2021年浙江省温州市高考数学适应性试卷（3月份）.docx

1、第 1页（共 24页） 2021 年浙江省温州市高考数学适应性试卷（年浙江省温州市高考数学适应性试卷（3 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 |14Axx， |25Bxx ，则( R AB ) A |12xx B |12xxC | 24xx D |45xx 2 （4 分） 在平面直角坐标系中， 不等式组 1 0 1 0 1 xy xy x ， 所表示的平面区域的面积是() A4B2C1D

2、1 2 3 （4 分）已知，是两个不重合的平面，直线l，则“/ /l”是“”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 4 （4 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 5 15S ，且 1 a， 2 a， 3 1a 成等比数列， 则() A 1 0a ， 10 45SB 1 0a ， 10 90SC 1 1a ， 10 100SD 1 1a ， 10 55S 5 （4 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件使得ABC无 法唯一确定的是() A3a ，15B ，25C B3a ，4b ，40C C3a ，4b ，40A D3

3、a ，4b ，40B 6 （4 分）已知函数 1 ( )|f xln xx x ，则函数( )yf x的图象可能是() AB 第 2页（共 24页） CD 7 （4 分）已知定点( ,0)P m，动点Q在圆 22 16xy上，PQ的垂直平分线交直线OQ于点 M，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是() A5B4C3D2 8（4分） 如图， 以O为圆心， 半径为1的圆始终内切于四边形ABCD， 且/ /ADBC，ABBC， 则当|AD增大时，下列说法错误的是() AOA OD 单调递减BOD OC 恒为定值 COC OB 单调递增DOA ODOC OB 恒为非负数 9 （4 分）多项选择题给出

4、的四个选项中会有多个选项符合题目要求全部选对的得 5 分， 有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分若选项中有i（其中2i ，3，4)个选项符合题目要 求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量 i （其中2i ，3，4)， 则有() A 243 ()2 ()3 ()EEEB 243 ()2 ()3 ()EEE C 243 2 ()()3 ()EEED 243 2 ()()3 ()EEE 10 （4 分）如图，点M、N分别是正四面体ABCD棱AB、CD上的点，设BMx，直线 MN与直线BC所成的角为，则() 第 3页（共 24页） A当2NDCN时，随着x的增大而增大 B当2N

5、DCN时，随着x的增大而减小 C当2CNND时，随着x的增大而减小 D当2CNND时，随着x的增大而增大 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，共小题，共 36 分多空题每小题分多空题每小题 6 分，单空题毎小题分，单空题毎小题 4 分分 11 （6 分）已知i是虚数单位，若复数z满足(1)2i z，则z的虚部为；z z 12 （6 分） 已知 2 012 (1)n n n xaa xa xa x， 则 0 a ， 若 34 0aa，则n 13 （4 分）已知a，b是正数，且(1)(1)9ab，则ab的最小值是 14 （6 分）已知 1 F、 2 F分别是椭圆 22 22 1(0

6、) xy ab ab 的左、右焦点，过 1 F的直线与椭圆 交于P、Q两点，若 121 |:|:| 2:3:1PFPFQF ，则 12 cosF PF，椭圆的离心率为 15 （4 分）有 2 辆不同的红色车和 2 辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四 个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有种不同的停放方法 （用数 字作答） 16 （6 分）有一种病毒在人群中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病 毒的S型； 感染病毒尚未康复的型； 感染病毒后康复的R型 （所有康复者都对病毒免疫） 根 据统计数据：每隔一周，S型人群中有95%仍为S型，5%成为I型；I型人群中

7、有65%仍 为型，35%成为R型；R型人群都仍为R型 若人口数为A的人群在病毒爆发前全部是S 型，记病毒爆发n周后的S型人数为 n S，I型人数为 n I，则 n S ； n I （用A和 n表示，其中*)nN 17 （4 分）已知函数( )|f xx xa ，若对任意的 1 (2,)x ，都存在 2 ( 1,0)x ，使得 12 ()()4f xf x ，则实数a的最大值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（14 分） 如图， 已知函数( )sin()(0f xAxA，

8、|) 2 的图象与y轴交于点 1 (0,) 2 ， 且( 3 ，1)为该图象的最高点 （）求函数( )yf x在0，上的零点； 第 4页（共 24页） （）若函数()yfx在(0,) 2 内单调递增，求正实数的取值范围 19 （15 分）如图，在三棱锥ABCD中，90BCD，1BCCD，ACBACD （）证明：ACBD； （）有三个条件： 60； 直线AC与平面BCD所成的角为45； 二面角ACDB的余弦值为 3 3 请你从中选择一个作为条件，求直线BC与平面ACD所成的角的正弦值 20 （15 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 , , n n n S nn 为奇数 为偶数 （

9、）求 2 a， 3 a及通项公式 n a； （）记 1nnn baa ，求数列 1 2 n n b 的前2n项的和 2n T 21 （15 分）如图，过点(1,0)F和点(4,0)E的两条平行线 1 l和 2 l分别交抛物线 2 4yx于A， B和C，D（其中A，C在x轴的上方） ，AD交x轴于点G （）求证：点C、点D的纵坐标乘积为定值； （）分别记ABG和CDG的面积为 1 S和 2 S，当 1 2 1 4 S S 时，求直线AD的方程 第 5页（共 24页） 22 （15 分）已知函数 2 1 ( ) kx x f x e ， 2 ( )21g xaxax （）若函数( )f x没有极值

10、点，求实数k的取值范围； （）若( )( )g xf x对任意的xR恒成立，求实数k和a所满足的关系式，并求实数k的取 值范围 第 6页（共 24页） 2021 年浙江省温州市高考数学适应性试卷（年浙江省温州市高考数学适应性试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 |14Axx， |25Bxx ，则( R AB ) A |12xx B |12xxC

11、 | 24xx D |45xx 【解答】解：集合 |14Axx， |25Bxx ， 所以 |2 RB x x或5x ， 所以 |12 R ABxx 故选：B 2 （4 分） 在平面直角坐标系中， 不等式组 1 0 1 0 1 xy xy x ， 所表示的平面区域的面积是() A4B2C1D 1 2 【解答】解：由约束条件作出可行域如图中阴影部分， 由图可知，(1,0)A，(0,1)C， 联立 1 10 x xy ，解得(1,2)A， 平面区域的面积 1 2 11 2 S 故选：C 3 （4 分）已知，是两个不重合的平面，直线l，则“/ /l”是“”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 第

12、7页（共 24页） C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：由于/ /l，过直线l作平面，使得m ，可得/ /lm， 又因为l，所以m，又m，所以； 反之不成立，由于l，当时，直线/ /l，也可能l “/ /l”是“”的充分不必要条件 故选：A 4 （4 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 5 15S ，且 1 a， 2 a， 3 1a 成等比数列， 则() A 1 0a ， 10 45SB 1 0a ， 10 90SC 1 1a ， 10 100SD 1 1a ， 10 55S 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d， 由 5 15S ，且 1 a， 2 a， 3

13、1a 成等比数列， 得 1 2 111 54 515 2 ()(21) ad ada ad ，即 1 2 1 23ad ad ， 解得： 1 1 1 a d 或 1 9 3 a d 结合选项可知， 1 1a ，则1d ， 10 109 1 10 155 2 S 故选：D 5 （4 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件使得ABC无 法唯一确定的是() A3a ，15B ，25C B3a ，4b ，40C C3a ，4b ，40A D3a ，4b ，40B 【解答】解：选项A，根据题意，可知140A，根据正弦定理即可求得b和c的值，三 边确定，所以该三角形唯一； 选项B，

14、根据余弦定理， 222 2coscababC可求c的值，三边确定，所以该三角形唯一； 选项C，根据正弦定理 sinsin ab AB ，即 34 sin40sin B ，解得 4sin40 sin 3 B ab， (0 ,180 )B，B可能为锐角，可能为钝角，该三角形不唯一确定； 选项D，根据题意，利用正弦定理可求sin A，由ab，可得A为锐角，三角确定，三边确 定，所以该三角形唯一； 第 8页（共 24页） 故选：C 6 （4 分）已知函数 1 ( )|f xln xx x ，则函数( )yf x的图象可能是() AB CD 【解答】解：当10 x 时，| 0ln x ， 1 0 x x

15、 ，所以( )0f x ，故选项C，D错误； 观察选项A，B，容易发现当x在 1 的右侧附近，选项A中的数值变化慢接近 0，选项B中 的数值变化较快， 不 妨取xe和 2 xe进 行判 断 ， 11 ( )| |11.4f eln eee ee ， 2222 22 11 ()|25.3f eln eee ee ， 对比选项A，B中的图象，故选项A错误，选项B正确 故选：B 7 （4 分）已知定点( ,0)P m，动点Q在圆 22 16xy上，PQ的垂直平分线交直线OQ于点 M，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是() A5B4C3D2 【解答】解：圆 22 16xy的圆心(0,0)，半径为

16、4，如果( ,0)P m中的4m ，如图黑色的 点，此时| |MPMQ， 满足| 4MOMPm，满足双曲线的定义，所以M的轨迹为双曲线， 如果04m，此时P点在圆内，如图红色的点，满足| | 4OMMPOMMQm， M的轨迹是椭圆， 4m 时，M在坐标原点， 第 9页（共 24页） 故选：A 8（4分） 如图， 以O为圆心， 半径为1的圆始终内切于四边形ABCD， 且/ /ADBC，ABBC， 则当|AD增大时，下列说法错误的是() AOA OD 单调递减BOD OC 恒为定值 COC OB 单调递增DOA ODOC OB 恒为非负数 【解答】解：对于A，设圆O与AD相切于点E，则OEAD，

17、所以OAOEEA ，ODOEED ， 所以() ()OA ODOEEAOEED 2 OEOE EDEA OEEA ED 1 |cos1 |EA EDEA ED ， 当|AD增大时，|EA ED 也增大，所以OA OD 单调递减，故A正确； 对于B，设圆O与CD相切于点F，与BC相切于点M，则OFCD，OMBC， 因为/ /ADBC，ABBC，所以四边形ABME为矩形， 因为圆始终内切于四边形ABCD，所以EODFOD ，MOCFOC ， 所以叫 11 ()18090 22 DOCFODFOCEOFFOC ， 第 10页（共 24页） 所以ODOC，所以0OD OC ，故B正确； 对于C，同A可

18、得1 |OC OBMCMB ， 当|AD增大时，|BC 随之减小，|MCMB 随之减小， 所以OC OB 单调递增，故C正确； 对于D，由题意，计算可得| |2OAOB ， 内切圆的性质可得90AOD，90DOC，180AODBOC ， 所以|cos|cosOA ODOC OBOA ODAODOC OBBOC 2 |cos2 |cosODAODOCAOD 2cos(|)AOD ODOC ， 由图可知当90AOD时，| |ODOC ，此时0OA ODOC OB ， 当90AOD时，| |ODOC ，此时0OA ODOC OB ， 当90AOD时，| |ODOC ，此时0OA ODOC OB ，

19、故OA ODOC OB 恒为非正，故D错误 故选：D 9 （4 分）多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求全部选对的得 5 分， 有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分若选项中有i（其中2i ，3，4)个选项符合题目要 求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量 i （其中2i ，3，4)， 则有() A 243 ()2 ()3 ()EEEB 243 ()2 ()3 ()EEE C 243 2 ()()3 ()EEED 243 2 ()()3 ()EEE 第 11页（共 24页） 【解答】解：选择情况共有情况： 1234 4444 15CCCC 2i 时， 2 的

20、取值为 0，3，5， 2 2 2 1 (5) 1515 C P， 1 2 2 2 (3) 1515 C P， 222 124 (0)1(5)(3)1 15155 PPP 2 12411 ()530 1515515 E 3i 时， 3 的取值为 0，3，5， 3 3 3 1 (5) 1515 C P， 12 33 3 62 (3) 15155 CC P ， 333 1693 (0)1(5)(3)1 1515155 PPP 3 12323 ()530 155515 E 4i 时， 4 的取值为 3，5， 4 4 4 1 (5) 1515 C P， 123 444 4 14 (3) 1515 CCC

21、 P 4 11447 ()53 151515 E 24 1147 ()2 ()27 1515 EE， 3 2323 3 ()34.6 155 E， 243 ()2 ()3 ()EEE， 其余经过验证不正确，因此只有B正确 故选：B 10 （4 分）如图，点M、N分别是正四面体ABCD棱AB、CD上的点，设BMx，直线 MN与直线BC所成的角为，则() A当2NDCN时，随着x的增大而增大 B当2NDCN时，随着x的增大而减小 第 12页（共 24页） C当2CNND时，随着x的增大而减小 D当2CNND时，随着x的增大而增大 【解答】解：当2NDCN时，如图，作/ /NFBC交BD于点F， 所

22、以直线MN与直线BC所成的角即为直线MN与直线NF所成的角，即MNF， 从图中可以看出，随着x的增大，MNF逐渐增大， 所以随着x的增大而增大，故选项A正确，选项B错误； 当2CNND时，如图，作/ /NEBC交BD于点E， 所以直线MN与直线BC所成的角即为直线MN与NE所成的角，即MNE， 从图中可以看出，随着x的增大，MNF逐渐减小， 所以随着x的增大而减小，故选项C正确，选项D错误 故选：AC 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，共小题，共 36 分多空题每小题分多空题每小题 6 分，单空题毎小题分，单空题毎小题 4 分分 11 （6 分）已知i是虚数单位，若复数z满足

23、(1)2i z，则z的虚部为1；z z 【解答】解：复数z满足(1)2i z，(1)(1)2(1)ii zi， 22(1)zi， 1zi ，虚部为 1， (1)(1)2z zii， 12 （6 分） 已知 2 012 (1)n n n xaa xa xa x， 则 0 a 1， 若 34 0aa， 则n 第 13页（共 24页） 【解答】解： 2 012 (1)n n n xaa xa xa x， 令0 x ，可得： 0 1a，即 0 1a ， 若 34 0aa，则 334 ( 1)0 nn CC， (1)(2)(1)(2)(3) 32 1432 1 n nnn nnn ， 化为：34n ，解

24、得7n 故答案为：1，7 13 （4 分）已知a，b是正数，且(1)(1)9ab，则ab的最小值是8 【解答】解：0a ，0b ，(1)(1)9ab， 2 9(1)(1)()1 ()()1 2 ab abababab ，当且仅当ab时等号成立， 2 1 ()()1 9 4 abab ，解得8ab 或4ab（舍去） ， ab的最小值为 8， 故答案为：8 14 （6 分）已知 1 F、 2 F分别是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，过 1 F的直线与椭圆 交于P、Q两点， 若 121 |:|:| 2:3:1PFPFQF ， 则 12 cosF PF 1 9 ， 椭圆的离

25、心率为 【解答】解：由题意可知题意的图形如图：设 1 |QFm，则 1 |2PFm， 2 | 3PFm，所以52ma， 2 | 4QFm，在 2 PQF中， 222 12 99161 cos 2 339 mmm FPF mm ， 在三角形 12 F PF中， 222 12 4941 cos 2 239 mmc FPF mm ， 22 2 1341 129 mc m ， 化简可得 2 13251 12129 e， 解得 7105 1515 e 故答案为： 1 9 ； 105 15 第 14页（共 24页） 15 （4 分）有 2 辆不同的红色车和 2 辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的

26、四 个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有72种不同的停放方法 （用 数字作答） 【解答】解：第一步：排红车，第一列选一个位置，则第二列有两个位置可选，由于车是不 相同的，故红车的停法有23212 种， 第二步，排黑车，若红车选AE，则黑车有BD，BF，CD共 3 种选择，由于车是不相同的， 故黑车的停法有236种， 根据分步计数原理，共有12672种， 故答案为：72 16 （6 分）有一种病毒在人群中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病 毒的S型； 感染病毒尚未康复的型； 感染病毒后康复的R型 （所有康复者都对病毒免疫） 根 据统计数据：每隔一周，S型人群中有9

27、5%仍为S型，5%成为I型；I型人群中有65%仍 为型，35%成为R型；R型人群都仍为R型 若人口数为A的人群在病毒爆发前全部是S 型， 记病毒爆发n周后的S型人数为 n S，I型人数为 n I， 则 n S (95%)nA； n I （用 A和n表示，其中*)nN 【解答】解：由题意可知， 1 95% nn SS ， 1 5%65% nnn ISI ， 故 n S为公比为95%的等比数列， 所以 1 95%(95%)(95%) nn n SAA ， 所以 1 5% (95%)65% n nn IAI ， 第 15页（共 24页） 所以 1 1 1010 5%(95%)5%(95%)(195%

28、)65% 33 nn nn IAAI 10 65%5%(95%) 3 n n IA， 所以 10 5%(95%) 3 n n IA是公比为65%的等比数列， 1 5%IA， 所以 11 10101310 5%(95%)(5%5%95% )(65%)5%(65%)5%(65%) 3363 nnnn n IAAAAA ， 所以 10(95%)(65%) 5% (95%)(65%) 36 nn nn n IAA 故答案为：(95%)nA； (95%)(65%) 6 nn A 17 （4 分）已知函数( )|f xx xa ，若对任意的 1 (2,)x ，都存在 2 ( 1,0)x ，使得 12 ()

29、()4f xf x ，则实数a的最大值为1 【解答】解：2a时，当x a时，( )()f xx xa ，当xa时，( )()f xx ax ，画出 ( )yf x的图象（如右图）: 1 (2,)x 时， 1 ()(f x ，0， 而对任意的 1 (2,)x ，都存在 2 ( 1,0)x ，使得 12 ()()4f xf x ， 要求 2 ()(0f x，)而 2 ( 1,0)x 时，令( 1)fa，则有 2 ()(0f x，)a，不符题意； 2a 时，当x a时，( )()f xx xa ，当xa时，( )()f xx ax ，画出( )yf x的图 象（如下图）: 当 1 (2,)x 时，

30、1 ()(f x ，f（2）)， 即 1 ()(f x ，24)a ，则 2 ()(0f x， 2 ) 2a 时， 12 () ()4f xf x 成立才有可能； 第 16页（共 24页） 2 ( 1,0)x ，则 2 ()(0f x，( 1)f ，( 1)1fa，需满足 2 ( 1) 2 f a ，即 2 1 2 a a ， 即(1)(2) 2aa，(1) 0a a ，解得01a ， 所以a的最大值为 1 故答案为：1 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18（14 分） 如图

31、， 已知函数( )sin()(0f xAxA，|) 2 的图象与y轴交于点 1 (0,) 2 ， 且( 3 ，1)为该图象的最高点 （）求函数( )yf x在0，上的零点； （）若函数()yfx在(0,) 2 内单调递增，求正实数的取值范围 【解答】解： （）由函数( )sin()f xAx的图象知，1A ， 1 (0)sin 2 f ， 又| 2 ，所以 6 ， 由()sin()1 336 f ，结合图象知 362 ，解得2， 所以( )sin(2) 6 f xx ，令( )0f x ，得sin(2)0 6 x ， 解得2 6 xk ，kZ，所以 1 212 xk ，kZ； 令0k ，得 1

32、2 x ，令1k ，得 7 12 x ， 第 17页（共 24页） 所以函数( )yf x在0，上的零点是 12 和 7 12 ； （）函数()sin(2) 6 yfxx ，0， 当(0,) 2 x 时，2( 66 x ，) 6 ， 令 62 ，解得 2 3 ， 所以正实数的取值范围是(0， 2 3 19 （15 分）如图，在三棱锥ABCD中，90BCD，1BCCD，ACBACD （）证明：ACBD； （）有三个条件： 60； 直线AC与平面BCD所成的角为45； 二面角ACDB的余弦值为 3 3 请你从中选择一个作为条件，求直线BC与平面ACD所成的角的正弦值 【解答】解： （）证明：取BD

33、的中点O，连结AO，CO， 如图所示，则COBD，又1BCCD，ACBACD ， 所以ABCADC ，则ABAD，所以AOBD， 又因为AOCOO ，AO，CO 平面AOC， 所以BD 平面AOC，又AC 平面AOC，所以ACBD； （）在CA上取点P，使得OPOC，连结PB，PD，由于OC和BD是平面BCD中的 相交直线，所以OP 平面BCD， 故以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 在Rt BCD中，1BCCD，故2BD ， 所以 2 2 COBODO， 第 18页（共 24页） 则 222 (0,0),(,0,0),(0,0) 222 BCD， 所以 22 (,0) 22 BC

34、， 若选：因为60，则PCD为等边三角形，搜易1PDCDPC， 所以 2 2 OP ，故 2 (0,0,) 2 P 所以 2222 (,0,),(0,) 2222 PCPD ， 设平面PCD的一个法向量为( , , )nx y z ， 则有 0 0 n PC n PD ，即 22 0 22 22 0 22 xz yz ， 令1x ，则1yz，故(1,1,1)n ， 所以 22 | |6 22 |cos,| 3|3 1 BC n BC n BCn ， 所以直线BC与平面PCD（即平面)ACD所成的角的正弦值为 6 3 ； 若选：由PO 平面BCD，可得PCO即为直线PC（即)AC与平面BCD所成

35、的角， 所以45PCO，故Rt为等腰直角三角形， 所以 2 2 POCO，故 2 (0,0,) 2 P， 所以 2222 (,0,),(0,) 2222 PCPD ， 设平面PCD的一个法向量为( , , )nx y z ， 则有 0 0 n PC n PD ，即 22 0 22 22 0 22 xz yz ， 令1x ，则1yz，故(1,1,1)n ， 所以 22 | |6 22 |cos,| 3|3 1 BC n BC n BCn ， 所以直线BC与平面PCD（即平面)ACD所成的角的正弦值为 6 3 ； 若选：作PMCD，垂足为M，连结OM， 第 19页（共 24页） 由PO 平面BCD

36、，CD 平面BCD，所以POCD， 又POPMP ，PO，PM 平POM， 又OM 平面POM，所以CDOM， 则PMO即为二面角PCDB即二面角ACDB的平面角， 因为PMO的余弦值为 3 3 ， 故它的正弦值为 6 3 ，所以正切值为2， 所以 22 1 22 12 OM ，解得 2 2 OPOC， 故 2 (0,0,) 2 P， 所以 2222 (,0,),(0,) 2222 PCPD ， 设平面PCD的一个法向量为( , , )nx y z ， 则有 0 0 n PC n PD ，即 22 0 22 22 0 22 xz yz ， 令1x ，则1yz，故(1,1,1)n ， 所以 22

37、 | |6 22 |cos,| 3|3 1 BC n BC n BCn ， 所以直线BC与平面PCD（即平面)BCD所成的角的正弦值为 6 3 20 （15 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 , , n n n S nn 为奇数 为偶数 （）求 2 a， 3 a及通项公式 n a； 第 20页（共 24页） （）记 1nnn baa ，求数列 1 2 n n b 的前2n项的和 2n T 【解答】解： （）由 2 , , n n n S nn 为奇数 为偶数 ，可得 11 1aS， 212 4Saa，所以 2 3a ， 3123 3Saaa，所以 3 1a ， 当n为奇数时，

38、n Sn， 2 1 (1) n Sn ，3n， 2 1 31 nnn aSSnn ， 1 1a 也符合上式； 当n为偶数时， 2 n Sn， 1 1 n Sn ， 2 1 1 nnn aSSnn ， 故通项公式 2 2 31, 1, n nnn a nnn 为奇数 为偶数 （2）当n为奇数时， 22 1 31(1)(1)14 nnn baannnnn ， 当n为偶数时， 22 1 1(1)3(1)12 nnn baannnn ， 故 4 , 2, n n n b n 为奇数 为偶数 ，令 1 2n nn cb ， 则 1 2, 2 , n n n n n c n 为奇数 为偶数 ， 令 2nn

39、n TAB， n A为奇数项和， n B为偶数项和， 所以 242 21232(21) n n An ， 22 242 4(14 )24 222 143 nn n n B ， 24622 221232(21) n n An ， 51 22462222222 2 (14)205 2212222222(21)42(21)(2 ) 2 1433 n nnnn nn AAnnn ， 所以 22 2025 () 2 939 n n n A ， 所以 22 2222 2 202524822 () 2() 2 9393939 n nn nnn nn TAB 21 （15 分）如图，过点(1,0)F和点(4,

40、0)E的两条平行线 1 l和 2 l分别交抛物线 2 4yx于A， B和C，D（其中A，C在x轴的上方） ，AD交x轴于点G 第 21页（共 24页） （）求证：点C、点D的纵坐标乘积为定值； （）分别记ABG和CDG的面积为 1 S和 2 S，当 1 2 1 4 S S 时，求直线AD的方程 【解答】解： （）证明：设直线 1 l的方程为 1( 1)yk x， 2 l的方程为 1( 4)yk x， 所以联立 1 2 (4) 4 yk x yx ，得 2 1 4 160yy k ， 所以16 CD y y ， 所以点C、点D的纵坐标乘积为定值16 （）由（）可知 16 C D y y ， 联立

41、 1 2 (1) 4 yk x yx ，得 2 1 4 40 xy y ， 所以4 AB y y ，即 4 B A y y ， 因为 12 / /ll， 所以BADCDA ，又因为AGFDGE ， 所以AGFDGE， 所以 AGGF GDGE ， 过点A，D分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N， 所以AGMDGN ，AMGBNG ， 所以GAMGDN， 所以 | | A D yAG yGD ， 所以 | | A D yGF yGE ， 第 22页（共 24页） 因为 1 2 1 4 S S ， 所以 1 | () 1 2 1 4 | () 2 AB CD FGyy GEyy ， 所以 ()1 (

42、)4 AAB DCD yyy yyy ， 所以 4 () 1 16 4 () AA A DD D yy y yy y ， 所以 1 2 AD yy ， 所以 1 2 FG GE ， 又因为413FGGE ， 所以1FG ，2GE ， 所以(2,0)G， 设直线AD的方程为 3( 2)ykx， 联立 3 2 (2) 4 ykx yx ，得 2 3 4 80yy k ， 所以8 AD y y ， 联立，解得2 A y ，4 D y ， 所以(1,2)A， 将(1,2)A代入 3( 2)ykx得 3 2k ， 所以直线AD的方程为24yx 22 （15 分）已知函数 2 1 ( ) kx x f x

43、 e ， 2 ( )21g xaxax 第 23页（共 24页） （）若函数( )f x没有极值点，求实数k的取值范围； （）若( )( )g xf x对任意的xR恒成立，求实数k和a所满足的关系式，并求实数k的取 值范围 【解答】解： （）函数 2 1 ( ) kx x f x e ，定义域为R， 22 2 2(1)2 ( ) kxkx kxkx xexkekxxk fx ee ， 因为函数( )f x没有极值点，所以( ) 0fx或( ) 0fx恒成立， 当0k 时， 2 ( )1f xx ，有极值点，不符合题意； 当0k 时，则 2 440k，解得1k或1k， 综上可得，实数k的取值范围

44、是(，11 ，) （）由题意得，对任意的xR， 2 2 1 ( )(21) 0 kx x h xaxax e 恒成立， 因为(0)0h，所以0 x 是( )yh x的极小值点， 所以(0)0h，得ak ， 即对任意的xR，恒有 22 (1)21 ax x eaxax成立，其中ak ， 当0a 时，当x 时， 2 (1)0 ax x e， 2 21axax ，矛盾，舍； 当0a时， 2 ( )21g xaxax图象开口向下，过点(0,1)， ( )4g xaxa，则(0)ga， 所以( )g x在点(0,1)处的切线方程为1yax， 所以有 2 1 21axaxax， 下证 2 (1)1 ax x eax， 令 2 ( )(1)(1) ax m xax ex ， 又因为 2 ( )(1)2(2) axaxax m xaeaax exxa e ， 当(,0)x 时，( )0m x，( )m x单调递增， 当(0,)x时，( )0m x，( )m x单调递减， 所以( )(0)0m xm， 所以 2 (1)1 ax x eax成立， 第 24页（共 24页） 所以 22 (1)1 21 ax x eaxaxax， 综上所述，当0ka 时，( )( )g xf x对任意的xR恒成立