2020-2021初中数学人教版九年级下册同步学案第28章章末复习.doc

1、 章末复习章末复习 【知识与技能】 1.进一步理解并掌握锐角三角形函数的意义，能用定义进行相关的 计算； 2.熟记特殊角的三角函数值，能用计算器求任意锐角的三角函数值 或利用锐角的三角函数值求相应角的度数； 3.能用解直角三角形知识解决实际应用问题. 【过程与方法】 进一步增强学生分析问题、解决问题的能力，掌握数形结合的 思想方法. 【情感态度】 进一步增强学生的数学应用意识，感受数学的转化思想方法， 增强学生对数学学习的热情. 【教学重点】 通过对本章知识的回顾，巩固所学知识，能熟练运用所学知识 解决具体问题. 【教学难点】 运用锐角三角函数解决实际应用问题. 一、一、 知识框图，整体把握知

2、识框图，整体把握 【教学说明】 教学前，教师应根据本章知识内容设计一个适 合要求的知识结构框图，教学时，与学生一道回顾本章知识，按自己 的设计思路展示出结构图，让学生加深对本章知识的系统理解. 二、释疑解惑，加深理解 问题 1 请用计算器探索出锐角函数的函数值随自变量锐角从 小到大的变化而变化的情况，你有什么发现? 【教学说明】 教师可引导学生利用计算器求出 010， 1020，2030，8090 之间的某一锐角的三 角函数值，通过分析得到的函数值，可获得锐角三角函数的一些简单 性质. 【归纳结论】 对于锐角 A，它的正弦函数 (sinA)的函数值随 自变量锐角 A 的增大而增大，且 sinA

3、 必满足 0 sinA1;它的余弦 函数 (cosA)的函数值随锐角 A 的增大而减小，且 cosA 必满足 0 COSA1;它的正切函数（tanA) 的函数值随锐角 A 的增大而增大，且 tanA 满足 tanA0. 试一试 若锐角 A 的余弦值 cosA = 3，则锐角 A 的取值范围 是（ ） A. 60A90 B. 45A60 C. 30A45 D. 0A30 分析与解 由于 cos30= 3 2 0. 866,cos45= 2 2 0. 707 ,cos60 = 1 2 ，且 cosA = 3 4 = 0.75，知 cos45cosA cos30，结合余弦函数的性质，其函数值随角度的

4、增大而减小，从 而可知 30A；45，故应选 C. 问题 2 利用锐角三角函数定义及勾股定理， 你能证明 sin2A + cos2A = 1 吗？你有何发现？ 问题 3 若A + B =90，你能探索出 tanA 与 tanB 之间有 什么关系吗？与同伴交流. 【教学说明】 教师应引导学生构建直角三角形，利用直角三 角形的边角关系及相应锐角的三角函数的意义不难得出结论.经历由 问题 1 的感性认识到问题 2、3 的理性思考可进一步开拓学生的思维 能力，增强解题技能. 【结论】 1.对于任意锐角 A，总有 sin 2A + cos2A = 1 ； 2.若两个锐角A，B 满足A + B = 90，

5、 则必有 tanA tanB = 1. 试一试 化简 22 sin 232sin231 cos 23tan1tan11 tan21tan31tan89tan79tan69tan59. 分析与解 由 2 sin 232sin23 = 2 sin231（） = |sin231| = 1 sin23， 2 1 cos 23 = 2 sin 23 = sin23， 及 tan1 tan89 =1 等可得到原式 = 1 sin23+ sin23 1 = 0. 三、典例精析三、典例精析，复习新知，复习新知 例 1 在 RtABC 中，C=90，已知 cosA= 1 3 ，求 cosB 和 tanA 的值.

6、 分析与解 结合图形及已知条件，由 cosA= 1 3 = AC AB ，故 不妨设 AC=m，则 AB=3m，由勾股定理易得 BC=2 2m，从而 cosB = BC AB = 2 2 3 m m = 2 2 3 , tanA = BC AC = 2 2m m = 2 2. 例 2 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的 O 经过点 C，E 是O 上一点，且BEC=45. （1）试判断 CD 与O 的位置关系，并说明理由. （2）若 BE=8 cm，sinBCE = 4 5 ，求O 的半径. 分析与解 本例是一道圆、平行四边形、锐角三角函数的 小综合问题，在（1）中可直接由

7、BEC=45得到BOC=90（添加 辅助线 OC） ，再利用平行四边形性质，可得到OCD=BOC=90，从 而 CD 是O 的切线； 在 （2） 中， 应先连 AE， 利用圆的性质可得BAE= BCE， 又 AB 为O 直径，故ABC 为直角三角形， 这样由 sinBCE= 4 5 ，得到 sinBAE= 4 5 = BE AB ，又 BE=8，从而得 AB=10，故O 的 半径为 5.通过上面的分析可以发现，对于不是直角三角形中的锐角 三角函数问题，常常需通过添加辅助线，将这一锐角三角函数转化为 直角三角形中某个角的三角函数来解决问题. 例 3 小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了

8、 如图所示的平面图形， 已知吊车吊臂的支点O距离地面的高 OO =2米， 当吊臂顶端由 A 点抬升至点 A （吊臂长度不变）时，地面 B 处的重物 （大小忽略不计） 被吊至 B 处， 紧绷着的吊缆A B =AB.AB 垂直地面 O B 于点 B，A B 垂直地面 O B 于点 C，吊臂长度 O A =OA=10 m，且 cosA = 3 5 ，sin A = 1 2 . （1）求此重物在水平方向移动的距离 BC； （2）求此重物在竖直方向移动的距离 B C.（结果保留根号） 分析与解 过 O 作 OFAB 于 F，交A B 于点 E（如图） ，这样 可在 RtAOF 中， 利用 OA=10，

9、cosA= 3 5 ， 求出 AF=6， 从而得 OF=8， 在 Rt A OE 中，由 O A =10，sin A = 1 2 ，得 OE=5，从而 BC=EF=OF-OE=8-5=3 m，即重物在水平方向移动的距离为 3 m；同样， 可求出 AB=AF+BF=AF+ OO =6+2=8，在 Rt A OE 中，可得 A E=5 3.故 A C= A E+EC =5 3+2,这样 B C= A C-A B = A C-AB=5 3+2-8=5 3-6，即 此重物在竖直方向移动的距离为（5 3-6） m. 例 4 某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵 树DE的高度.他们在这棵树正前方一座

10、楼亭前的台阶上A点处测得树 顶端 D 的仰角为 30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测 得树顶端 D 的仰角为 60,已知 A 点的高度 AB 为 2 m，台阶 AC 的坡 度为 13 (即 ABBC=13，且 B、C、E 三点在同一直线上，请 根据以上条件求出树 DE 的高度（测倾器的高度忽略不计）. 分析与解 如图，过点 A 作 AFDE 于 F，则四边形 ABEF 为矩形. AF=BE， EF=AB=2.设 DE=x， 在 RtCDE 中， CE= tanDCE DE = tan60? DE = 3 3 x. 在 RtAFD 中，DF = DE EF = x 2，AE= tan

11、DAF DF = 2 tan30? x = 3(x2). AF = BE = BC + CE，3(x2) = 2 3 + 3 3 x.解得 x=6.即树 DE 的高度为 6m. 例 5 图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面 图是轴对称图形，当点 O 到 BC（或 DE）的距离大于或等于O 的半 径时（O 是桶口所在圆，半径为 OA） ，提手才能从图甲的位置转到 图乙的位置， 这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手 （如 图丙 A-B-C-D-E-F，C-D 是 CDTX(,其余是线段） ，O 是 AF 的中点， 桶口直径 AF=34 cm，AB=FE=5 cm，ABC=FED=

12、149.请通过计算 判断这个水桶提手是否合格. （参考数据：31417.72,tan73.63.40,sin75.40.97,） 分析与解 要判断图丙中所示提手是否合格，可过 O 作 OM BC 于 M，只须比较 OM 与 OA 的大小即可.这时再连 OB，在 RtABO 中，由 tanABO = OA OB = 17 5 = 3.4 及 tan73.6=3.4 可知ABO=73.6，又ABC=149， 从而MBO=75.4， 又 OB = 22 ABOA = 25289 =314 17.72， 且 sinMBO= OM OB ，OM=OBsinMBO=17.72sin75.4=17.72 0

13、.9717.2，由 OMOA 知，这个提手是合格的. 【教学说明】 上述所选四道题中的例 1，例 2 可由学生自主 探究，独立完成，然后相互交流，互相检查.例 3、例 4 文字叙述较 长，教师应作好引导，帮助学生分析，找出解决问题的突破口，让学 生在理解的基础上探寻结论， 进一步体验用锐角三角函数知识解决实 际问题的过程、方法，加深对本章知识的理解. 四、师生互动，课堂小结四、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？ 【教学说明】 师生相互交流，让学生谈谈自己的想法，提 出来与大家分享，也可帮助学生进行知识、方法的提炼，形成完整的 知识结构. 1.布置作业：从教材 P8485复习题 28 中选取. 2.完成创优作业中本课时的练习. 本课时为复习课，首先要让学生了解本章的知识体系，教学的展 开以问题的解决为中心， 指导学生自主理清由实际问题转化为三角函 数模型的思路，增强学生数学问题的转化意识.