安徽省“五校联盟”2021届高三下学期第二次联考数学（理）试题 PDF版含答案.zip

书书书 【 理科数学试题参考答案第 页（ 共页） 】 颍上一中涡阳一中蒙城一中淮南一中怀远一中 届高三“ 五校联盟” 第二次联考理科数学 参考答案、 提示及评分细则 一、 选择题 题号 答案 二、 填空题 详解： ， 当狓 ， 时， 狓 ， 设 狓 狋进行替换， 作出函数狔 狋的图象如下图所示： 由于函数狔犳（ 狓） 在， 上满足犳 狓 （ ） 的实数狓有且只有个， 即函数狔 狋在 ， 上有且只有个零点， 由图象可知 ， 解得 ， 结论不正确； 由图象知， 狔 狋在 ， 上只有一个最小值点， 有一个或两个最大值点， 结论正确， 结论错误； 当狓 ， （） 时， 狓 ， （） ， 由 知 ， 所以狔 狋在 ， （） 上递增， 则函数狔犳（ 狓） 在， （） 上单调递增， 结论正确综上， 正确的有故选 将犃 犅 犇沿犅 犇折起后， 取犅 犇中点为犈， 连接犃 犈，犆 犈， 则犃 犈犅 犇，犆 犈犅 犇， 所以犃 犈 犆即为二面角犃犅 犇犆的平面角， 所以犃 犈 犆 ； 犃 犅 犇与犅 犆 犇是边长为的等边三角形 分别记三角形犃 犅 犇与犅 犆 犇的重心为犌、 犉， 则犈 犌 犈 犃 槡 ， 犈 犉 犈 犆 槡 ； 即犈 犉犈 犌； 因为犃 犅 犇与犅 犆 犇都是边长为的等边三角形， 所以点犌是犃 犅 犇的外心， 点犉是犅 犆 犇的外心； 记该几何体犃 犅 犆 犇的外接球球心为犗， 连接犗 犉， 犗 犌， 根据球的性质， 可得犗 犉平面犅 犆 犇， 犗 犌平面犃 犅 犇， 所以犗 犌 犈与犗 犉 犈都是直角三角形， 且犗 犈为公共边， 【 理科数学试题参考答案第 页（ 共页） 】 所以 犗 犌 犈与 犗 犉 犈全等， 因此犗 犈 犌犗 犈 犉 犃 犈 犆 ， 所以犗 犈 槡 ； 因为犃 犈犅 犇， 犆 犈犅 犇，犃 犈犆 犈犈， 且犃 犈平面犃 犈 犆，犆 犈平面犃 犈 犆， 所以犅 犇平面犃 犈 犆； 又犗 犈平面犃 犈 犆， 所以犅 犇犗 犈， 连接犗 犅， 则外接球半径犗 犅 犗 犈 犅 犈 槡 槡 ， 所以外接球表面积为 故答案为： 三、 解答题 解： 由犛狀 犪狀 ， 当狀 时犛 犪 ， 解得犪 ， 当狀 时， 犛狀 犪狀 ， 得犪狀 犪狀 ， 所以犪狀是等比数列，犪狀 狀 ， 分 ? 由 犫狀 是等差数列，犫犫犪，犪犫 犫得犫狀狀分 ? （ ）犛狀 狀 ， 犜狀 狀 狀 ，分 ? 犮狀（ ） 狀（ 犜狀犫狀 ）犫狀 犫狀 犫狀 （ ） 狀 （ 狀 ） 狀 （ 狀 ） （狀 ） （ ） 狀（ 狀 狀 狀 狀 ） ，犇狀 （ ） 狀 狀 狀 分 ? （） 证明： 因为犆 犇面犃 犅 犆，犅犕面犃 犅 犆， 所以犆 犇犅犕 又正犃 犅 犆中， 犃犕犕 犆犅犕犃 犆分 ? 犅犕犆 犇 犅犕犃 犆 犆 犇犃 犆 烍 烌 烎犆 犅犕面犃 犆 犇 犅犕犃犖分 ? （ ） 解： 连接犕犇交犃犖于犌点， 连接犘 犌， 因为犅犕平面犃 犘 犖 所以犅犕犘 犌， 由重心性质知犘为靠近犅点的三等分点 分 ? 犆， （） ，犃， ， 槡 （） ， 犅， （） ，犘， （） ，犖 ， ，（） 设面犃 犘 犖的法向量为狀（ 狓，狔，狕） ， 犃 犘狀 ， 犃犖狀 ，狀，槡（） 平面犃 犅 犆的法向量为狌 ， ， （） ， 狌 ， 狏 槡 ， 分 ? 平面犃 犘 犖与平面犃 犅 犆所成角的正弦值为槡 分 ? 解： （） 由圆（狓 ） 狔 ， 可得圆心犆（ ，） ， 半径狉 ， 因为犉 犆 ， 所以点犉在圆犆内， 又由点犕在线段犘 犉的垂直平分线上， 所以犕 犉犕犘， 所以犕 犆犕 犉犕犘犕 犆犘 犆 ， 由椭圆的定义知， 点犕的轨迹是以犉， 犆为焦点的椭圆， 其中犪 ， 犮 ，犫 ， 所以点犕的轨迹方程为狓 狔 分 ? （ ） 设直线犌犎的方程为狓 犿 狔 ，犌（狓， ，狔） ，犎（狓，狔） ，犃（ ，） ，犅（，） 将狓 犿 狔 代入狓 狔 得（ 犿 ） 狔 犿 狔 ， 狔狔 犿 犿 ，狔狔 犿 分? 要证明直线犖犎过点犅， 只要证明犖 犅，犎犅的斜率相等， 直线犃 犆的方程为狔 狔 狓 （ 狓 ） ， 令狓 得狔 狔 狓 【 理科数学试题参考答案第 页（ 共页） 】 犽犖 犅犽犎 犅 狔 狓 狔 狓 狔狓 （） 狔（狓 ） （ 狓 ） （狓 ） 犿 狔 狔 （狔狔） （ 狓 ） （狓 ） 分 ? 或设犌犎的直线方程狔犽（ 狓 ） ， 代入代入狓 狔 得 （ 犽 ） 狓 犽 狓 犽 狓狓 犽 犽 ， 狓狓 犽 犽 犽犖 犅犽犎 犅 狔 狓 狔 狓 狔（狓 ）狔（狓 ） （ 狓 ） （狓 ） 狓狓 （狓狓） （ 狓 ） （狓 ） 分 ? 或犖（ ， 狔 狓 ，犎（ 狓，狔） ，犖犎的直线方程为狔 狔 狓 狔 狓 狓 （） 狔 狓 犡 代入狔 狔 狓 狔 狓 狔 狓 狔狔狓 （） 狔（ 狓） （ 狓） （狓 ） 狓狓 （狓狓） 犽 （ 狓） （狓 ） 分 ? 解： （） 设比赛再继续进行犡局甲赢得全部奖金， 则最后一局必然甲赢 由题意知， 最多再进行局， 甲、 乙必然有人赢得全部奖金 当犡 时， 甲以 赢， 所以犘 犡（） ； 分 ? 当犡 时， 甲以 赢， 所以犘 犡（） 犆 ； 分 ? 当犡 时， 甲以 赢， 所以犘 犡（） 犆 （ ） 分 ? 所以， 甲赢的概率为 分 ? 所以， 犘甲犘乙 ；分 ? （ ） 设比赛继续进行犢局乙赢得全部奖金， 则最后一局必然乙赢 当犢 时， 乙以 赢， 犘 犢 （） （ 狆） ； 分 ? 当犢 时， 乙以 赢， 犘 犢 （） 犆 狆（ 狆） 狆（ 狆） ； 分 ? 所以， 乙赢得全部奖金的概率为（ ） 犘 犃（ 狆） 狆（ 狆） （） 狆 （ 狆） 于是甲赢得全部奖金的概率犳（ 狆） （） 狆 （ 狆） 分 ? 求导， 犳 （ 狆） （ 狆） （） 狆 （ 狆） （ ） 狆（ 狆） 分 ? 因为 犘 ， 所以 犳 （ 狆） ， 所以犳（狆） 在 ， ） 上单调递增， 于是犳（ 狆） 犳（ ） 分 ? 故乙赢的概率为 ， 故事件犃是小概率事件 分 ? 解： （） 犳 （ 狓） 狓 狓 （ 犿 ）狓犿 犿 ， 由题意得 犳 （ ） ， 即犿 ， 分 ? 当犿 时， 犳 （ 狓） （ 狓 ） （狓 ） ， 此时犳（狓） 在（ ， ） 上递减， 在（ ，） 上递增， 所以符合要求； 当犿 时， 犳 （ 狓） 狓（ 狓 ）狓， 此时犳（狓） 在（， ） 上递增， 在（ ，） 递减， （，） 递减， 所以不符合要求 综上得，犿 分? （ ） 方法： 直接研究差函数的最小值， 需借助隐零点 由犳（ 狓）犵（狓） 得不等式狓 狓 犪（狓 狓） 恒成立， 令犺（ 狓）狓 狓 犪（狓 狓） （狓 ） ， 求导得犺 （狓）（狓 ） （ 狓犪 狓 ） ， 当犪 时， 犺 （狓） ， 所以犺（狓） 在（，） 上递增， 因为犺（ ） 犪（ ） 犪（ ） ， 所以不符合题意； 分? 当犪 时， 令（ 狓）狓 狓 犪（狓 ） ， 则（狓） 在，） 上递增， 又（ ）犪 ， （ 犪）犪 犪 犪 ， 且（狓） 在，） 上连续， 所以存在唯一狓 （，犪） ， 使得（狓）狓 狓 犪犪 ， 分? 当狓（ ，狓） 时，犺 （狓） ， 故犺（狓） 递减； 当狓（狓，） 时犺 （狓） ， 故犺（狓） 递增， 所以犺（ 狓） 犺（狓）狓 狓 犪 犪（ 狓 狓）犪犪 犪 ，分 ? 所以犪犪 犪 ， 即 犪 犪 ， 【 理科数学试题参考答案第 页（ 共页） 】 令（ 犪） 犪 犪 ， 则（ 犪） 犪 犪 ， 所以（ 犪） 在（，） 上递减， 在（，） 上递增， 又（ ） ， 所以犪 分 ? 方法： 指数化、 换元处理 由犳（ 狓）犵（狓） 得狓 狓 犪（狓 狓） ， 指数化得不等式 狓 狓 犪（狓 狓） 恒成立， 令狓 狓狋， 则狋犚， 不等式 狋 犪 狋 恒成立，分? 令犺（ 狋） 狋 犪 狋 （狋犚） ， 则犺 （狓） 狋 犪， 当犪 时， 犺（ ） 犪 ， 所以不符合题意；分 ? 当犪 时， 犺（狋） 在（， 犪） 上单调递减， 在（ 犪，） 上单调递增， 所以犺（ 狋） 犺（ 犪）犪犪 犪 ，分? 所以犪犪 犪 ， 即 犪 犪 ， 令（ 犪） 犪 犪 ， 则（ 犪） 犪 犪 ， 所以（ 犪） 在（，） 上递减， 在（，） 上递增， 又（ ） ， 所以犪 分? 解： （） 曲线犆的极坐标方程是 化为直角坐标方程为狓 狔 狓 ， 即（ 狓 ） 狔 ， 直线犾的直角坐标方程为狔狓犿， 圆心到直线犾的距离（ 弦心距）犱 槡 （） 槡 槡 ， 即圆心（ ，） 到直线狔狓犿的距离为 犿 槡 槡 犿 ，犿 或犿 分 ? （ ） 曲线犆的方程可化为（狓 ） 狔 ， 其参数方程为 狓 ， 狔 （ 为参数） 犕（狓，狔） 为曲线犆上任意一点， 狓狔槡 （） ， 狓狔的取值范围是槡 ，槡 分 ? 解： （） 当狓 时， 犳（狓） 狓 （狓 ）狓 ， 犳（狓） ， 狓 ； 当 狓 时， 犳（狓） 狓（ 狓） 狓， 犳（狓） ， 狓 ； 当狓 时， 犳（狓） 狓（ 狓） 狓， 犳（狓） ，狓 ， 此时无实数解 综上所述， 不等式犳（ 狓） 的解集为（ ， ）分 ? （ ）犳（狓）犪犪 有解 犳（狓） 犪犪 由（ ） 可知 当狓 时， 犳（狓） ； 当 狓 时， 犳（狓） ； 当狓 时， 犳（狓） 犳（狓） 犳（狓）犿 犻 狀 ， 故 犪犪 犪 犪 犪 ， 即实数犪的取值范围为 ， 分 ? 书书书 【 理科数学试题第 页（ 共页） 】 颍上一中涡阳一中蒙城一中淮南一中怀远一中 届高三“ 五校联盟” 第二次联考 理科数学试题 考试时间： 年月 日 考生注意： 本试卷满分 分， 考试时间 分钟。 答题前， 考生务必用直径 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 考生作答时， 请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后， 用 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑； 非选择题请用直径 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答，超出答题区域书写的答案无效 獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉 ， 在试题卷 獉獉獉獉 、 草稿纸上作答无效 獉獉獉獉獉獉獉獉 。 一、 选择题： 本题共 小题， 每小题分， 共 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要 求的 设集合犃狓狓 ， 犅狓 狓 ， 则犃犅 狓狓 狓狓 狓狓 狓狓 或狓 已知犪，犫犚，是虚数单位若（ ） （ 犫）犪， 则犪 犫 的值为 下列说法中错误的是 命题“狓 ，狓 狓 ” 的否定是“狓 ，狓 狓 ” 在犃 犅 犆中，犃犅 犃 犅 犃 犅 已知某个数据的平均数为， 方差为， 现又加入一个新数据， 则此时这个数的平均数和方差不变 从装有完全相同的个红球和个黄球的盒子中任取个小球， 则事件“ 至多一个红球” 与“ 都是 红球” 互斥且对立 某三棱锥的三视图如图所示， 已知网格纸上小正方形的边长为， 该 三棱锥所有表面积中， 最大面的面积为 槡 槡 槡 已知平面向量犪 槡 ， （） ，犫 槡 ， 且（犪犫） （犪犫）， 则 犪犫 槡 槡 【 理科数学试题第 页（ 共页） 】 电影 流浪地球 中反复出现这样的人工语音： “ 道路千万条， 安全第一条， 行车不规范， 亲人两行泪” 成 为网络热句讲的是“ 开车不喝酒， 喝酒不开车” 年， 公安部交通管理局下发 关于治理酒驾醉驾 违法犯罪行为的指导意见 ， 对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定， 根据国家质量监督检验 检疫总局下发的标准， 车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表经过反复试 验， 一般情况下， 某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“ 散点图” 见图， 且图表所示的函数 模型狔 （ 狓） ， 狓 ， ， 狓 烅 烄 烆 ， 假设该人喝一瓶啤酒后至少经过狀（ 狀犖 ） 小时才可以驾车， 则狀 的值为（ 参考数据： ， ） 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别阈值（ 犿 犵 犿 犔） 饮酒驾车 ， ） 醉酒驾车 ，） 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过： “ 美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”在中华传统文 化里， 建筑、 器物、 书法、 诗歌、 对联、 绘画几乎无不讲究对称之美如清代诗人黄柏权的 茶壶回文诗 （ 如图） 以连环诗的形式展现， 个字绕着茶壶成一圆环， 不论顺着 读还是逆着读， 皆成佳作数学与生活也有许多奇妙的联系， 如 年 月 日（ ） 被称为世界完全对称日（ 公历纪年 日期中数字左右完全对称的日期）数学上把 这样的对 称数叫回文数， 两位数的回文数共有个（ ， ， ， ） ， 则共有 多少个这样的三位回文数 设犪 ，犫 ，犮 ， 则 犪犫犮犫犪犮犮犫犪犪犮犫 犳（狓） 犳（ 狓）狓 狓 ， 则狔犳（狓） 在（，犳（） ） 处的切线方程为 狓狔 狓 狔 狓狔 狓 狔 已知犃 犅 犆的内角犃，犅，犆对的边分别为犪，犫，犮， 犃 犅 犆当内角犆最大且犫时， 犃 犅 犆的面积等于 槡 槡槡 槡 槡 如图， 已知犉，犉分别为双曲线犆： 狓 犪 狔 犫 （ 犪 ，犫 ） 的左右焦点， 过犉的 直线与双曲线犆的左支交于犃、 犅两点， 连接犃 犉，犅 犉， 在犃 犅 犉中，犃 犅犅 犉， 犃 犅犉 ， 则双曲线的离心率为 槡 槡 槡 【 理科数学试题第 页（ 共页） 】 已知函数犳（狓） 狓 （） （ ） ，狓、狓、狓， ， 且狓， 都有犳 狓 （ ） 犳（狓） 犳（狓） ， 满足犳（狓） 的实数狓有且只有个， 给出下述四个结论： 满足题目条件的实数狓有且只有个；满足题目条件的实数狓有且只有个； 犳（狓） 在， （） 上单调递增； 的取值范围是 ， （ 其中正确的个数是 二、 填空题： 本题共小题， 每小题分， 共 分 若实数狓，狔满足约束条件 狓 狔 ， 狓狔 ， 狓狔 烅 烄 烆， 则狕 狓 狔的最小值是 若二项式狓 犪 （） 狓 的展开式的各项系数之和为 ， 则含狓 项的系数是 已知抛物线狔 狆 狓 （ 狆 ） 的焦点犉到准线的距离为， 过焦点犉的直线与抛物线交于犃，犅两点， 且犃 犉 犉 犅， 则线段犃 犅的中点到狔轴的距离为 已知菱形犃 犅 犆 犇的边长为， 对角线犅 犇， 将犃 犅 犇沿着犅 犇折叠， 使得二面角犃犅 犇犆为 ， 则三棱锥犃犅 犆 犇的外接球的表面积为 三、 解答题： 共 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤第 题为必考题， 每个试题考生 都必须作答第 、 题为选考题， 考生根据要求作答 （ 一） 必考题： 共 分 （ 分） 已知数列 犪狀 ，犛狀是犪狀的前狀项的和， 且满足犛狀 犪狀（狀犖 ） ， 数列 犫狀 是等差数列，犫犫 犪，犪犫 犫 （ ） 求犪狀 ， 犫狀 的通项公式； （ ） 设数列犛狀 的前狀项和为犜狀， 设犮狀（ ） 狀 （ 犜狀犫狀 ）犫狀 犫狀 犫狀 ， 求犮 狀的前狀项的和犇狀 （ 分） 如图， 在三棱锥犃犅 犆 犇中， 犃 犅 犆是边长为的等边三角形，犆 犇犆 犅，犆 犇平面犃 犅 犆， 点犕、犖 分别为犃 犆、 犆 犇的中点， 点犘为线段犅 犇上一点， 且犅犕平面犃 犘犖 （ ） 求证：犅犕犃犖； （ ） 求平面犃 犘犖与平面犃 犅 犆所成角的正弦值 （ 分） 已知圆犆： （ 狓 ） 狔 ， 点犉（ ，） ，犘是圆犆上一动点， 若线段犘 犉的垂直平分线和犆 犘相交 于点犕 （ ） 求点犕的轨迹方程犈 （ ）犃，犅是犕的轨迹方程与狓轴的交点（ 点犃在点犅左边） ， 直线犌犎过点犜（，） 与轨迹犈交于犌， 犎两点， 直线犃 犌与狓 交于点犖， 求证： 动直线犖犎过定点 【 理科数学试题第 页（ 共页） 】 （ 分） 公元 年， 法国一位著名的统计学家德梅赫（ ） 向另一位著名的数学家帕斯卡（ ） 提 出了一个问题， 帕斯卡和费马（ ） 讨论了这个问题， 后来惠更斯（ ） 也加入了讨论， 这 三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下： 设两名运动员约定谁 先赢犽（ 犽，犽犖 ） 局， 谁便赢得全部奖金犪元 每局甲赢的概率为狆（ 狆 ） ， 乙赢的概率为 狆， 且每场比赛相互独立在甲赢了犿（犿犽） 局， 乙赢了狀（狀犽） 局时， 比赛意外终止奖金该怎么 分才合理？这三位数学家给出的答案是： 如果出现无人先赢犽局则比赛意外终止的情况， 甲、 乙便按 照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比犘甲： 犘乙分配奖金 （ ） 规定如果出现无人先赢犽局则比赛意外终止的情况， 甲、 乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得 全部奖金的概率之比犘甲： 犘乙分配奖金若犽 ，犿 ，狀 ，狆 ， 求犘 甲：犘乙 （ ） 记事件犃为“ 比赛继续进行下去乙赢得全部奖金” ， 试求当犽 ，犿 ，狀 时比赛继续进行下去 甲赢得全部奖金的概率犳（ 狆） ， 并判断当狆 时， 事件犃 是否为小概率事件， 并说明理由规定： 若随机事件发生的概率小于 ， 则称该随机事件为小概率事件 （ 分） 已知函数犳（ 狓） 狓（ 狓 犿 狓犿） ， 犵（狓）犪 狓 狓犪 狓 狓 （ ） 若函数犳（狓） 在狓 处取极小值， 求实数犿的值； （ ） 设犿 ， 若对任意狓（，） ， 不等式犳（狓）犵（狓） 恒成立， 求实数犪的值 （ 二） 选考题： 共 分请考生在第 、 题中任选一题作答如果多做， 则按所做的第一题计分 选修 ： 坐标系与参数方程 （ 分） 已知曲线犆的极坐标方程是 ， 以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为狓轴的正半轴， 建立 平面直角坐标系， 直线犾的参数方程是 狓犿槡 狋， 狔槡 烅 烄 烆 狋 （ 狋为参数） （ ） 若直线犾与曲线犆相交于犃、犅两点， 且犃 犅槡 ， 试求实数犿的值； （ ） 设犕（狓，狔） 为曲线犆上任意一点， 求狓狔的取值范围 选修 ： 不等式选讲 （ 分） 已知函数犳（ 狓） 狓 狓 （ ） 求不等式犳（狓） 的解集； （ ） 若关于狓的不等式犳（狓）犪 犪 有解， 求犪的取值范围