2022年旧高考（人教版）数学一轮教学案：第四章第四讲　平面向量的综合应用 （含解析）.doc

1、第四讲第四讲 平面向量的综合应用平面向量的综合应用 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、 点共 线等问题 共线向量定理 ab_ab_x1y2x2y10_，其中 a(x1， y1)，b(x2，y2)，b0 垂直问题 数量积的运算 性质 ab_a b0_x1x2y1y20_， 其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 a，b 为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos _ a b |a|b|_( 为向量 a，b 的夹角)，其中 a，b 为 非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|_

2、 a2_ x2y2_，其中 a(x，y)，a 为非 零向量 用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题 设向量 向量问题 运算 解决向量问题 还原 解决几何问题 知识点二 向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调 向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考 查的主体 知识点三 向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与 数量积，向量的共线与垂直求解相关问题 归 纳 拓 展 1若 G 是ABC 的重心，则GA GB GC 0. 2若直线

3、 l 的方程为 AxByC0，则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(B，A)与直线 l 平行 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若AB AC，则 A，B，C 三点共线( ) (2)在ABC 中，若AB BC0， y0， 且 xy1，则CD BE 的最大值为( B ) A5 8 B3 8 C3 2 D3 4 解析 由题意可知CD AD AC (1x)ABAC， BE AEAB(1y)ACAB，又 xy1， BE ABxAC，又|AB|AC|1，AB AC1 2， CD BE (1x)ABAC (ABxAC) x 2x1 2 x1 2 23

4、 4 2 3 8(当且仅当 x 1 2时取等号)故选 B 考点二 向量在解析几何中的应用师生共研 例 2 若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y2 31 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意 一点，则OP FP 的最大值为_6_. 解析 由题意，得 F(1,0)，设 P(x0，y0)， 则有x 2 0 4 y20 31，解得 y 2 03 1x 2 0 4 ， 因为FP (x 01，y0)，OP (x0，y0)， 所以OP FP x 0(x01)y 2 0 x 2 0 x03 1x 2 0 4 x 2 0 4x03，对应的抛物线的对称轴方程为 x02， 因为2x02， 故当 x02 时

5、，OP FP 取得最大值22 4 236. 名师点拨 向量在解析几何中的“两个”作用：载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于 “包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点 的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；工具作用，利 用 aba b0(a，b 为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地， 向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法 变式训练 2 已知直线 xya 与圆 x2y22 交于 A，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA OB OC ，则 a 的值为(

6、A ) A 1 B 2 C 3 D 2 解析 因为 A，B，C 均为圆 x2y22 上的点， 故|OA |OB |OC | 2， 因为OA OB OC ，所以(OA OB )2OC 2， 即OA 22OA OB OB 2OC2， 即 44cos AOB2，故AOB120 . 则圆心 O 到直线 AB 的距离 d 2 cos 60 2 2 |a| 2，则|a|1，即 a 1.故选 A 考点三 向量与其他知识的交汇师生共研 例 3 (2020 吉林省实验中学高三上第四次月考)已知向量 a(sin x，1)，b 3cos x，1 2 ，函数 f(x)(ab) a2. (1)求函数 f(x)的单调递增

7、区间； (2)已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，其中 A 为锐角，a 3，c1，且 f(A)1，求ABC 的面积 S. 解析 (1)f(x)(ab) a2|a|2a b2sin2x1 3sin xcos x1 22 1cos 2x 2 3 2 sin 2x1 2 3 2 sin 2x1 2cos 2xsin 2x 6 ， 则 22k2x 6 22k(kZ) 解得 6kx 3k(kZ) 函数 f(x)的单调递增区间为 k 6，k 3 (kZ) (2)f(A)sin 2A 6 1， A 0， 2 ，2A 6 6， 5 6 ， 2A 6 2，A 3. 又 a2b2c22bcc

8、os A，b2， 从而 S1 2bcsin A 3 2 . 名师点拨 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等， 得到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值 变式训练 3 在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 m cos B，2cos2C 21 ， n(c，b2a)，且 m n0. (1)求C 的大小； (2)若点 D 为边 AB 上一点，且满足AD DB ，|

9、CD | 7，c2 3，求ABC 的面积 解析 (1)因为 m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，m n0，所以 ccos B(b2a)cos C 0， 在ABC 中，由正弦定理得， sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0，sin A2sin Acos C， 又 sin A0，所以 cos C1 2，而 C(0，)，所以C 3. (2)由AD DB 知，CD CA CBCD ，所以 2CD CA CB， 两边平方得 4|CD |2b2a22bacosACBb2a2ba28. 又 c2a2b22abcosACB， 所以 a2b2ab12. 由得 ab8，所以 SAB

10、C1 2absinACB2 3. 名师讲坛 素养提升 三角形的四“心”及三角形形状的判定 例 4 (1)点 P 是ABC 所在平面上一点， 若PA PBPB PCPC PA， 则点 P 是ABC 的( D ) A外心 B内心 C重心 D垂心 (2)O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | ，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( B ) A外心 B内心 C重心 D垂心 (3)已知 A， B， C 是平面上不共线的三点， 若动点 P 满足OP OA AB |AB |cos B AC |AC |cos C ， (0

11、，)，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的( B ) A重心 B垂心 C内心 D外心 (4)已知 A， B， C 是平面上不共线的三点， 若动点 P 满足OP OA AB |AB |sin B AC |AC |sin C ， (0，)，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的( A ) A重心 B垂心 C内心 D外心 解析 (1)由PA PBPB PC，得PA PBPB PC0，即PB (PAPC)0，即PB CA0， 则 PBCA 同理 PABC，PCAB，所以 P 为ABC 的垂心故选 D (2)因为 AB |AB |是向量AB 方向上的单位向量，设AB与AC方向上的单位向量分别为 e 1和

12、e2，又 OP OA AP ，则原式可化为AP(e 1e2)，则由菱形的基本性质可知 AP 平分BAC，选 B (3)由条件，得AP AB |AB |cos B AC |AC |cos C 从而AP BC AB BC |AB |cos B AC BC |AC |cos C |AB |BC|cos180 B |AB |cos B |AC | |BC|cos C |AC |cos C (|BC |BC|)0，得APBC，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心故选 B 另解：作 ADBC 于 D，则 AB |AB |cos B AC |AC |cos C AD DB |BD | AD DC |CD

13、 | AD |BD | AD |CD | 1 |BD | 1 |CD | AD . AP 与AD 共线，故点 P 必过ABC 的垂心 (4)由正弦定理得 |AB | sin C |AC | sin B， 即|AB | sin B|AC|sin C， OP OA AB |AB |sin B AC |AB |sin B ， 即AP |AB |sin B(AB AC) 2 |AB |sin BAM (其中 M 为 BC 的中点)， PAM，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心，故选 A 另解：作 ADBC 于 D，则 AB |AB |sin B AC |AC |sin C 1 |AD | (AB

14、 AC)2 |AD | AM (其中 M 为 BC 的中点)， 即AP 与AM 共线，动点 P 的轨迹一定过ABC 的重心，选 A 名师点拨 三角形各心的概念介绍 (1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是ABC 的重心OA OB OC 0； (2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ； (3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心) O 是ABC 的外心|OA |OB |OC |(或OA 2OB2OC2)； (4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是ABC 的内心 OA AB |AB | AC

15、 |AC | OB BA |BA | BC |BC | OC CA |CA | CB |CB | 0. 注意： 向量 AB |AB | AC |AC | (0)所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在直线) 例 5 (2020 驻马店质检)若 O 为ABC 所在平面内任一点， 且满足(OB OC ) (OB OC 2OA )0，则ABC 的形状为( C ) A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 分析 通过向量运算从算式中消掉 O. 解析 由题意知CB (ABAC )0.所以(AB AC) (ABAC )0，即|AB |AC|，所以 ABC 是等腰三角形，故选 C

16、引申 (1)若条件改为“|OB OC |OB OC 2OA |”结果如何？ (2)若条件改为“AB 2AB ACBA BCCA CB”结果如何？ 解析 (1)OB OC 2OA OB OA OC OA AB AC，OB OC CB ABAC， |AB AC|ABAC|ABAC|2|ABAC|2AB AC0，三角形为直角三角形，故选 B (2)AB 2AB ACBA BCCA CB， AB (ABAC)BC (BACA)， AB CBBC2， BC (BCAB)0，即BC AC0 BC AC，即 C 2. ABC 为直角三角形，故选 B 名师点拨 三角形形状的判断 在ABC 中，若|AB |AC

17、|，则ABC 为等腰三角形；若AB AC0，则ABC 为直 角三角形；若AB AC0，BA BC0，且CA CB0， 则ABC 为锐角三角形； 若|AB AC|ABAC|， 则ABC 为直角三角形； 若(ABAC) BC 0，则ABC 为等腰三角形 变式训练 4 (1)若 P 为ABC 所在平面内一点 若(OP OA ) (AB AC)0，则动点 P 的轨迹必过ABC 的_垂心_. 若OP OA (AB AC)(0)，则动点 P 的轨迹必过ABC 的_重心_. 若CA 2CB22AB CP，则动点 P 的轨迹必过ABC 的_外心_. (2)已知非零向量AB 与AC满足 AB |AB | AC

18、|AC | BC 0 且AB |AB | AC |AC | 1 2，则ABC 为( D ) A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 解析 (1)由题意知AP CB0，APBC，动点 P 必过ABC 的垂心； 由题意知AP (ABAC)2AM (M 为 BC 中点)P、A、M 共线，P 必过ABC 的 重心； 2AB CPCB2CA2(CBCA) (CBCA)AB (CBCA)， 即 2AB CPAB (CBCA)， AB (2CP CB CA )AB (BPAP)0.以BP，AP为邻边的平行四边形的对角线互相垂 直点 P 在线段 AB 的中垂线上，P 必过ABC 的外心 (2)因为非零向量AB 与AC满足 AB |AB | AC |AC | BC 0，所以BAC 的平分线垂直于 BC，所以 ABAC 又 cos BAC AB |AB | AC |AC | 1 2，所以BAC 3.所以ABC 为等边三角形故选 D