2021年宁夏中卫市优秀生高考数学第一次联考试卷（理科）.docx

1、第 1页（共 20页） 2021 年宁夏中卫市优秀生高考数学第一次联考试卷（理科）年宁夏中卫市优秀生高考数学第一次联考试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题给出的选项中，只有一分每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上） 1（5 分） 已知集合 |Ax xa， 2 |log1Bxx， 若ABA ， 则a的取值范围为() A(2,)B2，)C(,2)D(，2 2 （5 分）设复数z满足 1 1 z i z ，则(z ) AiB1i

2、CiD1i 3 （5 分）若( 2 a ，0)，且sincos0，则sin3() A 2 2 B 2 2 C 3 2 D 1 2 4（5 分） 某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况， 用系统抽样的方法从全校 2400 名学生中抽取 30 人进行调查现将 2400 名学生随机地从1 2400编号，按编号顺序平均分 成 30 组(1 80号，81160号，23212400号） ，若第 3 组抽出的号码为 176，则第 6 组抽到的号码是() A416B432C448D464 5 （5 分）某市政府决定派遣 8 名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作， 若要求每组至少 3 人，

3、则不同的派遣方案共有?() A320 种B252 种C182 种D120 种 6 （5 分）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是 中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山 势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为 1，3，3，5，5， 7，该数列从第 5 项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为() A39B45C48D51 7 （5 分）已知直线yx 被圆 22 :0(0)M xyEyE截得的弦长为2 2，且圆N的方 第 2页（共 20页） 程为 22 2210 xyxy ，则圆M与圆N

4、的位置关系为() A相交B外切C相离D内切 8 （5 分）直线ya与函数( )tan()(0) 4 f xx 的图象的相邻两个交点的距离为2， 若( )f x在( m，)(0)m m 上是增函数，则m的取值范围是() A(0， 4 B(0， 2 C(0， 3 4 D(0， 3 2 9 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S，若232(*) nn SanN，则 10 6 2 ( 2 S a ) A243B244C245D246 10 （5 分）已知函数 2 0 1 ( )|2| 2 i f xxi xi ，下列四个判断一定正确的是() A函数( )f x为偶函数 B函数( )f x最小值为

5、 6 C函数( )yf x的图象关于直线2x 对称 D关于x的方程 2 ( )0(0)f xmm的解集可能为 2，0，3，6 11 （5 分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ， 古称“角黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国 主义诗人屈原小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将 粽叶展开后得到由六个边长为 4 的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来， 可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为() A 512 6 729 B 16 2 3 C 32 6 27 D 1

6、28 2 81 12 （5 分）已知函数( )()(0) x f xealn axaa a，若关于x的不等式( )0f x 恒成立， 则实数a的取值范围为() A(0， 2 eB 2 (0,)eC1， 2 eD 2 (1,)e 二、填空题二、填空题： （本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量(1, 2)a ，( ,1)bk 且()aab ，则k 第 3页（共 20页） 14 （5 分）已知一组数据 4，a，3a，5，7 的平均数为 5，则这组数据的方差为 15 （5 分）设、r为平面，m、n、l为直线，以下四组条件：，l ，

7、 ml；rm ，r，r；r，r，m；n，n，m； 可以作为m的一个充分条件是 16 （5 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 与椭圆 22 2: 1 259 xy C的公共焦 点，点P，Q分别是曲线 1 C， 2 C在第一、第三象限的交点，四边形 12 PFQF的面积为6 6， 设双曲线 1 C与椭圆 2 C的离心率依次为 1 e， 2 e，则 12 ee 三三、解答题解答题： （本大题共本大题共 5 小题小题，满分满分 60 分分解答须写出文字说明解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC中，已知

8、角A，B，C所对的边分别是a，b，c，5a ，3b ， sin5sin2 2AB （1）求角A的值； （2）求ABC的面积 18 （12 分）已知抛物线 2 :2C yx，过点(1,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为 坐标原点 （1）若| 2 2AB ，求AOB外接圆的方程； （2）若点A关于x轴的对称点是(A A与B不重合） ，证明：直线A B经过定点 19 （12 分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝 对贫困为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区 2019 年脱贫 家庭进行简单随机抽样，共抽取 500 户家庭作为样本，获得数

9、据如表： A地区B地区 2019 年人均年纯收入超过 10000 元 100 户150 户 2019 年人均年纯收入未超过 10000 元 200 户50 户 假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过 10000 元相互独立 （）从A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，估计该家庭 2019 年人均年纯收入超过 第 4页（共 20页） 10000 元的概率； （）在样本中，分别从A地区和B地区 2019 年脱贫家庭中各随机抽取 1 户，记X为这 2 户家庭中 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的户数，求X的分布列和数学期望； （）从样本中A地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取

10、4 户，发现这 4 户家庭 2020 年人均年 纯收入都超过 10000 元根据这个结果，能否认为样本中A地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年有变化？请说明理由 20 （12 分）如图，四边形ABCD中，/ /ADBC，90BAD，2ABBC，2 2AD ， E，F分别是线段AD，CD的中点以EF为折痕把DEF折起，使点D到达点P的位置， G为线段PB的中点 （1）证明：平面/ /GAC平面PEF； （2）若平面PEF 平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值 21 （12 分）已知函数 1 ( ) x f xkex （1）讨论( )f x的单

11、调性； （ 2 ） 若 函 数 ( ) ( ) f x g xlnxx x 有 三 个 极 值 点 1 x， 2 x， 3123 ()xxxx， 求 123 ()()()g xg xg x的取值范围 选考题选考题： （请考生在第请考生在第 22、 23 两道题中任选一题作答两道题中任选一题作答 如果多做如果多做， 则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分 作作 答时请用答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x

12、 y 为参数） ，以 原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为 2 sin() 42 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若点M的坐标为(1,2)，直线l与曲线C交于A、B两点，求 11 |MAMB 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 第 5页（共 20页） 23已知函数( ) |2|f xxa，( ) |g xxb （1）若1a ，3b ，解不等式( )( ) 4f xg x； （2）当0a ，0b 时，( )2 ( )f xg x的最大值是 3，证明： 22 9 4 2 ab 第 6页（共 20页） 2021 年宁夏中卫市优秀生高

13、考数学第一次联考试卷（理科）年宁夏中卫市优秀生高考数学第一次联考试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题给出的选项中，只有一分每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上） 1（5 分） 已知集合 |Ax xa， 2 |log1Bxx， 若ABA ， 则a的取值范围为() A(2,)B2，)C(,2)D(，2 【解答】解：ABA ，AB， |Ax xa， |2Bx x，2a ， a的取值范围为：2

14、，) 故选：B 2 （5 分）设复数z满足 1 1 z i z ，则(z ) AiB1iCiD1i 【解答】解：因为 1 1 z i z ， 所以 2 11(1) 11(1)(1) iii zi iiii 故选：C 3 （5 分）若( 2 a ，0)，且sincos0，则sin3() A 2 2 B 2 2 C 3 2 D 1 2 【解答】解：因为sincos0，所以 sin tan1 cos ， 又因为( 2 a ，0)， 所以 4 ， 则 332 sin3sin()sin 442 故选：A 4（5 分） 某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况， 用系统抽样的方法从全校 2400 名学

15、生中抽取 30 人进行调查现将 2400 名学生随机地从1 2400编号，按编号顺序平均分 成 30 组(1 80号，81160号，23212400号） ，若第 3 组抽出的号码为 176，则第 6 第 7页（共 20页） 组抽到的号码是() A416B432C448D464 【解答】解：样本间隔为24003080， 设首个号码为x，则第三个号码为160 x ， 则160176x ，解得16x ， 则第 6 组抽到的号码为1680540016416， 故选：A 5 （5 分）某市政府决定派遣 8 名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作， 若要求每组至少 3 人，则不同的派遣方案共

16、有?() A320 种B252 种C182 种D120 种 【解答】解：因为若要求每组至少 3 人，所以有 3，5 和 4，4 两种， 若人数为 3，5，则有 32 82 112C A 种； 人数为 4，4，则有 4 8 70C 种； 共有11270182， 故选：C 6 （5 分）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是 中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山 势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为 1，3，3，5，5， 7，该数列从第 5 项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为()

17、A39B45C48D51 【解答】解：设该数列为 n a，由题意得， 5 a， 6 a，成等差数列，公差2d ， 5 5a ， 设塔群共有n层，则 (4)(5) 13355(1)2108 2 nn n ， 解得，12n ， 故最下面三层的塔数之和为 10111211 33(526)51aaaa 故选：D 第 8页（共 20页） 7 （5 分）已知直线yx 被圆 22 :0(0)M xyEyE截得的弦长为2 2，且圆N的方 程为 22 2210 xyxy ，则圆M与圆N的位置关系为() A相交B外切C相离D内切 【解答】解：根据题意， 22 0 yx xyEy ，则有 2 20yEy， 解可得：

18、 1 0y 或 2 2 E y ， 又由yx ， 则 1 0 x 或 2 2 E x ， 即直线yx 与圆 22 :0M xyEy的交点为(0,0)和( 2 E ， ) 2 E ； 又由直线yx 被圆 22 :0(0)M xyEyE截得的弦长为2 2，则有 22 8 44 EE ，解可 得4E ， 又由0E ，则4E ， 则圆M的方程为 22 40 xyy，其圆心为(0,2)，半径2r ， 圆N的方程为 22 2210 xyxy ，即 22 (1)(1)1xy，其圆心为(1,1)，半径1R ； 两圆圆心距|1 12MN ，则有|rRMNRr，则两圆相交； 故选：A 8 （5 分）直线ya与函数

19、( )tan()(0) 4 f xx 的图象的相邻两个交点的距离为2， 若( )f x在( m，)(0)m m 上是增函数，则m的取值范围是() A(0， 4 B(0， 2 C(0， 3 4 D(0， 3 2 【解答】解：直线ya与函数( )tan() 4 f xx 图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 则2T， 所以 1 2T ， 所以 1 ( )tan() 24 f xx ， 由 1 2242 kxk ， 解得 3 22 22 kxk ，()kZ； 第 9页（共 20页） 所以函数( )f x在 3 ( 2 ，) 2 上是单调增函数； 又( )f x在(,)m m上是单调增函数， 即( m

20、， 3 )( 2 m ，) 2 ， 解得0 2 m ； 所以m的取值范围是(0， 2 故选：B 9 （5 分）设数列 n a的前n项和为 n S，若232(*) nn SanN，则 10 6 2 ( 2 S a ) A243B244C245D246 【解答】解： 1 2323()2 nnnn SaSS ， 1 13(1)(2) nn SSn ， 由 1111 232213aaaa ， 数列1 n S 是首项与公比均为 3 的等比数列， 13n n S ， 655 665 332 32243486aSS， 1055 10 6 22 (31)(31)(31)(243 1)(243 1) 244 2

21、4862242242 S a ， 故选：B 10 （5 分）已知函数 2 0 1 ( )|2| 2 i f xxi xi ，下列四个判断一定正确的是() A函数( )f x为偶函数 B函数( )f x最小值为 6 C函数( )yf x的图象关于直线2x 对称 D关于x的方程 2 ( )0(0)f xmm的解集可能为 2，0，3，6 【解答】解： 111 ( ) |2|4| 24 f xxxx xxx ， 则0 x 且2x 且4x ，则定义域关于原点不对称，则( )f x不可能是偶函数，故A错误， 11 | ) |2xx xx ，当且仅当 1 x x ，即1x 时，取等号， 第 10页（共 20

22、页） 11 |2| |2|2 22 xx xx ，当且仅当 1 2 2 x x ，即3x 或1x 时，取等号， 11 |4| |4|2 44 xx xx ，当且仅当 1 4 4 x x ，即3x 或5x 时，取等号， 则( ) 2226f x，但三个不等式等号成立的条件不相同，故等号不能同时取，则最小值 不是 6，故B错误， 111111 (4) | 4| 42| 44| |4|2|( ) 4424442 fxxxxxxxf x xxxxxx ，则函数关于2x 对称，故C正确， 由 2 ( )0(0)f xmm得 2 ( )f xm，(0)m ，则( )f xm ， 若方程有解，则根关于2x

23、对称， 2，6 关于2x 对称，但 0，3 关于2x 不对称，故D错误， 故选：C 11 （5 分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子” ， 古称“角黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国 主义诗人屈原小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将 粽叶展开后得到由六个边长为 4 的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来， 可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为() A 512 6 729 B 16 2 3 C 32 6 27 D 128 2 81 【解答】解：由题意可得每个

24、三角形面积为 1 42 34 3 2 S ， 由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的， 可得该四面体的高为 2 4 34 6 16() 33 ， 故四面体的体积为 14 616 2 4 3 333 ， 该六面体的体积是正四面体的 2 倍， 六面体的体积是 32 2 3 ， 由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，连接球心和五个 顶点，把六面体分成了六个三棱锥， 第 11页（共 20页） 设丸子的半径为R，则 32 21 64 3 33 R，解得 4 6 9 R ， 丸子的体积的最大值为 33 444 6512 6 () 339729 max VR 故选：A 12

25、（5 分）已知函数( )()(0) x f xealn axaa a，若关于x的不等式( )0f x 恒成立， 则实数a的取值范围为() A(0， 2 eB 2 (0,)eC1， 2 eD 2 (1,)e 【解答】解：( )()0(0) x f xealn axaaa恒成立， (1)1 x e ln xlna a ， (1)1 x lna exlnaln xx ， (1) (1) x lnaln x exlnaeln x 令( ) x g xex，易得( )g x在(1,)上单调递增， (1)xlnaln x ，(1)lnaln xx (1)22ln xx xx ， 2lna ， 2 0ae

26、， 实数a的取值范围为 2 (0,)e 故选：B 二、填空题二、填空题： （本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量(1, 2)a ，( ,1)bk 且()aab ，则k 3 【解答】解：根据题意，向量(1, 2)a ，( ,1)bk ， 则(1, 1)abk ， 若()aab ，则()(1)20aabk ，解可得3k ， 故答案为：3 14 （5 分）已知一组数据 4，a，3a，5，7 的平均数为 5，则这组数据的方差为2 【解答】解：因为这组数据的平均数为 5， 所以435725aa，解得3a ， 第 12页（共 20页）

27、 则这组数为 3，4，5，6，7， 故方差 222222 1(3 5)(45)(55)(65)(75) 2 5 s 故答案为：2 15 （5 分）设、r为平面，m、n、l为直线，以下四组条件：，l ， ml；rm ，r，r；r，r，m；n，n，m； 可以作为m的一个充分条件是 【解答】解：记面 1 AD为，面AC为，则AD为l，若视AB为m，ml，但m在面 内，故不满足条件； 若、两两垂直，则可以得到m，但该条件中没有，故反例只可能存在 于此处，记面 1 AD为，面 11 BB D D为，面AC为，则AD为m，但m与成45角， 故不满足条件； 注意到m，只要、不平行，就得不到m，记面 1 AD

28、为，面 11 BB D D为， 面AC为，视AB为m，但m与成45角，故不满足条件； 由n，n得/ /，再由m得m；故只有满足条件 故答案为： 16 （5 分）已知 1 F， 2 F是双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 与椭圆 22 2: 1 259 xy C的公共焦 点，点P，Q分别是曲线 1 C， 2 C在第一、第三象限的交点，四边形 12 PFQF的面积为6 6， 设双曲线 1 C与椭圆 2 C的离心率依次为 1 e， 2 e，则 12 ee 2 104 5 【解答】解：由题意可得 22 16ab， 根据双曲线 1 C与椭圆 2 C的对称性可得 12 PF F的面

29、积为3 6， 设 0 (P x， 0) y， 0 (x， 0 0)y ， 则 0 22 00 1 83 6 2 1 259 y xy ，解得 0 5 10 4 x ， 0 3 6 4 y ， 代入双曲线的方程结合 22 16ba， 可得 42 352500aa，结合04ac，解得10a ， 第 13页（共 20页） 双曲线的离心率为 1 42 10 510 c e a ， 而椭圆的离心率 2 4 5 e ， 12 2 104 5 ee 故答案为： 2 104 5 三三、解答题解答题： （本大题共本大题共 5 小题小题，满分满分 60 分分解答须写出文字说明解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤

30、证明过程或演算步骤） 17 （12 分）在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c，5a ，3b ， sin5sin2 2AB （1）求角A的值； （2）求ABC的面积 【解答】解： （1）因为5a ，3b ， 由正弦定理得2 sinsin ab R AB ， 所以 5 sin 2 A R ， 3 sin 2 B R ， 因为sin5sin2 2AB， 所以 53 5 2 2 22RR ， 故 10 2 R ， 52 sin 22 A R ， 因为ab， 所以A为锐角， 4 A ； 第 14页（共 20页） （2）由余弦定理得 2222 295 cos 226 bcac A bcc

31、， 整理得 2 3 240cc， 解得2 2c 或2c 当2 2c 时， 112 sin32 23 222 ABC SbcA ， 当2c 时， 1123 sin32 2222 ABC SbcA 18 （12 分）已知抛物线 2 :2C yx，过点(1,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为 坐标原点 （1）若| 2 2AB ，求AOB外接圆的方程； （2）若点A关于x轴的对称点是(A A与B不重合） ，证明：直线A B经过定点 【解答】解： （1）设直线l的方程为1xty， 联立 2 1 2 xty yx ，得 2 220yty， 所以 2222 |1482 (1)(2)ABtttt， 由

32、| 2 2AB ，解得0t ， 所以A，B的坐标为(1, 2)，(1,2)， AOB外接圆的圆心在x轴上，设圆心为( ,0)a， 由 222 (1)( 2)aa，解得 3 2 a ， 所以AOB外接圆的方程为 22 39 () 24 xy （2）证明：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 1 (A x， 1) y， 由（1）知， 12 2yyt， 12 2y y ， 设直线A B的方程为xmyn， 联立 2 2 xmyn yx ，得 2 220ymyn， 则 12 ()2y yn ， 所以22n ，即1n ， 第 15页（共 20页） 所以直线A B过定点( 1,0)

33、19 （12 分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝 对贫困为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区 2019 年脱贫 家庭进行简单随机抽样，共抽取 500 户家庭作为样本，获得数据如表： A地区B地区 2019 年人均年纯收入超过 10000 元 100 户150 户 2019 年人均年纯收入未超过 10000 元 200 户50 户 假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过 10000 元相互独立 （）从A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，估计该家庭 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的概率； （）在样本中，分别从A

34、地区和B地区 2019 年脱贫家庭中各随机抽取 1 户，记X为这 2 户家庭中 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的户数，求X的分布列和数学期望； （）从样本中A地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4 户，发现这 4 户家庭 2020 年人均年 纯收入都超过 10000 元根据这个结果，能否认为样本中A地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年有变化？请说明理由 【解答】解： （）设事件C：从A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年 人均纯收入超过 10000 元， 从表格数据可知，A地区抽出的 300 户家庭中 2019

35、 年人均年收入超过 10000 元的有 100 户， 因此P（C）可以估计为 1001 3003 ； （）设事件A：从样本中A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年人均 纯收入超过 10000 元， 设事件B：从样本中B地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年人均纯收入 超过 10000 元， 由题意可知，X的可能取值为 0，1，2， 131 (0)()( ) ( )(1)(1) 346 P XP ABP A P B， 13137 (1)()( ) ( )( ) ( )(1)(1) 343412 P XP ABABP A P BP A P

36、B ， 第 16页（共 20页） 131 (2)()( ) ( ) 344 P XP ABP A P B， 所以X的分布列为： X012 P 1 6 7 12 1 4 所以X的数学期望为 17113 ()012 612412 E X ； （）设事件E为“从样本中A地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4 户， 这 4 户家庭 2020 年人均年纯收入都超过 10000 元” ， 假设样本中A地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年没有变化， 则由 2019 年的样本数据可得 4 100 4 300 ( )0.012 C P E C 答案示例 1：可以认为有变化

37、，理由如下： P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地 区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化， 所以可以认为有变化 答案示例 2：无法确定有没有变化，理由如下： 事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确 定有没有变化 20 （12 分）如图，四边形ABCD中，/ /ADBC，90BAD，2ABBC，2 2AD ， E，F分别是线段AD，CD的中点以EF为折痕把DEF折起，使点D到达点P的位置， G为线段PB的中点 （1）证明：平面/ /GAC平面PEF； （2）若平面PEF 平面A

38、BCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：连接CE，由题意知，四边形ABCE为正方形， 连接BE交AC于O，连接OG，所以O为BE中点， 第 17页（共 20页） 又因为G为PB中点，所以/ /OGPE， 因为E，F分别为AD，CD中点，所以/ /ACEF， 因为OGACO ，PEEFE ，AC，OG 平面ACG，PEEF 平面PEF， 所以平面/ /GAC平面PEF （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下： (0A，2，0)，( 2C，0，0)，( 2B，2，0)， 2 ( 2 P， 2 2 ，1)， 3 2 ( 4 G， 2 4 ， 1) 2 ，

39、3 2 ( 4 AG ， 3 2 4 ， 1) 2 ,( 2AC ,2,0), 2 ( 2 AP ， 3 2 2 ，1), 设平面PAC的法向量为(nx ,y,) z, 220 23 2 0 22 AC nxy AP nxyz ，令1y ,(1n ,1,2), 所以直线AG与平面PAC所成角的正弦值为 2 |5 2 10| |10 2 2 AG n AGn 21 （12 分）已知函数 1 ( ) x f xkex （1）讨论( )f x的单调性； （ 2 ） 若 函 数 ( ) ( ) f x g xlnxx x 有 三 个 极 值 点 1 x， 2 x， 3123 ()xxxx， 求 123

40、 ()()()g xg xg x的取值范围 【解答】解： （1） 1 ( )1 x fxke ， 当0k时，( )0fx，( )f x在(,) 上单调递减； 第 18页（共 20页） 当0k 时，令( )0fx，得1xlnk ， 当(,1)xlnk 时，( )0fx；当(1,)xlnk时，( )0fx 故( )f x在(,1)lnk上单调递减，在(1,)lnk上单调递增 （2） 1 ( ) ( )1 x f xke g xlnxxlnxx xx ， 1 2 (1)() ( ) x xkex g x x ，因为( )g x有三个极值点 1 x， 2 x， 3 x， 所以( )0g x有三个根 1

41、 x， 2 x， 3 x，假设 1 1x ， 2 x， 3 x是 1 0 x kex 的两个根， 结合（1）可知，当0k 时，满足条件， 则(1)10 lnk flnkkelnklnk ，解得01k， 所以f（1）10k ，所以方程 1 0 x kex 的两个根中有一个小于 1，一个大于 1， 又 123 xxx，所以 2 1x ， 1 x， 3 x是 1 0 x kex 的两个根， 所以 2 ()1112g xlnkk ， 111 ()g xlnxx， 333 ()g xlnxx， 所以 1231313 ()()()2()()g xg xg xkln x xxx 31 11 13 2()()

42、 xx kxxln keke 2 1313 2()11kxxlnkxx 42klnk， 令( )42h kklnk，01k， 则 2 ( )10h k k ，所以( )h k在(0,1)上单调递增， 0k 时，( )h k ，h（1）3 ， 所以( )3h k ， 所以 123 ()()()g xg xg x的取值范围是(, 3) 选考题选考题： （请考生在第请考生在第 22、 23 两道题中任选一题作答两道题中任选一题作答 如果多做如果多做， 则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分 作作 答时请用答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）选修选

43、修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） ，以 第 19页（共 20页） 原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为 2 sin() 42 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）若点M的坐标为(1,2)，直线l与曲线C交于A、B两点，求 11 |MAMB 的值 【解答】 解：（1） 曲线C的参数方程为 3cos ( sin x y 为参数） ， 转换为普通方程为 2 2 1 3 x y； 直线l的极坐标方程为 2 sin() 42 ，根据 22

44、2 cos sin x y xy 转换为直角坐标方程为 1yx （2）把直线:10l xy 代入 2 2 1 3 x y， 得到： 2 230 xx， 解得 0 1 x y 或 3 2 1 2 x y ， 即(0,1)A， 31 (,) 22 B ， 所以|2MA ， 5 2 | 2 MB ， 所以 11227 2 |2510MAMB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |2|f xxa，( ) |g xxb （1）若1a ，3b ，解不等式( )( ) 4f xg x； （2）当0a ，0b 时，( )2 ( )f xg x的最大值是 3，证明： 22 9 4 2

45、ab 【解答】 （1）解：当1a ，3b 时， 1 23 , 2 1 ( )( ) |21|3|4,3 2 32,3 x x f xg xxxxx xx ， 当 1 2 x时，由234x，解得 2 3 x； 第 20页（共 20页） 当 1 3 2 x 时，4 4x ，解得03x ； 当3x 时，由32 4x ，解得3x ， 所以不等式( )( ) 4f xg x的解集为(， 2 0 3 ，) （2）证明：当0a ，0b 时，由不等式的基本性质， 得( )2 ( ) |2|22 |222 |2f xg xxaxbxaxbab， 所以23ab， 因为 22 24 22 abab ，即 22 4 3 2 ab ，所以 22 9 4 2 ab 另解：根据柯西不等式，得 22222 (11 )(2 ) (2 )9abab， 即 22 9 4 2 ab，当且仅当2ab，即 3 2 a ， 3 4 b 时取得等号