2021年重庆市黔江区新华中学高考数学第二次联考试卷.docx

1、第 1页（共 22页） 2021 年重庆市黔江区新华中学高考数学第二次联考试卷年重庆市黔江区新华中学高考数学第二次联考试卷 一一.单选题单选题： （每题（每题 5 分，共分，共 40 分）分） 1 （5 分）已知集合 4 |0 5 x Ax x ，集合 |36Bxx ，则(AB ) A(3,6)B3，6)C4，5)D4，5 2 （5 分） 12 () 3 i zaR ai ，若z为实数，则a的值为() A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 3 2 3 （5 分）已知函数( )yf x的图象如图所示，则此函数可能是() A 2 ( ) | 2 xx ee f x xx B 2 ( ) | 2

2、xx ee f x xx C 2 | 2 ( ) xx xx f x ee D 2 | 2 ( ) xx xx f x ee 4 （5 分）已知a，b为不同直线，为不同平面，则下列结论正确的是() A若a，ba，则/ /bB若a，b，/ /a，/ /b，则/ / C若/ /a，b，/ /ab，则D若b ，a，ab，则 5 （5 分）若 00 cosxx，则() A 0 ( 3 x ，) 2 B 0 ( 4 x ，) 3 C 0 ( 6 x ，) 4 D 0 (0,) 6 x 6 （5 分）从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学 中恰有 1 名男同

3、学和 1 名女同学的概率为() A 7 10 B 4 5 C 3 5 D 3 10 7 （5 分）已知球O表面上的四点A，B，C，D满足2ACBC，2AB ，若四面体 第 2页（共 22页） ABCD体积的最大值为 2 3 ，则球O的表面积为() A 25 4 B 25 9 C 25 16 D8 8 （5 分）设 1 F， 2 F为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点，点 0 (P x，2 )a为双曲线上 的一点，若 12 PF F的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为() A 6 2 B 5 2 C6D5 二二.多选题（每题多选题（每题 5 分，漏选得分，

4、漏选得 2 分，选错分，选错 0 分。共分。共 20 分）分） 9 （5 分）给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有() A设A，B为两个定点，k为非零常数，| |PAPBk，则动点P的轨迹为双曲线 B过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆 C方程 2 2520 xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D双曲线 22 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y有相同的焦点 10 （5 分）在长方体ABCDA B C D 中，2AB ，3AD ，1AA ，以D为原点，以DA ， DC ，DD 分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则下列说法正确的

5、是() A( 3BD ，2，1) B异面直线A D与BD所成角的余弦值为 2 35 35 C平面AC D 的一个法向量为( 2，3，6) D二面角CA DD的余弦值为 3 7 11 （5 分）已知0a ，0b ，则下列结论正确的是() A若2ab，则1ab B若0c ，则 aac bbc C若log 2020log 20200 ab ，则 a b a e b D若 14 2 ab ，则 9 2 ab 12 （5 分）已知函数 sin1 ( ) x x f x e ，则下列结论正确的是() A函数( )f x在(0, )上单调递减 第 3页（共 22页） B函数( )f x在(,0)上有极小值

6、C方程 1 ( ) 2 f x 在(,0)上只有一个实根 D方程 1cos ( ) x x f x ex 在(,0)(0,) 22 上有两个实根 三三.填空题（每题填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在 5 (2)xx的展开式中， 4 x的系数是 14 （5 分）如果圆 22 (2 )(3)4xaya上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数a的 取值范围是 15 （5 分）若数列 n a满足： 1 1a ， 2 1a ， * 12( 3,) nnn aaannN ，则称数列 n a为 斐波那契数列 斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线， 如图 1 中的实

7、线部 分（正方形内的数字与 n a为所在正方形的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构成 圆心角为90的扇形） 自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列、芦荟叶子 的排列等（如图2)，若一母线长为 16 的圆锥的底面周长恰好等于图 1 的螺旋曲线的长度， 则该圆锥的侧面积为 16 （5 分）函数 2 ( )f xxaxlnx在 2 ( ,2) e 上不单调，则实数a的取值范围是 四四.解答题（共解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）已知 n a是递增的等比数列， 5 48a ， 2 4a， 3 3a， 4 2a成等差数列 （）求数列 n a的通项公式； （）设数列 n b满足

8、 12 ba， 1nnn bba ，求数列 n b的前n项和 n S 18 （12 分） 某校在圆心角为直角， 半径为1km的扇形区域内进行野外生存训练， 在相距1km 第 4页（共 22页） 的A，(B A，B在弧上）两个位置分别有 300，100 名学生，在道路OB上设置集合点D， 要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为()S km （1）设ADO，写出S关于的函数表达式； （2）当S最小时，集合地点D离点A多远？ 19 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCA BC的底面是边长为 2 的正三角形，侧面 11 ACC A 底 面ABC，且侧面 11 ACC A为菱形，

9、 1 60A AC，E是 1 BB的中点，F是 1 AC与 1 AC的交点 （1）求证：/ /EF底面ABC； （2）求BC与平面 1 A AB所成角的正弦值 20 （12 分）已知椭圆焦点在x轴上过点(0,1)，且离心率为 3 2 （）求椭圆C的方程； （） 1 A， 2 A为椭圆C的左、右顶点，直线:2 2l x 与x轴交于点D，点P是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上异于 1 A， 2 A的动点， 直线 1 A P， 2 A P分别交直线l于E，F两点 证 明：| |DEDF恒为定值 21 （12 分）有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取 8 件，经检

10、验都 为优质品时接受这批产品，若优质品数小于 6 件则拒收；否则做第二次检验，其做法是从产 品中再另任取 3 件， 逐一检验， 若检测过程中检测出非优质品就要终止检验且拒收这批产品， 否则继续产品检测，且仅当这 3 件产品都为优质品时接受这批产品，若产品的优质品率为 第 5页（共 22页） 0.9且各件产品是否为优质品相互独立 （1）记X为第一次检验的 8 件产品中优质品的件数，求X的期望与方差； （2）求这批产品被接受的概率； （3）若第一次检测费用固定为 1000 元，第二次检测费用为每件产品 100 元，记Y为整个产 品检验过程中的总费用，求Y的分布列 （附 5 :0.90.590， 6

11、 0.90.531， 7 0.90.478， 8 0.90.430， 9 0.90.387) 22 （12 分）设函数 3 ( )3|f xxxa，aR （1）若1a ，求曲线( )yf x在2x 处的切线方程； （2）当 1x ，1时，求函数( )f x的最小值； （3）已知0a ，且对任意的1x，)，都有 2 ()(1) 15f xafaa lnx，求实数a的取 值范围 第 6页（共 22页） 2021 年重庆市黔江区新华中学高考数学第二次联考试卷年重庆市黔江区新华中学高考数学第二次联考试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.单选题单选题： （每题（每题 5 分，共分，共 40

12、分）分） 1 （5 分）已知集合 4 |0 5 x Ax x ，集合 |36Bxx ，则(AB ) A(3,6)B3，6)C4，5)D4，5 【解答】解： |45Axx， |36Bxx ， 4AB ，5) 故选：C 2 （5 分） 12 () 3 i zaR ai ，若z为实数，则a的值为() A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 3 2 【解答】解： 2 222 12(12 )(3 )2366(23) 3(3 )(3 )99 ii aiaaiiiaai z aiai aiaia ， z为实数，aR， 230a，解得 3 2 a 故选：D 3 （5 分）已知函数( )yf x的图象如图所示，

13、则此函数可能是() A 2 ( ) | 2 xx ee f x xx B 2 ( ) | 2 xx ee f x xx C 2 | 2 ( ) xx xx f x ee D 2 | 2 ( ) xx xx f x ee 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A， 2 ( ) | 2 xx ee f x xx ， 有 2 | 20 xx ， 解可得1x ， 即( )f x的定义域为 |1x x ， 第 7页（共 22页） 又由 22 ()( ) | 2| 2 xxxx eeee fxf x xxxx ，( )f x为奇函数， 在区间(0,1)上，0 xx ee， 2 | 20 xx ，( )

14、0f x ， 在区间(1,)上，0 xx ee， 2 | 20 xx ，( )0f x ，符合题意， 对于B， 2 ( ) | 2 xx ee f x xx ， 有 2 | 20 xx ， 解可得1x ， 即( )f x的定义域为 |1x x ， 在区间(0,1)上，0 xx ee ， 2 | 20 xx ，( )0f x ，与图象不符，不符合题意， 对于C， 2 | 2 ( ) xx xx f x ee ，有0 xx ee，解可得0 x ，即( )f x的定义域为 |0 x x ， 与图象不符，不符合题意， 对于D， 2 | 2 ( ) xx xx f x ee ，有0 xx ee，解可得0

15、 x ，即( )f x的定义域为 |0 x x ， 与图象不符，不符合题意， 故选：A 4 （5 分）已知a，b为不同直线，为不同平面，则下列结论正确的是() A若a，ba，则/ /bB若a，b，/ /a，/ /b，则/ / C若/ /a，b，/ /ab，则D若b ，a，ab，则 【解答】解：若a，ba，则b或/ /b，故A错误； 若a，b，/ /a，/ /b， 则/ /， 错误， 只有在a与b相交的条件下/ /， 若/ /ab， 与可能平行，也可能相交； 若/ /a，/ /ab，则/ /b或b，又b，则，故C正确； 若b ，a，ab，则，错误，与可能相交不垂直 故选：C 5 （5 分）若 0

16、0 cosxx，则() A 0 ( 3 x ，) 2 B 0 ( 4 x ，) 3 C 0 ( 6 x ，) 4 D 0 (0,) 6 x 【解答】解： 00 cosxx，方程的根就是函数( )cosf xxx的零点，函数是连续函数， 并且 3 ()cos0 66662 f ， 2 ()0 442 f ， 第 8页（共 22页） 所以()()0 64 ff ， 所以函数的零点在( 6 ，) 4 ， 所以 0 ( 6 x ，) 4 故选：C 6 （5 分）从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学 中恰有 1 名男同学和 1 名女同学的概率为() A

17、7 10 B 4 5 C 3 5 D 3 10 【解答】解：从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务， 基本事件总数 2 5 10nC， 选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学包含的基本事件个数 11 32 6mC C， 则选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学和 1 名女同学的概率 63 105 m P n 故选：C 7 （5 分）已知球O表面上的四点A，B，C，D满足2ACBC，2AB ，若四面体 ABCD体积的最大值为 2 3 ，则球O的表面积为() A 25 4 B 25 9 C 25 16 D8 【解答】解：如图， 当平面ABD与平面ABC垂直

18、时，四面体ABCD体积最大， 由2ACBC，2AB ，得90ACB， 112 22 323 DG，解得2DG ， 设四面体ABCD的外接球半径为r， 第 9页（共 22页） 则 222 (2)1rr，解得 5 4 r 球O的表面积为 2 525 4( ) 44 故选：A 8 （5 分）设 1 F， 2 F为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点，点 0 (P x，2 )a为双曲线上 的一点，若 12 PF F的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为() A 6 2 B 5 2 C6D5 【解答】解：如图设P在第一象限，内切圆的圆心为I，内切圆与 1 PF， 2

19、PF， 12 F F分别切 与点E，F，G， 根据圆的切线的性质得：PEPF， 11 F EFG， 22 F FF G， 根据双曲线的定义知： 12 2PFPFa，即 12 ()()2PEF EPFF Fa， 12 2FGF Ga， 又 12 2FGF Gc， 联立解得 1 FGac， 2 F Gca， ( ,0)G a，内心I的横坐标为a， 12 PF F的重心和内心的连线与x轴垂直， 12 PF F的重心的横坐标为a， 由三角形的重心坐标公式可得 0 3 ccx a ，解得 0 3xa， (3 .2 )Pa a， 将P的坐标代入双曲线可得： 22 22 94 1 aa ab ，即 2 22

20、 4 91 a ca ，化简得 22 32ac， 所以离心率 6 2 c e a 故选：A 第 10页（共 22页） 二二.多选题（每题多选题（每题 5 分，漏选得分，漏选得 2 分，选错分，选错 0 分。共分。共 20 分）分） 9 （5 分）给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有() A设A，B为两个定点，k为非零常数，| |PAPBk，则动点P的轨迹为双曲线 B过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，则弦AB的中点P的轨迹为椭圆 C方程 2 2520 xx的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D双曲线 22 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y有相同的焦点 【解答】 解： 对

21、于A： 设A，B为两个定点， 设| 2ABc，k为非零常数， 当| |PAPBk， 且| |ABk时，则动点P的轨迹为双曲线，故A错误； 对于B：设定圆的半径为R，设点( , )P x y，所以点P的轨迹满足 222 |APOPR，由于 2 RR符合椭圆的定义，故正确； 对于C：方程 2 2520 xx的两根为 2 和 1 2 ，即椭圆的离心率为 1 2 ，双曲线的离心率为 2， 故C正确； 对于D：双曲线 22 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y有相同的焦点都为( 34,0)和(34,0)，故D 正确 故选：BCD 10 （5 分）在长方体ABCDA B C D 中，2AB

22、，3AD ，1AA ，以D为原点，以DA ， DC ，DD 分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则下列说法正确的是() A( 3BD ，2，1) 第 11页（共 22页） B异面直线A D与BD所成角的余弦值为 2 35 35 C平面AC D 的一个法向量为( 2，3，6) D二面角CA DD的余弦值为 3 7 【解答】解：在长方体ABCDA B C D 中，2AB ，3AD ，1AA ， 以D为原点，以DA ，DC ，DD 分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 对于A，(3B，2，0)，(0D，0，1)，( 3BD ，2，1)，故A正确； 对于B，(3A，0，1)，

23、(0D，0，0)，( 3A D ，0，1)，( 3BD ，2，1)， 设异面直线A D与BD所成角为， 则异面直线A D与BD所成角的余弦值为： |84 35 cos 35| |1014 A D BD A DBD ，故B错误； 对于C，(0C，2，1)，(3DA ，0，1)，(0DC ，2，1)， 设平面AC D 的一个法向量为(nx ，y，) z， 则 30 20 n DAxz n DCyz ，取6z ，得平面AC D 的一个法向量为( 2，3，6)，故C正确； 对于D，平面AC D 的一个法向量为( 2n ，3，6)， 平面A D D 的一个法向量为(0m ，1，0)， 二面角CA DD的

24、余弦值为： |3 |cos,| | |7 m n m n mn ，故D正确 故选：ACD 第 12页（共 22页） 11 （5 分）已知0a ，0b ，则下列结论正确的是() A若2ab，则1ab B若0c ，则 aac bbc C若log 2020log 20200 ab ，则 a b a e b D若 14 2 ab ，则 9 2 ab 【解答】解：对于A，由于22abab ，则1ab，故A正确； 对于B，当ab时， aac bbc ，故B错误； 对于C，由log 2020log 20200 ab 得 20202020 11 0 loglogab ，则有1ab， 设函数( ) x e f

25、x x ， 2 (1) ( ) x ex fx x ，则( )f x在(1,)单调递增， 所以f（a）f（b） ，即 ab ee ab ，则有 a b a e b ，故C正确； 对于D， 11414149 ()()(5)(52) 2222 baba abab ababab ，当且仅当 14 2 ab ， 4ba ab ，即 3 2 a ，3b 时取等号，故D正确 故选故选：ACD 12 （5 分）已知函数 sin1 ( ) x x f x e ，则下列结论正确的是() A函数( )f x在(0, )上单调递减 第 13页（共 22页） B函数( )f x在(,0)上有极小值 C方程 1 ( )

26、 2 f x 在(,0)上只有一个实根 D方程 1cos ( ) x x f x ex 在(,0)(0,) 22 上有两个实根 【解答】解：因为 sin1 ( ) x x f x e ，所以 cossin1 ( ) x xx fx e ， 当( )0fx，即cossin10 xx ，所以 32 sin() 42 x ， 所以 33 22 444 kxk ，kZ， 所以22 2 kxk ，kZ， 当0k 时，0 2 x ，当1k 时， 3 2 2 x ； 当( )0fx，即cossin10 xx ，所以 32 sin() 42 x ， 所以 53 22 444 kxk ，kZ， 所以222 2

27、kxk ，kZ， 当0k 时，2 2 x ，当1k 时， 3 0 2 x ， 所以当(0, )x时，( )0fx，( )f x单调递减，故A正确； 又因为当(,) 2 x 时，( )0fx，( 2 x ，0)时，( )0fx， 所以( )f x在 2 x 处取得极小值，故B正确； 因为()fe，()0 2 f ，(0)1f，所以 1 ( ) 2 f x 在(,0)上不只有一个实数根，故C 错误； 因为方程 1cos ( ) x x f x ex ，即 sin11cos xx xx eex ， 所以 sincos x xx ex ，所以tan x e x x ， 正切函数tanyx在(,0)(0

28、,) 22 上单调递增， x e y x ， 2 (1) x ex y x ，当(,0) 2 x 时，(0,1)时，0y，当(1,) 2 x 时，0y ， 且当(,0) 2 x 时，0 x e y x ，作出两函数的大致图象，如图所示： 第 14页（共 22页） 由图象可得，当(,0)(0,) 22 x ，函数tanyx与 x e y x 的图象有两个交点，故D正确 故选：ABD 三三.填空题（每题填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在 5 (2)xx的展开式中， 4 x的系数是80 【解答】 解： 在 5 (2)xx的展开式的通项公式为 5 5 2 15 2 r

29、rr r TCx ， 令54 2 r ， 可得2r ， 可得 4 x的系数是 23 5 280C， 故答案为：80 14 （5 分）如果圆 22 (2 )(3)4xaya上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数a的 取值范围是 6 0 5 a 【解答】解：原问题可转化为：圆 22 (2 )(3)4xaya和圆 22 1xy相交， 可得两圆圆心之间的距离 222 (20)(30)569daaaa， 由两圆相交可得 2 2156921aa ， 平方可得 2 15699aa，解得 6 0 5 a 故答案为： 6 0 5 a 15 （5 分）若数列 n a满足： 1 1a ， 2 1a ， * 12(

30、 3,) nnn aaannN ，则称数列 n a为 第 15页（共 22页） 斐波那契数列 斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线， 如图 1 中的实线部 分（正方形内的数字与 n a为所在正方形的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构成 圆心角为90的扇形） 自然界中存在许多这样的图案，比如向日葵种子的排列、芦荟叶子 的排列等（如图2)，若一母线长为 16 的圆锥的底面周长恰好等于图 1 的螺旋曲线的长度， 则该圆锥的侧面积为132 【解答】 解： 由 1 1a ， 2 1a ， * 12( 3,) nnn aaannN ， 得 3 2a ， 4 3a ， 5 5a ， 6 8

31、a ， 7 13a ， 则图 1 中螺旋线的长度为 233 (1 1235813) 42 ， 设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则 33 2 2 r ，16l ， 圆锥的侧面积为 133 216132 24 rl 故答案为：132 16 （5 分） 函数 2 ( )f xxaxlnx在 2 ( ,2) e 上不单调， 则实数a的取值范围是 4 (2,) 21ln 【解答】解：( )2(1)fxxa lnx， 若函数 2 ( )f xxaxlnx在 2 ( ,2) e 上不单调， 则方程( )0fx在 2 ( ,2) e 上有根 即方程 2 1 x a lnx 在 2 ( ,2) e 上有根且

32、方程的根是函数( )fx的变号零点， 令 2 ( ) 1 x g x lnx ，则 2 2 ( ) (1) lnx g x lnx ， 2 (x e ，1)时，( )0g x，( )g x递减，(1,2)x时，( )0g x，( )g x递增， 第 16页（共 22页） 又g（1）2， 24 ( ) 2 g eeln ，g（2） 4 21ln ，由g（2） 244 ( )0 212 g elneln ， 得( )(2g x ， 4 ) 21ln ， 故 4 (2,) 21 a ln ， 故答案为： 4 (2,) 21ln 四四.解答题（共解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）已知 n

33、a是递增的等比数列， 5 48a ， 2 4a， 3 3a， 4 2a成等差数列 （）求数列 n a的通项公式； （）设数列 n b满足 12 ba， 1nnn bba ，求数列 n b的前n项和 n S 【解答】解： （）设首项为 1 a，公比为q的递增的等比数列， 5 48a ， 2 4a， 3 3a， 4 2a成等差数列 故： 5 324 48 642 a aaa ， 解得：2q 或 1（舍去） ， 整理得： 1 3a ， 所以： 1 3 2() n n anN ， （）数列 n b满足 12 ba， 1nnn bba ， 所以： 1 6b 则： 112211 ()()() nnnnn

34、bbbbbbbb ， 12211nn aaaab ， 1 3 23 6 21 n ， 1 3 23 n ， 所以： 12 3 23 33 233 21 n n nn Sbbbnn ，()nN 18 （12 分） 某校在圆心角为直角， 半径为1km的扇形区域内进行野外生存训练， 在相距1km 的A，(B A，B在弧上）两个位置分别有 300，100 名学生，在道路OB上设置集合点D， 要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为()S km （1）设ADO，写出S关于的函数表达式； （2）当S最小时，集合地点D离点A多远？ 第 17页（共 22页） 【解答】解： （1）AOD中，A

35、DO，1OA ， 由正弦定理得 1 2 sin sinsin()sin() 333 ADODOD ， 解得 3 2sin AD ， sin() 3 sin OD ，且( 3 ， 2 ) 3 ； 300100SADBD sin() 3 3 300100(1) 2sinsin 3cos 50 350 sin ，其中( 3 ， 2 ) 3 ； （2）令 3cos sin y ， 则 2 3cos1 sin y ， 当 1 cos 3 时，0y，y单调递减； 当 1 cos 3 时，0y ，y单调递增； 当且仅当 1 cos 3 时，y取得最小值为 1 3 3 2 2 2 2 3 ； 此时 33 6

36、82 2 2 3 AD ， 即 3 6 8 AD 时，S取得最小值为50 3 2 250100 650； 答：当D、A的距离为 3 6 8 km时，S取得最小值为100 650()km 19 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCA BC的底面是边长为 2 的正三角形，侧面 11 ACC A 底 面ABC，且侧面 11 ACC A为菱形， 1 60A AC，E是 1 BB的中点，F是 1 AC与 1 AC的交点 第 18页（共 22页） （1）求证：/ /EF底面ABC； （2）求BC与平面 1 A AB所成角的正弦值 【解答】解： （1）证法一：取 1 CC的中点M，连接EM，FM， F是

37、 1 AC与 1 AC的交点，且侧面 11 ACC A是菱形， F是 1 AC的中点，/ /FMAC， FM 底面ABC，AC 底面ABC，/ /FM底面ABC， 11 / /BBCC， 11 BBCC，E为 1 BB中点，/ /BECM，BECM， 四边形BCME为平行四边形，/ /EMBC， EM 底面ABC，BC 底面ABC， / /EM底面ABC， EMFMM ，EM 平面EFM，FM 平面EFM， 平面/ /EFM底面ABC， EF 平面EFM，/ /EF底面ABC 证法二：取AC中点O，连接OB，OF， F是 1 AC与 1 AC的交点，且侧面 11 ACC A为菱形，F是 1 A

38、C的中点， 1 / /OFAA， 1 1 2 OFAA， E是 1 BB的中点， 11 / /AABB， 11 AABB， E是 1 BB的中点， 11 / /AABB， 11 AABB， / /OFBE，OFBE， 四边形OBEF是平行四边形，/ /EFOB， 又EF 底面ABC，OB 底面ABC， / /EF底面ABC （2）连接 1 OA，侧面 11 ACC A为菱形， 1 60A AC， 第 19页（共 22页） 1 A AC是正三角形， 1 AOAC， 侧面 11 ACC A 底面ABC，侧面 11 ACC A底面ABCAC， 1 AO 侧面 11 ACC A， 1 AO底面ABC，

39、 底面ABC为正三角形，O为AC的中点，BOAC， 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 底面ABC是边长为 2 的正三角形， (0A，1，0)，( 3B，0，0)，(0C，1，0)， 1(0 A，0，3)， ( 3AB ，1，0)， 1 (0AA ，1，3)，(3BC ，1，0)， 设平面 1 A AB的一个法向量为(nx ，y，) z， 由 1 30 30 n ABxy n AAyz ，取1x ，得(1n ，3，1)， BC与平面 1 A AB所成角的正弦值为： |33 |15 sin|cos,| 5| |25 BC n BC n BCn 20

40、 （12 分）已知椭圆焦点在x轴上过点(0,1)，且离心率为 3 2 （）求椭圆C的方程； 第 20页（共 22页） （） 1 A， 2 A为椭圆C的左、右顶点，直线:2 2l x 与x轴交于点D，点P是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上异于 1 A， 2 A的动点， 直线 1 A P， 2 A P分别交直线l于E，F两点 证 明：| |DEDF恒为定值 【解答】解： （）由题意可设椭圆C的方程为 22 22 1 xy ab ，则1b ， 3 2 c a ， 解得2a 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （）证明：由（）可知， 1( 2,0) A ， 2(2,0) A设

41、 0 (P x， 0) y，依题意 0 22x ， 于是直线 1 A P的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ， 令2 2x ，则 0 0 (2 22) 2 y y x ， 即 0 0 | | (2 22) |2| y DE x 又直线 2 A P的方程为 0 0 (2) 2 y yx x ， 令2 2x ，则 0 0 (2 22) 2 y y x ， 即 0 0 | | (2 22) |2| y DF x ， 所以 22 0000 22 0000 |44 | | (2 22)(2 22) |2|2|4|4 yyyy DEDF xxxx ， 又 0 (P x， 0) y在 2 2 1 4

42、 x y上，所以 2 20 0 1 4 x y，即 22 00 44yx，代入上式， 得 2 0 2 0 4 | |1 4 x DEDF x ， 所以| |DEDF为定值 1 21 （12 分）有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取 8 件，经检验都 为优质品时接受这批产品，若优质品数小于 6 件则拒收；否则做第二次检验，其做法是从产 品中再另任取 3 件， 逐一检验， 若检测过程中检测出非优质品就要终止检验且拒收这批产品， 否则继续产品检测，且仅当这 3 件产品都为优质品时接受这批产品，若产品的优质品率为 0.9且各件产品是否为优质品相互独立 （1）记X为第一次检验的 8 件

43、产品中优质品的件数，求X的期望与方差； 第 21页（共 22页） （2）求这批产品被接受的概率； （3）若第一次检测费用固定为 1000 元，第二次检测费用为每件产品 100 元，记Y为整个产 品检验过程中的总费用，求Y的分布列 （附 5 :0.90.590， 6 0.90.531， 7 0.90.478， 8 0.90.430， 9 0.90.387) 【解答】解： （1）产品的优质品率为 0.9，从中任取 8 件，X为第一次检验的 8 件产品中优 质品的件数， 依题意有(8,0.9)XB， X的期望为：()80.97.2E X ， X的方差为：()80.90.10.72D X （2）产品被

44、接受的概率： 8662773 88 0 9(0 90 10 90.1)0.90.817PCC （3）Y的取值为：1000 元、1100 元、1200 元、1300 元 662776 88 (1000)1(0 90 10 90.1)10.90.469P YCC ， (1100)0.531 0.10.0531P Y ， (1200)0.531 0.90.10.04779P Y ， 2 (1300)0.531 0.910.43011P Y ， Y的分布列为： Y1000110012001300 P0.4690.05310.047790.43011 22 （12 分）设函数 3 ( )3|f xxxa

45、，aR （1）若1a ，求曲线( )yf x在2x 处的切线方程； （2）当 1x ，1时，求函数( )f x的最小值； （3）已知0a ，且对任意的1x，)，都有 2 ()(1) 15f xafaa lnx，求实数a的取 值范围 【解答】解： （1）当1a 时， 3 ( )3|1|f xxx，则当1x 时， 3 ( )33f xxx， 2 ( )33fxx 所以f（2）86311，f （2）34315， 第 22页（共 22页） 则( )f x在2x 处的切线方程为：1115(2)yx，即15190 xy； （2）当1a时， 3 ( )33f xxxa，则 2 ( )330fxx， 所以(

46、)f x在 1，1上单调递增，所以( )( 1)43 min f xfa ； 当1a时， 3 ( )33f xxxa，则 2 ( )33 0fxx ， 所以( )f x在 1，1上单调递增，所以( )minf xf（1）23a ； 当11a 时， 3 3 33 ,1 ( ) 33 , 1 xxa ax f x xxax a ， 由可知，函数( )f x在( 1, )a上单调递减，在( ,1)a单调递增， 所以( )minf xf（a） 3 a， 综上： 当1a时，( )43 min f xa ； 当11a 时， 3 ( )minf xa， 当1a时，( )23 min f xa ； （3）当0

47、a 时，且对任意的1x，)，都有 2 ()(1) 15f xafaa lnx， 即对任意1x有 323 ()315(1)3 0 xaxa lnaa ， 设 323 ( )()315(1)3g xxaxa lnaa，则g（1）0， 2 2 15 ( )3()3 a g xxa x ， 设 2 2 15 ( )( )3()3 a h xg xxa x ，因为0a ，1x，所以 2 2 15 ( )6()0 a h xxa x ， 所以( )h x在1，)上单调递增， 所以( )h xh（1） ，即( )g xg（1） 22 3(1)3 15(1)(21)aaaa ， 1当g（1）0即01a 时，( ) 0g x恒成立， 所以( )g x在1，)上单调递增， 此时( )g xg （1）0满足题意； 2当g（1）0即1a 时，因为g（a） 2 121533(1)(41)0aaaa，且( )g x在1， )上单调递增，所以存在唯一的 0 1x ，使得 0 ()0g x， 因此当 0 1xx时，( )0g x，当 0 xx时，( )0g x， 所以( )g x在 0 (1,)x单调递减， 0 (x，)上单调递增， 所以 0 ()g xg（1）0，不满足题意， 综上，01a