2021年江苏省百校联考高考数学第三次考试试卷.docx

1、第 1页（共 19页） 2021 年江苏省百校联考高考数学第三次考试试卷年江苏省百校联考高考数学第三次考试试卷 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小是小是，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中只有一项在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 （5 分） “虚数”这个词是 17 世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这 是不存在的数人们发现，最简单的二次方程 2 10 x ，在实数范围内没有解已知复数z 满足 2 40zi，则| (z ) A4B2C2D1 2 （5 分） 已知 集合 2 |0AxR xxt ，tR， 2

2、|60BxR xx，若 2 |9ABx x ，则(AB ) A( 3,3)B( 2,2)C( 2,3)D( 3,2) 3 （5 分） 数术记遗 是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著， 内有中国特色的十四种算法 它 最早记录中国古代关于大数的记法： “黄帝为法，数有十等及其用也，乃有三焉十等者， 亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变 之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰 兆，万万兆曰京上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也从亿至载， 终于大衍下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用故其传业，唯以中数耳

3、”我们 现在用的是中数之法： 万万为亿， 万亿为兆， 万兆为京， 即 4 101万， 8 101亿， 12 101 兆， 16 101京，地球的质量大约是 5.965 秭千克，5.965 秭的位数是() A21B20C25D24 4 （5 分）已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是 13、25、41，下列各数一定是该数 列的项的是() A2019B2020C2021D2022 5（5 分） 已知a ，b 是不共面向量， 设2OAab ，2OBab ，3OCab ，3ODab ， 若OAB的面积为 3，则OCD的面积为() A4B5C6D8 6 （5 分）正实数a，b，c满足sin2aa，33

4、 b b ， 4 log4cc，则实数a，b，c 之间的大小关系为() 第 2页（共 19页） AbacBabcCacbDbca 7（5分） 已知四面体ABCD的四个顶点都在以AB为直径的球R面上， 且2BCCDDB， 若四面体ABCD的体积是 4 2 3 ，则这个球面的面积是() A16B 32 3 C4D 76 3 8 （5 分）已知函数 2 ,1 ( ) 1 1,1 4 log x x f x xx ，( )( )g xf xkx，若函数( )g x有两个零点，则k的 取值范围是() A(0， 1 4 B 1 (0,) 2eln C0， 1) e D 1 4 ， 1 ) 2eln 二二、

5、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）在平面直角坐标xOy中，已知圆O过点(3,4)A、B、C、且BCOA ，则() A直线BC的斜率为 3 4 B60AOC CABC的面积 25 3 2 D点B、C在同一象限内 10 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是1xy ，下列结论正确的是() A曲线C上的点与定点( 2, 2)F距离的最小值是

6、22 B曲线C上的点和定点( 2, 2)F的距离与到定直线:20l xy的距离的比是2 C曲线C绕原点顺时针旋转45，所得曲线方程是 22 2xy D曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 4 11 （5 分）设 29229 01229 (12 ) xaa xa xa x，则下列结论正确的是() A 1516 0aaB 12329 1aaaa C 29 13529 13 2 aaaa D 12329 232958aaaa 12 （5 分）下列结论正确的是() A存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形 B存在这样的四面体ABCD，90BACCADDABBCD C存在不共面的四点A、B、

7、C、D，使90ABCBCDCDA 第 3页（共 19页） D存在不共面的四点A、B、C、D，使90ABCBCDCDADAB 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知( )sin(2)3cos(2)(|) 2 f xxx 是奇函数，若0, 2 x ， sin(2)mxn，则nm的最小值是 14 （5 分）集合A中有 4 个等差数列，集合B中有 5 个等比数列，AB 的元素个数是 1， 在AB 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是 15 （5 分）设数列 1 a， 2 a， 3 a， 4 a各项互

8、不相同，且1 i a ，2，3，4(1i ，2，3，4)若 下 列 四 个 关 系 1 1a ； 2 1a ； 3 2a ； 4 4a 中 恰 有 一 个 正 确 ， 则 1234 (10)(10)aaaa的最大值是 16 （5 分）设抛物线 2 1: 22Cyxx和 2 2: Cyxaxb 在它们的一个交点处的切线互 相垂直，则 2 C过定点 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） （1）写出一个等差数列 n a的通项公式，使 n a满足 1 0a ， n S是等

9、差数列，其中 n S是 n a的前n项和 （写出一个就可以，不必证明） （2）对于（1）中的 n a，设2n nn ba，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分）如图，在平面四边形ABCD中，已知3AB ，1ADDCCB （1）当A、B、C、D共圆时，求cos A的值； （2）若 3 cos 6 ADB，求sinABC的值 19 （12 分）某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本 4 元，售价 6 元如果当天卖不完，剩 下的奶茶只能倒掉奶茶店记录了 60 天这款新品奶茶的日需求量，整理得如表： 日需求量杯数20253035404550 天数55101510105 以 60 天记录的各需

10、求量的频率作为各需求量发生的概率 第 4页（共 19页） （1）从这 60 天中任取 2 天，求这 2 天的日需求量至少有一天为 35 的概率； （2） 若奶茶店一天准备了 35 杯这款新品奶茶， 用表示当天销售这款新品奶茶的利润 （单 位：元） ，求的分布列和数学期望； 假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是 5 的倍数，有顾客建议店主每天准备 40 杯 这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由 20 （12 分）如图，矩形BCDE所在平面与ABC所在平面垂直，90ACB，2BE （1）证明：DE 平面ACD； （2）若平面ADE与平面ABC所成锐二面角的余弦值是 5 5 ，

11、且直线AE与平面BCDE所成 角的正弦值是 1 3 ，求异面直线DE与AB所成角的余弦值 21 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率是 1 2 ，焦点 到相应准线的距离是 3 （1）求a，b的值； （2） 已知A、B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，(1,0)F， 连接AF、BF 并分别延长交椭圆C于D、E两点，证明：直线DE过定点 22 （12 分）设01x （1）证明： 2 sin 11 6 xx x ； （2）若 3 sin 6 x axx，求a的取值范围 第 5页（共 19页） 2021 年江苏省百校联考高考数学第

12、三次考试试卷年江苏省百校联考高考数学第三次考试试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小是小是，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中只有一项在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 （5 分） “虚数”这个词是 17 世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这 是不存在的数人们发现，最简单的二次方程 2 10 x ，在实数范围内没有解已知复数z 满足 2 40zi，则| (z ) A4B2C2D1 【解答】解：因为 2 40zi， 所以 2 4zi ， 故 22 | | 4 | 4zz

13、i ， 所以| 2z 故选：B 2 （5 分） 已知 集合 2 |0AxR xxt ，tR， 2 |60BxR xx，若 2 |9ABx x ，则(AB ) A( 3,3)B( 2,2)C( 2,3)D( 3,2) 【解答】解：集合 2 |0AxR xxt ，tR， 2 |60| 32BxR xxxRx ， 2 |9 | 33ABx xxx ， 3是方程 2 0 xxt 的根，930t ，解得6t ， 2 |60 | 23AxR xxxx ， | 23( 2,3)ABxx 故选：C 3 （5 分） 数术记遗 是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著， 内有中国特色的十四种算法 它 最早记录中国古代关于

14、大数的记法： “黄帝为法，数有十等及其用也，乃有三焉十等者， 亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变 第 6页（共 19页） 之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰 兆，万万兆曰京上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也从亿至载， 终于大衍下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用故其传业，唯以中数耳 ”我们 现在用的是中数之法： 万万为亿， 万亿为兆， 万兆为京， 即 4 101万， 8 101亿， 12 101 兆， 16 101京，地球的质量大约是 5.965 秭千克，5.965 秭的位数是() A

15、21B20C25D24 【解答】解：由于 24 101秭， 所以 5.965 秭 24 5.965 10 故 5.965 秭的位数是 25 故选：C 4 （5 分）已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是 13、25、41，下列各数一定是该数 列的项的是() A2019B2020C2021D2022 【解答】解：由正整数组成的无穷等差数列中有三项是 13、25、41， 可得：25131234，41251644， 可得公差4d ， 不妨取 1 13a ， 则通项公式13(1)449 n ann， 可知： n a为奇数，排除BD 令492019n ，解得 1 502 2 n ，舍去 令492021

16、n ，解得503n ， 下列各数一定是该数列的项的是 2021 故选：C 5（5 分） 已知a ，b 是不共面向量， 设2OAab ，2OBab ，3OCab ，3ODab ， 若OAB的面积为 3，则OCD的面积为() A4B5C6D8 【解答】解：因为2OAab ，2OBab ，3OCab ，3ODab ， 所以ABOBOAba ，2()DCOCODab ， 第 7页（共 19页） 所以2DCBA ， 所以2DCBA且/ /DCBA， 取AB中点E，CD中点F，做OHAB，垂足为G，则OHCD， 则 13 ()() 22 OEOAOBab ， 1 ()2() 2 OFOCODab ， 所以

17、/ /OEOF ， 所以O，E，F三点共线且 3 4 OEOF， 所以OEGOFH， 3 4 OGOH， 所以 1 3 2 1 8 2 OAB OCD AB OG S S CD OH ， 所以OCD的面积为 8 故选：D 6 （5 分）正实数a，b，c满足sin2aa，33 b b ， 4 log4cc，则实数a，b，c 之间的大小关系为() AbacBabcCacbDbca 【解答】解：sin2aa，sin2aa，sin 1a ，1，13a ， ( )3xf xx为增函数，且(0)1f，f（1）4， 当33 b b 时，01b， 4 ( )logg xxx为增函数，且g（3）4，g（4）5，

18、 第 8页（共 19页） 当 4 log4cc时，34c， bac 故选：A 7（5分） 已知四面体ABCD的四个顶点都在以AB为直径的球R面上， 且2BCCDDB， 若四面体ABCD的体积是 4 2 3 ，则这个球面的面积是() A16B 32 3 C4D 76 3 【解答】解：由题意，几何体的直观图如图， 四面体ABCD的体积是 4 2 3 ，可得O到平面BCD的距离为h， 2 134 2 22 343 h，解 得 2 6 3 h ， 所以外接球的半径为 22 2 623 ()(2)2 332 ROBODOCOA， 所以外接球的表面积为： 2 4216 故选：A 8 （5 分）已知函数 2

19、 ,1 ( ) 1 1,1 4 log x x f x xx ，( )( )g xf xkx，若函数( )g x有两个零点，则k的 取值范围是() A(0， 1 4 B 1 (0,) 2eln C0， 1) e D 1 4 ， 1 ) 2eln 【解答】解：函数 2 ,1 ( ) 1 1,1 4 log x x f x xx ， 作出( )f x的图象与ykx图象有两个交点， （如图） 第 9页（共 19页） 设ykx与 2 logyx的切点为 0 (x， 0) y， 可得 00 020 0 1 2 ykx ylog x x ln k ，解得 0 xe， 相切时的斜率 1 2 k eln 故得

20、( )f x的图象与ykx图象有两个交点时， 11 42 k eln 故选：D 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）在平面直角坐标xOy中，已知圆O过点(3,4)A、B、C、且BCOA ，则() A直线BC的斜率为 3 4 B60AOC CABC的面积 25 3 2 D点B、C在同一象限内 【解答】解：如图， (3,4)A， 4 (3,4)3(

21、1, ) 3 OA ，而BCOA ， 直线BC的斜率为 4 3 ，故A错误； 第 10页（共 19页） 由题意可知，| | 5OAOB ， 又BCOA ，四边形OBCA为菱形， 又| 5OC ，60AOC，故B正确； 11325 3 5 5 sin1205 5 2224 ABC S ，故C错误； 设BC所在直线方程为 4 3 yxb，即4330 xyb | 5BC ，O到BC的距离为 5 3 2 ，即 22 |3 |3 |5 3 52 4( 3) bb ， 解得 25 3 6 b 当 25 3 6 b 时，由 425 3 36 yx，取0y ，可得 25 3 5 8 x ，则B、C均在第二象

22、限； 当 25 3 6 b 时，由 425 3 36 yx，取0y ，可得 25 3 5 8 x ，则B、C均在第四象限 点B、C在同一象限内，故D正确 故选：BD 10 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是1xy ，下列结论正确的是() A曲线C上的点与定点( 2, 2)F距离的最小值是22 B曲线C上的点和定点( 2, 2)F的距离与到定直线:20l xy的距离的比是2 C曲线C绕原点顺时针旋转45，所得曲线方程是 22 2xy D曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 4 【解答】解：由1xy ，即 1 y x 的导数为 2 1 y x ， 可得曲线C上的点(1,1)处

23、的切线的斜率为1， 而直线OF的斜率为 1，可得直线OF与切线垂直， 则(1,1)为曲线C上与F的距离最小的点， 所以最小值为 22 (12)(12)22，故A正确； 由于1xy 和直线20 xy不相交， 第 11页（共 19页） 设曲线上的点 1 ( , )x x 到( 2F，2)的距离为 1 d， 22 1 1 (2)(2)dx x ， 设曲线上的点 1 ( , )x x 到直线20 xy的距离为 2 d， 2 1 |2 | 2 x x d ， 由 22 1 2 11 42 2()dxx xx ， 22 2 2 11 242 2()dxx xx ， 可得 1 2 2 d d ，故B正确；

24、由曲线C为等轴双曲线，可得曲线C绕原点顺时针旋转45， 所得双曲线的焦点在x轴上，且2a ，则所得曲线方程是 22 2xy，故C正确； 设曲线1xy 上的点( , )m n，即有 1 n m ，可得切线的方程为 2 11 ()yxm mm ， 令0 x ，可得 2 y m ；再令0y ，可得2xm， 则围成的三角形的面积为 12 |2| | 2 2 m m ，故D错误 故选：ABC 11 （5 分）设 29229 01229 (12 ) xaa xa xa x，则下列结论正确的是() A 1516 0aaB 12329 1aaaa C 29 13529 13 2 aaaa D 12329 23

25、2958aaaa 【解答】解：对于 29229 01229 (12 ) xaa xa xa x， 15151616151314 151629292929 ( 2)( 2)2 (2)0aaCCCC ，故A错误； 令0 x ，可得 0 1a ， 再令1x ，可得 12329 11aaaa ，故 12329 2aaaa ，故B错误； 令1x ，可得 29 12329 13aaaa， 故除以 2 可得， 29 13529 13 2 aaaa ，故C正确； 对于等式，两边对x求导数，可得 28 1229 229229aa xa x 28 (12 ) x， 再令1x ，可得 12329 232958aaa

26、a ，故D正确， 故选：CD 12 （5 分）下列结论正确的是() A存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形 第 12页（共 19页） B存在这样的四面体ABCD，90BACCADDABBCD C存在不共面的四点A、B、C、D，使90ABCBCDCDA D存在不共面的四点A、B、C、D，使90ABCBCDCDADAB 【解答】解：对于A，在长方体 1111 ABCDA B C D中， 四面体 1 AABC的四个面都是直角三角形，所以选项A正确； 对于B，三个直角均以A为顶点，那么BCD为锐角三角形，故选项B错误； 对于C，存在不共面的四点A、B、C、D，使90ABCBCDCDA ，如图

27、所示， 故选项C正确； 对于D，若90ABCBCDCDADAB ，则A，B，C，D四点共面，故选项D 错误 故选：AC 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知( )sin(2)3cos(2)(|) 2 f xxx 是奇函数，若0, 2 x ， sin(2)mxn，则nm的最小值是 3 1 2 【解答】解：( )sin(2)3cos(2)2sin(2) 3 f xxxx ， ( )f x为奇函数， 第 13页（共 19页） 3 k ，kZ， 3 k ，kZ， | 2 ， 3 ， 0 x， 2 ，2 33 x ， 2

28、3 ， 3 sin(2) 32 x ，1， 0 x ， 2 ，sin(2) 3 mxn ， sin(2) 3 mxmin ，sin(2) 3 max nx 3 2 m，1n， nm 的最小值为 3 1 2 故答案为： 3 1 2 14 （5 分）集合A中有 4 个等差数列，集合B中有 5 个等比数列，AB 的元素个数是 1， 在AB 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是 19 28 【解答】解：集合A中有 4 个等差数列，集合B中有 5 个等比数列，AB 的元素个数是 1， AB 中有 8 个数列， 在AB 中任取两个数列，基本事件总数 2 8 28nC， 这两个数列中

29、既有等差数列又有等比数列包含的基本事件个数 1111 1734 19mC CC C， 这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是 19 28 m P n 故答案为： 19 28 15 （5 分）设数列 1 a， 2 a， 3 a， 4 a各项互不相同，且1 i a ，2，3，4(1i ，2，3，4)若 下 列 四 个 关 系 1 1a ； 2 1a ； 3 2a ； 4 4a 中 恰 有 一 个 正 确 ， 则 1234 (10)(10)aaaa的最大值是18 【解答】解：若正确，则一定正确，因此不符合题意； 若正确，此时令 4 4a ， 3 1a ， 1 3a ， 2 2a ，则有 123

30、4 (10)(10)aaaa的最大值为 18； 若正确，此时 4 4a ， 2 1a ， 1 3a ， 3 2a ，则有 1234 (10)(10)aaaa的最大值为 7； 若正确，此时 4 2a ， 3 3a ， 1 4a ， 2 1a ，则有 1234 (10)(10)aaaa的最大值为 9 第 14页（共 19页） 综上可得， 1234 (10)(10)aaaa的最大值为 18 故答案为：18 16 （5 分）设抛物线 2 1: 22Cyxx和 2 2: Cyxaxb 在它们的一个交点处的切线互 相垂直，则 2 C过定点 3 (1, ) 2 【解答】解： 2 22yxx，22yx， 2

31、yxaxb ，2yxa ， 设交点为 0 (x， 0) y， 它们在一个交点处切线互相垂直， 00 (22)( 2)1xxa ，即 2 00 4(24)210 xaxa ， 由交点分别代入二次函数式，整理得， 2 00 2(2)20 xa xb，即 2 00 4(42 )420 xa xb， 由整理得21420ab ，即 5 2 ab， 所以 2 2 5 : 2 Cyxaxa ， 令1x ，可得 3 2 y ， 则 2 C过定点 3 (1, ) 2 ， 故答案为： 3 (1, ) 2 ， 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

32、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） （1）写出一个等差数列 n a的通项公式，使 n a满足 1 0a ， n S是等 差数列，其中 n S是 n a的前n项和 （写出一个就可以，不必证明） （2）对于（1）中的 n a，设2n nn ba，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）21 n an，*nN； （2）2(21) 2 nn nn ban， 23 1 23 25 2(21) 2n n Tn ， 2341 21 23 25 2(21) 2n n Tn ， 第 15页（共 19页） 可得 231 22(222 )(21) 2 nn n Tn 1 1

33、4(12) 22(21) 2 12 n n n ， 化简可得 1 6(23) 2n n Tn 18 （12 分）如图，在平面四边形ABCD中，已知3AB ，1ADDCCB （1）当A、B、C、D共圆时，求cos A的值； （2）若 3 cos 6 ADB，求sinABC的值 【解答】解： （1）ABD中，由余弦定理得， 2222 4 cos 22 3 ADABBDBD A AB AD ， CBD中，由余弦定理得 2222 2 cos 22 CDCBBDBD C CD CB ， 因为A、B、C、D共圆， 所以AC，即coscos0AC， 所以， 22 42 0 22 3 BDBD ， 解得 2

34、13BD ， 故 31 cos 2 A ； （2）ABD中，由余弦定理得， 222 3 cos 26 ADBDAB ADB AD BD ， 所以3BD ， 222 5 cos 26 ABBDAD ABD AB BD ， 所以 2 511 sin1( ) 66 ABD， 222 3 cos 22 CBBDCD CBD CB CD ， 1 sin 2 CBD， 所以sinsin()sincossincosABCABDCBDABDCBDCBDABD 11315533 622612 19 （12 分）某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本 4 元，售价 6 元如果当天卖不完，剩 下的奶茶只能倒掉奶茶店记录

35、了 60 天这款新品奶茶的日需求量，整理得如表： 第 16页（共 19页） 日需求量杯数20253035404550 天数55101510105 以 60 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 （1）从这 60 天中任取 2 天，求这 2 天的日需求量至少有一天为 35 的概率； （2） 若奶茶店一天准备了 35 杯这款新品奶茶， 用表示当天销售这款新品奶茶的利润 （单 位：元） ，求的分布列和数学期望； 假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是 5 的倍数，有顾客建议店主每天准备 40 杯 这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由 【解答】 解： （1） 从这 60 天

36、中任取 2 天， 则这 2 天的日需求量至少有一天为 35 杯的概率为： 2 45 2 60 26 1 59 C P C （2）由题意可得：若当天只卖出 20 杯，则利润20215420 元； 若当天只卖出 25 杯，则利润25210410元； 若当天只卖出 30 杯，则利润3025440 元； 若当天卖出 35 杯，则利润35270元 的分布列为： 20 104070 P 1 12 1 12 1 6 2 3 1112105 ( )20104070 1212632 E （元) 若店主每天准备 40 杯这款新品奶茶， 若当天需求 20 杯，则利润20220440 元， 1 (40) 12 P ；

37、 若当天需求 25 杯，则利润25215410 元， 1 (10) 12 P ； 若当天需求 30 杯，则利润30210420元， 1 (20) 6 P； 若当天需求 35 杯，则利润3525450 元， 1 (50) 4 P； 若当天需求大于等于 40 杯，则利润40280元， 5 (80) 12 P 的分布列为： 第 17页（共 19页） 4010 205080 P 1 12 1 12 1 6 1 4 5 12 11115 ( )401020508045 12126412 E （元) ( )( )EE 不接受这个建议 20 （12 分）如图，矩形BCDE所在平面与ABC所在平面垂直，90A

38、CB，2BE （1）证明：DE 平面ACD； （2）若平面ADE与平面ABC所成锐二面角的余弦值是 5 5 ，且直线AE与平面BCDE所成 角的正弦值是 1 3 ，求异面直线DE与AB所成角的余弦值 【解答】 （1）证明：由题意可知DEDC，又90ACB，则BCAC， 又/ /DEBC，所以DEAC， 又ACDCC ，AC，DC 平面ACD， 所以DE 平面ACD； （2）解：因为平面BCDE 平面ABC，平面BCDE平面ABCBC，BCAC， 所以AC 平面BCDE，连结CE， 故AEC即为直线AE与平面BCDE所成的角， 则有 1 sin 3 AC AEC AE ， 又平面ADE与平面AB

39、C所成的锐二面角的平面角为DAC， 所以 5 cos 5 AC DAC AD ， 又2DCBE，所以1AC ，则3AE ， 故7 2CF ，所以2BC ，5AB ， 又异面直线DE与AB所成的角为ABC， 第 18页（共 19页） 所以 2 5 cos 5 BC ABC AB ， 故异面直线DE与AB所成角的余弦值为 2 5 5 21 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率是 1 2 ，焦点 到相应准线的距离是 3 （1）求a，b的值； （2） 已知A、B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，(1,0)F， 连接AF、BF 并分

40、别延长交椭圆C于D、E两点，证明：直线DE过定点 【解答】 （1）解：由题意可得 1 2 c a ， 2 3 a c c ，解得2a ，1c ， 所以 222 413bac ，故3b ； （2）证明：设 1 (A x， 1) y， 1 (Bx， 1) y， 2 (C x， 2) y， 3 (D x， 3) y， 因为A，F，D三点共线，则有 12 12 11 yy xx ，即 122112 y xy xyy， 又因为点A，C均在椭圆上，由（1）可得，椭圆的方程为 22 1 43 xy ， 所以 22 11 22 22 1 43 1 43 xy xy ，两式作商可得， 2222 221221 1

41、2 4 y xy x yy ， 由可得， 1 2 1 1 2 1 58 25 3 25 x x x y y x ，同理可得 1 3 1 1 3 1 58 25 3 25 x x x y y x ， 第 19页（共 19页） 所以直线DE的方程为 322332 3232 yyy yy y yx xxxx ， 又 321 321 5 3 yyy xxx ， 23321 321 8 3 y xy xy xxx ， 所以直线DE的方程为 1 1 (58) 3 y yx x ， 故直线DE过定点 8 ( ,0) 5 22 （12 分）设01x （1）证明： 2 sin 11 6 xx x ； （2）若

42、3 sin 6 x axx，求a的取值范围 【解答】解： （1）证明：由题意可设( )sin(01)f xxxx， 有( )cos10fxx ，则( )0f x ，得 sin 1 x x ， 设 3 ( )sin(01) 6 x g xxxx， 2 ( )cos1 2 x g xx， ( )sin0gxxx，则有( )0g x，( )g x递增，得( )0g x ， 故 2 sin 1 6 xx x 得证； （2）由（1）可知1a时， 33 sin 66 xx axxx成立， 则当1a 时，设 3 ( )sin 6 x h xxax，则 2 ( )cos 2 x h xxa， ( )sin0hxxx，( )h x单调递增，则 1 ( )cos1 2 max h xa， 若 1 cos1 2 a，( )0h x，( )h x单调递减，则有( )0h x ，不合题意， 若 1 1cos1 2 a，(0)10ha ，h（1） 1 cos10 2 a， 故( )h x有唯一零点，可记为 0 x，则 0 0 xx，( )0h x， 此时( )h x单调递减，有( )0h x ，则不合题意， 综上：a的取值范围是(，1