安徽省“五校联盟”2021届高三下学期第二次联考理科数学试题 Word版含答案.zip

颍上一中颍上一中 涡阳一中涡阳一中 蒙城一中蒙城一中 淮南一中淮南一中 怀远一中怀远一中 2021 届高三届高三“五校联盟五校联盟”第二次联考第二次联考 理科数学试题理科数学试题 考试时间：考试时间：2021 年年 4 月月 16 日日 考生注意：考生注意： 1. 本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟. 2. 答题前，考生务必用直径答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的 答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 设集合，则（ ） 2 10Ax x 2 log0BxxAB A. B. 1x x 0 x x C. D. 1x x 11x xx 或 2. 已知， 是虚数单位.若，则的值为（ ）, a bRi11ibia a b A. 3B. 2C. -2D. -3 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，”.1x 2 0 xx 0 1x 2 00 0 xx B. 在中，.ABCsinsincoscosABABAB C. 已知某 6 个数据的平均数为 3，方差为 2，现又加入一个新数据 3，则此时这 7 个数的平均数和方差不 变. D. 从装有完全相同的 4 个红球和 2 个黄球的盒子中任取 2 个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红 球”互斥且对立. 4. 某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面 积为（ ） A. 2B. C. D. 2 22 34 2 5. 已知平面向量，且，则（ ） 3, 1a 2b 22abab ab A. B. 22 C. D. 33 6. 电影流浪地球中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪” 成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019 年，公安部交通管理局下发关于治理酒驾醉驾 违法犯罪行为的指导意见 ，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检 疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般 情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型 ，假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则的 0.5 40sin13,02 3 9014,2 x xx y ex * n nNn 值为（参考数据：，） （ ）ln152.71ln303.40 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别阈值（）mg /100mL 饮酒驾车20,80 醉酒驾车80, A. 5B. 6C. 7D. 8 7. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在中华传统文 化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的茶壶回文诗 （如图）以连环诗的形式展现，20 个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生 活也有许多奇妙的联系，如 2020 年 02 月 02 日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数 字左右完全对称的日期）.数学上把 20200202 这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有 9 个 （11，22，99） ，则共有多少个这样的三位回文数（ ） A. 64B. 72C. 80D. 90 8. 设，则（ ） 5 log 4a ln2b 0.1 c A. B. C. D. abcbaccbaacb 9. ，则在处的切线方程为（ ） 2 ( )2 (4)21f xfxxx( )yf x 2,2f A. B. 230 xy2370 xy C. D. 230 xy2370 xy 10. 已知的内角，对的边分别为，当内角最大且ABCABCabc 3 sinsinsin 2 ABCC 时，的面积等于（ ）3b ABC A. B. C. D. 93 3 4 2 32 5 3 63 2 4 11. 如图，已知，分别为双曲线：的左右焦点，过的直线与双曲线 1 F 2 FC 22 22 10,0 xy ab ab 1 F 的左支交于、两点，连接，在中，则双曲线CAB 2 AF 2 BF 2 ABF 2 ABBF 2 31 cos 32 ABF 的离心率为（ ） A. 2B. 2 C. D. 3 3 2 2 12. 已知函数，且都有 2 ( )cos(0) 3 f xx 123 0,xxx、0,x ，满足的实数有且只有 3 个，给出下述四个结论： 12 ( )f xf xf x 3 0f x 3 x 满足题目条件的实数有且只有 1 个；满足题目条件的实数有且只有 1 个； 1 x 2 x 在上单调递增；的取值范围是.( )f x0,10 13 19 , 66 其中正确的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 若实数，满足约束条件，则的最小值是_.xy 340 340 0 xy xy xy 32zxy 14. 若二项式的展开式的各项系数之和为-1，则含项的系数是_. 7 2 a x x 1 x 15. 已知抛物线的焦点到准线的距离为 2，过焦点的直线与抛物线交于，两点， 2 20ypx pFFAB 且，则线段的中点到轴的距离为_.3AFFBABy 16. 已知菱形的边长为 4，对角线，将沿着折叠，使得二面角为ABCD4BD ABDBDABDC ，则三棱锥的外接球的表面积为_.120ABCD 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 已知数列，是的前项的和，且满足，数列是等差数列， n a n S n an * 21 nn SanN n b ，. 264 bba 546 2abb （1）求，的通项公式； n a n b （2）设数列的前项和为，设，求的前项的和. n Sn n T 234 12 ( 1) nnnn n nn Tbb c bb n cn n D 18. 如图，在三棱锥中，是边长为 3 的等边三角形，平面，点ABCDABCCDCBCD ABC 、分别为、的中点，点为线段上一点，且平面.MNACCDPBD/ /BMAPN （1）求证：；BMAN （2）求平面与平面所成角的正弦值.APNABC 19. 已知圆：，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相C 2 2 116xy1,0F PCPFCP 交于点.M （1）求点的轨迹方程.ME （2），是的轨迹方程与轴的交点（点在点左边） ，直线过点与轨迹交于，ABMxABGH4,0TEG 两点，直线与交于点，求证：动直线过定点.HAG1x NNH 20. 公元 1651 年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B. Pascal） 提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C. Huygens）也加入了讨论， 这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名运动员约定谁先赢 局，谁便赢得全部奖金元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每 * 1,k kkNa01pp1p 场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？这m mkn nk 三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行k 下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.:PP 甲乙 （1）规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全k 部奖金的概率之比分配奖金.若，求.:PP 甲乙 4k 2m 1n 3 4 p :PP 甲乙 （2）记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金” ，试求当，时比赛继续进行下A4k 2m 1n 去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随 fp 4 5 p A 机事件发生的概率小于 0.05，则称该随机事件为小概率事件. 21. 已知函数，. 22 ( ) x f xexmxm 2 ( )lng xaxxaxx （1）若函数在处取极小值，求实数的值；( )f x1x m （2）设，若对任意，不等式恒成立，求实数的值.0m 0,x( )( )f xg xa （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平C4cosx 面直角坐标系，直线 的参数方程是（ 为参数）.l 2 2 2 2 xmt yt t （1）若直线 与曲线相交于、两点，且，试求实数的值；lCAB14AB m （2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.,M x yCxy 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数.( )211f xxx （1）求不等式的解集；( )2f x （2）若关于的不等式有解，求的取值范围.x 2 ( ) 2 a f xaa 颍上一中颍上一中 涡阳一中涡阳一中 蒙城一中蒙城一中 淮南一中淮南一中 怀远一中怀远一中 2021 届高三届高三“五校联盟五校联盟”第二次联考第二次联考理科数学理科数学 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 一、选择题 1-5：ABCCA6-10：BDBDC11-12：DB 详解： 12. B ，当时，.00,x 222 , 333 x 设进行替换，作出函数的图象如下图所示： 2 3 xt cosyt 由于函数在上满足的实数有且只有 3 个，( )yf x0, 3 0f x 3 x 即函数在上有且只有 3 个零点，cosyt 22 , 33 由图象可知，解得，结论不正确； 325 232 1319 66 由图象知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论正确，结cosyt 22 , 33 论错误； 当时，0,10 x 222 , 33103 x 由知，所以在上递增， 1319 66 27 0 10320 cosyt 22 , 3103 则函数在上单调递增，结论正确.综上，正确的有.故选 B.( )yf x0,10 二、填空题 13. -1 14. -672 15. 16. 5 3 112 3 详解： 16. 将沿折起后，取中点为，连接，则，ABDBDBDEAECEAEBDCEBD 所以即为二面角的平面角，所以；AECABDC120AEC 与是边长为 4 的等边三角形.ABDBCD 分别记三角形与的重心为、，ABDBCDGF 则，；即； 12 3 33 EGEA 12 3 33 EFECEFEG 因为与都是边长为 4 的等边三角形，ABDBCD 所以点是的外心，点是的外心；GABDFBCD 记该几何体的外接球球心为，连接，ABCDOOFOG 根据球的性质，可得平面，平面，OF BCDOG ABD 所以与都是直角三角形，且为公共边，OGEOFEOE 所以与全等，因此，RtOGERtOFE 1 60 2 OEGOEFAEC 所以； 4 3 3 OE 因为，且平面，平面，AEBDCEBDAECEEAE AECCE AEC 所以平面；BD AEC 又平面，所以，OE AECBDOE 连接，则外接球半径，OB 22 2 21 3 OBOEBE 所以外接球表面积为. 112 3 故答案为：. 112 3 三、解答题 17. 解：由，21 nn Sa 当时，解得，1n 11 21Sa 1 1a 当时，2n 11 21 nn Sa -得，所以是等比数列， 1 2 nn aa n a 1 2n n a 由是等差数列，.得. n b 264 bba 546 2abb n bn （2），21 n n S 1 22 n n Tn ，. 1 234 12 (34)2 ( 1)( 1) (1)(2) n nnnnn n nn Tbbn c bbnn 12 22 ( 1) 12 nn n nn 2 2 2( 1) 2 n n n D n 18.（1）证明：因为面，面，所以.CD ABCBM ABCCDBM 又正中，ABCAMMCBMAC 面， BMCD BMACBM CDACC ACD .BMAN （2）解：连接交于点，连接，因为平面，MDANGPG/ /BMAPN 所以，由重心性质知为靠近点的三等分点./ /BMPGPB ，0,0,0C 3 3 3 0, 22 A 0,3,0B1,2,0P 3 ,0,0 2 N 设面的法向量为，APN, ,nx y z ，0AP n 0AN n 4,1, 3n 平面的法向量为，ABC1,0,0u 2 5 cos, 5 u v 平面与平面所成角的正弦值为.APNABC 5 5 19. 解：（1）由圆，可得圆心，半径， 2 2 116xy1,0C4r 因为，所以点在圆内，24FC FC 又由点在线段的垂直平分线上，所以，MPFMFMP 所以，4MCMFMPMCPC 由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，MFC 其中，2a 1c 2 3b 所以点的轨迹方程为.M 22 1 43 xy （2）设直线的方程为，GH4xmy 11 ,G x y 22 ,H xy2,0A 2,0B 将代入，4xmy 22 1 43 xy 得， 22 3424360mymy ， 12 2 24 34 m yy m 12 2 36 34 y y m 要证明直线过点，只要证明，的斜率相等，NHBNBHB 直线的方程为，令得，AC 1 1 (2) 2 y yx x 1x 1 1 3 2 y y x . 12 12 3 22 NHBB yy kk xx 12211212 1212 32246 0 2222 yxyxmy yyy xxxx 或设的直线方程，代入得GH4yk x 22 1 43 xy ， 2222 343264120kxk xk ， 2 12 2 32 34 k xx k 2 12 2 6412 34 k x x k ， 12 12 3 22 NBHB yy kk xx 12211212 1212 32241016 0 2222 yxyxx xxx xxxx 或，的直线方程为， 1 1 3 1, 2 y N x 22 ,H xyNH 1 2 11 21 3 23 (1) 12 y y xy yx xx 代入2x 1 2 12112 11 2121 3 323123 1212 y y yyxyxxy y xxxx . 1212 21 41016 0 12 x xxxk xx 20. 解：（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.X 由题意知，最多再进行 4 局，甲、乙必然有人赢得全部奖金. 当时，甲以赢，所以；2X 4:1 339 (2) 4416 P X 当时，甲以赢，所以；3X 4:2 1 2 3139 (3) 44432 P XC 当时，甲以赢，所以.4X 4:3 2 2 3 13327 (4) 444256 P XC 所以，甲赢的概率为. 9927243 1632256256 所以，；:243:13PP 甲乙 （2）设比赛继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.Y 当时，乙以赢，；3Y 4:2 3 (3)(1)P Yp 当时，乙以赢，；4Y 4:3 133 3 (4)(1)3 (1)P YC pppp 所以，乙赢得全部奖金的概率为. 333 ( )(1)3 (1)(1 3 )(1)P Appppp 于是甲赢得全部奖金的概率. 3 ( )1 (1 3 )(1)f ppp 求导，. 322 ( )3(1)(1 3 ) 3(1) ( 1)12 (1)fpppppp 因为，所以，所以在上单调递增， 4 1 5 P 0fp fp 4 ,1 5 于是. min 4608 ( ) 5625 f pf 故乙赢的概率为，故事件是小概率事件. 60817 10.02720.05 625625 A 21. 解：（1）， 22 ( )(2) x fxexmxmm 由题意得，即， 10f1m 当时，此时在上递减，在上递增，所以符合要1m 2 ( )12fxexx( )f x2, 11, 求； 当时，此时在上递增，在递减，递减，所以1m ( )1 x fxexx( )f x, 1 1,00, 不符合要求. 综上得，.1m （2）方法 1：直接研究差函数的最小值，需借助隐零点. 由得不等式恒成立，( )( )f xg xln1 x xea xx 令，求导得，( )1(ln )(0) x h xxea xx x ( )(1) x e a h xx x 当时，所以在上递增，0a ( )0h x ( )h x0, 因为，所以不符合题意； 11 2 11111 11110 2 e he e a ee e e a 当时，令，则在上递增，0a ( )0 x xxea x( )x0, 又，且在上连续， 00a 0 a aaea( )x0, 所以存在唯一，使得， 0 0,xa 00 0 a x xx ea 当时，故递减；当时，故递增， 0 0,xx( )0h x ( )h x 0, xx( )0h x ( )h x 所以， min0000 ( )1lnln1 x h xh xxaa xexaaa 所以，即，ln10aaa 1 ln10a a 令，则，所以在上递减，在上递增， 1 ln1aa a 2 1 a a a a0,11, 又，所以. 101a 方法 2：指数化、换元处理 由得，指数化得不等式恒成立，( )( )f xg x1ln0 x xea xx ln 1ln0 xx ea xx 令，则，不等式恒成立，lnxxttR 10 t eat 令，则， 1 t h teattR( ) t h xea 当时，所以不符合题意；0a 1 110ha e 当时，在上单调递减，在上单调递增，0a h t,lnaln , a 所以， min lnln1h thaaaa 所以，即，ln10aaa 1 ln10a a 令，则，所以在上递减，在上递增， 1 ln1aa a 2 1 a a a a0,11, 又，所以. 101a 22. 解：（1）曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为，C4cos 22 40 xyx 即， 2 2 24xy 直线 的直角坐标方程为，lyxm 圆心到直线 的距离（弦心距），l 2 142 2 22 d 即圆心到直线的距离为，或.2,0yxm 202 21 22 m m 1m 3m （2）曲线的方程可化为，其参数方程为（为参数）.C 2 2 24xy 22cos 2sin x y 为曲线上任意一点，,M x yC ，22 2 sin 4 xy 的取值范围是.xy22 2,22 2 23. 解：（1）当时， 1 2 x ( )2112f xxxx ，；( )2f x 1 4 2 x 当时， 1 1 2 x ( )1 213f xxxx ，；( )2f x 21 32 x 当时，1x ( )1 212f xxxx ，此时无实数解.( )2f x 0 x 综上所述，不等式的解集为.( )2f x 2 ,4 3 （2）有解. 2 ( ) 2 a f xa 2 min ( ) 2 a f xa 由（1）可知 当时，；1x ( )3f x 当时，； 1 1 2 x 3 ( )3 2 f x 当时，. 1 2 x 3 ( ) 2 f x ， 3 ( ) 2 f x ，故， min 3 ( ) 2 f x 2 2 3 23013 22 a aaaa 即实数的取值范围为.a1,3 颍上一中颍上一中 涡阳一中涡阳一中 蒙城一中蒙城一中 淮南一中淮南一中 怀远一中怀远一中 2021 届高三届高三“五校联盟五校联盟”第二次联考第二次联考理科数学理科数学 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 一、选择题 1-5：ABCCA6-10：BDBDC11-12：DB 详解： 12. B ，当时，.00,x 222 , 333 x 设进行替换，作出函数的图象如下图所示： 2 3 xt cosyt 由于函数在上满足的实数有且只有 3 个，( )yf x0, 3 0f x 3 x 即函数在上有且只有 3 个零点，cosyt 22 , 33 由图象可知，解得，结论不正确； 325 232 1319 66 由图象知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论正确，结cosyt 22 , 33 论错误； 当时，0,10 x 222 , 33103 x 由知，所以在上递增， 1319 66 27 0 10320 cosyt 22 , 3103 则函数在上单调递增，结论正确.综上，正确的有.故选 B.( )yf x0,10 二、填空题 13. -1 14. -672 15. 16. 5 3 112 3 详解： 16. 将沿折起后，取中点为，连接，则，ABDBDBDEAECEAEBDCEBD 所以即为二面角的平面角，所以；AECABDC120AEC 与是边长为 4 的等边三角形.ABDBCD 分别记三角形与的重心为、，ABDBCDGF 则，；即； 12 3 33 EGEA 12 3 33 EFECEFEG 因为与都是边长为 4 的等边三角形，ABDBCD 所以点是的外心，点是的外心；GABDFBCD 记该几何体的外接球球心为，连接，ABCDOOFOG 根据球的性质，可得平面，平面，OF BCDOG ABD 所以与都是直角三角形，且为公共边，OGEOFEOE 所以与全等，因此，RtOGERtOFE 1 60 2 OEGOEFAEC 所以； 4 3 3 OE 因为，且平面，平面，AEBDCEBDAECEEAE AECCE AEC 所以平面；BD AEC 又平面，所以，OE AECBDOE 连接，则外接球半径，OB 22 2 21 3 OBOEBE 所以外接球表面积为. 112 3 故答案为：. 112 3 三、解答题 17. 解：由，21 nn Sa 当时，解得，1n 11 21Sa 1 1a 当时，2n 11 21 nn Sa -得，所以是等比数列， 1 2 nn aa n a 1 2n n a 由是等差数列，.得. n b 264 bba 546 2abb n bn （2），21 n n S 1 22 n n Tn ，. 1 234 12 (34)2 ( 1)( 1) (1)(2) n nnnnn n nn Tbbn c bbnn 12 22 ( 1) 12 nn n nn 2 2 2( 1) 2 n n n D n 18.（1）证明：因为面，面，所以.CD ABCBM ABCCDBM 又正中，ABCAMMCBMAC 面， BMCD BMACBM CDACC ACD .BMAN （2）解：连接交于点，连接，因为平面，MDANGPG/ /BMAPN 所以，由重心性质知为靠近点的三等分点./ /BMPGPB ，0,0,0C 3 3 3 0, 22 A 0,3,0B1,2,0P 3 ,0,0 2 N 设面的法向量为，APN, ,nx y z ，0AP n 0AN n 4,1, 3n 平面的法向量为，ABC1,0,0u 2 5 cos, 5 u v 平面与平面所成角的正弦值为.APNABC 5 5 19. 解：（1）由圆，可得圆心，半径， 2 2 116xy1,0C4r 因为，所以点在圆内，24FC FC 又由点在线段的垂直平分线上，所以，MPFMFMP 所以，4MCMFMPMCPC 由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，MFC 其中，2a 1c 2 3b 所以点的轨迹方程为.M 22 1 43 xy （2）设直线的方程为，GH4xmy 11 ,G x y 22 ,H xy2,0A 2,0B 将代入，4xmy 22 1 43 xy 得， 22 3424360mymy ， 12 2 24 34 m yy m 12 2 36 34 y y m 要证明直线过点，只要证明，的斜率相等，NHBNBHB 直线的方程为，令得，AC 1 1 (2) 2 y yx x 1x 1 1 3 2 y y x . 12 12 3 22 NHBB yy kk xx 12211212 1212 32246 0 2222 yxyxmy yyy xxxx 或设的直线方程，代入得GH4yk x 22 1 43 xy ， 2222 343264120kxk xk ， 2 12 2 32 34 k xx k 2 12 2 6412 34 k x x k ， 12 12 3 22 NBHB yy kk xx 12211212 1212 32241016 0 2222 yxyxx xxx xxxx 或，的直线方程为， 1 1 3 1, 2 y N x 22 ,H xyNH 1 2 11 21 3 23 (1) 12 y y xy yx xx 代入2x 1 2 12112 11 2121 3 323123 1212 y y yyxyxxy y xxxx . 1212 21 41016 0 12 x xxxk xx 20. 解：（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.X 由题意知，最多再进行 4 局，甲、乙必然有人赢得全部奖金. 当时，甲以赢，所以；2X 4:1 339 (2) 4416 P X 当时，甲以赢，所以；3X 4:2 1 2 3139 (3) 44432 P XC 当时，甲以赢，所以.4X 4:3 2 2 3 13327 (4) 444256 P XC 所以，甲赢的概率为. 9927243 1632256256 所以，；:243:13PP 甲乙 （2）设比赛继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.Y 当时，乙以赢，；3Y 4:2 3 (3)(1)P Yp 当时，乙以赢，；4Y 4:3 133 3 (4)(1)3 (1)P YC pppp 所以，乙赢得全部奖金的概率为. 333 ( )(1)3 (1)(1 3 )(1)P Appppp 于是甲赢得全部奖金的概率. 3 ( )1 (1 3 )(1)f ppp 求导，. 322 ( )3(1)(1 3 ) 3(1) ( 1)12 (1)fpppppp 因为，所以，所以在上单调递增， 4 1 5 P 0fp fp 4 ,1 5 于是. min 4608 ( ) 5625 f pf 故乙赢的概率为，故事件是小概率事件. 60817 10.02720.05 625625 A 21. 解：（1）， 22 ( )(2) x fxexmxmm 由题意得，即， 10f1m 当时，此时在上递减，在上递增，所以符合要1m 2 ( )12fxexx( )f x2, 11, 求； 当时，此时在上递增，在递减，递减，所以1m ( )1 x fxexx( )f x, 1 1,00, 不符合要求. 综上得，.1m （2）方法 1：直接研究差函数的最小值，需借助隐零点. 由得不等式恒成立，( )( )f xg xln1 x xea xx 令，求导得，( )1(ln )(0) x h xxea xx x ( )(1) x e a h xx x 当时，所以在上递增，0a ( )0h x ( )h x0, 因为，所以不符合题意； 11 2 11111 11110 2 e he e a ee e e a 当时，令，则在上递增，0a ( )0 x xxea x( ) x0, 又，且在上连续， 00a 0 a aaea( ) x0, 所以存在唯一，使得， 0 0,xa 00 0 a x xx ea 当时，故递减；当时，故递增， 0 0,xx( )0h x ( )h x 0, xx( )0h x ( )h x 所以， min0000 ( )1lnln1 x h xh xxaa xexaaa 所以，即，ln10aaa 1 ln10a a 令，则，所以在上递减，在上递增， 1 ln1aa a 2 1 a a a a0,11, 又，所以. 101a 方法 2：指数化、换元处理 由得，指数化得不等式恒成立，( )( )f xg x1ln0 x xea xx ln 1ln0 xx ea xx 令，则，不等式恒成立，lnxxttR 10 t eat 令，则， 1 t h teattR( ) t h xea 当时，所以不符合题意；0a 1 110ha e 当时，在上单调递减，在上单调递增，0a h t,lnaln , a 所以， min lnln1h thaaaa 所以，即，ln10aaa 1 ln10a a 令，则，所以在上递减，在上递增， 1 ln1aa a 2 1 a a a a0,11, 又，所以. 101a 22. 解：（1）曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为，C4cos 22 40 xyx 即， 2 2 24xy 直线 的直角坐标方程为，lyxm 圆心到直线 的距离（弦心距），l 2 142 2 22 d 即圆心到直线的距离为，或.2,0yxm 202 21 22 m m 1m 3m （2）曲线的方程可化为，其参数方程为（为参数）.C 2 2 24xy 22cos 2sin x y 为曲线上任意一点，,M x yC ，22 2 sin 4 xy 的取值范围是.xy22 2,22 2 23. 解：（1）当时， 1 2 x ( )2112f xxxx ，；( )2f x 1 4 2 x 当时， 1 1 2 x ( )1 213f xxxx ，；( )2f x 21 32 x 当时，1x ( )1212f xxxx ，此时无实数解.( )2f x 0 x 综上所述，不等式的解集为.( )2f x 2 ,4 3 （2）有解. 2 ( ) 2 a f xa 2 min ( ) 2 a f xa 由（1）可知 当时，；1x ( )3f x 当时，； 1 1 2 x 3 ( )3 2 f x 当时，. 1 2 x 3 ( ) 2 f x ， 3 ( ) 2 f x ，故， min 3 ( ) 2 f x 2 2 3 23013 22 a aaaa 即实数的取值范围为.a1,3