2020-2021上海市浦东区高三数学二模试卷及答案2021.4.doc

1、 1 / 9 浦东新区 2020-2021 第二学期期中教学质量检测 高三数学试卷 2021.04 考生注意：1、本试卷共 21 道试题，满分 150 分，答题时间 120 分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分. 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，题，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分分考生考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分或分或5分，否则一律得零分，否则一律得零 分分 1已知集合 1,0,1,2A ，

2、 2 |1Bx x，则AB=_. 2已知1i是实系数一元二次方程 2 0 xaxb的根(i为虚数单位） ，则2ab_. 3已知关于, x y的二元一次方程组的增广矩阵为 215 120 ，则xy _ 4已知球的主视图的面积为 4 ，则该球的体积为_. 5若 1 n x x 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项的值为_. 6已知实数x、y满足条件 0 0 1 xy y xy ，则目标函数2zxy的最大值为_. 7方程 2 39 (log)log 32xx的解集为_. 8某校高一、高二、高三共有 200 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样 获得了 20 名学生一周的锻炼时间

3、，数据如下表(单位：小时)： 高一 6 6.5 7 7.5 8 高二 6 7 8 9 10 11 12 高三 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为_. 9已知(1,0)A、(0, 1)B，若曲线 2 :1C yx上存在两个不同的点P满足条件 BP BAt，则t的取值范围为_. 2 / 9 x y A B O P 10将函数( )2sin2f xx的图像向左平移 6 个单位， 再向下平移1个单位，得到函数的( )yg x图像若 ( )yg x在0,(0)b b上至少含有2021个零点，则 b的最小值为_. 11 已

4、 知a、b、m、n均 为 正 实 数 ， 且 满 足2 0 2 12 0 2 00aba b， 20202021 8()mn ab ，则 11 () ()mn mn 的取值范围为_. 12已知a、b、c为正整数，方程 2 0axbxc的两实根为 12 ,x x，且 12 | 1,| 1xx， 则a b c 的最小值为_. 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且题，每题有且只只有一个正确有一个正确答案答案考生考生必必 须须在答题纸的相应编号上，在答题纸的相应编号上， 将将代表答案的小方格涂黑代表答案的小方格涂黑， 选， 选对得对得 5

5、分， 否则一律得零分分， 否则一律得零分 13已知实数0a ，则“1a ”是“ 1 1 a ”的 （ ） （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 14以圆 22 430 xyx的圆心为焦点的抛物线标准方程为 （ ） （A） 2 4yx （B） 2 4yx （C） 2 8yx （D） 2 8yx 15已知函数( )()f xxD，若对任意的xD，都存在tD，使( )( )f tf x 成立， 称( )f x是“拟奇函数” 下列函数是“拟奇函数”的个数是 （ ） 2 ( )f xx； ( )lnf xx； 1 ( )f xx x ； ( )cosf

6、xx （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 16数列 n a的前n项和为 n S， 1 am，且对任意的nN 都有 1 21 nn aan ，则 下列三个命题中，所有真命题的序号是 （ ） 存在实数m，使得 n a为等差数列； 存在实数m，使得 n a为等比数列； 3 / 9 若存在*kN使得 1 55 kk SS ，则实数m唯一. （A） （B） （C） （D） 三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相题，解答下列各题必须在答题纸相应编应编号号 的规定区域内写出必要的步骤的规定区域内写出必要的步骤

7、17 （本题满分（本题满分 14 分分）.本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分. 如图，已知圆锥SO底面圆的半径1r ，直径AB与直径CD垂直，母线SA与底面所成 的角为 3 . （1）求圆锥SO的侧面积； （2） 若E为母线SA的中点， 求二面角E CDB 的大小(结果用反三角函数值表示). 18 （本题满分（本题满分 14 分分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分. 已知函数 ( )sinf xx ，xR （1）设 2 ( )3 (2

8、 )2() 2 g xfxfx ，求函数 ( )g x的值域； （2） 在ABC中， 角, ,A B C所对应的边为, ,a b c.若 3 ( ),1 2 f Ab，ABC的面积为3. 求sinC的值. E C D A B O S 4 / 9 19 （本题满分 （本题满分 14 分分）本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 5 分，第分，第 2 小题满分小题满分 9 分分. 在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为 250万元，每产出x吨需 另外投入可变成本 h x万元，已知 2 49 ,(0,50 13635 51860,(50,100 21 axx

9、x h x xx x 通过市场 分析，该中药材可以每吨 50 万元的价格全部售完设基地种植该中药材年利润为y万元， 当基地产出该中药材 40 吨时，年利润为 190 万元 （1）求a的值； （2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元） ，并求此时的年产量（精确到0.1吨） 20 （本题满分（本题满分 16 分分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题满分 小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 6 分分. 已知椭圆C： 2 2 1 2 x y的左右焦点分别为 12 ,F F，过点0,2A的直线l交椭圆C于不 同的两点P、Q . （

10、1）若直线l经过 2 F，求 1 FPQ的周长； （2）若以线段PQ为直径的圆过点 2 F，求直线l的方程； （3）若AQAP，求实数的取值范围 5 / 9 21 （本题满分（本题满分 18 分分）本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，分，第第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分分. 已知无穷实数列 n a， * nN，若存在0M ，使得对任意 * nN， n aM恒成立， 则称 n a为有界数列； 记 1 ,(1,2,3,1) iii baain ， 若 存 在0T ， 使 得 对 任 意 * 2,nnN， 1231n b

11、bbbT 恒成立，则称 n a为有界变差数列. （1）已知无穷数列 n a的通项公式为 * 2 1 , n anN n ，判断 n a是否为有界数列，是否 为有界变差数列，并说明理由； （2） 已知首项为 1 1c ， 公比为实数q的等比数列 n c为有界变差数列， 求q的取值范围； （3）已知两个单调递增的无穷数列 n d和 n e都为有界数列，记 nnn fde， * nN， 证明：数列 n f为有界变差数列 6 / 9 浦东高三数答案 1 1,0,1 2 2 3 2 4 6 520 62 7 3 3, 9 8140 9 2,21) 10 4041 4 11 2 652, 12 9 13-

12、16 B C C A 17解:（1）由母线SA与底面所成的角为 3 , 又因为1OAr,所以2SA 所以 2Srl 侧 （2）(法一)由1EA.联结OE,因为SO垂直圆O所在的平 面,CD圆O所在的平面,所以CDSO, 又因为CDAB,所以CD平面SOA. 因为OE平面SOA,所以OECD,又ABCD,所以 EOB为二面角E CDB的平面角. 在BOE中,1OBOE,3BE ,所以 1 cos 2 EOB ,所以 2 3 EOB (法二)建立空间直角坐标系（略） 18解： （1） 2 ( )3 (2 )2() 2 g xfxfx 2 3sin22sin () 2 xx 2 3sin22cosx

13、x 3sin2cos21xx 2 s i n ( 2)1 6 x 所以，函数的值域为1,3 （2）由 3 ( ), 2 f A 3 sin 2 A ，0,A 3 A 或 2 3 A 1 sin3,1 2 ABC SbcAb 得4c 若 3 A ，则 222 2cos13abcbcA，13a， 2 39 sinsin 13 c CA a 若 2 3 A ，则 222 2cos21abcbcA，21a 2 7 sinsin 7 c CA a E C D A B O S 7 / 9 综上， 2 39 sin 13 C 或 2 7 sin 7 C 19解： （1）当基地产出该中药材 40 吨时，年成本

14、为1600 49 40 250a 万元， 利润为50 40(160049 40250)190a 解得 1 4 a ； （2）当(0,50 x时， 22 11 5049250250 44 yxxxxx ， 因为对称轴20 ，在(0,50上为增函数， 所以当50 x时， max 425y万元； 当(50,100 x时， 1363513635 5051860250610 2121 yxxx xx ， 211363513635 610.5610.52445.4 2212 x x 当且仅当 2113635 221 x x ，即 13635 21 82.1 2 x 时取等号； 所以当年产量约为82.1吨时

15、，年利润最大约为445.4万元 20解： （1） 12 2 2PFPF 12 2 2QFQF 则 1 FPQ的周长等于 1212 PFPFQFQF 4 2 （2）当直线l斜率不存在时, 直线:0l x ,此时(0,1) ,(0, 1)QP， 22 0FFPQ，符合题意； 当直线l斜率存在时，设直线:2l ykx, 1122 ( ,),(,)P x yQ xy， 联立直线与椭圆 2 2 1 2 2 x y ykx ，有 22 (1 2)860kxkx， 此时 12 2 8 12 k xx k , 12 2 6 12 x x k ， 2222 3 644() 600 2 1 223kkkk ， 1

16、21 (1,)PyFx， 222 (1,)QyFx， 221212 (1)(1)P FQxyFxy 1212 (1)(1)(2)(2)0 xxkxkx 2 1212 (1)(21)()50kx xkxx 8 / 9 即 2 22 68 (1)(21)()50 1212 k kk kk ，解得 11 8 k 直线l的方程为0 x或118160 xy； （3）当直线l斜率不存在时, 直线:0l x ， 若(0,1) , (0, 1)QP ，则(0, 1),(0, 3)AQAP， 1 3 AQAP，此时 1 3 ； 若(0, 1) , (0,1)QP ，则(0, 3),(0, 1)AQAP，3AQA

17、P，此时3； 当直线l斜率存在时，设直线:2l ykx, 1122 ( ,),(,)P x yQ xy， 又AQAP，即 21 21 2(2) xx yy ，故 2 1 x x ， 又 2 2 2 2 12 12 2 1221 2 8 321 2 2 6 3(1 2) 1 2 k xxxxk k x xxxk k ， 即 2 1101610 33(1 2)3k ，因为 2 3 2 k ，故 2 3(1 2)12k， 2 1016 2 33(12)k ， 110 (2,) 3 ， 显然 1 2 (1)， 由 2 110102516 3399 得 4541 3 3333 , 综上 1 ,1)(1,

18、3 3 . 21解： （1） 2 1 1 n a n 则1M 即可，则 n a为有界数列. 由 2 1 n a n ，知 1nn aa 11,( 1,2,3,1) iiiii baaaain 123111 1 nn bbbbaaa 则1T 即可，则 n a为有界变差数列. （2） 1n n cq 9 / 9 则 1 1 1 1 i ii iii bccqqqq 当1q 时，则0 i b ，显然满足题意. 当1q 时，则2 i b ，则 1231 2(1) n bbbbn ， 若2(1)nT，则1 2 T n ，舍去，矛盾. 当1q 时，则 n b为首相为1q，公比为q的等比数列， 则 1 12

19、31 1 1 1 n n q bbbbq q 若01q时， 1 11 11 11 n q qq qq ，则符合题意. 若1q 时， 1 1 1 1 n q q q 趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去. 则q的取值范围为1,0(0,1. （3）因为 n d和 n e为有界数列， 则存在 1 0M ，使得对任意 * nN， 1n dM恒成立， 则存在 2 0M ，使得对任意 * nN， 2n eM恒成立， 11iiii i bd ed e 1111iii ii ii i d ededede 111 ()() iiiiii dd eee d 111 ()() iiiiii dd eee d n d和 n e为单调递增数列的有界数列， 11111 ()() iiii iiiiiii bd ed eddeeed 1121 ()() iiii M ddM ee 则 2111 ()() iiiii bMddM ee 则 12312111 ()() nnn bbbbMddM ee 2111211212 (|)(|)(2)(2)4 nn MddMeeMMMMM M 存在 12 4TM M即可，则数列 n f为有界变差数列.