2021年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷.docx

1、第 1页（共 21页） 2021 年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设复数 1 z， 2 z在复平面内的对应点关于实轴对称， 1 34zi，则 12 (z z ) A25B25C724iD724i 2 （5 分）设集合A，B是全集U的两个子集，则“AB ”是“ U AB ”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D

2、既不充分也不必要条件 3 （5 分）已知a ，b 是相互垂直的单位向量，与a ，b 共面的向量c 满足2a cb c ， 则c 的模为() A1B2C2D2 2 4 （5 分）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数当基本传染数高 于 1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增 长当基本传染数持续低于 1 时，疫情才可能逐渐消散广泛接种疫苗可以减少疾病的基本 传染数假设某种传染病的基本传染数为 0 R，1 个感染者在每个传染期会接触到N个新人， 这N人中有V个人接种过疫苗(V N 称为接种率） ，那么 1 个感染者新的传染人数为 0 () R

3、NV N 已知新冠病毒在某地的基本传染数 0 2.5R ，为了使 1 个感染者传染人数不超 过 1，该地疫苗的接种率至少为() A40%B50%C60%D70% 5 （5 分）计算 2cos10sin20 cos20 所得的结果为() A1B2C3D2 6 （5 分） 密位制是度量角的一种方法 把一周角等分为 6000 份， 每一份叫做 1 密位的角 以 密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制在角的密位制中，采用四 个数码表示角的大小， 单位名称密位二字可以省去不写 密位的写法是在百位数与十位数字 之间画一条短线，如 7 密位写成“007” ，478 密位写成“478.1周角

4、等于 6000 密位，记 作 1 周角6000，1 直角1500如果一个半径为 2 的扇形，它的面积为 7 6 ，则其圆 心角用密位制表示为() 第 2页（共 21页） A1250B1750C2100D3500 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 2 F作倾 斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且 1 cos 4 若 1 | |ABAF，则双曲线C的离心率为() A4B15C 3 2 D2 8 （5 分）已知( )f x是定义在R上的奇函数，其导函数为( )fx，且当0 x 时， (

5、) ( )0 f x fxlnx x ，则不等式 2 (1) ( )0 xf x的解集为() A( 1,1)B(，1)(0，1) C(，1)(1，)D( 1，0)(1，) 二二、多项选择题多项选择题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，有有 多项符合题目要求的全部选对的得多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）对于两条不同直线m，n和两个不同平面，下列选项中正确的为() A若m，n，则mnB若/ /m，/ /n，则mn

6、或 / /mn C若/ /m，/ /，则/ /m或mD若m，mn，则/ /n或n 10 （5 分）已知0ab，下列选项中正确的为() A若1ab，则1abB若 22 1ab，则1ab C若221 ab ，则1abD若 22 loglog1ab，则1ab 11 （5 分）已知函数( )|sin|cos |f xxx，则() A( )f x是周期函数 B( )f x的图象必有对称轴 C( )f x的增区间为, 2 kkkZ D( )f x的值域为 4 1, 8 12（5 分） 已知 * nN，2n，1pq， 设 2 2 ( ) kkn k n f kC p q ， 其中kN，2kn， 则() A

7、2 0 ( )1 n k f k 第 3页（共 21页） B 2 0 ( )2 n k kf knpq C若4np ，则( )f kf（8） D 01 1 (2 )(21) 2 nn kk fkfk 三三.填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）某班 4 名同学去参加 3 个社团，每人只参加 1 个社团，每个社团都有人参加， 则满足上述要求的不同方案共有种 （用数字填写答案） 14 （5 分）已知椭圆 22 1 43 xy 的右顶点为A，右焦点为F，以A为圆心，R为半径的圆 与椭圆相交于B，C两点，若直线BC过点F，则R

8、的值为 15 （5 分）在四棱锥PABCD中，PA 面ABCD，四边形ABCD是边长为 2 的正方形， 且2PA 若点E、F分别为AB，AD的中点，则直线EF被四棱锥PABCD的外接球 所截得的线段长为 16 （5 分）牛顿选代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数集上 近似求解方程根的一种方法具体步骤如下：设r是函数( )yf x的一个零点，任意选取 0 x 作为r的初始近似值，过点 0 (x， 0 ()f x作曲线( )yf x的切线 1 l，设 1 l与x轴交点的横坐标 为 1 x，并称 1 x为r的 1 次近似值；过点 1 (x， 1 ()f x作曲线( )yf

9、x的切线 2 l，设 2 l与x轴交 点的横坐标为 2 x， 称 2 x为r的 2 次近似值 一般的， 过点( n x，()() n f xnN作曲线( )yf x 的切线 1n l ，记 1n l 与x轴交点的横坐标为 1n x ，并称 1n x 为r的1n 次近似值设 3 ( )1(0)f xxxx的零点为r，取 0 0 x ，则r的 2 次近似值为；设 3 3 3 21 nn n n xx a x ， * nN， 数列 n a的前n项积为 n T 若任意 * nN， n T恒成立， 则整数的最小值为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出文字

10、说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在3ba；3cosaB；sin1aC 这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明 理由 问 题 ： 是 否 存 在ABC， 它 的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 且 sinsin()3sinBACC，3c ，_？ 18 （12 分）已知等比数列 n a的前n项和2n n Sr，其中r为常数 第 4页（共 21页） （1）求r的值； （2）设 2 2(1log) nn ba，若数列 n b中去掉数列 n a的项后余下的项

11、按原来的顺序组成数 列 n c，求 123100 cccc的值 19 （12 分）某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表： 项目A投资金额x （单位：百万元） 12345 所获利润y （单位：百万元） 0.30.30.50.91 （1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明； （2）该公司计划用 7 百万元对A，B两个项目进行投资若公司对项目B投资(16)xx 百 万元所获得的利润y近似满足： 0.49 0.160.49 1 yx x ，求A，B两个项目投资金额分别为 多少时，获得的总利润最大？ 附：对于一组数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，

12、( n x，) n y，其回归直线方程 ybxa的 斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx ， a ybx 线性相关系数 1 2222 11 ()() n ii i nn ii ii x ynx y r xnxyny 一般地，相关系数r的绝对值在 0.95 以上 （含0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱 参考数据：对项目A投资的统计数据表中 1 11 n ii i x y ， 2 1 2.24 n i i y ，4.42.1 20 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCA BC的所有棱长都为 2， 1 6BC

13、， 1 ABB C （1）求证：平面 11 ABB A 平面ABC； （2）若点P在棱 1 BB上且直线CP与平面 11 ACC A所成角的正弦值为 4 5 ，求BP的长 第 5页（共 21页） 21 （12 分）已知直线: l yxm交抛物线 2 :4C yx于A，B两点 （1）设直线l与x轴的交点为T若2ATTB ，求实数m的值； （2）若点M，N在抛物线C上，且关于直线l对称，求证：A，B，M，N四点共圆 22 （12 分）已知函数( )sin1 x f xeaxxx，0 x，aR （1）当 1 2 a 时，求证：( ) 0f x ； （2）若函数( )f x有两个零点，求a的取值范围

14、第 6页（共 21页） 2021 年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （5 分）设复数 1 z， 2 z在复平面内的对应点关于实轴对称， 1 34zi，则 12 (z z ) A25B25C724iD724i 【解答】解： 1 34zi，且复数 1 z， 2 z在复平面内的对应点关于实轴对称， 2 3

15、4zi，则 22 12 (34 )(34 )3(4 )91625z ziii， 故选：A 2 （5 分）设集合A，B是全集U的两个子集，则“AB ”是“ U AB ”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：集合A，B是全集U的两个子集，由AB ，能够推出 U AB ， 由 U AB ，能够推出AB ， 故集合A，B是全集U的两个子集，则“AB ”是“ U AB ”的充要条件， 故选：C 3 （5 分）已知a ，b 是相互垂直的单位向量，与a ，b 共面的向量c 满足2a cb c ， 则c 的模为() A1B2C2D2 2 【解答】解：a ，b

16、是相互垂直的单位向量， 不妨设(1,0)a ，(0,1)b ， 设( , )cx y ， 则由2a cb c ，得2xy， 即(2,2)c ，则c 的模长为 22 |2282 2c ， 故选：D 4 （5 分）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数当基本传染数高 第 7页（共 21页） 于 1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增 长当基本传染数持续低于 1 时，疫情才可能逐渐消散广泛接种疫苗可以减少疾病的基本 传染数假设某种传染病的基本传染数为 0 R，1 个感染者在每个传染期会接触到N个新人， 这N人中有V个人接种过疫苗(V N 称为接

17、种率） ，那么 1 个感染者新的传染人数为 0 () R NV N 已知新冠病毒在某地的基本传染数 0 2.5R ，为了使 1 个感染者传染人数不超 过 1，该地疫苗的接种率至少为() A40%B50%C60%D70% 【解答】解：为了使 1 个感染者传染人数不超过 1， 只需 0 () 1 R NV N ，即 0 1 NV R N ，所以 0(1 ) 1 V R N ， 由题意可得 0 2.5R ，所以2.5(1) 1 V N ， 解得0.660% V N ， 故选：C 5 （5 分）计算 2cos10sin20 cos20 所得的结果为() A1B2C3D2 【解答】解： 00 0 2co

18、s10sin202cos(3020 )sin203cos20 3 cos20cos20cos20 ， 故选：C 6 （5 分） 密位制是度量角的一种方法 把一周角等分为 6000 份， 每一份叫做 1 密位的角 以 密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制在角的密位制中，采用四 个数码表示角的大小， 单位名称密位二字可以省去不写 密位的写法是在百位数与十位数字 之间画一条短线，如 7 密位写成“007” ，478 密位写成“478.1周角等于 6000 密位，记 作 1 周角6000，1 直角1500如果一个半径为 2 的扇形，它的面积为 7 6 ，则其圆 心角用密位制表示为(

19、) A1250B1750C2100D3500 【 解 答 】 解 ： 面 积 为 7 6 ， 半 径 为 2 的 扇 形 所 对 的 圆 心 角 弧 度 数 大 小 为 2 7 7 6 22 412 S r ， 第 8页（共 21页） 由题意可知，其密位大小为 7 12 60001750 2 ， 所以用密位制表示为1750 故选：B 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，过点 2 F作倾 斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且 1 cos 4 若 1 | |ABAF，则双曲线C的离心率为()

20、A4B15C 3 2 D2 【解答】解：由双曲线的定义知， 12 |2AFAFa， 1 | |ABAF， 221 | |AFBFAF，即 122 | |2AFAFBFa， 12 | | 24BFBFaa， 在 12 BF F中，由余弦定理知， 222 2121 212 | cos 2| | BFFFBF BFFF ， 22222 144163 42 222 acaca acac ， 22 260caca， 1 c e a ， 2 260ee，解得2e 或 3 2 （舍)， 双曲线C的离心率为 2 故选：D 8 （5 分）已知( )f x是定义在R上的奇函数，其导函数为( )fx，且当0 x 时

21、， 第 9页（共 21页） ( ) ( )0 f x fxlnx x ，则不等式 2 (1) ( )0 xf x的解集为() A( 1,1)B(，1)(0，1) C(，1)(1，)D( 1，0)(1，) 【解答】解：令( )( )g xf x lnx，则 ( ) ( )( )0 f x g xfx lnx x ， ( )g x在(0,)时单调递增，又g（1）f（1）10ln ， (0,1)x 时，( )0g x ，(1,)x时，( )0g x ， 当(0,1)x时，0lnx ，( )0g x ，( )0f x， (1,)x时，0lnx ，( )0g x ，( )0f x， ( )0f x在(0

22、,)上恒成立， 又( )f x是奇函数，(0)0f， ( )0f x在(,0)上恒成立， 当0 x 时，( )0f x ， 2 10 x ，即01x， 当0 x 时，( )0f x ， 2 10 x ，即1x ， 由得不等式的解集是(，1)(0，1)， 故选：B 二二、多项选择题多项选择题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中，有有 多项符合题目要求的全部选对的得多项符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）对于两条不同直线m

23、，n和两个不同平面，下列选项中正确的为() A若m，n，则mnB若/ /m，/ /n，则mn或 / /mn C若/ /m，/ /，则/ /m或mD若m，mn，则/ /n或n 【解答】解：由两条不同直线m，n和两个不同平面，知： 对于A，若m，n且，则由线面垂直、面面垂直的性质得m，n一定垂直， 故A正确； 对于B，若/ /m，/ /n，则m与n相交、平行或异面，故B错误； 对于C，若/ /m，/ /，则由线面平行、面面平行的性质得/ /m或m，故C正确； 对于D，若m，mn，则由线面垂直的性质得/ /n或n，故D正确 故选：ACD 第 10页（共 21页） 10 （5 分）已知0ab，下列选项

24、中正确的为() A若1ab，则1abB若 22 1ab，则1ab C若221 ab ，则1abD若 22 loglog1ab，则1ab 【解答】解：A：当9a ，4b 时，满足1ab，但51ab，A错误， B：若 22 1ab，则 22 1ab ，即 2 (1)(1)aab， 11aa ，1ab ，即1ab，B正确， C：若221 ab ，则 22 log (21)log (12 ) bb abb ，由于0b ， 所以021 b ，所以 2 log 21ab，故C正确， D：若 222 logloglog1 a ab b ，则2ab即可，当4a ，2b ，21ab，故D错误 故选：BC 11

25、（5 分）已知函数( )|sin|cos |f xxx，则() A( )f x是周期函数 B( )f x的图象必有对称轴 C( )f x的增区间为, 2 kkkZ D( )f x的值域为 4 1, 8 【解答】解：函数( )|sin|cos |f xxx， 对于A：满足()( ) 2 fxf x 所以 2 为周期函数的周期，故A正确； 对于B：函数满足()( ) 2 fxf x ，所以函数关于 4 x 对称，故函数的图像必有对称轴， 故正确； 对于C：由A知，函数的周期为 2 ，所以：对于C中的关系，当0k 时，函数的单调递增 区间为0, 2 ，显然错误，故C错误； 对于D：当0 x 时，(0

26、)1() 2 ff ，当 4 x 时， 1 4 4 ()88 4 f ，故D正确 故选：ABD 12（5 分） 已知 * nN，2n，1pq， 设 2 2 ( ) kkn k n f kC p q ， 其中kN，2kn， 则() 第 11页（共 21页） A 2 0 ( )1 n k f k B 2 0 ( )2 n k kf knpq C若4np ，则( )f kf（8） D 01 1 (2 )(21) 2 nn kk fkfk 【解答】解： 22 22 2 00 ( )()1 nn kkn kn n kk f kCp qpq ，故选项A正确； 22221 21221 22121 0000

27、( )22 nnnn kkn kkkn kkkn k nnn kkkk kf kkCp qnCp qnpCp q ， 而 21 2121 21 0 ()1 n nkknk n k pqCp q ，故选项B错误； 假设( )( )f kf m，则有 ( )(1) ( )(1) f mf m f mf m ，即 8 8 mp mq ，所以8m ，故( )f kf（8） ，故选 项C正确； 当 1 2 pq时， 01 1 (2 )(21) 2 nn kk fkfk ，故选项D错误 故选：AC 三三.填空题（本大题共填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13

28、 （5 分）某班 4 名同学去参加 3 个社团，每人只参加 1 个社团，每个社团都有人参加， 则满足上述要求的不同方案共有36种 （用数字填写答案） 【解答】解：由题设可得满足要求的不同方案共有 23 43 36C A 种， 故答案为：36 14 （5 分）已知椭圆 22 1 43 xy 的右顶点为A，右焦点为F，以A为圆心，R为半径的圆 与椭圆相交于B，C两点，若直线BC过点F，则R的值为 13 2 【解答】解：由椭圆的方程可得(2,0)A，(1,0)F， 由圆和椭圆的对称性可得BC垂直于x轴，所以1 BCF xxx， 代入椭圆的方程为： 2 3 | 2 B b y a ， 所以 22 39

29、 |( ) 24 BF 因为A到直线BC的距离|211dAFac ， 222 913 |1 44 RAFBF ， 第 12页（共 21页） 所以 13 2 R ， 故答案为： 13 2 15 （5 分）在四棱锥PABCD中，PA 面ABCD，四边形ABCD是边长为 2 的正方形， 且2PA 若点E、F分别为AB，AD的中点，则直线EF被四棱锥PABCD的外接球 所截得的线段长为6 【解答】解：把四棱锥PABCD还原出一个棱长为 2 的正方体，则该正方体与四棱锥的外 接球相同，如图所示： 设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心， 所以过平面ABCD的截面圆是正方形ABCD的外接圆，且外接圆直径

30、为2 2，半径为2， 直线EF被外接圆所截得的弦长GH即为所求， 连接AO，交EF于点M，则 112 2 222 AMEF， 所以 2 2 O M， 2 2232 36 2 GHMHO M， 即直线EF被四棱锥PABCD的外接球所截得的线段长为6 故答案为：6 16 （5 分）牛顿选代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数集上 近似求解方程根的一种方法具体步骤如下：设r是函数( )yf x的一个零点，任意选取 0 x 作为r的初始近似值，过点 0 (x， 0 ()f x作曲线( )yf x的切线 1 l，设 1 l与x轴交点的横坐标 为 1 x，并称 1 x为r的 1 次

31、近似值；过点 1 (x， 1 ()f x作曲线( )yf x的切线 2 l，设 2 l与x轴交 点的横坐标为 2 x， 称 2 x为r的 2 次近似值 一般的， 过点( n x，()() n f xnN作曲线( )yf x 的切线 1n l ，记 1n l 与x轴交点的横坐标为 1n x ，并称 1n x 为r的1n 次近似值设 第 13页（共 21页） 3 ( )1(0)f xxxx的零点为r， 取 0 0 x ， 则r的 2 次近似值为 3 4 ； 设 3 3 3 21 nn n n xx a x ， * nN， 数列 n a的前n项积为 n T 若任意 * nN， n T恒成立， 则整数

32、的最小值为 【解答】解： 2 ( )31fxx，设切点为( n x， 3 1) nn xx， 则切线斜率 2 31 n kx， 所以切线方程为 23 (31)()1 nnnn yxxxxx， 令0y ，可得 33 1 22 121 3131 nnn nn nn xxx xx xx ， 因为 0 0 x ，所以 1 1x ， 2 3 4 x ， 即r的 2 次近似值为 3 4 ， 因为 3 1 2 21 31 n n n x x x ， 所以 3 3 1 3 21 nnn n nn xxx a xx ， 所以 121 12 23111 1 n nn nnn xxxx Ta aa xxxxx ，

33、因为函数 3 ( )1(0)f xxxx为增函数， 13 ( )0 28 f ，f（1）10 ， 由零点存在定理可得 1 (2r，1)， 所以 1 11 (1,2) n xr ， 因为任意 * nN， n T恒成立， 所以2，即的最小整数为 2 故答案为： 3 4 ；2 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在3ba；3cosaB；sin1aC 这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明 第

34、 14页（共 21页） 理由 问 题 ： 是 否 存 在ABC， 它 的 内 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 且 sinsin()3sinBACC，3c ，_？ 【解答】解：在ABC中，()BAC，所以sinsin()BAC 因为sinsin()3sinBACC，所以sin()sin()3sinACACC， 即sincoscossin(sincoscossin)3sinACACACACC， 所以2cossin3sinACC， 在ABC中，sin0C ，所以 3 cos 2 A 因为0A，所以 6 A 选择： 方法1: 因为 6 A ，所以 2222 2cos93 3abcbcA

35、bb 又因为3ba，所以 2 29 3270bb，解得3 3b ，或 3 3 2 b ， 此时ABC存在， 当3 3b 时，ABC的面积为 1119 3 sin3 33 2224 ABC SbcA 当 3 3 2 b 时，ABC的面积为 113 319 3 sin3 22228 ABC SbcA 方法2: 因为3ba，由正弦定理，得 3 sin3sin3sin 62 BA 因为0B，所以 3 B ，或 2 3 B ，此时ABC存在， 当 3 B 时， 2 C ，所以 3 3 cos 2 bcA， 所以ABC的面积为 113 319 3 sin3 22228 ABC SbcA 当 2 3 B 时

36、， 6 C ，所以 sin 3 3 sin cB b C ， 所以ABC的面积为 1119 3 sin3 33 2224 ABC SbcA 选择： 第 15页（共 21页） 因为3cosaB，所以 292 3 6 ab a a ，得 22 9ab， 所以 2 C ，此时ABC存在， 因为 6 A ，所以 3 3 3 cos 62 b ， 3 3 sin 62 a ， 所以ABC的面积为 19 3 28 ABC Sab 选择： 由 sinsin ac AC ，得 3 sinsin 2 aCcA， 这与sin1aC 矛盾，所以ABC不存在 18 （12 分）已知等比数列 n a的前n项和2n n

37、Sr，其中r为常数 （1）求r的值； （2）设 2 2(1log) nn ba，若数列 n b中去掉数列 n a的项后余下的项按原来的顺序组成数 列 n c，求 123100 cccc的值 【解答】解： （1）因为2n n Sr， 所以当1n 时， 11 2Sar 当2n 时， 212 4Saar，故 2 2a 当3n 时， 3123 8Saaar，故 3 4a 因为 n a是等比数列，所以 2 213 aa a，化简得21r，解得1r ， 此时21 n n S 当2n时， 11 1 21212 nnn nnn aSS ， 当1n 时， 11 1aS， 1 2n n a ， 所以1r 满足题意

38、 （2）因为 1 2n n a ，所以 2 2(1log)2 nn ban 因为 1 1a ， 21 2ab， 32 4ab， 44 8ab， 58 16ab， 616 32ab， 732 64ab， 864 128ab， 9128 256ab， 所以 123100 cccc 1231072345678 ()()bbbbaaaaaaa 第 16页（共 21页） 107(2214)2(127) 11302 212 19 （12 分）某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表： 项目A投资金额x （单位：百万元） 12345 所获利润y （单位：百万元） 0.30.30.50.91

39、（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明； （2）该公司计划用 7 百万元对A，B两个项目进行投资若公司对项目B投资(16)xx 百 万元所获得的利润y近似满足： 0.49 0.160.49 1 yx x ，求A，B两个项目投资金额分别为 多少时，获得的总利润最大？ 附：对于一组数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y，其回归直线方程 ybxa的 斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1 22 1 n ii i n i i x ynx y b xnx ， a ybx 线性相关系数 1 2222 11 ()() n ii i nn ii i

40、i x ynx y r xnxyny 一般地，相关系数r的绝对值在 0.95 以上 （含0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱 参考数据：对项目A投资的统计数据表中 1 11 n ii i x y ， 2 1 2.24 n i i y ，4.42.1 【解答】解： （1）对项目A投资的统计数据进行计算，有3x ，0.6y ， 2 1 55 n i i x 1 2 22 1 115 3 0.6 0.2 555 3 n ii i n i i x ynx y b xnx ， 0.60.2 30aybx ， 回归直线方程为：0.2yx； 线性相关系数 1 2222 11 ()() n ii

41、 i nn ii ii x ynx y r xnxyny 11 5 3 0.62 0.95240.95 (555 32)(2.245 0.62)4.4 ， 第 17页（共 21页） 这说明投资金额x与所获利润y之间的线性相关关系较强，用线性回归方程0.2yx对该组 数据进行拟合合理； （2）设对B项目投资(16)xx 百万元，则对A项目投资(7) x百万元 所获总利润 0.49 0.160.490.2(7) 1 yxx x 0.490.49 1.930.04(1) 1.932 0.04(1)1.65 11 xx xx ， 当且仅当 0.49 0.04(1) 1 x x ，即2.5x 时取等号，

42、 对A，B项目分别投资 4.5 百万元，2.5 百万元时，获得总利润最大 20 （12 分）如图，三棱柱 111 ABCA BC的所有棱长都为 2， 1 6BC ， 1 ABB C （1）求证：平面 11 ABB A 平面ABC； （2）若点P在棱 1 BB上且直线CP与平面 11 ACC A所成角的正弦值为 4 5 ，求BP的长 【解答】 （1）证明：取AB中点D，连接CD， 1 B D 因为三棱柱 111 ABCA BC的所有棱长都为 2，所以ABCD，3CD ，1BD 又因为 1 ABB C，且 1 CDBCC ，CD， 1 B C 平面 1 BCD， 所以AB 平面 1 BCD 又因为

43、 1 B D 平面 1 BCD，所以 1 ABB D （2 分） 在直角三角形 1 B BD中，1BD ， 1 2B B ，所以 1 3B D 在三角形 1 BCD中，3CD ， 1 3B D ， 1 6BC ， 第 18页（共 21页） 所以 222 11 CDB DBC， 所以 1 CDB D （4 分） 又因为 1 ABB D，ABCDD ，AB，CD 平面ABC，所以 1 B D 平面ABC 又因为 1 B D 平面 11 ABB A，所以平面 11 ABB A 平面ABC （6 分） （2）解：以DC，DA， 1 DB所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0A，1

44、，0)，(0B，1，0)，( 3C，0，0)， 1(0 B，0，3)， 因此 1 (0BB ，1，3)，( 3AC ，1，0)， 11 (0AABB ，1，3) 因为点P在棱 1 BB上，则设 1 (0BPBB ，1，3)，其中01 则 1 (3CPCBBPCBBB ，1 ，3 ) （8 分） 设平面 11 ACC A的法向量为(nx ，y，) z， 由 0, 10, n AC n AA 得 30 30 xy yz ， 取1x ，3y ，1z ， 所以平面 11 ACC A的一个法向量为(1n ，3，1)（10 分） 因为直线CP与平面 11 ACC A所成角的正弦值为 4 5 ， 所以cos

45、n ， 22 2 34 5| 53(1)3 n CP CP n CP ， 化简得 2 16810 ，解得 1 4 ， 所以 1 1 2 BPBB （12 分） 21 （12 分）已知直线: l yxm交抛物线 2 :4C yx于A，B两点 第 19页（共 21页） （1）设直线l与x轴的交点为T若2ATTB ，求实数m的值； （2）若点M，N在抛物线C上，且关于直线l对称，求证：A，B，M，N四点共圆 【解答】解：由 2 4 yxm yx ，得 2 440yym 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 4yy， 12 4y ym， 因为直线l与C相交，所以16160

46、m，得1m ， （1）由2ATTB ，得 12 20yy， 所以 2 40y，解得 2 4y ，从而 1 8y ， 因为 12 4y ym，所以432m ，解得8m ； （2）证明：设 3 (M x， 3) y， 4 (N x， 4) y， 因为M，N两点关于直线yxm对称， 则 4343 22 343434 4 1 44 yyyy yxxyyy ，解得 43 4yy ， 又 4343 22 yyxx m ， 于是 3343 4 22 yyxx m ，解得 43 42xmx ， 又点N在抛物线上，于是 2 33 ( 4)4( 42)ymx ， 因为 2 33 4yx，所以 2 33 41640

47、yym， 于是 13231323 ()()()()MA MBxxxxyyyy 2222 3312 1323 ()()()() 4444 yyyy yyyy 213231323 1323123123 ()()()() ()()16()16 1616 yyyyyyyy yyyyy yyyyy 21323 33 ()() (4416)0 16 yyyy myy ， 所以MAMB，同理，NANB， 于是点M，N在以AB为直径的圆上，即A，B，M，N四点共圆 22 （12 分）已知函数( )sin1 x f xeaxxx，0 x，aR （1）当 1 2 a 时，求证：( ) 0f x ； 第 20页（共

48、 21页） （2）若函数( )f x有两个零点，求a的取值范围 【解答】解： （1）证明：当 1 2 a 时， 1 ( )sin1 2 x f xexxx， 则 1 ( )( cossin )1 2 x fxexxx， 1 ( )sincos 2 x fxexxx， 因为0 x， 所以1 x e ， 1 sin0 2 xx， 因此( ) 1cos0fxx， 所以( )fx在0，上单调递增， 于是( )(0)0fxf， 因此( )f x在0，上单调递增， 所以( )f xf(0)0 （2）由（1）知，当 1 2 a时， 1 ( )sin1 0 2 x f xexxx，当且仅当0 x 时取等号，

49、此时函数( )f x仅有 1 个零点， 当 1 2 a 时，因为( )sin1 x f xeaxxx， 所以( )( cossin )1 x fxea xxx， ( )( sin2cos ) x fxea xxx， 当 2 x ，时，( )0fx，( )fx单调递增， 当0 x， 2 时，( )(3sincos ) x fxeaxxx， 因为0 x e ，(3sincos ) 0axxx， 所以( )0fx，所以( )fx单调递增， 又(0)120fa ， 2 ()0 22 fea ， 因此( )fx在0， 2 上存在唯一的零点 0 x，且 0 (0,) 2 x 当 0 (0,)xx时，( )0fx，所以( )fx单调递减， 当 0 (xx，) 2 时，( )0fx，所以( )fx单调递增， 又(0)0f ， 0 ()(0)0fxf，( )10fea ， 第 21页（共 21页） 因此( )fx在0，上存在唯一的零点 1 x，且 10 (xx，)， 当 1 (0,)xx时，( )0fx，所以( )f x单调递减， 当 1 (xx，)时，( )0fx，所以( )f x单调递增， 又f(0)0， 1 ()f xf(0)0，( )10fe ， 所以( )f x在 1 (x，)上存在唯一零点， 因此( )f x在0，上有两个零点， 综上，a的取值范围是 1 ( 2 ，)