2021年北京市延庆区高考数学一模试卷.docx

1、第 1页（共 18页） 2021 年北京市延庆区高考数学一模试卷年北京市延庆区高考数学一模试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1（4 分） 已知全集 1U ， 0， 1， 2，3， 集合0A ， 1，2， 1B ， 0，1， 则()( UA B ) A 1B0，1C 1，2，3D 1，0，1，3 2 （4 分）已知 n a为无穷等比数列，且公比01q，记 n S为 n a的前n项和，则下面结 论正确的是() A 32

2、 aaB 12 0aaC n a是递减数列D n S存在最小值 3（4 分） 已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F， 过点F的直线l交C于A，B两点， 且| 8AB ， 则线段AB中点的横坐标为() A1B2C3D4 4 （4 分）设xR，则“ 2 560 xx”是“|2| 1x ”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 5 （4 分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主)视图是等腰直角三角形，侧（左)视 图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是() A1B2C3D4 6 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为(1)3yk x，

3、以点(1,1)为圆心且与 直线l相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为() A2B2 2C4D8 第 2页（共 18页） 7 （4 分）已知定义在R上的幂函数( )( m f xxm为实数）过点(2,8)A，记 0.5 (log3)af， 2 (log 5)bf，( )cf m，则a，b，c的大小关系为() AabcBacbCcabDcba 8 （4 分）设D为ABC所在平面内一点，2BCCD ，则() A 14 33 ADABAC B 13 22 ADABAC C 31 22 ADABAC D 31 22 ADABAC 9 （4 分）已知函数 2 1 1,0, ( )2 21,0, xx f

4、x xxx 则不等式( )20 x f x 的解集是() A( 1，0)(0，1)B( 1,1)C(0,1) D( 1,) 10 （4 分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为根据规定：驾驶员的100mL血液中酒精 含量为0，20)mg， 不构成饮酒驾车行为 （不违法） ， 达到20，80)mg的即为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车 某驾驶员喝了一定量的酒后， 其血液中的酒精含量上升到了1.6/mg mL， 若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%，要想不构成酒驾行为，那么他至少 经过()（参考数据： 4 0.80.41， 6810 0.80.26,0.80.17,0.80.11) A

5、4 小时B6 小时C8 小时D10 小时 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）若复数(12 )()(zi ai i为虚数单位）是纯虚数，则a 12 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线过点(2, 3)，则双曲线的离心 率为 13 （5 分）在二项式 7 ( 2) x的展开式中，系数为有理数的项的个数是 14 （5 分）已知ABC的面积为2 3，2AB ， 3 B ，则 sin sin B C 15 （5 分）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电

6、线杆之间 的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索这些现象中都有相似的曲线形态事实 上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有 广泛的应用在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为( ) xx f xaebe（其中a，b是 第 3页（共 18页） 非零常数，无理数2.71828)e ，对于函数( )f x以下结论正确的是 如果ab，那么函数( )f x为奇函数； 如果0ab ，那么( )f x为单调函数； 如果0ab ，那么函数( )f x没有零点； 如果1ab ，那么函数( )f x的最小值为 2 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小

7、题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16 （13 分）已知函数 2 ( )2 3sin cos2 sin(0)f xxxaxa a，再从条件，条件中选 择一个作为已知，求： （）a的值； （）将( )f x的图象向右平移 6 个单位得到( )g x的图象，求函数( )g x的单调增区间 条件：( )f x的最大值为 2； 条件：()1 2 f 17（14 分） 如图， 四棱柱 1111 ABCDABC D的底面ABCD是边长为 2 的正方形， 侧面 11 ADD A 为矩形，且侧面 11 ADD A 底面ABCD， 1 4AA

8、 ，E，M，N分别是BC， 1 BB， 1 A D的 中点 （）求证：/ /MN平面 1 C DE； （）求二面角 11 DC EB的余弦值 18 （14 分）2022 年第 24 届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会” ，将在 2022 年 02 月 04 日 2022年 02 月 20 日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次 举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目如表是 截取了 2 月 5 日和 2 月 6 日两天的赛程表： 第 4页（共 18页） 2022 年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自 2020 年 11 月） 2022 年 2

9、 月 北京赛区延庆赛区张家口赛区 开 闭 幕 式 冰 壶 冰 球 速 度 滑 冰 短 道 速 滑 花 样 滑 冰 高 山 滑 雪 有 舵 雪 橇 钢 架 雪 车 无 舵 雪 橇 跳 台 滑 雪 北 欧 两 项 越 野 滑 雪 单 板 滑 雪 冬 季 两 项 自 由 式 滑 雪 当 日 决 赛 数 5 （六) *11*11*116 6 （日) *1*1111117 说明： “*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛 （） （）若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率； （）若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率； （）若在 2 月

10、6 日（星期日）的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分布 列及期望()E X 19 （15 分）已知函数( )22f xlnxx （）求曲线( )yf x的斜率等于 1 的切线方程； （）求函数( )f x的极值； （）设 2 ( )( )2 ( )g xx f xf x，判断函数( )g x的零点个数，并说明理由 20 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点 2 (1,) 2 P，离心率 2 2 e （）求椭圆C的标准方程； （）设AB是经过椭圆右焦点F的一条弦（不经过点P且A在B的上方） ，直线AB与直 线2x 相交于点M，记PA，PB，PM的斜

11、率分别为 1 k， 2 k， 3 k，将 1 k、 2 k、 3 k如何排 列能构成一个等差数列，证明你的结论 21 （14 分）若无穷数列 n a满足：*mN，对于 00 (*)n n nN，都有 n m n a q a （其中q 为常数） ，则称 n a具有性质“(Q m， 0 n，)q” （）若 n a具有性质“(3Q，2，2)” ，且 24 2aa， 678 18aaa，求 3 a； （）若无穷数列 n b是等差数列，无穷数列 n c是公比为 1 2 的等比数列， 33 4bc， 第 5页（共 18页） 112 bcc， nnn abc，判断 n a是否具有性质“(2Q，1，2)” ，

12、并说明理由； （）设 n a既具有性质“(Q i，1， 1) q” ，又具有性质“(Q j，1， 2) q” ，其中i，*jN， ij，求证： n a具有性质“ 2 (,1,) j i j Q ji iq ” 第 6页（共 18页） 2021 年北京市延庆区高考数学一模试卷年北京市延庆区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1（4 分） 已知全集 1U ， 0， 1，

13、2，3， 集合0A ， 1，2， 1B ， 0，1， 则()( UA B ) A 1B0，1C 1，2，3D 1，0，1，3 【解答】解： 1U ，0，1，2，3，0A ，1，2， 1B ，0，1， 1 UA ，3，() 1 UA B ，0，1，3 故选：D 2 （4 分）已知 n a为无穷等比数列，且公比01q，记 n S为 n a的前n项和，则下面结 论正确的是() A 32 aaB 12 0aaC n a是递减数列D n S存在最小值 【解答】解：例如数列 n a以2为首项，以 1 2 为公比的等比数列， 2 1a ， 3 1 2 a ，A，C，D显然错误； 2 121 0aaa q一定

14、成立，B正确； 故选：B 3（4 分） 已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F， 过点F的直线l交C于A，B两点， 且| 8AB ， 则线段AB中点的横坐标为() A1B2C3D4 【解答】解：如图，抛物线 2 4yx的焦点为(1,0)F，准线为1x ，即10 x 分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D， 则有| | | 8ABAFBFACBD 过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N， 则MN为直角梯形ABDC中位线， 则 1 |(|)4 2 MNACBD，所以M的横坐标为：3 故选：C 第 7页（共 18页） 4 （4 分）设xR，则“ 2 560 xx”是“|2| 1x ”的() A充分而不

15、必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 2 560 xx，解得23x； 由|2| 1x ，化为：121x ，解得：13x 由2313xx ，反之不成立 “ 2 560 xx”是“|2| 1x ”的充分而不必要条件， 故选：A 5 （4 分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主)视图是等腰直角三角形，侧（左)视 图是直角三角形，俯视图是直角梯形，则该四棱锥的体积是() A1B2C3D4 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 第 8页（共 18页） 该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，/ /ADBC，ABAD， PA 底面ABCD，且2PAAD，1AB

16、BC， 则该几何体的体积为 11 (12) 1 21 32 V 故选：A 6 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为(1)3yk x，以点(1,1)为圆心且与 直线l相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为() A2B2 2C4D8 【解答】解：直线(1)3yk x过定点( 1,3)P ， 已知点的坐标为(1,1)M， 则以点(1,1)M为圆心且与直线l相切的所有圆中， 半径最大的圆的半径为 22 |( 1 1)(3 1)2 2rPM 故选：B 7 （4 分）已知定义在R上的幂函数( )( m f xxm为实数）过点(2,8)A，记 0.5 (log3)af， 2 (log 5)bf，

17、( )cf m，则a，b，c的大小关系为() AabcBacbCcabDcba 【解答】解：将(2,8)A代入( )f x，得：28 m ，解得：3m ， 故 3 ( )f xx， 2 ( )30fxx，( )f x在R单调递增， 而 0.5 log30， 2 2log 53，3m ， 故abc，故选：A 8 （4 分）设D为ABC所在平面内一点，2BCCD ，则() A 14 33 ADABAC B 13 22 ADABAC 第 9页（共 18页） C 31 22 ADABAC D 31 22 ADABAC 【解答】解：由题意可知，D为ABC所在平面内的一点，如图所示， 则有ABBCAC ，

18、 ACCDAD ， 因为2BCCD ，代入中可得2ABCDAC ， 由可得， 13 22 ADABAC 故选：B 9 （4 分）已知函数 2 1 1,0, ( )2 21,0, xx f x xxx 则不等式( )20 x f x 的解集是() A( 1，0)(0，1)B( 1,1)C(0,1) D( 1,) 【解答】解：分别画出函数( )yf x与2xy 的图象，如图所示， 由图象可得不等式( )20 x f x 的解集是( 1，0)(0，1) 故选：A 10 （4 分）酒驾是严重危害交通安全的违法行为根据规定：驾驶员的100mL血液中酒精 含量为0，20)mg， 不构成饮酒驾车行为 （不违

19、法） ， 达到20，80)mg的即为酒后驾车，80mg 第 10页（共 18页） 及以上为醉酒驾车 某驾驶员喝了一定量的酒后， 其血液中的酒精含量上升到了1.6/mg mL， 若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少20%，要想不构成酒驾行为，那么他至少 经过()（参考数据： 4 0.80.41， 6810 0.80.26,0.80.17,0.80.11) A4 小时B6 小时C8 小时D10 小时 【解答】解：设酒后经过x小时后就不构成酒驾， 160 (120%)20 x ， 0.80.125 x ， 10 x ， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，

20、每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 11 （5 分）若复数(12 )()(zi ai i为虚数单位）是纯虚数，则a 2 【解答】解：因为(12 )()(2)(12 )zi aiaa i是纯虚数， 所以20a 且120a， 解得2a 故答案为：2 12 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线过点(2, 3)，则双曲线的离心 率为 7 2 【解答】解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线方程为 b yx a ， 由一条渐近线过点(2, 3)，可得 3 2 b a ， 则 2 2 37 11 42 cb e aa 故答案为： 7

21、2 13 （5 分）在二项式 7 ( 2) x的展开式中，系数为有理数的项的个数是4 【解答】解：二项式 7 ( 2) x的展开式的通项公式为 7 7( 2) kkk Cx ， 当7k为偶数时，此时系数为有理数， 则7k ，5k ，3k ，1k ， 故系数为有理数的项的个数是 4 个， 第 11页（共 18页） 故答案为：4 14 （5 分）已知ABC的面积为2 3，2AB ， 3 B ，则 sin sin B C 3 【解答】解：因为ABC的面积为 1 2 3sin 2 AB BCB，2AB ， 3 B ， 所以 13 2 32 22 BC ，可得4BC ， 所以由余弦定理可得 2222 1

22、 2cos242242 3 2 ACABBCAB BCB， 所以 sin2 3 3 sin2 BAC CAB 故答案为：3 15 （5 分）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间 的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索这些现象中都有相似的曲线形态事实 上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有 广泛的应用在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为( ) xx f xaebe（其中a，b是 非零常数，无理数2.71828)e ，对于函数( )f x以下结论正确的是 如果ab，那么函数( )f x为奇函数； 如果0ab ，那么(

23、 )f x为单调函数； 如果0ab ，那么函数( )f x没有零点； 如果1ab ，那么函数( )f x的最小值为 2 【 解 答 】 解 ： 当ab时( )() xxxx f xaebea ee ， 函 数( )f x定 义 为R且 ()()( ) xx fxa eef x ，函数( )f x为偶函数错误； x ye是增函数且0y ， x ye是减函数且0y 当0a 、0b 时函数( )f x为增函 数，当0a 、0b 时函数( )f x为减函数，正确； 0ab ，a、b同正或同负，又0 x e 且0 x e，( )f x一定不为零，函数( )f x没 有零点；正确； 第 12页（共 18页

24、） 当1ab 时，( )()22 xxxx f xeeee ，有最大值2，错误； 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16 （13 分）已知函数 2 ( )2 3sin cos2 sin(0)f xxxaxa a，再从条件，条件中选 择一个作为已知，求： （）a的值； （）将( )f x的图象向右平移 6 个单位得到( )g x的图象，求函数( )g x的单调增区间 条件：( )f x的最大值为 2； 条件：()1 2 f 【解答】解： （）选择：因为( )3

25、sin2cos2f xxax， 所以 2 ( )3sin(2)f xax，其中tan 3 a ， 所以 2 32a，又因为0a ， 所以1a 选择：()2 3 1 02 11 2 faaa ， 所以1a (tan 3 a 不写不扣分，每个值计算正确各给一分） （）因为( )3sin2cos22sin(2) 6 f xxxx 所以( )2sin2()2sin(2) 666 g xxx ， 则222 262 kxk ，kZ， 整理得 63 kx k ，kZ， 所以函数( )g x的单调增区间为,() 63 kkkZ 17（14 分） 如图， 四棱柱 1111 ABCDABC D的底面ABCD是边长

26、为 2 的正方形， 侧面 11 ADD A 为矩形，且侧面 11 ADD A 底面ABCD， 1 4AA ，E，M，N分别是BC， 1 BB， 1 A D的 中点 （）求证：/ /MN平面 1 C DE； 第 13页（共 18页） （）求二面角 11 DC EB的余弦值 【解答】 （）证明：连结 1 B C，ME，因为M，E分别为 1 BB，BC的中点， 所以 1 / /MEBC，且 1 1 2 MEBC， 又因为N为 1 A D的中点，所以 1 1 2 NDAD， 由题设知 11/ / ABDC且 11 A BDC，可得 11 / /BCAD且 11 B CA D， 故/ /MEND且MEN

27、D，因此四边形MNDE为平行四边形， 所以/ /MNED， 又MN 平面 1 C DE，ED 平面 1 C DE， 所以/ /MN平面 1 C DE； （）因为底面ABCD是正方形，所以CDAD， 又因为侧面 11 ADD A 底面ABCD， 且侧面 11 ADD A底面ABCDAD，CD 平面ABCD， 所以CD 平面 11 ADD A，又 1 DD 平面 11 ADD A， 所以 1 CDDD，又因为侧面 11 ADD A为矩形，所以 1 ADDD， 以点D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz如图所示， 其中(0D，0，0)， 1(0 C，2，4)，(1E，2，0)，(0C，2，0)， 所

28、以 1 (0,2,4)DC ，(1,2,0)DE ， 因为CD 平面 11 ADD A，所以DC 平面 11 BCC B， 故(0,2,0)DC 为平面 11 C EB的一个法向量， 设( , , )nx y z 为平面 1 DC E面的法向量， 则 1 0 0 n DC n DE ，即 240 20 yz xy ， 第 14页（共 18页） 令2y ，可得(4, 2,1)n ， 所以 42 21 cos, 21| |221 DC n DC n DCn ， 因为二面角 1 ADEB的平面角是钝角， 所以二面角 1 ADEB的余弦值 2 21 21 18 （14 分）2022 年第 24 届冬季

29、奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会” ，将在 2022 年 02 月 04 日 2022年 02 月 20 日在北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次 举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目如表是 截取了 2 月 5 日和 2 月 6 日两天的赛程表： 2022 年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自 2020 年 11 月） 2022 年 2 月 北京赛区延庆赛区张家口赛区 开 闭 幕 式 冰 壶 冰 球 速 度 滑 冰 短 道 速 滑 花 样 滑 冰 高 山 滑 雪 有 舵 雪 橇 钢 架 雪 车 无 舵 雪 橇 跳 台 滑 雪 北 欧 两 项 越

30、 野 滑 雪 单 板 滑 雪 冬 季 两 项 自 由 式 滑 雪 当 日 决 赛 数 5 （六) *11*11*116 6 （日) *1*1111117 说明： “*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛 （） （）若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰壶和冰球的概率； （）若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛恰好在同一赛区的概率； （）若在 2 月 6 日（星期日）的所有决赛中观看三场，记X为赛区的个数，求X的分布 第 15页（共 18页） 列及期望()E X 【解答】解： （）( ) i记“在这两天每天随机观看一个项目，恰好看到冰壶冰球”为事件A 由表可知

31、，在这两天每天随机观看一个项目，共有10 10100种不同方法， 其中恰好看到冰壶冰球，共有 2 种不同方法 所以，恰好看到冰壶和冰球的概率P（A） 21 10050 ( )ii记“在这两天每天随机观看一场决赛，两场决赛恰好在同一赛区”为事件B 由表可知，在这两天每天随机观看一场决赛共有6742种不同方法， 其中两场决赛恰好在北京赛区共有 2 种不同方法，在张家口赛区共有4416 所以P（B） 2163 427 （）随机变量X的所有可能取值为 1，2，3 根据题意， 3 4 3 7 4 (1) 35 C P X C ， 12121221 12142424 3 7 1612423 (2) 353

32、5 CCCCC CC C P X C ， 111 124 3 7 8 (3) 35 CCC P X C 随机变量X的分布列是： X123 P 4 35 23 35 8 35 数学期望 423874 ()123 35353535 E X 19 （15 分）已知函数( )22f xlnxx （）求曲线( )yf x的斜率等于 1 的切线方程； （）求函数( )f x的极值； （）设 2 ( )( )2 ( )g xx f xf x，判断函数( )g x的零点个数，并说明理由 【解答】解： （）设切点为 0 (x， 0) y， 1 ( )2fx x ， 0 1 21 x ， 0 1x ， 0 122

33、0yln ， 切线方程为01 (1)yx ，即1yx； 第 16页（共 18页） （）( )f x的定义域为(0,) 令( )0fx，即 1 20 x ， 1 2 x ， 令( )0fx，得 1 2 x ，令( )0fx，得 1 0 2 x， 故( )f x在 1 (0, ) 2 上单调递减，在 1 ( ,) 2 上单调递增， ( )f x存在极小值 1 ( )21221 2 flnln ，无极大值； （）函数 22 ( )( )2 ( )(2) ( )g xx f xf xxf x有三个零点，理由如下： 由（）知，( )f x在 1 (0, ) 2 上单调递减，在 1 ( ,) 2 上单调递

34、增， 且 222 122 ()220f eee ， 1 ( )212210 2 flnln ， 存在唯一 0 2 1 1 (, ) 2 x e ，使得 0 ()0f x， 又f（1）0220，( 2)(22) ( )0gf x， 且三个零点互不相同，函数( )g x有三个零点 20 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点 2 (1,) 2 P，离心率 2 2 e （）求椭圆C的标准方程； （）设AB是经过椭圆右焦点F的一条弦（不经过点P且A在B的上方） ，直线AB与直 线2x 相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，将 1 k、

35、 2 k、 3 k如何排 列能构成一个等差数列，证明你的结论 【解答】解： （）由点 2 (1,) 2 P在椭圆上得， 22 11 1 2ab ， 22 , 22 c e a 又所以， 由 得 2 1c ， 2 2a ， 2 1b ， 故椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y （） 1 k、 3 k、 2 k或 2 k、 3 k、 1 k能构成一个等差数列， 证明：椭圆右焦点坐标(1,0)F，显然直线AB斜率存在， 设AB的斜率为k，则直线AB的方程为(1)yk x， 代入椭圆方程 2 2 1 2 x y， 整理得 2222 (21)42(1)0kxk xk，易知0， 第 17页（共 18

36、页） 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则有 22 1212 22 42(1) , 2121 kk xxx x kk ， 在方程中，令2x ，得(2, )Mk， 所以 1 1 1 2 2 1 y k x ， 2 2 2 2 2 1 y k x ， 3 2 2 2 212 k kk ， 因为 121221 12 1212 2222 ()(1)()(1) 2222 11(1)(1) yykxkxkxkx kk xxxx 1212 1212 2 2(2)()22 2 ()1 kx xkxxk x xxx ， 将代入得 222 12 222 2 2 (22)(2)4(22)(

37、21) 2 22 22421 kkkkkk kkk kkk ， 而 3 2 22()22 2 kkk， 所以 123 2kkk， 即 3 k为 1 k、 2 k的等差中项， 所以 1 k、 3 k、 2 k或 2 k、 3 k、 1 k为等差数列 21 （14 分）若无穷数列 n a满足：*mN，对于 00 (*)n n nN，都有 n m n a q a （其中q 为常数） ，则称 n a具有性质“(Q m， 0 n，)q” （）若 n a具有性质“(3Q，2，2)” ，且 24 2aa， 678 18aaa，求 3 a； （）若无穷数列 n b是等差数列，无穷数列 n c是公比为 1 2

38、的等比数列， 33 4bc， 112 bcc， nnn abc，判断 n a是否具有性质“(2Q，1，2)” ，并说明理由； （）设 n a既具有性质“(Q i，1， 1) q” ，又具有性质“(Q j，1， 2) q” ，其中i，*jN， ij，求证： n a具有性质“ 2 (,1,) j i j Q ji iq ” 【解答】解： （）因为 n a具有性质“(3Q，2，2)” ，所以 3 2 n n a a ，2n 由 2 2a ，得 5 4a ， 8 8a ，由 4 2a ，得 7 4a ， 因为 678 18aaa，所以 6 6a ，即 3 3a （） n a不具有性质“(2Q，1，2)

39、” 由等比数列 n c的公比为 1 2 ，由 3 4c ，得 1 16c ，故 5 2 n n c ， 第 18页（共 18页） 设等差数列 n b的公差为d，由 2 8c ， 112 bcc， 得 1 8b ，由 3 4b ，所以6d ，故614 n bn， 所以 5 6142 n n an 若 n a具有性质“(2Q，1，2)” ，则 2 2 n n a a ，1n 因为 4 12a ， 6 1 22 2 a ，所以 6 4 2 a a ，故 n a不具有性质“(2Q，1，2)” ， （）证明：因为 n a具有性质“(Q i，1， 1) q” ，所以 1 n i n a q a ，1n 因为 n a具有性质“(Q j，1， 2) q” ，所以 2 nj n a q a ，1n 因为i， * jN，ij，所以由得 1 nji j n a q a ；由，得 2 n ij i n a q a ， 所以 12 ji qq，即 12 i j qq， 由，得 1 2 22 1 ij i nj jj n i a q qq aq ，1n， 所以 2 j i nj i j n a q a ，1n i ， 所以 n a具有性质“ 2 (,1,) j i j Q ji iq ”