2021年辽宁省丹东市高考数学质量测试试卷（一）（一模）.docx

1、第 1页（共 19页） 2021 年辽宁省丹东市高考数学质量测试试卷（一年辽宁省丹东市高考数学质量测试试卷（一） （一模）（一模） 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）若集合M，N，P满足MNM ，NPP ，则(MP ) ABMCNDP 2 （5 分）复数z满足(12 )34zii ，则(z z) A5B5C25D2 5 3 （5 分）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数( )f x在闭 区间a，

2、b上的图象连续不间断，在开区间( , )a b内的导数为( )fx，那么在区间( , )a b内至 少存在一点c，使得f（b）f（a）f（c）()ba成立，其中c叫做( )f x在a，b上 的“拉格朗日中值点” 根据这个定理，可得函数 3 ( )3f xxx在 2，2上的“拉格朗日 中值点”的个数为() A3B2C1D0 4 （5 分）空间中， “三条直线两两相交”是“这三条直线在同一平面内”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分且必要条件D既不充分也不必要条件 5 （5 分）已知向量a ，b 满足| 2a ，(1,1)b ，2a b ，则a ，(ab ) A 4 B 3 C 2 3

3、 D 3 4 6 （5 分）远洋捕捞的某种海产品，为了保鲜，捕捞后立即冷冻，冷冻后会慢慢失去新鲜度， 这种海产品失去新鲜度h与其冷冻后时间t（天)满足的函数关系式为(0,1) t hma aa 已 知冷冻后第 10 天，这种海产品将失去的新鲜度为10%，冷冻后第 20 天，这种海产品将失去 的新鲜度为20%那么冷冻后第()天，这种海产品将失去的新鲜度为50%（计算时取 20.3lg，结果取整数） A25B32C33D50 7 （5 分）已知斜率为 2 的直线l不经过坐标原点O，l与椭圆 2 2 1 2 y x 相交于A，B两 点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为() 第 2页（共 19页

4、） A 1 4 B 1 2 C1D2 8（5 分） 设 2 1 ( )log (1)f x xa 是奇函数， 若函数( )g x图象与函数( )f x图象关于直线yx 对称，则( )g x的值域为() A 11 (,)( ,) 22 B 1 1 (, ) 2 2 C(，2)(2，)D( 2,2) 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）2

5、021 年 1 月 18 日，国新办就 2020 年国民经济运行情况召开新闻发布会，国家统 计局局长宁吉喆在回答记者提问时表示， 我国决战脱贫攻坚取得决定性胜利， 脱贫攻坚成果 举世瞩目，5575 万农村贫困人口实现脱贫如图是国家统计局 2019 年统计年报 图中贫困发生率指农村贫困人口数占农村人口总数的比， 据此图可知， 五年来， 农村() A贫困发生率下降了 5.1 个百分点 B人口总数逐年减少 C贫困人口数逐年减少 D贫困人口减少超过九成 10 （5 分）函数 yx称为取整函数，也称高斯函数，其中 x表示不超过实数x的最大整 数， 例如1.21， 1.22 等， 该函数被广泛应用于数学和

6、计算机等领域， 关于函数 yx， 正确的结论是() A 1xx B若 12 xx，则 12 xx C若01x ，则0.52 xxD 1212 xxxx 第 3页（共 19页） 11 （5 分）将数列 n由小到大排成一个三角形数表如图，这个数表的第一行 1 个数，第二 行 3 个数，第三行 5 个数，把这个数表的第i行第j个数用 ij a表示，则() A 2 1 1 i ai B 10 4 86a C第 8 行中间数为 57D若210 ij a，则29ij 12 （5 分）设函数( )3|sin|cos |f xxx，则() A( )f x的最小正周期为B( )f x的值域为 1，3 C( )f

7、 x在(,) 2 2 上单调递增D( )f x在，上有 4 个零点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知sin2cos0，则tan(45 ) 14 （5 分）已知一个圆锥的侧面积为6，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积 为 15 （5 分）安排 4 名同学到 2 个社区做志愿者，每名学生只能选择去一个社区，每个社区 里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有种（以数字作答） 16 （5 分）抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，准线为l，C上点P在l上的射影为Q， QF与y轴相交于点M，PM与l

8、相交于点( 2,3)N ，则PFN；|PF 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在 2 1S ， 4 27a ， 37 SS这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，并完成解答 记 n S为等比数列 n a的前n项和，已知 1 1a ，_，判断 1n S ， n S， 2n S 是否成等差数 列，说明理由 18（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 coscos2 cos 0 ACbB acac （1）求B； （2）若53ac，AB

9、C的周长为 15，求ABC的面积 第 4页（共 19页） 19（12 分） 如图， 三棱柱 111 ABCA BC所有棱长都相等，D为BC上的点， 直线l为平面 1 ADC 与平面 111 A B C的交线，l 平面 11 BBC C （1）证明：AD 平面 11 BBC C； （2）已知 1 60B BC，求二面角 1 DACC的余弦值 20 （12 分）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为 1 A、 2 A，离心率为 5 2 ， 2 A到C的一条渐近线的距离为 2 5 5 （1）求C的方程； （2）设P是C上异于 1 A， 2 A的动点，直线 1 PA

10、， 2 PA与直线1x 分别相交于M，N两点， 点(3,0)Q，在x轴上是否存在异于点Q的定点T，使得经过三点M，N，Q的圆经过点T， 若存在，求出点T坐标；若不存在，请说明理由 21 （12 分）某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输 信号的概率均为(01)pp，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立已知该设备中 有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作记 21(,2)kkN k根光导纤维组成的这种5G传输设备可以正常工作的概率为( )P k （1）用p表示P（2） ； （2）当 1 2 p 时，证明： 1 ( ) 2 P k ； （3

11、） 为提高这个5G传输设备正常工作的概率， 在这个传输设备上再并联两根相同规格的光 导纤维，且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正 常工作确定p的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概 率 22 （12 分）已知函数 2 ( )2 x f xxeaxax 第 5页（共 19页） （1）当1a 时，讨论( )f x的单调性； （2）若( )() 0f xfx，求实数a的取值范围 第 6页（共 19页） 2021 年辽宁省丹东市高考数学质量测试试卷（一年辽宁省丹东市高考数学质量测试试卷（一） （一模）（一模） 参考答案与试题解析参考答案与

12、试题解析 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）若集合M，N，P满足MNM ，NPP ，则(MP ) ABMCNDP 【解答】解：MNM ，NPP ， MNP， MPM 故选：B 2 （5 分）复数z满足(12 )34zii ，则(z z) A5B5C25D2 5 【解答】解：(12 )34zii ， (12 )(12 )( 34 )(12 )ziiii ， 53846zii ， 化为： 112 55 zi ， 则 22 1

13、12112112 ()()()( )5 555555 z zii ， 故选：A 3 （5 分）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数( )f x在闭 区间a，b上的图象连续不间断，在开区间( , )a b内的导数为( )fx，那么在区间( , )a b内至 少存在一点c，使得f（b）f（a）f（c）()ba成立，其中c叫做( )f x在a，b上 的“拉格朗日中值点” 根据这个定理，可得函数 3 ( )3f xxx在 2，2上的“拉格朗日 中值点”的个数为() A3B2C1D0 【解答】解：函数 3 ( )3f xxx， 则有f（2）2，( 2)2f ， 2 ( )33f

14、xx， 第 7页（共 19页） 由f（2）( 2)f f （c）(22)， 可得 f （c）1，即 2 331c ，解得 2 3 2,2 3 c ， ( )f x在 2，2上的“拉格朗日中值点”的个数为 2 故选：B 4 （5 分）空间中， “三条直线两两相交”是“这三条直线在同一平面内”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分且必要条件D既不充分也不必要条件 【解答】 解： 空间中， 三条直线两两相交包括三线共点或三条直线两两相交于不同三点情况： 三线共点可以确定三个平面，而三条直线两两相交于不同三点确定一个平面， 反之也不成立，由三条直线在同一平面内，可能其中两条直线平行，而第三条

15、直线与它们相 交 空间中， “三条直线两两相交”是“这三条直线在同一平面内”的既不充分也不必要条件 故选：D 5 （5 分）已知向量a ，b 满足| 2a ，(1,1)b ，2a b ，则a ，(ab ) A 4 B 3 C 2 3 D 3 4 【解答】解： 2 22 ()422 cos, 2|2442 22 aabaa b a ab aab aa bb 可得a ， 4 ab 故选：A 6 （5 分）远洋捕捞的某种海产品，为了保鲜，捕捞后立即冷冻，冷冻后会慢慢失去新鲜度， 这种海产品失去新鲜度h与其冷冻后时间t（天)满足的函数关系式为(0,1) t hma aa 已 知冷冻后第 10 天，这种

16、海产品将失去的新鲜度为10%，冷冻后第 20 天，这种海产品将失去 的新鲜度为20%那么冷冻后第()天，这种海产品将失去的新鲜度为50%（计算时取 20.3lg，结果取整数） A25B32C33D50 【解答】解：设冷冻x天后，由题意可知 10 20 10% 20% ma ma ， 10 2 1 20 a m ， 第 8页（共 19页） 50% x ma， 10 33 2 x lg ， 故选：C 7 （5 分）已知斜率为 2 的直线l不经过坐标原点O，l与椭圆 2 2 1 2 y x 相交于A，B两 点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为() A 1 4 B 1 2 C1D2 【解答】解：

17、设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，( , )M x y， M是线段AB的中点， 12 2xxx， 12 2yyy， 把 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y代入椭圆 2 2 1 2 y x ， 得 22 11 22 22 22 22 xy xy ， 两式相减，得 12121212 2()()()()0 xxxxyyyy， 1212 2 ()()0 x xxy yy， 12 12 2 2 AB yyx k xxy ， 又 OM y k x ， 直线AB与直线OM的斜率之积： 2 2 ABOM xy kk yx 直线OM的斜率 2 1 2 K 故选：C 8（

18、5 分） 设 2 1 ( )log (1)f x xa 是奇函数， 若函数( )g x图象与函数( )f x图象关于直线yx 对称，则( )g x的值域为() A 11 (,)( ,) 22 B 1 1 (, ) 2 2 C(，2)(2，)D( 2,2) 【解答】解：因为 2 1 ( )log (1)f x xa ， 所以( )f x的定义域为 |1x xa 或xa ， 因为( )f x是奇函数， 第 9页（共 19页） 所以1aa ，解得 1 2 a ， 因为函数( )g x图象与函数( )f x图象关于直线yx对称， 所以( )g x与( )f x互为反函数， 故( )g x的值域为 11

19、 (,)( ,) 22 故选：A 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）2021 年 1 月 18 日，国新办就 2020 年国民经济运行情况召开新闻发布会，国家统 计局局长宁吉喆在回答记者提问时表示， 我国决战脱贫攻坚取得决定性胜利， 脱贫攻坚成果 举世瞩目，5575 万农村贫困人口实现脱贫如图是国家统计局 2019 年统计年报 图中

20、贫困发生率指农村贫困人口数占农村人口总数的比， 据此图可知， 五年来， 农村() A贫困发生率下降了 5.1 个百分点 B人口总数逐年减少 C贫困人口数逐年减少 D贫困人口减少超过九成 【解答】解：五年来农村贫困发生率下降了 5.1 个百分点，故选项A正确； 2016 2017年间贫困人口数下降了 1289 万，贫困发生率下降了 1.4 个百分点， 2017 2018年间贫困人口数下降了 1386 万，贫困发生率也是下降了 1.4 个百分点， 因此2017 2018年间农村人口总数多于2016 2017年间的农村人口总数，故选项B错误； 五年来农村贫困人口数逐年减少，故选项C正确； 五年来农村

21、贫困人口数减少超过九成人数为5024万， 占2015年贫困人口数5575的90.12%， 第 10页（共 19页） 故选项D正确 故选：ACD 10 （5 分）函数 yx称为取整函数，也称高斯函数，其中 x表示不超过实数x的最大整 数， 例如1.21， 1.22 等， 该函数被广泛应用于数学和计算机等领域， 关于函数 yx， 正确的结论是() A 1xx B若 12 xx，则 12 xx C若01x ，则0.52 xxD 1212 xxxx 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，当0 x 时，有 000，A错误， 对于B，若 12 xx，则 12 xx，B正确， 对于C，若00.5x

22、，0.52 0 xx， 若0.51x ，0.52 1xx， 故有0.52 xx， 故C正确， 对于D，当 1 0.9x ， 2 0.3x 时， 12 1.21xx， 12 0 xx，D错误； 故选：BC 11 （5 分）将数列 n由小到大排成一个三角形数表如图，这个数表的第一行 1 个数，第二 行 3 个数，第三行 5 个数，把这个数表的第i行第j个数用 ij a表示，则() A 2 1 1 i ai B 10 4 86a C第 8 行中间数为 57D若210 ij a，则29ij 【解答】解：由图中数据知 2 1 (1)1 i ai ，A错； 10 1 82a ， 10 4 8211185a

23、 ，B错； 8 1 50a ，第 8 行有 15 个数，则中间数为 8 8 50757a ，C对； 16 1 226a ，则 210 在第 15 行， 15 1 197a ，则 210 为第 14 个，故 15 14 210a ，29ij， 第 11页（共 19页） D对； 故选：CD 12 （5 分）设函数( )3|sin|cos |f xxx，则() A( )f x的最小正周期为B( )f x的值域为 1，3 C( )f x在(,) 2 2 上单调递增D( )f x在，上有 4 个零点 【解答】解：对于A，()3|sin()|cos()|3|sin|cos |f xxxxx，故选项A 正确

24、； 对于B，当2xk，2 2 k ，kZ时，sin0 x，cos0 x， 所以( )3sincos2sin() 6 f xxxx ，所以( ) 1, 3f x ， 当2 2 xk ，2k，kZ时，sin0 x，cos0 x， 所以( )3sincos2sin() 6 f xxxx ，所以( ) 1, 3f x ， 同理当2xk， 3 2 2 k ，kZ时，( ) 1, 3f x ， 当 3 2 2 xk ，22k，kZ时，( ) 1, 3f x ， 综上所述，( )f x的值域为 1, 3，故选项B正确； 对于C，当(,0) 2 x 时，sin0 x ，cos0 x ， 此时( )3sinco

25、s2sin() 6 f xxxx ， 因为(,0) 2 x ，则 366 x ， 所以( )f x在(,0) 2 x 上单调递减，故选项C错误； 对于D，令( )0f x ，则有3|sin| |cos |xx， 所以 |sin|3 | tan| |cos |3 x x x ， 所以 3 tan 3 x ，因为x ，所以 5 , 66 x ， 故( )f x在，上有 4 个零点，故选项D正确 故选：ABD 第 12页（共 19页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知sin2cos0，则tan(45 ) 3 【

26、解答】解：因为sin2cos0， 所以 sin tan2 cos ， 所以 tantan4521 tan(45 )3 1tantan451( 2) 1 故答案为：3 14 （5 分）已知一个圆锥的侧面积为6，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 3 【解答】解：设圆锥底面圆半径为r，母线长为l， 由侧面展开图是一个半圆，所以2 rl，解得2lr， 所以圆锥的侧面积为 2 26rlr，解得3r ， 所以圆锥的高为 2222 (2 3)( 3)3hlr， 则此圆锥的体积为 22 11 ( 3)33 33 Vr h 故答案为：3 15 （5 分）安排 4 名同学到 2 个社区做志愿者，每名学生

27、只能选择去一个社区，每个社区 里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有14种（以数字作答） 【解答】解：先把 4 人分为(3,1)和(2,2)，再分配到 2 个社区，故有 22 3242 42 2 2 ()14 C C CA A 种， 故答案为：14 16 （5 分）抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，准线为l，C上点P在l上的射影为Q， QF与y轴相交于点M，PM与l相交于点( 2,3)N ，则PFN90；|PF 【解答】解：如图， 第 13页（共 19页） 由( 2,3)N ，得4p ，(2,0)F， 由图可知，M为QF的中点， | |PFPQ，PM是线段QF的中线， 因此，P

28、FNPQN ，90PFN； ( 2,3)N ， 22 | |435QNNF， 设 0 (P x， 0) y，则 0 3 |yQN ，则 0 8y 或2， 当 0 8y 时， 2 0 0 8 8 y x ，此时 0 |210PFx； 当 0 2y 时， 2 0 0 1 82 y x ，此时 0 5 |2 2 PFx 故答案为：90；10 或 5 2 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在 2 1S ， 4 27a ， 37 SS这三个条件中任选一个，补充在下面

29、问题 中，并完成解答 记 n S为等比数列 n a的前n项和，已知 1 1a ，_，判断 1n S ， n S， 2n S 是否成等差数 列，说明理由 【解答】解：选条件 2 1S ，因为 1 1a ，所以 221 2aSa ， 因为数列 n a为等比数列，所以 2 1 2 a q a ， 因为 121121211 ()()()22( 2)0 nnnnnnnnnnn SSSSaaaaaaa ， 所以 12nnnn SSSS ， 所以 1n S ， n S， 2n S 成等差数列 选条件 4 27a ， 设等比数列 n a的公比为q，因为 1 1a ， 第 14页（共 19页） 则 33 41

30、27aa qq ，解得3q ， 因为 1211212111 ()()()22( 3)0 nnnnnnnnnnnn SSSSaaaaaaaa ， 所以 1n S ， n S， 2n S 不能成等差数列 选条件 37 SS， 所以 4567 0aaaa， 设等比数列 n a的公比为q，因为 1 1a ， 所以 3456 0qqqq，所以 23 10qqq， 解得1q ， 因为 1211212111 ()()()22( 1)0 nnnnnnnnnnnn SSSSaaaaaaaa ， 所以 1n S ， n S， 2n S 不能成等差数列 18（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

31、 已知 coscos2 cos 0 ACbB acac （1）求B； （2）若53ac，ABC的周长为 15，求ABC的面积 【解答】解： （1） coscos2 cos 0 ACbB acac ， coscos2 coscAaCbB ， 由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， sincossincos2sincosCAACBB ， 又sincossincossin()sinCAACACB， sin2sincosBBB ， (0, )B， 1 cos 2 B ，即 2 3 B （2）由余弦定理知， 22222 2 2cos()22cos() 3 bacacBacacacacac

32、 ， 53ac，ABC的周长为 15， 22 833 (15)() 555 cccc c，化简得 2 324052250cc ， 解得5c 或 225 15 3 c （舍)， 3a， ABC的面积 11215 3 sin3 5 sin 2234 SacB 第 15页（共 19页） 19（12 分） 如图， 三棱柱 111 ABCA BC所有棱长都相等，D为BC上的点， 直线l为平面 1 ADC 与平面 111 A B C的交线，l 平面 11 BBC C （1）证明：AD 平面 11 BBC C； （2）已知 1 60B BC，求二面角 1 DACC的余弦值 【解答】 （1）证明：在三棱柱 1

33、11 ABCA BC中，平面/ /ABC平面 111 A B C， 因为AD 平面ABC， 所以/ /AD平面 111 A B C， 又因为AD 平面 1 ADC，平面 1 ADC平面 111 A B Cl， 所以/ /ADl， 又因为l 平面 11 BBC C， 所以AD 平面 11 BBC C； （2）解：由（1）可知，AD 平面 11 BBC C， 因为BC 平面 11 BBC C，所以ADBC， 因为ABAC， 所以D是BC的中点， 因为AD 平面ABC，AD 平面 11 BBC C， 所以ABC 平面 11 BBC C， 连结 1 B D， 1 B C，在菱形 11 B BCC中，因

34、为 1 60B BC， 所以 1 B BC是等边三角形， 因为D是BC的中点， 所以 1 B DBC， 又因为平面ABC 平面 11 BBC C，平面ABC平面 11 BB C CBC， 1 B D 平面 11 BBC C， 所以 1 B D 平面ABC， 第 16页（共 19页） 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 不妨设三棱柱 111 ABCA BC的所有棱长都是 2， 则(0D，0，0)，(1C，0，0)， 1 (0, 3,0),(2,0, 3)AC， 则 1 (2,3, 3),(0, 3,0),(1,3,0)ACDAAC ， 设平面 1 DAC的法向量为( , , )mx y z ，

35、 所以 1 2330 30 ACmxyz DA my ， 令3x ，则0y ，2z ，故( 3,0, 2)m ， 设平面 1 ACC的法向量为( , , )na b c ， 所以 1 2330 30 n ACabc n ACab ， 令3a ，则1b ，1c ，故( 3,1, 1)n ， |535 |cos,| |775 n m n m n m ， 因为二面角 1 DACC为锐二面角， 所以二面角 1 DACC的余弦值为 35 7 20 （12 分）双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为 1 A、 2 A，离心率为 5 2 ， 2 A到C的一条渐近线的距离为

36、 2 5 5 （1）求C的方程； （2）设P是C上异于 1 A， 2 A的动点，直线 1 PA， 2 PA与直线1x 分别相交于M，N两点， 点(3,0)Q，在x轴上是否存在异于点Q的定点T，使得经过三点M，N，Q的圆经过点T， 第 17页（共 19页） 若存在，求出点T坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）因为双曲线C的离心率为 5 2 ， 所以 22 5 2 ab a ，解得2ab， 所以 2( ,0) A a， 所以双曲线C的一条渐近线方程为20 xy， 由 22 2 5 5 1( 2) a ，解得2a ， 所以1b ， 所以双曲线C的方程为 2 2 1 4 x y （2）设

37、0 (P x， 0) y，则 2 20 0 1 4 x y， 设直线 1 PA， 2 PA的斜率分别为 1 k， 2 k， 因为 1( 2,0) A ， 2(2,0) A， 所以 22 0000 12 22 0000 1 22444 yyyy k k xxxy ， 直线 1 PA方程 1( 2)yk x， 直线 2 PA方程 1 1 (2) 4 yx k ， 所以1x 分别代入得 1 (1,3 )Mk， 1 1 (1,) 4 N k ， 设( ,0)T t，则经过三点M，N，Q圆的圆心 3 ( 2 t D ， 1 1 31 ) 28 k k ， 由 22 |DQDM，可得 222211 11

38、333111 ()()()() 228228 kktt kk ， 解得 5 8 t ， 于是经过三点M，N，Q的圆经过x轴上的定点 5 (8T，0) 21 （12 分）某5G传输设备由奇数根相同的光导纤维并联组成，每根光导纤维能正常传输 信号的概率均为(01)pp，且每根光导纤维能否正常传输信号相互独立已知该设备中 有超过一半的光导纤维能正常传输信号，这个5G传输设备才可以正常工作记 21(,2)kkN k根光导纤维组成的这种5G传输设备可以正常工作的概率为( )P k 第 18页（共 19页） （1）用p表示P（2） ； （2）当 1 2 p 时，证明： 1 ( ) 2 P k ； （3）

39、为提高这个5G传输设备正常工作的概率， 在这个传输设备上再并联两根相同规格的光 导纤维，且新增光导纤维后的5G传输设备有超过一半的光导纤维能正常传输信号才可以正 常工作确定p的取值范围，使新增两根光导纤维可以提高这个5G传输设备正常工作的概 率 【解答】解： （1）由题设知P（2）表示 3 根光纤中至少有 2 根能正常传输信号的概率， P（2） 223323 33 (1)32C ppC ppp （2）证明：当 1 2 p 时， 2121 2121 2121 111 ( )( ) ( )( ) 222 kk iikiki kk i ki k P kCC 2121 2122 2121 0 11 2

40、2 22 kk iikk kk i ki CC ， 2122 11 ( )( )2 22 kk P k （3）21k 根光纤中至少k根能正常传输信号， 这个5G传输设备才可以正常工作， 新增的两根光纤都能正常工作、仅有一个能正常工作、都不能正常工作时， 21k 根光纤组成的5G传输设备可以正常工作的概率分别设为 1 p， 2 p， 2 p， 则 211 121 (1)( ) kkk k pp Cppp k ， 2 2 (1) ( )ppp p k， 21 321 (1) ( )(1) kkk k ppp kCpp ， 新增两根光纤这个5G传输设备能正常工作的概率为： 12321 (1)( )(

41、21)(1) kkk k p kpppp kpCpp ， 21 (1)( )(21)(1) kkk k p kp kpCpp ， 01p， 1 21 (21)(1)0 kkk k pCpp ，解得 1 1 2 p， 当p的取值范围为 1 ( 2 ，1)时，新增两根光纤可以提高5G传输设备正常工作的概率 22 （12 分）已知函数 2 ( )2 x f xxeaxax 第 19页（共 19页） （1）当1a 时，讨论( )f x的单调性； （2）若( )() 0f xfx，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当1a 时， 2 ( )2 x f xxexx， 则( )22(1)(2) xxx

42、fxexexxe， 令( )0fx，可得1x 或2xln， 令( )0fx，可得1x 或2xln，令( )0fx，可得12xln ， 所以( )f x在(, 1) ，(2,)ln上单调递增，在( 1,2)ln上单调递减 （2）( )() 0f xfx等价于 2 ()20 xx x eeax ，即 2 () 2 xx x eeax ， 当0 x 时，式恒成立，aR； 当0 x 时，()0 xx x ee，故当0a时式恒成立； 以下求当0 x 时，不等式20 xx eeax 恒成立，且当0 x 时不等式20 xx eeax 恒 成立时a的取值范围， 令 x te， 1 ( )2g ttalnt t

43、 ， 2 22 1221 ( )1 atat g t ttt ， 记 2 ( )21h ttat， 2 44a， 当01a 时，0， 2 ( )21 0h ttat ，( ) 0g t，等号不恒成立，故( )g t在(0,)上单 调递增， 又g（1）0，故1t 时，( )g tg（1）0，01t ，( )g tg（1）0， 即当01a 时，式恒成立， 当1a 时，0，(0)10h ，h（1）220a， 故( )h t的两个零点即( )g t的两个零点， 1 (0,1)t ， 2 (1,)t ， 在区间 1 (t， 2) t上，( )0h t ，( )0g t，( )g t是减函数， 又 12 1tt，所以 1 ( )g tg（1）0， 即当a 时，时不能恒成立， 综上所述，实数a的取值范围是(，1