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1、高中数学知识大全 第一章 集合与简易逻辑 一、集合知识 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示 法. 3.集合元素的特征：确定性、互异性、无 序性. 4.集合运算：交、并、补. 5.主要性质: CU(AB)= (CUA)(CUB)CU(AB)= (CUA)(CUB) 6.设集合 A 中有 n 个元素,则A 的子集个数为； A 的真子集个数为； A 的非空子集个数为；A 的非空真子集个数为. 7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集 二含绝对值不等式、一元二次不等式的解法 1.整式不等式的解法： 一元一次不等式（

2、一元二次不等式：（大于取两边，小于取中间） 一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x 的系数全化为正，从右到左、从上到 下，奇（次幂）穿，偶（次幂）穿而不过） 2.分式不等式的解法 （移项通分，不能去分母） 3.含绝对值不等式的解法 ,与型的不等式的解法. （将 x 的系数化为正,大于取两边，小于取中 间）三简易逻辑 1构成复合命题的形式：p 或 q(记作“pq” )(一真则真)； p 且 q(记作“pq” )（一假则假）；非 p(记作“q” )（真假相反） 。 2四种命题的形式：原命题：若 P 则 q；逆命题：若 q 则 p； 否命题：若P 则q；逆否命题：若q 则p。 (原命题逆否命

3、题) 3、充要条件： 4、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与 已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法。 第 1 页（共 21 页） 高中数学知识大全 第二章函数 一、函数与映射 1映射的性质：从 A 到 B 的映射：A 中不能有剩余元素，B 中可以有剩余元素， 允许多对一，不允许一对多。若 A 有 3 个元素，B 有 4 个元素，则有个映射。 2函数的三要素：定义域，值域，对应法则。 二、函数的性质 （1）奇偶性（在整个定义域内考虑定义域是否关于原点对称） 奇函数：、图象关于原点对称，在两个对称区间具有相同的单调性； 偶函数：、图象关于轴对称

4、，在两个对称区间具有相反的单调性； 常用的结论：若是奇函数，且，则； 若是偶函数，则；反之不然。 常见的奇函数： 非奇非偶函数：f（x）=. （2）单调性（在定义域的某一个子集内考虑） 定义法 步骤：a.设；b.作差；c.判断正负号。 掌握函数的图象和性质； 函 数 ） (b ac0) y y 图 Y=a o x X=-c o 象X 第 2 页（共 21 页） 高中数学知识大全 单 当 b-ac0 时: 在 在上单调递减； 上单调递增； 调 当 b- ac0)恒成立,则 y=f(x)的周期为 2a； 若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)的周期为 2a； 若 y

5、=f(x)奇函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x) 的周期为 4a； y=f(x)对 xR 时，f(x+a)=f(x)(或 f(x+a)=，则 y=f(x) 的周 期为 2； 三、函数的图象 1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、 （4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。 2、图象的变换：（1）平移变换（先表示成 y=f(x)：左加右减，上加下减。） （2）对称变换：函数与函数的图象关于轴对称； 函数与函数的图象关于轴对称； 函数与函数的图象关于坐标原点对称； 如果对于函数 y=f(x)都有 f(x+a)=f(a-x)，那么 y=f(x) 的

6、图象关于直线对 称。 如果对于函数 y=f(x)都有 f(x+a)=f(b-x)，那么 y=f(x) 的图象关于直线 对称。 （把轴下方的图象翻折到上方） （擦掉轴左侧的图象，把右侧的图象对称到左侧） 与关于直线对称。性质： （3）伸缩变换： 系数变小伸长；系数变大缩短。 四、函数的反函数 求反函数的步骤：求原函数，的值域 B把看作方程，解 出；x，y 互换的的反函数为，。 第 3 页（共 21 页） 高中数学知识大全 五、求函数的值域的常用解题方法： 配方法。如函数的值域，特点是可化为二次函数的形式； 换元法：如 y=单调性：如函数x1,2 判别式法（法）如函数 y= 利用函数的图像：如函数

7、 y=|x+3|+|x2|利用反函数：如函数 y= 利用基本不等式：如函数 y=.方程 k=f(x)有解kD(D 为 f(x)的值 域)； .af(x)af(x)max,;af(x)af(x)min; 六、指数、对数的性质： 1., 2. ， ， 3.的符号由口诀“同正异负”记忆;如：。 七、复合函数单调性：，：同增同减为增，一增一减为减。 第三章数 列 一数列及数列的通项公式 1.数列的前 n 项和：2.数列的通项公式： 3.递推公式：已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项） 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。 第 4 页（共 21 页） 高

8、中数学知识大全 二等差数列 1.定义： 即： 2.判定方法：定义法：(常数)； 等差中项法：。 3.通项公式：若首项是，公差是，则通项为。是关于 n 的一次函数。 4.等差数列的前 n 项和： 对于公式整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数（充要条件）。 5.等差中项：如果，成等差数列，则有或 6.等差数列的性质： 等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项， 是等差数列的第项，且，公差为，则有 .若，则。 .是其前 n 项的和， ，那么，成等差数列。 .是奇数项的和，是偶数项的和，是前 n 项的和， 结论：(i)； 所以有 （ii） ； 若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，

9、则。(比如：；) 三等比数列 1定义： 2.等比中项：如果，成等比数列，那么，即。 3.等比数列的判定方法： 第 5 页（共 21 页） 高中数学知识大全 定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。 4.等比数列的通项公式：。 5.等比数列的前 n 项和： 6.等比数列的性质： 等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项， 且，公比为，则有 .对于等比数列，若，则 若数列是等比数列，是其前 n 项的和，那么， 成等比数列。 四数列的通项求法： (1)等差，等比数列的通项公式； (2)（3）累乘法： (4)累加法：；(5)构造 法：

10、 五数列的求和方法：(1)公式法：即等差与等比数列的公式； (2)裂项相消法：如： (3)错位相减法：, 倒序相加法：如 an=;分组求和法：如：an=2n+3n 六其他结论： 1、 (1) (2)； 2、在等差数列中,(1)当,d0 时，满足的项数 m 使得取最小值。 3、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 4、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 第四章三角函数 一、基本概念和知识要点 1三角函数定义：sin=，cos=，tan=，cot=，sec=，csc =。 2同角三角函数的关系中，平方关系是：； 倒数关系是：，商数关系是

11、：，。 3诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限（的奇、偶数倍）。 如：，=，。 4、三角函数的图象： ysinx ycosx （略） 5函数的最大值是，最小值为，周期 是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线 ，对称中心为（，0），其中横坐标满足。 6三角函数的单调区间：的递增区间是递减区间是 第 7 页（共 21 页） 高中数学知识大全 ；的递增区间是，递减区间 是，的递增区间是， 7yAsin(x)五点法作图：依次取x 8三角变换： (A0，0)先平移变换，再伸缩变化 先伸缩变化，再平移变化。（注：平移多少个单位，一定要把解析式中 x 的系数提出） 如将函数的图象按平移

12、后得函数的图象，则 9两角和与差公式： 10、二倍角公式是：sin2= cos2= 2=。tan=。 11、升幂公式是：。 12、降幂公式是：。 13、万能公式：sin=cos=tan= 14、特殊角的三角函数值：（自己总结） 15、正弦定理：（其中 R 表示三角形的外接圆半径）： 16、余弦定理第一形式：=；第二形式：cosB= 17、ABC 的面积用 S 表示，外接圆半径用 R 表示，内切圆半径用 r 表示，则： 第 8 页（共 21 页） 高中数学知识大全 ； ； （为ABC 的周长） 18、在ABC 中，（充要条件） 19解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边，由正弦定理求

13、； （2）已知两边和夹角，应用余弦定理求 c 边； （3）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A），应用正弦定理求 B， （4）已知三边 a、b、c，应用余弦定理求 A、B，再由 A+B+C = ，求角 C 20.弧度制：，弧长公式：； 扇形面积公式：； 21几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式；1cos 可用升幂公式； （其中）这一公式应用广泛。 22函数 y = sin (x)：奇函数偶函数 函数 y =cos (x)：奇函数偶函数 第五章平面向量 1.向量的概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。 （2）几种向量：零向量，单

14、位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。 向量的坐标表示：=(x2-x1,y2-y1)，其中 A(x1,y1),B(x2,y2) （3）向量的运算向量的加法与减法：定义与法则（如图 5-1） ： 第 9 页（共 21 页） 高中数学知识大全 坐标运算：a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)。其中 a=(x1， y1),b=(x2,y2)。 2.平面向量的数量积定义与法则（如图 5-3） ： 向量的夹角： （）两个向量的数量积： =cos 其中cos称为向量在方向上的投影 向量的数量积的性质：若=（）,=（） 则=0 与夹角为锐角;与夹角为钝角 3.定理

15、与公式 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得=。 结论：()的充要条件是x1y2-x2y1=0 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的 任一向量，有且只有一对实数1,2使=1+2 两向量垂直的充要条件(i)=0(ii)x1x2+y1y2=0 三点共线定理： 平面上三点 A、B、C 共线的充要条件是：存在实数、, 使=+，其中+=1，O 为平面内异于 A、B、C 的任一点。 两点间的距离公式：|=，其中 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 点的平移公式：若点 P0(x,y)按向量=(h,k)平移至 P(x,y)，则 定比分点公式：

16、若=；的坐标分别为（）,（）,（） ； 则：中点坐标公式：重心公式： 第六章不等式 一、不等式的性质 第 10 页（共 21 页） 高中数学知识大全 二、常用的基本不等式和重要的不等式： （1），当且仅当号； （2），则；当且仅当号； 注： （3）； （4）若 a、b、mR+，且 ab，则或； 三、最值定理（均值不等式） （1）如积 （2）如和 即；积定和最小，和定积最大。注；运用最值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相等” 四、恒成立问题 如：关于 x 的不等式对恒成立，则的取值范围。 五、不等式的同解性 (1)当 a1 时，af(x)ag(x)与 f(x)g(x)同解，当 0a1 时，a

17、f(x)ag(x) 与 f(x)g(x)同解 第 11 页（共 21 页） 高中数学知识大全 第七章直线和圆的方程 一、解析几何中的基本公式 1、两点间距离：若，则 2、平行线间距离: 若则 3、点到直线的距离：若， 则 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：消 y：，注意 若 A则： 5、若直线 l1的斜率为 k1，直线 l2的斜率为 k2，k1，k2都存在且 k1k21 则 l1到 l2的角为， 若 l1与 l2的夹角为，则 ， 注意：（1）l1l2时，夹角、到角=。 （2）当 l1与 l2中有一条斜率不存在时，画图求到角或夹角。 6、直线的倾斜角的取值范围：； 每一条直线都有倾斜角，但不一定

18、有斜率。 （斜率 k=tan，时，无斜率） 若直线存在斜率 k，而倾斜角为，则 k=tan。(如图) 二线方程的五种形式 斜截式：y=kx+b斜率不存在的直线不能用斜截式表示 点斜式：斜率存在时为 两点式：（x1x2） 第 12 页（共 21 页） 高中数学知识大全 截距式：其中 l 交 x 轴于，交 y 轴于,a0,b0, 当直线 l 坐标轴上的截距相等时应分：(1)截距=设即 x+y= （2）截距=0设 y=kx 一般式：（其中 A、B 不同时为零） 三、简单的线性规划线性规划问题一般用图解法. 四、.圆的方程 （1）标准方程：，。 （2）一般方程：，（ (3)参数方程以(a，b)为圆心，

19、以 r 为半径的圆的参数方程为 2、直线与圆的位置关系有三种： ； 3.圆与圆的公共弦所在 直线方程 第八章圆锥曲线定义、标准方程及性质 一、椭圆 1.定义：若 F1，F2是两定点，P 为动点，且（为常数） 则 P 点的轨迹是椭圆。 定义：若 F1为定点，l 为定直线，动点 P 到 F1的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e （0e1），则动点 P 的轨迹是双曲线。 （2）若双曲线方程为渐近线方程： 若渐近线方程为双曲线可设为 若双曲线与有公共渐近线，可设为 （，焦点在 x 轴上，焦点在 y 轴上） （3）特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为 y=， 此时双曲线为等轴双曲线，可设为； 三

20、、抛物线 1.定义：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e（e=1）。 2.性质：（焦点到准线的距离）； 焦点：，通径；准线：； 焦半径：过焦点弦长 3.焦点弦长公式： 设过抛物线 y2=2px（pO）的焦点 F 的弦为 AB，A（x1，y1），B （x2，y2）， 直线 AB 的倾斜角为，则有|AB|=x +x +p 第 14 页（共 21 页） 高中数学知识大全 抛物线上的动点可设为 P或 四、曲线和方程 1交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组 2过两曲线 f1(x，y)=0 和 f2(x，y)=0 的交点的曲线系方程是 f1(x，y) f2(x，y)=0

21、(R) 第七章直线、平面、简单几何体 一、知识结构 二、经纬度及球面距离： 根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数， 某地的纬度是一个线面角的度数。 求球面上两点 A、B 间的距离求法：计算线段 AB 的长， 计算球心角AOB 的弧度数；用弧长公式计算劣弧 AB 的长； 三、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 四、其他结论： 1、三余弦公式：（如图）其中为斜线与平面内直线所成的角, 为线面角,（竖直平面内）为射影与平面内直线所成的角， 第 15 页（共 21 页） 高中数学知识大

22、全 （水平平面内）有。 2、正（长）方体的外接球的直径等于其体对角线长；即： 五、高考立体几何解答题空间向量解法 1建立空间直角坐标系（1 分）：x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵坐标）， z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.（解题时先找出三条两两垂直的直线） 例如：点 A 的坐标为(),，（1 分）则 ， （终点坐标减去起点坐标） 线段 AB 的中点坐标（，） 2令,，则， 夹角公式 3求法向量的常用方法： 例如：求平面 AEF 的法向量，若求出， 则设是平面 AEF 的一个法向量， 由（1 分） 得令，则 若所求平面由两个坐标轴确定，则选第三个坐标轴的一个向量作为法向量。 4.

23、几个常用的公式： 点 B 到平面的距离公式为.（1 分）(是平面的一个法向量) .直线与平面所成角，先设直线与平面所成角为， 第 16 页（共 21 页） 高中数学知识大全 则（1 分）(为平面的法向量).再求出=。 .求二面角的大小：设，为平面，的法向量 先求，（1 分）就得二面角的大小为 （夹角是锐角还是钝角由图象可知）（其中要证面面垂直，则证） 异面直线所成的角 例如：求异面直线 AB 和 CD 所成的角。 ，（1 分）（其中要证线线垂直，则证） 证直线 AB 与平面 CDE 垂直，则证（1 分） 证直线 AB 与直线 CD 平行，则证，（1 分）（为常数） 证直线 AB 与平面平行，则

24、证，（1 分）(为平面的法向量)。 证平面与平面平行，先设，分别为平面，的法向量， 则证与平行，即证。（1 分）（为常数） 第十章排列组合、二项式定理 1.分类计数原理（加法原理）.（加法分类，类类独立） 分步计数原理（乘法原理）.（乘法分步，步步相关） 2、排列数公式是：=； 3、 组合数公式是：=； 组合数性质：=+= 第 17 页（共 21 页） 高中数学知识大全 组合恒等式（1）=;（2） 4、排列组合应用问题的处理方法： (1)要分清是先分步还是先分类，(2) 混合应用题要注意先组合再排列. (3)解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 (4)解排列组合问题的

25、规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法； 定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；选取问题先选后排法； 至多至少问题间接法分配名额隔板法 注意：要区别平均分组与不平均分组的处理方法。 6、二项式定理; （1）二项展开式的通项： （2） （3）F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为 f(1);奇数项系数和为； 偶数项的系数和为；（赋值法） 第十一章概率统计（理科） 一、概率：1.等可能事件的概率：P(A)=理解这里 m、的意义。 互斥事件（A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生，P(A+B)=P（A）+ P(B) 对立事件：即事件 A、B 不可能同时发生，但

26、A、B 中必然有一个发生。P（A）+ P(B) 相互独立事件：（事件 A、B 的发生相互独立，互不影响）P(AB)P(A) P(B) 独立重复事件如果在 1 次实验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复实验中这个 事件发生 k 次的概率 P (K)=Ckpk(1p)k nn 2.三种抽样：（1）简单随机抽样：常用抽签法和随机数表法。 （2）分层抽样；（3）系统抽样： 3频率分布直方图：画图时，应以横轴表示总体 ，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组 距为底，以各频率除以组距的商为高分别画成矩形，这样得到的直方图就是频率分布直方图图 中每个矩形的面积等于相应组的频率 。 二、随机变量.

27、第 18 页（共 21 页） 高中数学知识大全 1、分布列、数学期望与方差. （1） 数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为 P 性质； 则称为的数学期望 方差、标准差：为的方差. 显然， 故为的根方差或标准差.越小，稳定性越高，波动越小. （2）随机变量的数学期望：方差. 二项分布： 分布列为.（P 为发生的概率）， 几何分布：分布列为.（P 为发生的概率）， 三、正态分布：1、 标准正态分布： 如果随机变量的概率函数为，则称服从标准正态分布. 即 有，求出，而 P （ab）的计算则是. 注意：当标准正态分布的的 X 取 0 时，有 正态分布与标准正态分布间的关系： 若则有. 第十二

28、章极限（理 科） 一、数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤： 1(归纳奠基)证明当 n 取 第一个值时命题成立； 2(归纳递推)假设 nk(k，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数 n 都成立 二、数列极限（1）如果 limanA，limbnB，C 为常 数，那么：lim nnn (anbn) ； lim n (anbn)； lim n anA (B0)； lim bnB n (Can) 。 第 19 页（共 21 页） 高中数学知识大全 （2）常用的几个极限若 C 为常数，则 lnimC C； 若 C 为常数，则

29、 lim n C n 0 ；若|a|1，则 lim nan 0 ； 如果等比数列an的首项为 a1，公比满足|q|1 且 q0，Sn为其前 n 项和，则 lnimSn. 二、函数极限 ： 1.当 xx0且 xx0时，f(x)a，记作 lim f(x)a，称 a 为 f(x)在 x0点 处的右极限 xx0 3当且仅当 左极限=右极限=时， lim f(x)a. xx0 4对于“0 ”型的极限，一般对分子、分母进行因式分解（若含根号，则需进行分母或分子有理化） ， 0 找出公共的零因子并约去，使化简后的式子的分母的极限存在且不为零，从而求出极限值. 三、函数的连续性（有定义，极限存在，极限值=函数

30、值） 函数 f(x)在点 xx0处连续，如果函数 yf(x)在点 xx0处及其附近有定义， 且 lim f(x)，就说 f(x)在点 x0处连续 xx0 第十三章导数（理科） 一、导数的背景：瞬时速度;切线斜率。 二、导数的定义 1.y=f(x)在点 x0处的导数记作； 2.导数的几何意义：曲线 yf（x） 在点 P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是 相应 地，切线方程是 3.常见函数的导数公式：； ； ， 4.导数的运算法则： 第 20 页（共 21 页） 高中数学知识大全 ； 5 复合函数的导数：（注意继续对子函数进行求导） 6.导数的应用：（1）求函数的单调区间： 令，或， （2）求可导函数极值的步骤：求导数；求方程的根；检验 在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数 y=f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数 y=f(x)在这个根处取得极小值； （3）求可导函数最大值与最小值的步骤：求 y=f(x)在a,b内的极值；将 y=f(x) 在各极值 点的极值与 f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。 第十四章导数（理科） 复数的形式：共轭复数；复数的模 复数的运算与多项式的运算（注意除法，分子、分母同乘以分母的共轭复数） 第 21 页（共 21 页）