2020-2021初中数学人教版九年级下册优质导学案27-2-3 第1课时 相似三角形应用举例（1）.doc

1、 27.2.3 相似三角形应用举例相似三角形应用举例 第第 1 课时课时 相似三角形应用举例（相似三角形应用举例（1） 测量塔高与测量河宽测量塔高与测量河宽 一、新课导入一、新课导入 1.课题导入 情景一：胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大 奇观之一”.塔的个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约 230 多米.据考证，为建成大金字塔，共动用了 10 万多人花了 20 年时间.原高 146.59 米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低. 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在 金字塔影子的顶部立一根木杆，借

2、助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字 塔的高度. 情景二：在无法过河的条件下，怎样估算河的宽度？ 那么，具体是怎样操作的呢？这节课我们一起来探讨这两个问题（板书课 题）. 2.学习目标 (1)利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度或 长度的问题. (2)体会数学转化的思想，建模的思想. 3.学习重、难点 重点：利用相似三角形的知识，解决求实际问题中不能直接测量的物体高度 或长度的问题. 难点：数学建模. 二、分层学习二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材 P39 例 4. （2）自学时间：10 分钟. （3）自学方法：完成自学参考提纲. （4）自学参考提纲：

3、 怎样判定两个直角三角形相似？ 你知道哪些利用相似三角形测物体高度的方法？ 如图，如果木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求 金字塔的高度 BO. BA DE,BAO= EDF , 又BOA=EFD= 90 , BOA EFD . BOOA EFFD . EF=2 m，FD=3 m，OA=201 m，BO= 134 m . 总结本题的解题思路. 在某一时刻，测得一根长为 1.8 m 的竹竿的影长为 3 m，同时测得一栋高 楼的影长为 90 m，这栋高楼的高度为多少？(54 m) 2.自学：学生参照自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： 明了学情

4、：明了学生是否理解这种测量方法的原理. 差异指导：根据学情进行指导. （2）生助生：生生互动交流、研讨. 4.强化 （1）以师生对话的形式推进课堂交流活动. （2）点一名学生板演自学参考提纲第题. 1.自学指导 （1）自学内容：教材 P40 例 5. （2）自学时间：10 分钟. （3）自学方法：完成自学参考提纲. （4）自学参考提纲： 你有哪些利用全等三角形的知识测量河宽的方法？ 用相似三角形的知识估算河的宽度： 如图,由 QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m, 求河宽 PQ，需证哪两个三角形相似？ PQR=PST=90 ， P=P ， PQR PST ， PQQR PSST ，

5、设 PQ=x,可列方程 60 4590 x x ，解得 x= 90 . 因此河宽约为 90 m. 如图，测得 BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽 AB. ABD=ECD=90 ,ADB=EDC, ABDECD. CECD BABD . 即 5060 120BA .解得 AB=100(m). 为了测量被池塘隔开的 A，B 两点之间的距离，根据实 际情况，作出如右图形，其中 ABBE，EFBE，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上.有四位同学分别测量出以下四组数据： BC，AC； EF，DE，BD；DE，DC，BC；DC，DB， AC能根据所测数据求出 A，B 间距离的有

6、（B） A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.0 组 2.自学：学生参照自学提纲进行自学. 3.助学 （1）师助生： 明了学情： 明了学生能否通过阅读例题的解题过程弄清实际问题是怎样转 化为数学问题的. 差异指导：根据学情指导学生画图，把实际问题抽象成数学问题. （2）生助生：小组交流、研讨. 4.强化 （1）运用相似三角形解决实际问题的基本思路是：根据题目所给的条件和 所求问题建立相似三角形模型.解题步骤为：先证三角形相似，再运用相似三角 形性质得比例线段，然后列方程或直接计算求值. （2）点一名学生板演自学参考提纲第题，点一名学生口答自学参考提纲 第题，并点评. 三、评价三、评价 1.学

7、生自主学习的自我评价：这节课你学到了些什么？还有哪些疑惑？ 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：从学生对学习的专注程度，小组协作状态等方面进行评 价. （2）纸笔评价（课堂检测题）. 3.教师的自我评价（教学反思）. 本课时主要是让学生经历了运用两个三角形相似解决实际问题中的测量问 题的过程，体验从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力和 数学应用能力.因此，为了增强数学的趣味性，在教学设计中选择有趣的实际问 题，让学生在富有故事性或现实性的数学情境问题中，谈及解决问题的方法，激 发学生的学习兴趣. 一、基础巩固（70 分） 1.(10 分)如图，利用标杆 BE 测量建筑物

8、的高度.如果标杆 BE 高 1.2 m，测得 AB=1.6 m，BC=8.4 m，则楼高 CD 是多少？ 解：EBDC, AEBADC. EBAB DCAC , 即 1 21 6 1 68 4 . .DC ,求得 DC=7.5（m）. 2.(10 分)为了测量一池塘的宽 AB,在岸边找到了一点 C,使 ACAB，在 AC 上找到一点 D，在 BC 上找到一点 E,使 DEAC，测出 AD=35 m，DC=35 m， DE=30 m,求池塘的宽 AB. 解：ACAB,DEAC， ABDE, CDECAB, DECD ABCA , 即 3035 3535AB ,求得 AB=60(m). 3.(10

9、 分)如图是一个照相机成像的示意图，MNAB. （1）如果像高 MN 是 35 mm，焦距 DL 是 50 mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9 m，拍摄点离景物有多远(即 LC 的长度)？ （2）如果要完整的拍摄高度是 2 m 的景物，拍摄点离景物有 4 m，像高不 变，则相机的焦距应调整为多少？ 解： （1）设拍摄点离景物的距离为 x mm. MNAB,MNLBAL, MNDL BACL , 即 3550 4900 x ,解得 x=7000.7000 mm=7 m. 拍摄点离景物距离为 7 m. （2）设相机的焦距为 y mm. 由相似三角形的性质可得： 35 20004000 y ,解

10、得 y=70. 相机的焦距应调整为 70 mm. 4.(40 分)某班同学进行课外活动，为测量一池塘两端 A、B 的距离，设计了 几种方案，下面介绍两种： （）如图 1，先在平地取一个可以直接到达 A、B 的点 C，并分别延长 AC 到 D，BC 到 E，使 DC=AC，EC=BC，最后测出 DE 的长即为 AB 的距离； （）如图 2，先过 B 点作 AB 的垂线 BF，再在 BF 上取 C、D 两点，使 BC=CD，接着过点 D 作 BD 的垂线 DE，交 AC 的延长线于 E，最后测出 DE 的 长即为 AB 的距离. 阅读后回答下列问题： （1）方案（）是否可行？ 可行 ，理由是 DC

11、=AC,ACB= DCE,BC=EC,ACBDCE(SAS).AB=DE ； （2）方案（）是否可行？ 可行 ，理由是 BFDE,BFAB,ABC= EDC=90 ,BC=DC,ACB=ECD,ABCEDC(ASA).AB=ED . （3）方案（）中作 BFAB，EDBF 的目的是 使ABCEDC ；若 仅满足ABD=BDE90，方案（）是否可行？ (可行.因为ABC 依然全等于EDC.) （4）方案（）中，若使 BC=n CD，能否测得（或求出）AB 的长？ 能 . 理由是 依题意，ABC=EDC,ACB=ECD,ABCEDC, BCAB n DCED ， 若 ED=m，则 AB= mn .

12、 二、综合应用（20 分） 5.(20 分)如图， 为了测量一栋大楼的高度， 王青同学在她脚下放了一面镜子， 然后向后退，直至她刚好在镜子中看到大楼顶部，这时LMK 等于SMT 吗？ 如果王青身高 1.55 m， 她估计自己的眼睛离地面 1.50 m， 同时量得 LM30 cm， MS2 m，这栋大楼有多高？ 解：LMK=SMT.又KLM=TSM=90 , KLMTSM, KLLM TSSM , 即 1 50 3 2 . TS ,解得 TS=10(m). 这栋大楼有 10 m 高. 三、拓展延伸（10 分） 6.（10 分）如图，点 D、E 分别在 AC、BC 上，如果测得 CD=20 m，CE=40 m，AD=100 m，BE=20 m，DE=45 m，求 A、B 两地间的距离. 解：由题意可知，CD=20 m,CE=40 m,AD=100 m，BE=20 m，DE=45 m. AC=AD+DC=120 m,BC=BE+CE=60 m. 1 3 CDCE CBCA ,而C=C,CDECBA. 1 3 DE BA ,AB=135(m). A、B 两地间的距离为 135 m.