文科数学-考场仿真演练卷（全国Ⅲ卷）03（A4考试版+全解全析）.doc

1、2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国卷）03 文科数学 （考试时间：120 分钟试卷满分：150 分） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1

2、已知集合)ln(|NxxeyxA，11，B，则BA的子集个数为（） 。 A、4 B、8 C、16 D、32 2在复平面内，复数 2 1 1 1i i i z 对应的点位于（） 。 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3如图所示，在ABCRt中， 90C， 30B，在BAC内过点A任作一射线与BC相交于点D， 使得 30DAC的概率为（） 。 A、 5 1 B、 4 1 C、 3 1 D、 2 1 4函数|2|sin)()(xeexf xx 的图像可能是（） 。 A、B、C、D、 5 如图所示， 图中小正方形的边长为1， 粗线画出的是某空间几何体的三视图， 则该几何体的表面积

3、为 （） 。 A、2416 B、2417 C、2418 D、2420 6已知函数)(xfy 对任意实数x都满足)()(xfxf，当) 2 ( ，x时，xxftan)(，若) 1 (fa ， )2(fb ，)3(fc ，则a、b、c的大小关系为（） 。 A、cba B、cab C、bac D、abc 7 过双曲线1 4 2 2 2 t y x的右焦点 2 F作垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点， 1 F为左焦点， 当 1 MNF 的面积为58时，双曲线的离心率为（） 。 A、2 B、3 C、2 D、5 8 九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日

4、自 倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题，现执行该程序框图，输入的d的 值为33，则输出的i的值为（） 。 A、4 B、5 C、6 D、7 9下列说法正确的是（） 。 A、将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍 B、线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C、若四条线段的长度分别是1、3、5、7，从中任取3条，则这3条线段能构成三角形的概率为 2 1 D、设两个独立事件A和B都不发生的概率为 9 1 ，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概 率相同，则事件A发生的概率为 3 2 10已知正三棱柱 111

5、 CBAABC 的各棱长均为2，底面ABC与底面 111 CBA的中心分别为O、 1 O，P是 1 OO 上一动点，记三棱锥ABCP 与三棱锥 111 CBAP 的体积分别为 1 V、 2 V，则 21 VV 的最大值为（） 。 A、 3 1 B、 3 3 C、 3 2 D、 3 32 11关于函数|sin| ) 4 sin(2|)(xxxf 有下述四个结论：)(xf的最小正周期为；)(xf的最大值 为21；)(xf的最小值为 2 2 ；)(xf在区间) 2 , 4 ( 上单调递增；其中所有正确结论的编号是（） 。 A、 B、 C、 D、 12已知点)20(，A，椭圆E：1 2 2 2 2 b

6、 y a x (0 ba)的离心率为 2 3 ，F是椭圆E的右焦点，直线AF的 斜率为 3 32 ，O为坐标原点。设过点A的动直线l与E相交于P、Q两点，当OPQ的面积最大时，直线 l的斜率为（） 。 A、 2 1 B、 2 2 C、 2 3 D、 2 7 第卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13如图所示，已知1|OA、2|OB、3|OC，OBOC ， 30AOC，若OByOAxOC，则 yx。 142019年全国青少年航空航天模型锦标赛在宁夏罗山飞行基地举行，本次比赛吸引了全国132支代表队、 1200多名青少年运动员参加，选手将在38个竞技项目里展开精彩角逐

7、。某中学积极为此次比赛作准备，将 学校社团制作的飞机模型在一个高为40米， 底面半径为20米的圆柱内进行飞行测试，假设飞机模型飞到任 意位置的概率相等，若飞机模型在飞行过程中能够始终保持与圆柱上下底面和四周表面的距离均大于5米， 称其“达标飞行”，则在一次飞行过程中，飞机模型“达标飞行”的概率为。 15如图所示，在BCD中，已知 3 6 cosB，A为边BD上的一点，且满足 3 5 ACAB， 60ACD， 则AD。 16已知双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b)的一个焦点与抛物线E：pxy2 2 (0p)的焦点F重合， 两曲线的一个交点P满足xPF 轴， 则双曲线C的离

8、心率为， 在点P处双曲线C的切线与抛物线 E的切线所成角的正切值为。(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S，且 nn Sa21。 （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）设数列) 1( 1 nn n aa n 的前n项和为 n T，求 2021 T。 18 （本小题满分 12 分） 当前襄阳市正在积极创建文明城市， 市某交警支队为调查市民文明驾车的情况， 在市区某路口随机检测了40 辆车的车速。现将所得数据分成六段：)

9、6560，、)7065，、)7570，、)8075，、)8580，、)9085，并绘得如 图所示的频率分布直方图。 （1）现有某汽车途径该路口，则其速度低于80hkm/的概率是多少？ （2）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该路口的平均速度约是多少？ （3）在抽取的40辆且速度在)7060，hkm/内的汽车中任取2辆，求这两辆车车速都在)7065，hkm/内的 概率。 19 （本小题满分 12 分） 如图所示，三棱台CBAABC中，已知上底面CBA、下底面ABC均为正三角形，且22BAAB， 2 2 CCBBAA。 (1)求证：CC平面BBAA； (2)求直线AC与平面BBCC所成角的大小。

10、 20 （本小题满分 12 分） 已知函数50)( 3 mxxxf在2x处取得极值，Rm。 （1）求m的值与)(xf的单调区间； （2）设20 t，已知函数 t xf xg 16 )( )(，若对于任意 1 x、2 2 ttx，都有1| )()(| 21 xgxg，求实数 t的取值范围。 21 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系中，椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x (0 ba)的离心率为 2 2 ，右焦点为F，过点F作斜率为 2 2 的直线l与椭圆C交于A、B两点，已知AOBS AOB tan 4 3 (O为坐标原点)。 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 若与l平行的动直线

11、m与椭圆C有两个不同的交点M、N， 问在椭圆C上是否存在点P(与M、N不 重合)，使PM、PN的斜率存在且乘积恒为 2 1 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计 分 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 sin22 cos2 y x (为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()0，R)。 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若在曲线C上恰好存在3个点到直线l的距离等于1，求的

12、值。 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数| 12| 1|)(xxxf。 （1）解不等式3)(xf； （2）若关于x的不等式axf)(的解集不是空集，求实数a的取值范围。 2021 年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国卷）03 文科数学全解全析 123456789101112 CADABBDCDABD 1已知集合)ln(|NxxeyxA，11，B，则BA的子集个数为（） 。 A、4 B、8 C、16 D、32 【答案】C 【解析】由0 xe且Nx得210，A，则2101，BA， 则BA的子集个数为1624，故选 C。 2在复平面内，复数 2 1 1 1i i i z 对

13、应的点位于（） 。 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】A 【解析】i iii ii i z 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 )1)(1 ( )1 ( 2 ， 则z在复平面内对应的点为) 2 1 2 1 ( ，在第一象限，故选 A。 3如图所示，在ABCRt中， 90C， 30B，在BAC内过点A任作一射线与BC相交于点D， 使得 30DAC的概率为（） 。 A、 5 1 B、 4 1 C、 3 1 D、 2 1 【答案】D 【解析】由于在BAC内所做的射线是等可能的，且 60BAC， 故使得 30DAC的概率为 2 1 60 30 P，故选 D。 4函数|

14、2|sin)()(xeexf xx 的图像可能是（） 。 A、B、C、D、 【答案】A 【解析】|2|sin)()(xeexf xx 定义域为R， 且)(|2|sin)(|2|sin)()(xfxeexeexf xxxx ， 则)()(xfxf为奇函数，排除了 B、C， 当 2 x时，00)(| 2 2|sin)() 2 ( 2222 eeeef， 当 2 0 x时，根据指数函数 x ey 单调递增性可知， xx ee ，且0|2|sinx， ) 2 0( ，x时0)(xf，故选 A。 5 如图所示， 图中小正方形的边长为1， 粗线画出的是某空间几何体的三视图， 则该几何体的表面积为 （） 。

15、 A、2416 B、2417 C、2418 D、2420 【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体为一个半圆柱挖去一个半球所得， 故所求几何体的表面积241712146622 222 S，故选 B。 6已知函数)(xfy 对任意实数x都满足)()(xfxf，当) 2 ( ，x时，xxftan)(，若) 1 (fa ， )2(fb ，)3(fc ，则a、b、c的大小关系为（） 。 A、cba B、cab C、bac D、abc 【答案】B 【解析】)()(xfxf，)14. 2()1() 1 (fff， )14. 357. 1 () 2 (， x，xxftan)(在) 2 ( ， 时单调递增，

16、 )()3() 1 ()2() 2 ( fffff，则cab，故选 B。 7 过双曲线1 4 2 2 2 t y x的右焦点 2 F作垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点， 1 F为左焦点， 当 1 MNF 的面积为58时，双曲线的离心率为（） 。 A、2 B、3 C、2 D、5 【答案】D 【解析】由中点弦公式得 22 2 28)4(2 2 |tt a b MN， 又顶点 1 F到底边MN的高为 2222 52)4(1222ttbac， 则5852)28( 2 1 22 1 ttS MNF ，即0 2 t， 则此双曲线的标准方程为1 4 2 2 y x，此时1a、2b、5c，5e，故选 D。

17、 8 九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自 倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题，现执行该程序框图，输入的d的 值为33，则输出的i的值为（） 。 A、4 B、5 C、6 D、7 【答案】C 【解析】0i，0S，1x，1y，开始执行程序框图， 1i，11S，2x， 2 1 y， 2i， 2 1 211S，4x， 4 1 y， 5i，33) 16 1 8 1 4 1 2 1 1 ()168421 (S， 32x， 32 1 y，再执行一行，ds 退出循环，输出6i，故选 C。 9下列说法正确的是（） 。 A、将一组

18、数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍 B、线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C、若四条线段的长度分别是1、3、5、7，从中任取3条，则这3条线段能构成三角形的概率为 2 1 D、设两个独立事件A和B都不发生的概率为 9 1 ，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概 率相同，则事件A发生的概率为 3 2 【答案】D 【解析】将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的 2 a倍，A 错， 1|r，两个变量的线性相关性越强，0|r，线性相关性越弱，B 错， 从中任取3条共有4种，若三段能构成三角形,则只有3、5、

19、7一种， 则构成三角形的概率是 4 1 ，C 错， 由题意可知， 9 1 )()(BPAP，)()()()(BPAPBPAP，设xAP)(，yBP)(， 则 )1 ()1 ( 9 1 )1)(1 ( yxyx yx ，得 yx xyyx 9 1 1 ，得 9 1 12 2 xx，即 9 1 ) 1( 2 x， 得 3 1 1x（舍）或 3 1 1x，得 3 2 x，即事件A发生的概率为 3 2 ， D 对， 故选 D。 10已知正三棱柱 111 CBAABC 的各棱长均为2，底面ABC与底面 111 CBA的中心分别为O、 1 O，P是 1 OO 上一动点，记三棱锥ABCP 与三棱锥 111

20、CBAP 的体积分别为 1 V、 2 V，则 21 VV 的最大值为（） 。 A、 3 1 B、 3 3 C、 3 2 D、 3 32 【答案】A 【解析】正三棱柱 111 CBAABC 的各棱长均为2， 360sin22 2 1 111 CBAABC SS，且2 1 OO， 3 32 3 1 )( 3 1 3 1 3 1 11121 111 OOSPOOPSPOSOPSVV ABCABCCBAABC ， 由 3 32 2 2121 VVVV得： 3 1 21 VV，当且仅当点P为 1 OO的中点时等号成立， 21 VV 的最大值为 3 1 ，故选 A。 11关于函数|sin| ) 4 sin

21、(2|)(xxxf 有下述四个结论：)(xf的最小正周期为；)(xf的最大值 为21；)(xf的最小值为 2 2 ；)(xf在区间) 2 , 4 ( 上单调递增；其中所有正确结论的编号是（） 。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】| ) 4 sin(2| xy和|sin|xy 的最小正周期均为， |sin| ) 4 sin(2|)(xxxf 的最小正周期为，故正确， 当0 ，x时， 4 cossin2 ) 4 0cos |sin|cossin|)( ， ， xxx xx xxxxf， 当) 4 0 ，x时， 1 2 2 ()(，xf， 当 4 ，x时，)sin(5cossin2)(x

22、xxxf，其中 2 1 tan， 1 2 1 tan，可设) 4 0( ，由 22 x，又 22 ， )(xf在) 24 ， 上单调递增，在 2 ( ，上单调递减， 5)( max xf， 2 2 )( min xf，错误，正确， ) 24 ) 24 ( ，)(xf在) 24 ( ， 上单调递增，正确，故选 B。 12已知点)20(，A，椭圆E：1 2 2 2 2 b y a x (0 ba)的离心率为 2 3 ，F是椭圆E的右焦点，直线AF的 斜率为 3 32 ，O为坐标原点。设过点A的动直线l与E相交于P、Q两点，当OPQ的面积最大时，直线 l的斜率为（） 。 A、 2 1 B、 2 2

23、C、 2 3 D、 2 7 【答案】D 【解析】F坐标)03(，则2a、1b、3c，则E的方程为1 4 2 2 y x ，直线l存在斜率， 则设2 kxy，设)( 11 yxP，、)( 22 yxQ，将2 kxy代入1 4 2 2 y x 得： 01216)41 ( 22 kxxk，由0)34(16 2 k得 4 3 2 k， 14 3414 4)(1| 2 22 21 2 21 2 k kk xxxxkPQ， 又点O到直线PQ的距离 1 2 2 k d， 令tk34 2 ，则 t t t t PQdS OPQ 4 4 4 4 | 2 1 2 ， 则4 4 t t，当且仅当2t时 2 7 k时

24、等号成立，且满足0，1 OPQ S， 当OPQ的面积最大时直线l的斜率为 2 7 ，故选 D。 13如图所示，已知1|OA、2|OB、3|OC，OBOC ， 30AOC，若OByOAxOC，则 yx。 【答案】 2 5 【解析】建系，根据题意可知，)01 ( ，A、)31(，B、) 2 3 2 3 ( ，C， OByOAxOC，则)31()01 () 2 3 2 3 (，yx， y yx 3 2 3 2 3 ， 2 1 y，2x， 2 5 yx。 142019年全国青少年航空航天模型锦标赛在宁夏罗山飞行基地举行，本次比赛吸引了全国132支代表队、 1200多名青少年运动员参加，选手将在38个竞

25、技项目里展开精彩角逐。某中学积极为此次比赛作准备，将 学校社团制作的飞机模型在一个高为40米， 底面半径为20米的圆柱内进行飞行测试，假设飞机模型飞到任 意位置的概率相等，若飞机模型在飞行过程中能够始终保持与圆柱上下底面和四周表面的距离均大于5米， 称其“达标飞行”，则在一次飞行过程中，飞机模型“达标飞行”的概率为。 【答案】 64 27 【解析】由题意可知，在一次飞行过程中，飞机模型“达标飞行”的概率为 64 27 4020 3015 2 2 。 15如图所示，在BCD中，已知 3 6 cosB，A为边BD上的一点，且满足 3 5 ACAB， 60ACD， 则AD。 【答案】362 【解析】

26、令CAD，由题意可得： 3 1 1cos22coscos 2 BB， 3 22 sin， 6 322 60sincos60cossin)60sin(sin D， 在ACD中，由正弦定理得 60sinsin AD D AC ，于是36260sin sin D AC AD。 16已知双曲线C：1 2 2 2 2 b y a x (0a，0b)的一个焦点与抛物线E：pxy2 2 (0p)的焦点F重合， 两曲线的一个交点P满足xPF 轴， 则双曲线C的离心率为， 在点P处双曲线C的切线与抛物线 E的切线所成角的正切值为。(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 【答案】)21(，12 【解析】 由题意知

27、， 焦点)0 2 (， p F， 且双曲线C的半焦距 2 p c ， 又xPF 轴， p a b 2 ， 从而c a b 2 2 ， acb2 2 ，即acac2 22 ，则012 2 ee，得双曲线C的离心率12 e， 不妨设点P在第一象限，则在点)( 2 a b cP，处双曲线C的切线方程为1 2 2 a y a cx ， 设其倾斜角为，则12tan a c ， 在) 2 (p p P，处抛物线E的切线方程为) 2 ( p xppy，即 2 p xy，斜率为1， 倾斜角为 4 ，则两切线所成的锐角为 4 ，12 22 2 1tan 1tan ) 4 tan( 。 17 （12 分）已知各项

28、均为正数的数列 n a的前n项和为 n S，且 nn Sa21。 （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）设数列) 1( 1 nn n aa n 的前n项和为 n T，求 2021 T。 【解析】 （1） nn Sa21， nn Sa4) 1( 2 ，即 4 12 2 nn n aa S，1 分 当1n时， 4 12 1 2 1 1 aa a，即0) 1( 2 1 a，解得1 1 a，2 分 当2n时， 4 22 4 12 4 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 nnnnnnnn nnn aaaaaaaa SSa，3 分 化简得)()(2 11 2 1 2 1 nnnnnnnn

29、aaaaaaaa， 又数列 n a各项均为正数，0 1 nn aa，2 1 nn aa，4 分 数列 n a是首项为1、公差为2的等差数列， 122) 1(1nnan；6 分 （2）设 1 ) 1( nn n n aa n b， 由（1）得) 12 1 12 1 () 1( 4 1 ) 12() 12( ) 1( nnnn n b nn n ，9 分 则 2021212021 bbbT ) 4043 1 4041 1 () 1( 4 1 ) 5 1 3 1 () 1( 4 1 ) 3 1 1 1 () 1( 4 1 202121 ) 4043 1 4041 1 5 1 3 1 3 1 1 1

30、( 4 1 ) 4043 1 1( 4 1 4041 1011 。12 分 18 （12 分）当前襄阳市正在积极创建文明城市，市某交警支队为调查市民文明驾车的情况，在市区某路口 随机检测了40辆车的车速。 现将所得数据分成六段：)6560，、)7065，、)7570，、)8075，、)8580，、)9085， 并绘得如图所示的频率分布直方图。 （1）现有某汽车途径该路口，则其速度低于80hkm/的概率是多少？ （2）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该路口的平均速度约是多少？ （3）在抽取的40辆且速度在)7060，hkm/内的汽车中任取2辆，求这两辆车车速都在)7065，hkm/内的 概率

31、。 【解答】 （1）由频率分布直方图得速度低于80hkm/的频率为： 65. 05)060. 0040. 0020. 0010. 0(， 现有某汽车途径该路口，则其速度低于80hkm/的概率是65. 0；3 分 （2）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该路口的平均速度约是： 5 .725040. 05 .675020. 05 .625010. 0 775 .875020. 05 .825050. 05 .775060. 0（hkm/） ；6 分 （3）在抽取的40辆且速度在)7060，hkm/内的汽车共有： 6)5020. 05010. 0(40辆，7 分 其中速度在)6560，hkm/内的

32、汽车抽取25010. 040辆，设为A、B，8 分 速度在)7065，hkm/内的汽车抽取45020. 040辆，设为a、b、c、d，9 分 从中任取2辆，基本事件总数为：AB、Aa、Ab、Ac、Ad、Ba、Bb、Bc、Bd、 ab、ac、ad、bc、bd、cd，共15个，10 分 这两辆车车速都在)7065，hkm/内包含的基本事件个数为： ab、ac、ad、bc、bd、cd，共6个，11 分 这两辆车车速都在)7065，hkm/内的概率 5 2 15 6 n m P。12 分 19 （12 分）如图所示，三棱台CBAABC中，已知上底面CBA、下底面ABC均为正三角形，且 22BAAB，

33、2 2 CCBBAA。 (1)求证：CC平面BBAA； (2)求直线AC与平面BBCC所成角的大小。 【解析】(1)取BC的中点D，连接D B ，在三棱台CBAABC中， 22CBBC，D为BC的中点，CB/ CD，2 分 四边形CDCB是平行四边形，DBCC / ， 2 2 DBCC，3 分 又1 2 1 BCBD， 2 2 BB， 222 BDBDBB，BDBB，CCBB，5 分 取AC的中点E，连接E A ，同理可得CCAA， 又A A 、B B 是平面BBAA内的两条相交直线，CC平面BBAA；6 分 (2)由(1)易知AA平面BBCC， AC A 为直线AC与平面BBCC所成角的余角

34、，8 分 在AE A 中， 2 2 AEAA，1 2 1 ACAE， AE A 是等腰直角三角形，10 分 4 ACA，直线AC与平面BBCC所成角的大小为 4 。12 分 20 （12 分）已知函数50)( 3 mxxxf在2x处取得极值，Rm。 （1）求m的值与)(xf的单调区间； （2）设20 t，已知函数 t xf xg 16 )( )(，若对于任意 1 x、2 2 ttx，都有1| )()(| 21 xgxg，求实数 t的取值范围。 【解析】 （1）由题意得)(xf的定义域为R，mxxf 2 3)(，1 分 函数50)( 3 mxxxf在2x处取得极值， 043)2(mf，解得12m

35、，3 分 则由0)2)(2(3123)( 2 xxxxf得2x或2x，4 分 x、)(xf、)(x f 的关系如下表： x)2(， 2 )22(， 2 )2(， )(xf 00 )(x f 极大值极小值 函数)(xf的单调递增区间为)2(，、)2(，单调递减区间为)22(，；6 分 （2）由（1）得函数5012)( 3 xxxf， 当20 t时，对任意 1 x、2 2 ttx，都有1| )()(| 21 xgxg，7 分 即当2ttx，时，txfxf16)()( minmax ，8 分 )(xf在22，上单调递减，222tt，)(xf在2tt，上单调递减， 则50)2(12)2()2()( 3

36、 max tttfxf，5012)()( 3 min tttfxf，9 分 则tttxfxf1616126)()( 2 minmax ， 即08236 2 tt，解得2t或 3 4 t，结合20 t，得2 3 4 t，11 分 故实数t的取值范围为2 3 4 | tt。12 分 21 （12 分）在平面直角坐标系中，椭圆C：1 2 2 2 2 b y a x (0 ba)的离心率为 2 2 ，右焦点为F，过点F 作斜率为 2 2 的直线l与椭圆C交于A、B两点，已知AOBS AOB tan 4 3 (O为坐标原点)。 （1）求椭圆C的标准方程； （2） 若与l平行的动直线m与椭圆C有两个不同的

37、交点M、N， 问在椭圆C上是否存在点P(与M、N不 重合)，使PM、PN的斜率存在且乘积恒为 2 1 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 【解析】 （1）由椭圆C的离心率 2 2 e得ca2，又 222 cba，cb ，1 分 又直线l的方程为)( 2 2 cxy， 与1 2 2 2 2 2 c y c x 联立消去y得：022 22 ccxx，0恒成立，3 分 设)( 11 yxA，、)( 22 yxB，则cxx 21 、 2 2 21 c xx，4 分 4 )( 2 1 2 2 212121 c cxxcxxyy， 4 3 2 2121 c yyxx，5 分 由AOBS AO

38、B tan 4 3 得AOBAOBOBOAtan 4 3 sin| 2 1 ， 即 2 3 cos|AOBOBOA，即 2 3 OBOA，即 2 3 4 3 2 2121 c yyxx， 2 2 c，2 2 b、4 2 a，椭圆C的标准方程为1 24 22 yx ；7 分 （2）设直线m的方程为nxy 2 1 (1n)， 由 nxy yx 2 1 1 24 22 得：022 22 nnxx， 028)2(4)2( 222 nnn，得2|n且1n，9 分 设)( 33 yxM，、)( 44 yxN，则nxx2 43 ，2 2 43 nxx， nnxxyy2)( 2 1 4343 ， 2 2 )

39、2 1 )( 2 1 ( 2 4343 n nxnxyy， 设)( 00 yxP， 则 2 1 22 2 2 )( )( 2 0 2 0 2 0 2 0 43430 2 0 43430 2 0 40 40 30 30 nnxx n nyy xxxxxx yyyyyy xx yy xx yy kk PNPM ， 整理得0)2(22 00 2 0 2 0 xynxy， 由题意知 2 1 PNPM kk，与n无关，则 02 02 00 2 0 2 0 xy xy ，11 分 得 00 2yx ，代入1 24 2 0 2 0 yx 中得1 0 y， 则满足条件的点P的坐标为) 12(，或) 12(，。

40、12 分 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 sin22 cos2 y x (为参数)，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()0，R)。 （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若在曲线C上恰好存在3个点到直线l的距离等于1，求的值。 【解析】 （1）由曲线C的参数方程 sin22 cos2 y x (为参数)得：4)2( 22 yx，2 分 即04 22 yyx，又由 222 yx 、cosx、siny得： 0sin4 2 ，即sin4，曲线C的极坐标方程为sin4；4 分 （2）由（1）知曲线C为圆，且其圆心为)20( ，C，半径为2

41、，过原点，5 分 又直线l：的直角坐标方程为0cossinyx，7 分 若在曲线C上恰好存在3个点到直线l的距离等于1，8 分 则1 )cos(sin |cos2| 22 ，即 2 1 |cos|，又)0， 3 或 3 2 。10 分 23 （10 分）设函数| 12| 1|)(xxxf。 （1）解不等式3)(xf； （2）若关于x的不等式axf)(的解集不是空集，求实数a的取值范围。 【解析】 （1）化简得 2 1 3 2 1 12 13 )( xx xx xx xf ， ， ， ，2 分 画出函数)(xf的图像如图所示： 则)(xf在) 2 1 (，上是减函数，在) 2 1 (，上为增函数，4 分 当 2 1 x时，令3)(xf，解得1x，则当1x时3)(xf， 当 2 1 x时，令3)(xf，解得1x，则当1x时3)(xf， 综上所述，不等式3)(xf的解集为11|xxx或；6 分 （2）由图可知，当 2 1 x时，)(xf取最小值 2 3 ) 2 1 (f， axf)(的解集不是空集， min )(xfa ，即 2 3 a， a的取值范围为) 2 3 (，。10 分