2021年北京市朝阳区高考数学质检试卷(一模).docx
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1、第 1页(共 20页) 2021 年北京市朝阳区高考数学质检试卷(一模)年北京市朝阳区高考数学质检试卷(一模) 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题分在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 (4 分)已知集合 1A ,0,1,2,3, |1 0Bx x ,则(AB ) A0,1,2,3B1,2,3C2,3D3 2 (4 分)如果复数 2 () bi bR i 的实部与虚部相等,那么(b ) A2B1C2D4 3 (4 分)已知等差数列 n a的前n项和为 n S, 3 1a , 9
2、18S ,则 1 (a ) A0B1C2D3 4 (4 分)已知圆 22 4xy截直线2ykx所得弦的长度为2 3,则实数(k ) A2B3C2D3 5 (4 分)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2,则双曲线C的渐近线方程为 () A3yx B 3 3 yx C 1 2 yx D2yx 6 (4 分)在ABC中,若 222 0abcac,则(B ) A 6 B 4 C 3 D 2 3 7 (4 分)某三棱锥的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为 1,则该三棱锥最 长的棱长为() A2B5C6D2 2 第 2页(共 20页) 8 (4 分)在ABC
3、中, “tantan1AB ”是“ABC为钝角三角形”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 9 (4 分)已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F,准线为l,点P是直线l上的动点若点A在 抛物线C上,且| 5AF ,则|(PAPOO为坐标原点)的最小值为() A8B2 13C41D6 10 (4 分)在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中,P是线段 1 BC上的点,过 1 A的平面 与直线PD垂直当P在线段 1 BC上运动时,平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面 面积的最小值是() A1B 5 4 C 6 2 D2 二
4、、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分分 11 (5 分)在 8 1 ()x x 的展开式中, 4 x的系数为 (用数字作答) 12 (5 分)已知函数 2 2 ,1, ( ) log,1, x x f x x x 则(0)f;( )f x的值域为 13 (5 分)已知向量( 3a ,1),(bx ,)(0)y xy ,且| 1b ,0a b ,则向量b 的 坐标可以是 (写出一个即可) 14 (5 分)李明自主创业,经营一家网店,每售出一件A商品获利 8 元现计划在“五一” 期间对A商品进行广告促销,假设售出A商品的件数m(单位:万件)与广告费用x(
5、单 位:万元)符合函数模型 2 3 1 m x 若要使这次促销活动获利最多,则广告费用x应投 入万元 15 (5 分)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义,由此发展的 混沌理论在生物学、 经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中, 函数的周期点是一个 关键概念,定义如下:设( )f x是定义在R上的函数,对于 0 xR,令 1 ()(1 nn xf xn ,2, 3,),若存在正整数k使得 0k xx,且当0jk时, 0j xx,则称 0 x是( )f x的一个周 期为k的周期点给出下列四个结论: 若 1 ( ) x f xe ,则( )f x存在唯一一个周期为 1 的周
6、期点; 若( )2(1)f xx,则( )f x存在周期为 2 的周期点; 第 3页(共 20页) 若 1 2 , 2 ( ) 1 2(1), 2 x x f x x x 则( )f x不存在周期为 3 的周期点; 若( )(1)f xxx,则对任意正整数n, 1 2 都不是( )f x的周期为n的周期点 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 6 小题,共小题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 16 (13 分) 已知函数( )sin()(0,0,0) 2 f xAxA 由下列四个条件中的三个来 确定: 最小正周期为;最大
7、值为 2;()0 6 f ;(0)2f ()写出能确定( )f x的三个条件,并求( )f x的解析式; ()求( )f x的单调递增区间 17(13 分) 如图, 在四棱锥PABCD中,O是AD边的中点,PO 底面ABCD,1PO 在 底面ABCD中,/ /BCAD,CDAD,1BCCD,2AD ()求证:/ /AB平面POC; ()求二面角BAPD的余弦值 18 (14 分)我国脱贫攻坚战取得全面胜利,现行标准下农村贫困人口全部脱贫,消除了绝 对贫困为了解脱贫家庭人均年纯收入情况,某扶贫工作组对A,B两个地区 2019 年脱贫 家庭进行简单随机抽样,共抽取 500 户家庭作为样本,获得数据
8、如表: A地区B地区 2019 年人均年纯收入超过 10000 元 100 户150 户 2019 年人均年纯收入未超过 10000 元 200 户50 户 假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过 10000 元相互独立 第 4页(共 20页) ()从A地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户,估计该家庭 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的概率; ()在样本中,分别从A地区和B地区 2019 年脱贫家庭中各随机抽取 1 户,记X为这 2 户家庭中 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的户数,求X的分布列和数学期望; ()从样本中A地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4
9、 户,发现这 4 户家庭 2020 年人均年 纯收入都超过 10000 元根据这个结果,能否认为样本中A地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年有变化?请说明理由 19 (15 分)已知椭圆C的短轴的两个端点分别为(0,1)A,(0, 1)B,离心率为 6 3 ()求椭圆C的方程及焦点的坐标; ()若点M为椭圆C上异于A,B的任意一点,过原点且与直线MA平行的直线与直线 3y 交于点P, 直线MB与直线3y 交于点Q, 试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点? 若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由 20 (15 分)已知函数( )(1)() x f
10、xaxe aR ()求( )f x的单调区间; ()若直线yaxa与曲线( )yf x相切,求证: 2 ( 1,) 3 a 21 (15 分)设数列 1 : m Aa, 2 a,(2) m am,若存在公比为q的等比数列 11 : m Bb , 2 b, , 1m b ,使得 1kkk bab ,其中1k ,2,m,则称数列 1m B 为数列 m A的“等比分 割数列” ()写出数列 4:3 A,6,12,24 的一个“等比分割数列” 5 B; ()若数列 10 A的通项公式为2 (1 n n an,2,10),其“等比分割数列” 11 B的首 项为 1,求数列 11 B的公比q的取值范围;
11、()若数列 m A的通项公式为 2( 1 n an n,2,)m,且数列 m A存在“等比分割数列” , 求m的最大值 第 5页(共 20页) 2021 年北京市朝阳区高考数学质检试卷(一年北京市朝阳区高考数学质检试卷(一) (一模)(一模) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题分在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项目要求的一项 1 (4 分)已知集合 1A ,0,1,2,3, |1 0Bx x ,则(AB ) A0,1,2,3B1,2,3C2,3D3 【解答
12、】解:因为集合 1A ,0,1,2,3, |1 0 |1Bx xx x, 所以1AB ,2,3 故选:B 2 (4 分)如果复数 2 () bi bR i 的实部与虚部相等,那么(b ) A2B1C2D4 【解答】解: 2 2(2)() 2 bibii bi ii 的实部与虚部相等, 2b 故选:A 3 (4 分)已知等差数列 n a的前n项和为 n S, 3 1a , 9 18S ,则 1 (a ) A0B1C2D3 【解答】解: 19 95 9() 189 2 aa Sa , 5 2a, 又 3 1a , 由等差数列的性质可得: 1513 222aaaa, 1 0a, 故选:A 4 (4
13、分)已知圆 22 4xy截直线2ykx所得弦的长度为2 3,则实数(k ) A2B3C2D3 【解答】解:圆 22 4xy截直线2ykx所得弦的长度为2 3, 可得弦心距为:431, 第 6页(共 20页) 所以: 2 |2| 1 1k ,解得3k 故选:D 5 (4 分)已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2,则双曲线C的渐近线方程为 () A3yx B 3 3 yx C 1 2 yx D2yx 【解答】解:根据题意,双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的离心率为 2, 其焦点在y轴上,其渐近线方程为 b yx a , 又由其离心率2
14、c e a ,则2ca, 则 22 3bcaa,即3 b a , 则其渐近线方程3yx ; 故选:A 6 (4 分)在ABC中,若 222 0abcac,则(B ) A 6 B 4 C 3 D 2 3 【解答】解:若 222 0abcac, 所以 222 1 cos 22 cab B ac , 由于(0, )B, 所以 2 3 B 故选:D 7 (4 分)某三棱锥的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为 1,则该三棱锥最 长的棱长为() 第 7页(共 20页) A2B5C6D2 2 【解答】解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为三棱锥ABCD; 如图所示: 所以: 22 112
15、ABBC,1CDBD, 22 215AD , 222 1216AC , 故选:C 8 (4 分)在ABC中, “tantan1AB ”是“ABC为钝角三角形”的() A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【 解 答 】 解 : 解 法 一 :( 1 ) 若C为 钝 角 , 则A,B为 锐 角 , tantan tantan()0 1tantan AB CAB AB ,解得tantan1AB 若A或B为钝角,则tantan1AB 成立 (2)若tantan1AB 成立,假设A或B为钝角,则ABC为钝角三角形 假设A,都B为锐角, tantan tantan(
16、)0 1tantan AB CAB AB ,解得C为钝角,则ABC为 钝角三角形 综上可得:在ABC中, “tantan1AB ”是“ABC为钝角三角形”的充要条件 第 8页(共 20页) 解法二: sinsincos() tantan1100coscoscos0 coscoscoscos ABAB ABABCABC ABAB 为钝角三角形 在ABC中, “tantan1AB ”是“ABC为钝角三角形”的充要条件 故选:C 9 (4 分)已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F,准线为l,点P是直线l上的动点若点A在 抛物线C上,且| 5AF ,则|(PAPOO为坐标原点)的最小值为() A8B
17、2 13C41D6 【解答】解:不妨设A为第一象限内的点,坐标为( , )a b, 由抛物线的方程可得焦点(1,0)F, 则|15AFa ,解得4a , 所以(4,4)A, 所以点A关于直线1x 的对称点为( 6,4)A , 故| |522 13PAPOPAPOAO , 当且仅当A,P,O三点共线时,等号成立, 即|PAPO的最小值为2 13 故选:B 10 (4 分)在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中,P是线段 1 BC上的点,过 1 A的平面 与直线PD垂直当P在线段 1 BC上运动时,平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面 面积的最小值是() 第 9页(
18、共 20页) A1B 5 4 C 6 2 D2 【解答】解:当P在B点时,BD 平面 11 ACC A,平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的 截面面积:122是最大值; 当P与 1 C重合时, 1 DC 平面 11 A DCB, 平 面截 正 方 体 1111 ABCDABC D所 得 的 截 面 面 积 :122是 最 大 值 ; 当P由B向 1 C移动时,平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面 1 AEF,E由A向B移 动, 当P到1BC的中点时,取得最小值,如图 此时E为AB的中点,F为 11 DC的中点,(P在底面ABCD上的射影为DH,H是BC的中 点,此时
19、ECDH,可得DPEC,同理可得DPCF,可证明DP 平面 1 )A ECF, 1 5 2 AECE,3AC ,2EF ,四边形 1 A ECF是菱形, 所以平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面面积: 116 23 222 EF AC是最 第 10页(共 20页) 小值 故选:C 二、填空题共二、填空题共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分分 11 (5 分)在 8 1 ()x x 的展开式中, 4 x的系数为28 (用数字作答) 【解答】解:展开式的通项为 88 2 188 1 ( ) rrrrr r TC xC x x , 令824r,解得2r , 所
20、以 4 x的系数为 2 8 28C , 故答案为:28 12 (5 分)已知函数 2 2 ,1, ( ) log,1, x x f x x x 则(0)f1;( )f x的值域为 【解答】解: 0 (0)21f, 当1x 时,022 x ,此时0( )2f x, 当1x时, 2 log0 x,则 2 log0 x,即此时( ) 0f x , 综上( )2f x ,即函数( )f x的值域为(,2), 故答案为:1,(,2) 13 (5 分)已知向量( 3a ,1),(bx ,)(0)y xy ,且| 1b ,0a b ,则向量b 的 坐标可以是 2 ( 2 , 2 ) 2 (写出一个即可) 【
21、解答】解:向量( 3a ,1),(bx ,)(0)y xy ,且| 1b ,0a b ,如图,可知向量 b 的坐标可以是红色曲线上的任意一点,向量b 的坐标可以是 2 ( 2 , 2 ) 2 故答案为: 2 ( 2 , 2 ) 2 第 11页(共 20页) 14 (5 分)李明自主创业,经营一家网店,每售出一件A商品获利 8 元现计划在“五一” 期间对A商品进行广告促销,假设售出A商品的件数m(单位:万件)与广告费用x(单 位:万元)符合函数模型 2 3 1 m x 若要使这次促销活动获利最多,则广告费用x应投 入3万元 【解答】解:由题意知,每售出 1 万件A商品获利 8 万元, 售出m万件
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