2020-2021上海市普陀区高三数学二模试卷及答案2021.4.doc

1、 普陀普陀区区 20202020 学年第二学年第二学期高三数学质量调研学期高三数学质量调研 第第 1 1 页页 ( (共共 4 4 页页) ) 普陀区普陀区 20202020- -20212021 学年第二学年第二学期学期高三数学质量调研高三数学质量调研 2022021 1. .4 4 考生注意考生注意: : 1.本场考试时间 120 分钟.试卷 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴 在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上 作答一律不得分. 4.用 2

2、B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一一、填空题填空题（本大题共有（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分，分，第第 1 16 6 题题每题每题 4 4 分分，第，第 7 71212 题每题题每题 5 5 分分） 考生应在答题纸的相应位置考生应在答题纸的相应位置直接填写结果直接填写结果. . 1 1. 设全集U2, 1 , 0, 1，若集合2, 0, 1A，则ACU . 2.2. 若复数 i i z 2 （i表示虚数单位） ，则zIm . 3.3. 函数 x xy 1 的零点为 . 4.4. 曲线xy4 2 的顶点到其准线的距离为 . 5.5. 若1)

3、 3 cos( ，则cos . 6 6. 设棱长为2的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 . 7.7. 设 8 ) 12(x 8 8 2 210 xaxaxaa，则 821 aaa . 8.8. 设无穷等比数列 n a的前n项和为 n S，若1 1 a，且3lim 1 n n SS，则公比q . 9.9. 设x、y均为非负实数且满足 022 0 yx yx ，则yx3的最小值为 . 10.10. 某学校从4名男生、3名女生中选出 2 名担任招生宣讲员， 则在这2名宣讲员中男、 女生各1人 的概率为 （结果用最简分数表示）. 1111. . 设),(yxM是直线3 yx上的动点，若2

4、1 x，则 x y y x 11 的最大值 为 . 普陀普陀区区 20202020 学年第二学年第二学期高三数学质量调研学期高三数学质量调研 第第 2 2 页页 ( (共共 4 4 页页) ) 1212. . 如图，在ABC中， 2 C，3AC，1BC. 若O为ABC 内部的点且满足0 | OC OC OB OB OA OA ，则 |:|:|OCOBOA . 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 4 题，满分题，满分 2020 分，每题分，每题 5 5 分）分） 每题有且只有一个正确选项每题有且只有一个正确选项. .考生应在答考生应在答 题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑题

5、纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. . 1 13 3. 设a、b均为非零实数且ba，则下列结论中正确的是（ ） )A( 22 ba )B( 11 ba )C( 22 ba )D( 33 ba 14.14. 设167m，则双曲线1 716 22 m y m x 的焦点坐标是（ ） )A( )0, 4( )B(0, 3 )C( )5, 0( )D(4, 0 15.15. 设,是两个不重合的平面，ml,是两条不重合的直线，则“/”的一个充分非必要条件 是（ ） )A( l ，m 且/l，/m )B(l ，m ，且ml / )C( l，m且ml / )D( /l，/m，且ml / 1616.

6、已知函数 x x xf 31 3 )( ，设 i x（3 , 2 , 1i）为实数，且0 321 xxx. 给出下列结论： 若0 321 xxx，则 2 3 )()()( 321 xfxfxf； 若0 321 xxx，则 2 3 )()()( 321 xfxfxf. 其中正确的是（ ） )A(与均正确 )B(正确，不正确 )C(不正确，正确 )D(与均不正确 （第（第 1 12 2 题）题） 普陀普陀区区 20202020 学年第二学年第二学期高三数学质量调研学期高三数学质量调研 第第 3 3 页页 ( (共共 4 4 页页) ) 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分

7、题，满分 7676 分）分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤步骤. . 17.17.（本题满分本题满分 1414 分分，第，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分）分） 如图， 设底面半径为2的圆锥的顶点、 底面中心依次为P、O，AB为其底面的直径. 点C 位于底面圆周上，且 90BOC. 异面直线PA与CB所成角的大小为 60. （1）求此圆锥的体积； （2）求二面角OBCP的大小（结果用反三角函数值表示）. 1818. .（本题满分（本题满分 1414 分，第分，第 1 1 小

8、题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分）分） 设函数xxf 2 log)(（0 x）的反函数为)( 1 xf . （1）解方程：0)(2)2(xfxf； （2）设)(xgy 是定义在R上且以2为周期的奇函数.当10 x时，)()( 1 xfxg ，试求 )10(log 2 g的值. 19.19.（本题满分（本题满分 1414 分，第分，第 1 1 小题满分小题满分 7 7 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分）分） 如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为 i A（4 , 3 , 2 , 1i） ， 30 21 AA米，

9、120 412 AAA，D为对角线 42A A和 31A A的交点.他以 2 A、 4 A为圆心分别画 圆弧，一段弧与 21A A相交于 1 A、另一段弧与 43A A相交于 3 A，这两段弧恰与 42A A均相交于D. 设DAA 21 . （1）若两段圆弧组成“甬路”L（宽度忽略不计） ，求L的长（结果精确到1米） ； （2）记此园地两个扇形面积之和为 1 S，其余区域的面积为 2 S.对于条件（1）中的L，当 12. 0 2 1 31 S S AA L 时，则称其设计“用心” ，问此人的设计是否“用心”？并说明理由. P A B C O （第（第 1 17 7 题）题） 1 A 2 A 3

10、 A 4 A D （第（第 1 19 9 题）题） 普陀普陀区区 20202020 学年第二学年第二学期高三数学质量调研学期高三数学质量调研 第第 4 4 页页 ( (共共 4 4 页页) ) 20.20.（本题满分（本题满分 1 16 6 分，第分，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 6 6 分）分） 已知曲线:1243 22 yx的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，直线l经过 1 F且与相交于A、B 两点. （1）求 21AF F的周长； （2）若以 2 F为圆心的圆截y轴所得的弦长为22，且l与圆

11、 2 F相切，求l的方程； （3）设l的一个方向向量), 1 ( kd ，在x轴上是否存在一点M，使得|MBMA 且 5 5 tanMAB？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由. 21.21.（本题满分（本题满分 1 18 8 分，第分，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，分，第第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分）分） 记实数a、b中的较大者为,maxba， 例如22, 1max，11, 1max.对于无穷数列 n a， 记,max 212kkk aac （ * Nk） ，若对于任意的 * Nk，均有 kk cc 1 ，则称数列

12、 n a为“趋 势递减数列”. （1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列 n a是否为“趋势递减数列” ，并说明理由. n n a 2 1 ， 2 sin n an； （2）设首项为1的等差数列 n b的前n项和为 n S、公差为d，且数列 n S为“趋势递减数列” ， 求d的取值范围； （3）若数列 n d满足 1 d、 2 d均为正实数，且| 12 nnn ddd，求证： n d为“趋势递减数列” 的充要条件为 n d的项中没有0. x y 1 F 2 F O （第（第 2020 题）题） 普陀普陀区区 20202020 学年第二学年第二学期高三数学质量调研学期高三数学质量调研 第第 5

13、 5 页页 ( (共共 4 4 页页) ) 20202020- -20212021 学年第二学期普陀区高三数学质量调研学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则评分细则 一一、填空题填空题（本大题共有（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分，分，第第 1 16 6 题题每题每题 4 4 分分，第，第 7 71212 题每题题每题 5 5 分分） 考生考生 应在答题纸的相应位置应在答题纸的相应位置直接填写结果直接填写结果. . 11 2.2 3. 1 4.1 5. 2 1 6. 12 7. 0 8. 2 1 9. 3 10. 7 4 11. 2 6 3 12. 1:2:4 二、选择

14、题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 4 题，满分题，满分 2020 分，每题分，每题 5 5 分）分） 每题有且只有一个正确选项每题有且只有一个正确选项. .考生应在考生应在答答 题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. . 题号题号 1313 1414 1515 1616 答案答案 D D B B C C A A 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7676 分）分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步 骤骤. . 17.17.（本题满分（本题满分

15、 1414 分，第分，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分）分） 解: （1）设圆锥的高为h.以O为坐标原点，以OC、OB、OP所在的直线分别为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.根据题设条件，可得)0 , 0 , 2(C、), 0 , 0(hP、)0 , 2, 0( A、 )0 , 2 , 0(B.), 2, 0(hPA，)0 , 2 , 2(CB3 分 由异面直线PA与CB所成角的大小为 60， 得 2 1 444 |0)(2)2()2(0| | 60cos 2 h h CBPA CBPA ， 解得2h.5 分 圆锥的体积V 3

16、 8 22 3 1 3 1 2 sh.6 分 （2）取BC的中点D, 连接OD、PD. 由OCOB ，得BCOD ；再由PCPB，得BCPD. 所以PDO即为二面角OBCP的平面角.10 分 PO圆锥的底面，所以ODPO，故POD为直角三角形. P A B C O x y y D 普陀普陀区区 20202020 学年第二学年第二学期高三数学质量调研学期高三数学质量调研 第第 6 6 页页 ( (共共 4 4 页页) ) 在POD中，2 2 1 BCOD，2PO，故PDOtan2 OD PO 13 分 即PDO2arctan，故二面角OBCP的大小为2arctan14 分 （坐标法比照给分） 1

17、 18 8. .（本题满分（本题满分 1414 分，第分，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分）分） 解： （1）0)(2)2(xfxf0log2)2(log 22 xx（*）2 分 将（*）变形，得 2 22 log)2(logxx，3 分 即02 2 xx，解得2x或1.5 分 经检验1x为增根.所以原方程的解集为2.6 分 （2） x xf2)( 1 （Rx） ，所以当10 x时， x xg2)(9 分， 由于)(xgy 是定义在R上且以2为周期的奇函数， 所以对于任意实数x，均有)()2(xgxg，)()(xgxg.11 分 故) 8

18、 5 (log)410(log)10(log 222 ggg12 分 又因为1 8 5 0，所以0 8 5 log2，故 5 8 2) 5 8 (log) 8 5 (log 5 8 log 22 2 gg 即 5 8 )10(log2g14 分 19. 19. （本题满分（本题满分 1414 分，第（分，第（1 1）问）问 7 7 分，第（分，第（2 2）问）问 7 7 分）分） 解： （1）根据题设条件，可得在 421 AAA中， 2142 2AAAA.1 分 由正弦定理， 得 241 21 412 42 sinsinAAA AA AAA AA ， 即 4 3 3 2 sin 2 1 sin

19、 241 AAA. 3 分 故 4 3 arcsin 3 4 分，所以aL25 分 当30a时，L 4 3 arcsin 3 60 36米.答：甬路L的长约为36米.7 分 （2）由（1）得60L ，在DAA 21 中，由余弦定理，得cos18001800 2 1 DA， 1 A 2 A 3 A 4 A D 普陀普陀区区 20202020 学年第二学年第二学期高三数学质量调研学期高三数学质量调研 第第 7 7 页页 ( (共共 4 4 页页) ) 故 31A Acos2260，所以 31A A L cos22 10 分（按思维框架给分） 900 1 S，)sin2(900 2 S，故 sin2

20、 2 1 S S 13 分（按思维框架给分） 当 4 3 arcsin 3 时，12. 01181. 0 sin2 cos22 . 所以此人的设计是“用心”的.14 分 20. （本题满分 16 分，第（1）问 4 分，第（2）问 6 分，第（3）问 6 分） （1） 根据题设条件， 可得1 34 22 yx ， 故2a， 根据椭圆定义， 可知42| 21 aAFAF， 1 分 1c，22| 21 cFF 2 分 由6| 2121 FFAFAF， 得 21AF F的 周 长 为 6.4 分 （2） 设圆 2 F的方程为 222 ) 1(ryx（0r） 令0 x， 得 2 1yr ， 故 2 2

21、1 2 2r ， 得3r .6 分 由l与圆 2 F相切，得)0 , 1 ( 2 F到直线l：) 1( xky的距离3 1 |2 2 k k d.解得 3k，8 分 故直线l的方程为) 1(3xy.10 分 （3）假设在x轴上存在一点)0 ,( 0 xM，设直线l的方程为) 1( xky（0k） ， 将直线l的方程和椭圆的方程联立，得 1243 ) 1( 22 yx xky ， 消去y并整理，得0) 3(48)43( 2222 kxkxk，必有0 令),( 11 yxA，),( 11 yxB，则 2 2 21 2 2 21 43 124 43 8 k k xx k k xx 12 分 )1 (

22、)(| 22 21 kxxAB)1(4)( 2 21 2 21 kxxxx 2 2 43 ) 1(12 k k 13 分 普陀普陀区区 20202020 学年第二学年第二学期高三数学质量调研学期高三数学质量调研 第第 8 8 页页 ( (共共 4 4 页页) ) 故线段AB的中点C的坐标为 22 2 43 3 , 43 4 k k k k ， 则线段AB中垂线 1 l的方程为 2 2 2 43 41 43 3 k k x kk k y 14 分 令0y，得 0 x 2 2 43k k ，点M 0 , 43 2 2 k k 到直线l的距离 2 2 43 1|3 k kk d 15 分 又因为|M

23、BMA ，所以 5 5 | 2 1 tan AB d MAB，即 2 2 43 1|3 k kk 2 2 43 ) 1(12 10 5 k k 化简得|1 5 52 2 kk，解得4 2 k，故)0 , 19 4 (M.16 分 21. （本题满分 18 分，第（1）问 4 分，第（2）问 6 分，第（3）问 8 分） 解： （1）中0 2 1 12 12 k k a，0 2 1 2 2 k k a得 k k c 4 1 （k为正整数）且 0 4 1 4 3 1 k kk cc，故数列满足“趋势递减数列”的定义，故为“趋势递 减数列”. 1 12 ) 1( k k a，0 2 k a， 0,2

24、 1,21 k kl c kl （l为正整数） ，其中 23 cc ，故 中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”.4 分 （2）由数列 n S为“趋势递减数列” ，得,max 432211 SScSSc.5 分 若 21 SS ，则0 122 SSa,即0 1 da，也即01d，故1d. 此时 n aaa 32 0，所以 n SSSSS 4321 故 11212 kkkk cSSc（ * Nk） ，满足条件.7 分 若 21 SS ，则 32 SS ，得1d；0 233 SSa，02 1 da， 即021 d，解得 2 1 d，所以 2 1 1d.同理可以验证满足条件9

25、分 由可得， 2 1 d.10 分 （3）先证明必要性：用反证法. 普陀普陀区区 20202020 学年第二学年第二学期高三数学质量调研学期高三数学质量调研 第第 9 9 页页 ( (共共 4 4 页页) ) 假设存在正整数m)3(m,使得0 m d，则令add mm 21 则数列 n d从 1m d项开始以后的各项为, 0 , 0 ,aaaa， 故acc kk 1 ， 与 n d是 “趋 势递减数列”矛盾.14 分 再证明充分性： 由| 12 nnn ddd，得,max 12 nnn ddd15 分 因为 n d中的项没有0，所以对于任意正整数n，0 n d.于是0 32 k d（k为正整数） 所以 2212 kk dd16 分 当 2212 kk dd时， kkkkkkk cddaddc ,max,max 2121222121 17 分 当 2212 kk dd时， kkkkkkk cdddddc ,max,max 2122222121 所以均有 kk cc 1 故 n d为“趋势递减数列”的充要条件是数列 n d的项中没有0.18 分