2021届高考数学二轮复习常考专题大通关函数与导数含答案.doc

1、1 / 15 2021 届高考数学二轮复习常考届高考数学二轮复习常考专题专题大通关大通关 选择题：选择题：函数与函数与导数导数 1.下列函数中，既是奇函数，又存在极值的是( ) A. 3 yx B. 2 yx C.e x yx D. 2 yx x 2.曲线 1 ( )f x x 在点P处的切线的倾斜角为 3 4 ，则点P的坐标为( ) A.1,1 B.1, 1 C. 1 ,2 2 D.1,1或1, 1 3.已知函数 f x为定义在R上的偶函数，且当0 x 时， ln2f xxx，则 11ff的值为( ) A.1 B.1 C.3 D.3 4.已知 yf x是可导函数，直线2ykx是曲线 yf x

2、在3x 处的切线，如图，令 ,g xxf xgx是 g x的导函数，则 3g( ) A.1 B.0 C.2 D.4 5.若2x 是函数 21 ( )1 exf xxax 的极值点，则 f x的极小值为( ) A.1 B. 3 2e C. 3 5e D.1 6.已知函数( )21 x f xx，则不等式 0f x 的解集是( ) A.1,1 B.(), 11,() C.0,1 D.1),0,()( 7.已知曲线eln x yaxx在点(1, e)a处的切线方程为2yxb，则( ) A.e,1ab B.e,1ab C. 1 e ,1ab D. 1 e ,1ab 2 / 15 8.函数sincosy

3、xxx在(,3)内的单调递增区间是( ) A. 3 , 2 B. 3 5 , 22 C. 5 ,3 2 D.(,2) 9.若函数 32 31f xaxxx恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是( ) A.(3), B.(,3 C.,0,3()(0 D.(),00,3 10.设函数( )f x的导函数为( )fx，若 1 ( )e ln1 x f xx x ，则(1)f( ) A.e3 B.e2 C.e1 D.e 11.若函数 3 12f xxx在区间1,1kk上不是单调函数，则实数k的取值范围是( ) A.(, 3 1,13,) B.3, 11,3 C.2,2 D.不存在这样的实数k 12.

4、若函数 1 ( )exf xa x 在其定义域上只有 3 个极值点，则实数a的取值范围为( ) A. 2 e ,(1,) 4 B. 2 e , 4 C. 2 1 e,(1,) 4e D. 1 , e 13.已知函数 22 3f xxaxaxb的图象在点 1,1f 处的切线方程为12yxm .若函 数 f x至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是( ) A.5,27 B.5,27 C.1,3 D.1,3 14.已知函数 () x f xaxe aR有两个零点，分别为 12 ,x x，且 12 3xx，则 a 的取值范围为 ( ) A. 2 3 , ln3 B. 3 0, ln3 C. 3 ,

5、 ln3 D. 2 3 , ln3 15.设 f x是定义在R上的偶函数， fx为其导函数， 20f， 当0 x 时， 有( )(xfxf x 恒成立，则不等式( )0 xf x 的解集为( ) A.2,2 B., 2()0,2 C.2,00,2 D.(2,02,) 3 / 15 答案以及解析答案以及解析 1.答案：D 解析： 对于 A， 由函数的图象得该函数是奇函数， 但是不存在极值， 故选项 A 错误； 对于 B， 由函数的图象得该函数是偶函数，故选项 B 错误；对于 C，令( )e x f xx ，其定义域为R， ()()e( ) x fxxf x ，所以该函数不是奇函数，故选项 C 错

6、误；对于 D，令 2 ( )f xx x ， 其定义域为 22 (,0)(0,),()( )fxxxf x xx ，所以该函数是奇函数，由函 数图象得该函数在(,2),( 2,) 上是增函数，在(2,0),(0, 2)上是减函数，所以该 函数存在极值，故选项 D 是正确的.故选 D. 2.答案：D 解析：切线的斜率 3 tan1 4 k ，设切点P的坐标为 00 ,xy，则 0 1fx . 又 22 0 11 ( ),1 fx xx Q，解得 0 1x 或1，切点P的坐标为1,1或1, 1 .故选 D. 3.答案：C 解析：由题意知，( 1)(1)ln1 121ff .由偶函数求导的性质，得(

7、 1)(1 )ff .因 为当0 x 时，( )ln2f xxx，所以当0 x 时，1 1 ( )fx x .故(1)2,1)2(ff .因 此( 1)( 1)3ff .故选 C. 4.答案：B 解析：由题图可知，曲线( )yf x在3x 处切线的斜率等于 1 3 ， 1 (3) 3 f ， ( )( )g xxf xQ，( )( )( )g xf xxfx，(3)(3)3(3)gff，又由题图可知 1 (3)1,(3)130 3 fg . 5.答案：A 解析： 12121 ( )(2)e1 e(2) 1 e xxx fxxaxaxxaxa .2x Q是( )f x的极 值点，20()f，即

8、3 (4241) e0aa ，解得1a . 2121 ( )1 e,( )2 e xx f xxxfxxx . 由)(0fx ，得2x 或1x ；由)(0fx ，得21x . 4 / 15 ( )f x在(, 2) 上单调递增，在( 2,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，( )f x的极小 值点为 1，( )f x的极小值为(1)1f . 6.答案：D 解析：函数( )f x的定义域为R，其导数为( )2 ln21 x fx . 令)(0fx ，得 222 1 logloglog e ln2 x .因为 2 1log e2，所以 22 0loglog e1.当 22 ,loglog ex

9、时，( )0,( )fxf x单调递减； 当 22 loglog e ,x时，( )0,( )fxf x 单调递增.又(0)0, (1)0ff，所以( )0f x 的解集为(,0)(1,)，故选 D. 快解：可利用排除法，(2)10f ，排除 A，C； 1 ( 1)0 2 f ，排除 B.故选 D. 7.答案：D 解析：令( )eln x f xaxx，则( )en1l x fxax . Q曲线( )yf x在点(1, e)a处的切线方程为2yxb， (1)2, e2, f ab 即 e12, e2, a ab 解得 1 , e 1, a b 故选 D. 8.答案：B 解析：sincos ,c

10、osyxxxyxxQ. 当(,3)x时，令cos0 yxx，得 3 5 , 22 x ， 函数sincosyxxx在(,3)内的单调递增区间是 3 5 , 22 . 9.答案：D 解析：Q函数 32 ( )31f xaxxx， 2 ( )361fxaxx. 由函数( )f x恰好有三个单调区间，得( )fx有两个不相等的零点， 2 3610axx 满足0a ，且36120a ，解得3a ，且0a ， (,0)(0,3)a .故选 D. 10.答案：C 解析：由题意，得 22 1e1 ( )(e ln )e ln x xx fxxx xxx ，所以(1)0e1e1f ，故选 C. 11.答案：B

11、 5 / 15 解析：由题意得， 2 ( )3120 fxx在区间(1,1)kk上至少有一个实数根， 而 2 ( )3120 fxx的根为2x ，区间(1,1)kk的长度为 2， 故区间(1,1)kk内必含有 2 或2. 121kk 或121kk ， 31k 或31k ，故选 B. 12.答案：B 解析： 2 1 ( )exfxa x ，问题转化为方程 2 1 e0 x a x 在区间(,0)(0,)上只有 3 个实 数根， 2 1 ex a x ，令 2 1 ( ) ex g x x ，由于 3 2 ( ) ex x g x x ，令( )0g x，2x 或0 x ，令 ( )0g x，20

12、 x ，因为 2 e ( 2), ( )0,0, ( ) 4 gg xxg x ， 所以结合( ) g x的图象， 可知 2 e 4 a 时，方程 2 1 e0 x a x 有 3 个实根，即 1 ( )exf xa x 在(,0)(0,)上有 3 个极值点. 13.答案：B 解析：由题意，得 2 ( )323fxxaxa，(1)3512fa ，3a ， 32 ( )39f xxxxb.令 2 ( )3690fxxx，得 12 1,3xx .当1x 或3x 时， ( )0,( )fxf x在(, 1),(3,) 上单调递增； 当13x 时， )(0fx ，( )f x在(1,3) 上单调递减.

13、当1x 时，( )f x有极大值( 1)5fb；当3x 时，( )f x有极小值 (3)27fb.若要使( )f x至少有两个不同的零点，只需 50, 270, b b 解得527b .故选 B. 14.答案：D 解析：令 0f x ，即0 x axe. 当0a 时，0 x e 无解，所以 0a .所以有 1 x x ae . 令 x x g x e ， x f xaxe有两个零点，等价于 1 y a 的图象与 x x g x e 的图象有两个不 同的交点. 1 x x gx e ，当 ) 1(x ,时， 0gx ；当 1 ()x, 时， 0gx. 所以 g x在() 1,上单调递增，在(1)

14、, 上单调递减. 6 / 15 因此，如图， 12 01xx . 令 21 3xx，有 11 11 3 3 xx xx ee ，得 1 ln3 2 x ，则 ln 2 13 ln3 ln3 2 2 3 xg e . 所以 1ln3 0 2 3a ，即 2 3 ln3 a 时，满足条件故 a 的取值范围为 2 3 , ln3 .故选 D. 15.答案：B 解析：令 ( ) ( ) f x g x x .由0 x 时，有( )(xfxf x恒成立，得( )( )0 xfxf x， 2 ( )( ) ( )0 xfxf x g x x ，函数( )g x在(0,)上单调递增.又( )f x是定义在R

15、上的偶函 数， ()( ) ()( ) fxf x gxg x xx ，函数( )g x在(,0)(0,)上是奇函数，函数 ( )g x在(,0)上单调递增.(2)0,( 2)0,( 2)(2)0ffggQ，由此可画出函数( )g x 的大致图象，如图.不等式( )0 xf x 的解集就是 2 ( )0 x g x 的解集，且( )0g x 的解集为 (, 2)(0,2) ，不等式( )0 xf x 的解集为(, 2)(0,2) .故选 B. 填空题：函数与导数填空题：函数与导数 1.曲线2ln1yx在点0,0处的切线方程为_. 2.已知定义在 R 上的函数( )3yf x是奇函数，且满足(1

16、)2f ，则( 1)f _. 7 / 15 3.已知函数 2 52ln 2f xxxx，则 f x的单调递增区间为_. 4.已知函数 2 1 2,1, ( )2 ,1, x xax f x aa x 若 f x在(0,)上单调递增，则实数a的取值范围为 _. 5.已知函数 e2,0, ( ) (2),0, x x f x f xx 则2 020f_. 6.若曲线 2 ( )1 exf xxax在点 0,0f 处的切线过点2,2，则实数a的值为 _. 7.已知函数( ) a f xx x 在区间1,4上存在最小值，则实数a的取值范围是 _. 8.已知 f x g x分别是定义在R上的奇函数和偶函

17、数，且 00g，当0 x 时， 2 22( x f xg xxxb b为常数） ，则11fg_ 9.已知函数 2 23yxx 在区间 ,2a上的最大值为15 4 ，则a _. 10.已知 f x为定义在R上的奇函数，当0 x 时 2 1 ( )e 2 x f xxx，则关于a的不等式 2 (1)0f af aa的解集为_. 答案以及解析答案以及解析 1.答案：2yx 解析： 2 2ln(1), 1 yxy x Q.当0 x 时，2,y曲线2ln(1)yx在点0,0处的切 线方程为020yx，即2yx. 2.答案：-4 解析：设( )( )3g xf x.因为(1)(1)31gf，所以( 1)1

18、g .所以( 1)( 1)34fg . 3.答案： 1 0,(2,) 2 解析：因为 2 ( )52ln(2 )f xxxx，0 x ，所以 2 225 2(21)(2) ( )25 xxxx fxx xxx .由 0fx 可得2120 xx，所以 2x 或 1 0 2 x，即 f x的单调递增区间为 1 0,(2,) 2 . 8 / 15 4.答案：1,2 解析：因为 f x在0,上单调递增，所以当1x 时， x yaa单调递增，所以1a . 易知函数 2 1 2 2 yxa在0,1上单调递增，所以若 f x在0,上单调递增，则需满足 21 1 12 2 aaa，得2a .综上，实数a的取值

19、范围为1,2. 5.答案：3 解析：由题意，得 0 2 0202 02022 01820e23ffffL. 6.答案： 1 2 解析： 2 ( )12e , (0)1,( 0)1, x fxxaxxaffa 切线方程为1(1)ya x .Q切 线过点(2,2),2 12(1)a ， 1 2 a . 7.答案：(1,16) 解析： 2 22 ( ),( )1 aaxa f xxfx xxx Q.当0a 时，对任意的 ,1,40fxx，此 时， 函数 yf x在区间1,4上单调递增， 函数 yf x在区间1,4上没有最小值； 当0a 时， 令 2 2 0 xa fx x ， 可得xa ， 当0 x

20、a时，)(0fx ， 当xa时，)(0fx ， 此时， 在0,上函数 yf x的最小值点为xa， 由题意可得14a， 解得116a. 因此，实数 a的取值范围是(1,16). 8.答案：-4 解析：根据题意， ( )f x是R上的奇函数，则(0)0f ， 又由 (0)0g ，则 0 (0)(0)20fgb，得1b ， 当0 x 时， 2 ( )( )221f xg xxxx，则(1)(1)4fg， 于是 ( 1)( 1)(1)(1)(1)1 ( )4fgfgfg 9.答案： 1 2 解析：22yx ，令0y ，得1x ，令 2 ( )23f xxx ，则( )f x在(, 1) 上单调 递增，

21、在( 1,) 上单调递减.若12a ，则函数( )yf x在区间 ,2a上的最大值为 9 / 15 2 15 ( )23 4 f aaa ， 解得 1 2 a ( 3 2 a 舍去)； 若1a ， 则函数( )yf x在区间 ,2a 上的最大值为 15 ( 1)1234 4 f .综上知， 1 2 a . 10.答案：(, 1)(1,) 解析：因为0 x 时， 2 1 ( )e 2 x f xxx，所以0 x 时 ( )e1 x fxx.设( )e1 x g xx， 则1( )exg x ，当0 x 时，)(0g x ，所以 f x在0,上单调递增， 0 fx ，所 以 f x在0,上单调递增

22、，且 02 1 ( )e001 2 f x .因为 f x为定义在R上的奇函 数，所以 00f， f x在,0上单调递增，且0 x 时，( )1f x ，所以( )f x在R上 为增函数.由 2 (1)0f af aa得 2 (1)(1)f aaf afa ，所以 2 1aaa ， 解得1a 或1a ，故不等式的解集为(, 1)(1,) . 解答题：函数与导数解答题：函数与导数 1.已知函数 41 ( ) 2 x x m f x 是偶函数. （1）求实数 m的值； （2）若关于 x 的不等式 2 2( )31k f xk在(,0)上恒成立，求实数 k 的取值范围. 2.设函数 2 2ln1f

23、xxmx. （1）讨论函数 f x的单调性. （2）当 f x有极值时，若存在 0 x，使得 0 1f xm 成立，求实数m的取值范围. 3.已知函数 ( )2ln1f xx. （1）若 ( )2f xxc ，求 c 的取值范围； （2）设0a ，讨论函数 ( )( ) ( ) f xf a g x xa 的单调性. 4.已知函数 32 f xxkxk. （1）讨论 f x的单调性； （2）若 f x有三个零点，求k的取值范围. 5.已知 2 ( )() ex xm f xm R. 10 / 15 （1）若 3 4 m ，求 ( )f x的极值. （2）若方程e( )8ln x f xx在1,

24、e上有两个不同的实数根，求实数m的取值范围. 6.已知函数 ()ln1f xxax aR. （1）讨论函数 f x的单调性. （2）若 2 1 1 2 g xxxaf x，设 1122 ,xx xx 是函数 g x的两个极值点，若 3 2 a ， 求证： 12 15 2ln2 8 xg xg. 7.已知函数 2 ( )ln(1)f xxa xx. （1）讨论函数( )f x的单调性. （2）当1a 时，证明：对任意的(0,)x，有 2 ln ( )(1)1 x f xa xa x . 8.已知函数 ln ()f xaxx aR. （1）求函数 f x的单调区间； （2）若函数 f x有两个零点

25、 12 ,x x，证明： 12 11 2 lnlnxx . 答案以及解析答案以及解析 1.答案：（1）因为函数 41 ( ) 2 x x m f x 是定义域为 R 的偶函数，所以有()( )fxf x， 即 4141 22 xx xx mm ， 即 441 22 xx xx mm ， 故1m . （2） 2 41 ( )0,310 2 x x f xk ，且 2 2( )31k f xk在(,0)上恒成立， 故原不等式等价于 2 21 31( ) k kf x 在(,0)上恒成立， 又(,0)x ，所以( )2,f x ，所以 11 0, ( )2f x ， 从而 2 21 312 k k

26、， 因此， 1 ,1 3 k . 2.答案：（1）函数 ( )f x的定义域为(0,)， 11 / 15 2 21 2 ( )2 mx fxmx xx . 当0m 时， )(0fx ，函数 ( )f x在(0,)上单调递增； 当0m 时，解 )(0fx 得0 m x m ， 函数( )f x在0, m m 上单调递增，在 , m m 上单调递减. （2） 由 （1） 知， 当 ( )f x有极值时，0m ， 且函数 ( )f x在0, m m 上单调递增， 在 , m m 上单调递减， max 1 ( )2ln1ln mm f xfmm mmm . 若存在 0 x，使得 0 1f xm 成立，

27、则 max ( )1f xm成立， 即ln1mm成立. 令 ( )ln1g xxx. Q函数( )g x 在(0, )上单调递增，且(1)0,01gm . 实数m的取值范围是0,1. 3.答案：设 ( )( )2h xf xxc ，则( ) 2ln21h xxxc ， 其定义域为(0 )， ， 2 ( )2h x x . （1）当01x时， ( )0h x ；当1x 时， ( )0h x.所以( )h x在区间(0 1)，单调递增，在区 间(1 )， 单调递减.从而当1x 时，( ) h x取得最大值，最大值为(1)1hc . 故当且仅当10c ，即1c时， ( ) 2f xxc. 所以 c

28、的取值范围为 1 )，. （2） ( )( )2(lnln ) ( ) f xf axa g x xaxa ， (0)()xaaU，. 2 2(ln1n ) ( ) () xa ax x g x xa 2 2(1ln) () aa xx xa . 取1c 得 ( )2ln22(1)0h xxxh， ，则由（1）知，当1x 时， ( )0h x ， 即1ln0 xx.故当 (0)()xaaU， 时，1ln0 aa xx ，从而( )0g x. 所以 ( )g x在区间(0)a，()a ， 单调递减. 12 / 15 4.答案：（1） 2 ( )3fxxk. 当0k 时， 3 ( )f xx，故(

29、 )f x在(,) 单调递增； 当0k 时， 2 ( )30fxxk，故( )f x在(,) 单调递增. 当0k 时， 令( )0fx， 得 3 3 k x .当 3 (,) 3 k x 时，( )0fx； 当 33 (,) 33 kk x 时，( )0fx；当 3 (,) 3 k x 时，( )0fx.故( )f x在 3 (,) 3 k ， 3 (,) 3 k 单调递增， 在 33 (,) 33 kk 单调递减. （2） 由 （1） 知， 当0k时，( )f x在(,) 单调递增，( )f x不可能有三个零点.当0k 时， 3 3 k x 为( )f x的极大值点， 3 3 k x 为(

30、)f x的极小值点，此时， 33 11 33 kk kk 且(1)0fk ， 3 (1)0,()0 3 k f kf.根据( )f x的单调 性，当且仅当 3 ()0 3 k f，即 2 23 0 9 kk k 时，( )f x有三个零点，解得 4 27 k ，因此k的 取值范围为 4 (0,) 27 . 5.答案：（1）由题意得 2 3 4 ( ) ex x f x ， 所以 2 2 2 3 3 2ee 2 4 4 ( ) ee xx xx xx xx fx . 令)(0fx ，得 2 3 20 4 xx，解得 12 13 , 22 xx. 当 1 , 2 x 时，)(0fx ；当 1 3

31、, 2 2 x 时，)(0fx ； 当 3 , 2 x 时，)(0fx . 所以( )f x在区间 13 , 22 上单调递减；在区间 1 3 , 2 2 上单调递增. 所以( )f x的极小值为 1e 2e f ，极大值为 2 33 e 2e f . （2）由e( )8ln x f xx，得 2 8lnmxx. 令 2 ( )8ln(0)g xxxx，则 2 882 ( )2 x g xx xx . 令)(0g x ，得2x (2x 舍去). 13 / 15 当02x时，)(0g x ；当2x 时，)(0g x . 所以( )g x在区间(0,2)上单调递增，在区间(2,)上单调递减. 故(

32、 )g x有极大值，为(2)8ln24g. 而 2 (1)1, (e)8egg ，且(1)(e)gg， 所以实数m的取值范围为 2 8e ,8ln24 . 6.答案：（1）由题意得，函数 f x的定义域为()1 , ， 1 1 fxa x . 当0a 时， 1 0 1 fxa x ， 函数 f x在()1 ,上单调递增. 当0a 时，令 0fx ，得 1 1x a . 若 1 1, 1x a ，则 0fx ，此时函数 f x单调递增； 若 1 1,x a ，则 0fx ，此时函数 f x单调递减. 综上，当0a 时，函数 f x在()1 , 上单调递增； 当0a 时，函数 f x在 1 1,

33、1 a 上单调递增，在 1 1, a 上单调递减. （2） 2 1 ln1 2 g xxxaxQ，0 x ， 1 1gxxa x 2 11xax x . 由 0gx 得 2 110 xax ， 12 1xxa， 12 1x x ， 2 1 1 x x . 3 2 a Q， 1 1 1 1 15 2 1 0 x x x x ，解得 1 1 0 2 x. 12 xg xg 22 1 1212 2 1 ln1 2 x xxaxx x 2 11 2 1 11 2ln 2 xx x . 设 2 2 111 2ln0 22 h xxxx x ， 14 / 15 则 2 2 33 1 21 0 x h xx

34、 xxx ， 函数 h x在 1 0, 2 上单调递减. 当 1 1 2 x 时， min 115 2ln2 28 h xh . 3 2 a时， 12 15 2ln2 8 xg xg成立. 7.答案：（1）函数( )f x的定义域为(0,)， 2 2(1)1 ( ) a xx fx x . 当1a 时，由)(0fx ，得 2 2(1)10,98a xxa ， 12 198198 , 4(1)4(1) aa xx aa . 当1a 时， 1 ( ),( ) x fxf x x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减. 当1a 时，( )f x在 2 0,x上单调递增，在 2, x 上单调递

35、减. 当 9 8 a 时，( )f x在(0,)上单调递增. 当 9 1 8 a 时，( )f x在 2 0,x和 1, x 上单调递增，在 21 ,x x上单调递减. （2）当1a 时，要证 2 ln ( )(1)1 x f xa xa x 在(0,)上恒成立， 只需证 ln ln1 x xxa x 在(0,)上恒成立. 令 ln1 ( )ln, ( )1,( )1 x F xxx g xaF x xx . 当01x时，)(0F x ，当1x 时，)(0F x ， ( )F x在0,1上单调递增，在1,上单调递减， ( )(1)1F xF . 22 1lnln1 )()(0 xx g xx

36、xx . 当0ex时，)(0g x ，当ex 时，)(0g x ， ( )g x在(0,e)上单调递减，在e,上单调递增. 1 ( )(e)1 e g xga . 又 maxmin 11 1,11,( )( ) ee aaF xg x ， 15 / 15 ( )( )F xg x，即 ln ln1 x xxa x 在(0,)上恒成立， 故当1a 时，对任意的 2 ln (0,),( )(1)1 x xf xa xa x 恒成立. 8.答案：（1） 11 ( )(0) ax fxax xx ， 当0a 时，)(0fx ，所以( )f x在(0,)上单调递减，无单调递增区间. 当0a 时，令( )

37、0fx ，则10ax ，所以 1 x a ，故( )f x在 1 , a 上单调递增；令 )(0fx ，则10ax ，所以 1 0 x a ，故 ( )f x在 1 0, a 上单调递减. 综上可知，当0a 时，( )f x在(0,)上单调递减，无单调递增区间； 当0a 时，( )f x在 1 0, a 上单调递减，在 1 , a 上单调递增. （2） 设函数( )f x的两个零点分别为 1212 ,x x xx， 则 1122 ln0,ln0axxaxx， 易知0a ， 故 2121 lnlnxxa xx. 要证 12 11 2 lnlnxx ，只需证 12 11 2a xx ，即证 12 12 2 xx a x x ， 即证 1221 1221 lnln 2 xxxx x xxx ，即证 22 212 121 ln 2 xxx x xx ， 即证 221 112 1 ln 2 xxx xxx . 令 2 1 x t x ，则1t ，即证 11 ln 2 tt t . 设 11 ( )ln 2 ttt t ，则当1t 时， 2 2 ( )0 21 2 tt t t ，所以( ) t在(1,)上单调递减， 则( )(1)0t，即 11 ln 2 tt t 成立， 故 12 11 2 lnlnxx .