“网络文学”的人数占女生人数的 2 3 设抽取的男生人 数为(*)x xN （1）完成22列联表，若有95%以上的把握认为喜欢“网络文学”与性别有关求男生人数 x的最小值； 喜欢网络 文学 不喜欢网 络文学 总计 第 19页（共 24页） 男生 x 女生 2 x 总计 （2）当x取（1）中的最小值时，从喜欢网络文学的同学中抽取 3 名同学进行问卷调查，记 3 名同学中女生人数为，求的分布列和期望 附： 2 2

33、 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 2 ()P Kk 0.100.050.010.005 k2.7063.8416.6357.879 【解答】解： （1）22列联表为： 喜欢网络 文学 不喜欢网络 文学 总计 男生 6 x5 6 x x 女生 3 x 6 x 2 x 总计 2 x x 3 2 x 所以 2 35 () 3 26 663 3.841 8 22 x x xx x x K xx x x ，解得 3.841 8 10.2 3 x ， 因为 6 x 为正整数，所以男生人数x的最小值为 12； （2）当x取最小值 12 时，由题意可知，喜欢网络文

34、学的同学中有男生 2 人，女生 4 人， 故的可能取值为 1，2，3， 所以 12 42 3 6 4 (1) 20 C C P C ， 21 42 3 6 12 (2) 20 C C P C ， 第 20页（共 24页） 3 4 3 6 4 (3) 20 C P C ， 所以的分布列为： 123 P 4 20 12 20 4 20 所以的数学期望为 4124 ( )1232 202020 E 20 （12 分）已知直线m与椭圆 22 :1 43 xy C相切于点 3 (1, ) 2 P，直线n与椭圆C分别交于 点A、B（异于点)P，与直线m交于点Q，线段AB的中点H在直线 3 2 yx 上 （

35、1）求直线m的方程； （2）证明：|AQ、|PQ、|BQ成等比数列 【解答】解： （1）设切线m的方程为 3 (1) 2 yk x， 联立 22 1 43 3 (1) 2 xy yk x ，得 2222 (34)( 812 )41230kxkk xkk ， 所以 2222 ( 812 )4(34)(4123)0kkkkk ， 解得 1 2 k ， 所以直线m的方程为 31 (1) 22 yx ，即240 xy （2）设直线 1 : 2 n yxa， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 第 21页（共 24页） 联立 1 2 1 2 2 yxa yx ，解得2xa，1 2 a

36、 y ， 所以(2,1) 2 a Qa， 联立 22 1 43 1 2 xy yxa ，得 2 2 1 10 333 aa xx ， 所以 222 44 (1)0 9333 aaa ，即22a ， 所以 22 12 11 |1( ) |2|1( ) |2| 22 AQBQaxax， 12 5 |2|2| 4 axax 2 1212 5 |(2)(2)()| 4 aa xxx x 22 5 |(2)(2)()3| 4 aaaa 22 55 |32|32 44 aaaa， 又 222 35 | (1)(21)32 224 a PQaaa ， 所以 2 | |AQ BQPQ， 所以|AQ，|PQ，|

37、BQ成比数列 21 （12 分）设函数 2 ( )(1)() 2 xx a f xexeaR （1）当 1 a e 时，求 1 ( )( ) x g xfxe 的单调区间( )fx是( )f x的导数） ； （2）若( )f x有两个极值点 1 x、 212 ()xxx，且正实数使 12 1xx成立，求正实数 的取值范围 【解答】解： （1）因为 1 a e ， 2 1 ( )(1) 2 xx f xexe e ， 2 1 ( ) xx fxexe e ， 121 1 ( )( )() xxxxx g xfxeexeeeex e ， ( ) x g xee ，令( )0g x，可得1x ， 当

38、(,1)x 时，( )0g x，( )g x单调递增， 当(1,)x时，( )0g x，( )g x单调递减 第 22页（共 24页） （2）因为 2 ( )() xxxx fxaexeeaex ，令( )0fx，可得 x x a e ， 设( ) x x h x e ，ya， 由题意可知，ya与( ) x x h x e 的图象有两个交点 1 x、 212 ()xxx， 因为 1 ( ) x x h x e ，令( )0h x，可得01x，令( )0h x，可得1x ， 所以( )h x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 所以 12 01xx ，所以 21 1(1)xx ， 由

39、12 1xx得 21 (1)1xx，得 21 (1)(1)xx ， 当 12 xx时，1， 因为 12 xx，所以01 请考生在请考生在 22、23 二题中任选一题作答注意只能做所选定的题目如果多做二题中任选一题作答注意只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个则按所做第一个 题目计分题目计分，作答时作答时，请用请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与坐标系与 参数方程参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1cos ( 3sin xt t yt 为参数） ，在以原 点O为极点，x轴非负半轴为

40、极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 2 sin22 （1）求C的直角坐标方程和l的普通方程； （2）若直线l截曲线C所得线段的中点坐标为(1, 3)，求l的斜率 【解答】解： （1）直线l的参数方程为 1cos ( 3sin xt t yt 为参数） ， 当cos0，即直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x ； 当cos0，即直线l的斜率存在时，3tan(1)yx， 即tan3tanyx； 由cosx，siny， 222 xy， 曲线C的极坐标方程为 2 sin22，即cos ( sin )1 ， 可得曲线C的直角坐标方程为1xy ； （2）若直线l截曲线C所得线段的中点坐标为(1,

41、 3)， 第 23页（共 24页） 由t为参数，可得 12 0 2 tt ， 将直线l的参数方程代入1xy ， 可得(1cos)( 3sin)1tt， 化为 2 cossin( 3cossin)310tt ， 可得 12 3cossin 0 sincos tt ， 即有sin3cos0， 则直线l的斜率为 sin tan3 cos 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数( ) |1|1|f xxxx （1）解不等式( ) 3f xx； （2）已知( )f x的最小值为m，正实数a、b满足2abm，求 11 1ab 的最小值，并指 出此时a、b的值 【解答】解： （1） 3 ,1

42、2, 10 ( ) |1|1| 2,01 3 ,1 x x xx f xxxx xx x x ， ( ) 3f xx，则 33 ,1 2 3 , 10 2 3 ,01 33 ,1 xx x xxx xxx xx x ， 在各个取值范围内，不等式均成立， 所以不等式( ) 3f xx的解集为R （2）由（1）可知( )f x的最小值为(0)2f， 所以22ab，所以 11124 112(1)(2) a abaaaa ， 令g（a） 4 (0) (1)(2) a a aa ， 所以g（a） 2 2222 (1)(2)(4)( 21)82 (1) (2)(1) (2) aaaaaa aaaa ， 令g（a）0，可得43 2a ，令g（a）0，可得043 2a ， 第 24页（共 24页） 所以g（a）在(0, 43 2) 上单调递减，在( 43 2 ，)上单调递增， 所以g（a）的最小值为 2 2 ( 43 2)1 3 g ， 将43 2a 代入22ab中，可得 3 2 3 2 b ， 即 11 1ab 的最小值为 2 2 1 3 ，此时43 2a ， 3 2 3 2 b