“超级全能生”2021届高三全国卷地区3月联考试题（甲卷）数学（文）试题（PDF版含解析+答题卡）.zip

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y Ox1- 1 ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y A O x C P B 5 x + y + 6 = 0 x + 4 y - 1 4 = 0 4 x - 3 y + 1 = 0 ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? 槡 ? ? ? 槡? ? 槡? ? ? ? 槡 ? ? ? ? 槡槡? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? A BD C O F E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y P l M A O B N l 2 l 1 x Q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? 槡? ? ? ?槡 ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? “超级全能生超级全能生”2021”2021 高考全国卷地区高考全国卷地区 3 3 月联考甲卷月联考甲卷 数学文科答案及评分标准数学文科答案及评分标准 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 选择题评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分。 123456789101112 AADBDCBABCBC 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 填空评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多 写答案、少写答案均不给分。 13. 26 143 15. 1 5 2 1612 三、解答题：共 70 分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作 答。 解答题评分标准 （1）导函数： 求单调区间过程要清楚，分类讨论各区间情况需做到无遗漏。遗漏不给分。 取值写成区间或者集合的形式，未写扣 1 分。 （2）选做题： 极坐标方程直角坐标方程转换需要过程，没有过程不得分。 解不等式解集要写成集合或区间，未写扣 1 分。 （3）具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。 （4）试题有不同解法时，解法正确即可酌情给分。 17解：()设数列an的公差为 d. 由题意得 117d(1d)(18d)，(3 分) 解得 d1 或 0(舍)，(4 分) an1(n1)1n，(5 分) bn2n.(6 分) ()由()知 Tna1b1a2b2a3b3anbn12222323n2n，(7 分) 2Tn122223324(n1)2nn2n1，(9 分) 两式相减得Tn1212212312nn2n1(1n)2n12，(11 分) Tn(n1)2n12.(12 分) 18解：()ABADAA1A1B1， BAA1为等边三角形， BAA160. 又BADA1AD60， BAA1DAA1， 点 A1在底面 ABCD 上的射影 E 是等边ABD 的外心， AE 1.(6 分) 2 3 3 2 3 3 ()由()可知 A1E底面 ABCD， 且 AC底面 ABCD， A1EAC. 又 AE，AA11， 3 3 A1E， 6 3 VCABD1VD1ABC 11sin120.(12 分) 1 3 1 2 6 3 2 12 19解：()由题意得频率分布直方图中从左至右小矩形的面积依次为 0.05，0.20，0.35，0.30，0.10， 因此平均数为 550.05650.20750.35850.30950.1077.00，(3 分) 中位数为 701077.14.(5 分) 0.25 0.35 ()由()可知60，70)和80，90)的概率之比为 0.200.3023， 所以按照分层抽样的方法应从60，70)中抽取 2 人，80，90)中抽取 3 人(7 分) 不妨设从60，70)中抽取的 2 人分别为 a，b，从80，90)中抽取的 3 人分别为 1，2，3， 则从这 5 人中任选 3 人有 ab1，ab2，ab3，a12，a13，a23，b12，b13，b23，123，共 10 种情况，(9 分) 其中只有 1 人来自60，70)，有 a12，a13，a23，b12，b13，b23，共 6 种情况，(10 分) 记“这 3 人中只有 1 人来自60，70)”为事件 A， 则 P(A) .(12 分) 6 10 3 5 20解：()函数 f(x)exalnx(aR R)的定义域为(0，)，f(x)ex ， a x 当 a0 时，f(x)0， 函数 f(x)在(0，)上单调递增；(2 分) 当 ay1， 即 f(x)0， 函数 f(x)在(0，x0)上单调递减； 当 x(x0，)时，y20， 函数 f(x)在(x0，)上单调递增(5 分) ()证明：h(x)alnx x2ax1， 1 2 则 h(x) xa，(6 分) a x x2axa x 此时 x1，x2是方程 x2axa0 的两根， 且 a24a0， 解得 a4. 由韦达定理得 x1x2a，x1x2a，(7 分) h(x1)h(x2)aln(x1x2) (x x )a(x1x2)2alna (a22a) 1 22 12 2 1 2 a22alnaa a22.(8 分) 1 2 令 F(a)alnaa a22(a4)，(9 分) 1 2 则 F(a)lna11alnaa. 令 S(a)lnaa， 则 S(a) 1. 1 a a4，S(a)0， 函数 S(a)在(4，)上单调递减， S(a)S(4)ln440，即 F(a)0， 函数 F(a)在(4，)上单调递减， F(a)F(4)4ln44824ln4108ln210.(11 分) ln21， 8ln28， F(a)2， h(x1)h(x2)0. 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由韦达定理得 y1y24t，y1y24t8，(7 分) 易得直线 PB：yx4， y14 x1 直线 QB：yx4.(8 分) y24 x2 联立 yy14 x1 x4， 2xy30，) 解得 xM， 7x1 2x1y14 7（ty12t） （2t1）y182t 同理可得 xN，(9 分) 7（ty22t） （2t1）y282t 所以 xMxN 7（ty12t） （2t1）y182t 7（ty22t） （2t1）y282t 2t（2t1）y1y2（82t）t（2t1）（2t）（y1y2）2（2t）（82t） （2t1）2y1y2（2t1）（82t）（y1y2）（82t）2 74.(11 分) 4t24t8 t2t2 因为 xA2， 所以 xMxN2xA，即 A 是 MN 的中点， 所以|AM|AN|.(12 分) 22解：()由已知得曲线 C：(k 为参数)， x 2 2k 1k2， y 3 1k2 1k2 ) 平方后相加得1.(2 分) x2 4 y2 3 又 y(， 3 2 3 k2133 所以曲线 C 的普通方程为1(y)(3 分) x2 4 y2 33 因为 2cos1， ( 3) 即 cossin1. 3 将 xcos，ysin 代入即可得到直线 l：xy10.(5 分) 3 ()显然点 A(1，0)在直线 l：xy10 上，直线的斜率为， 3 3 3 所以倾斜角为 ， 6 所以直线 l 的参数方程为(t 为参数)，(7 分) x1 3 2 t， y1 2t ) 代入椭圆 C：1 得 13t212t360. x2 4 y2 33 设 M，N 对应的参数分别为 t1，t2， 由韦达定理得 t1t2，t1t2，(9 分) 12 3 13 36 13 所以|AM|AN|t1|t2|t1t2|.(10 分) 36 13 23解：()当 a3 时，f(x)(1 分) 4x，x 1， 5x2， x 1，) 当 x1 时，f(x)f(1)3， 当 x1 时，f(x)f(1)3，(3 分) f(x)3， m3.(5 分) ()当 x(1，1)时，f(x)2x1a(1x)(2a)xa1.(6 分) 由 f(x)x22 得 x2(a2)x1a0， 即(x1)x(1a)0.(7 分) x(1，1)， x11a， 即 x1a.(8 分) 又x12， 2a，即 a2， 实数 a 的取值范围是2，)(10 分)