2022年旧高考（人教版）数学一轮教学案：第十章第二讲　排列与组合（理） （含解析）.doc

1、第二讲第二讲 排列与组合排列与组合(理理) 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 排列与排列数 (1)排列的定义：从 n 个_不同_元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的_顺序_排成 一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_所有不同排列_的个数叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号_Am n_表示 (3)排列数公式：Am n_n(n1)(n2)(nm1)_ (4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，Annn(n 1)(n2)21_n！_排列数公式

2、写成阶乘的形式为 Am n n！ nm！，这里规定 0！_1_ 知识点二 组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从 n 个_不同_元素中取出 m(mn)个元素_合成一组_，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的_所有不同组合_的个数， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号_Cm n_表示 (3)组合数的计算公式：Cm nA m n Am m n！ m！nm！ nn1n2nm1 m！ ，这里规定 C0n _1_ (4)组合数的性质：Cm n_C nm n _；Cm n1_C m n_C m1 n

3、 _ 注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，注意 Am n、C m n中的隐含条件 mn，且 m， nN 归 纳 拓 展 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序( ) (3)两个组合相同的充要条件是

4、其中的元素完全相同( ) (4)(n1)！n！n n！ ( ) (5)若组合式 CxnCm n，则 xm 成立( ) (6)kCknnCk 1 n1( ) 题组二 走进教材 2 (P27A 组 T716)6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座， 任何两人不相邻的坐法种数为( D ) A144 B120 C72 D24 解析 “插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相 邻的坐法种数为 A3443224 题组三 走向高考 3(2017 全国卷)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人 完成，则不同的安排方式共有( D ) A

5、12 种 B18 种 C24 种 D36 种 解析 4 项工作分成 3 组，可得：C246，安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，可得：6A3336 种，故选 D 4(2018 浙江)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取 2 个数字，一共可以组成 _1_260_个没有重复数字的四位数(用数字作答) 解析 从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字有 C25种方法， 从 2,4,6,0 中任取 2 个数字不含 0 时，有 C23种方法， 可以组成 C25 C23 A44720 个没有重复数字的四位数； 含有 0 时，0

6、 不能在千位位置，其它任意排列，共有 C13 C13 C25 A33540， 故一共可以组成 1 260 个没有重复数字的四位数，故答案为：1 260 5(2018 新课标)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入 选，则不同的选法共有_16_种(用数字填写答案) 解析 解法一：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，且至少有 1 位女生入选的情况有以下 2 种：2 女 1 男：有 C22C144 种选法；1 女 2 男：有 C12C2412 种选法，故至少有 1 位女生 入选的选法有 41216 种 解法二：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人有 C362

7、0 种选法，其中选出的 3 人都是男生的 选法有 C344 种，所以至少有 1 位女生入选的选法有 20416 种 考点突破 互动探究 考点一 排列问题自主练透 例 1 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为： (1)选其中 5 人排成一排；_2_520_ (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；_5_040_ (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；_3_600_ (4)全体排成一排，女生必须站在一起；_576_ (5)全体排成一排，男生互不相邻；_1_440_ (6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有 3 人；_720_ (7)全体排成一排，甲必

8、须排在乙前面；_2_520_ (8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端_3_720_ 解析 (1)从 7 个人中选 5 个人来排，是排列， 有 A57 765432 520(种) (2)分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A37种方法，余下 4 人排在后排，有 A44种方法，故 共有 A37 A445 040(种)事实上，本小题即为 7 人排成一排的全排列，无任何限制条件 (3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素先排甲，有 5 种方法；其余 6 人有 A66种 方法，故共有 5A663 600 种 解法二： (位置分析法)排头与排尾为特殊位置 排头与排尾从非甲的 6 个人中选

9、2 个排列， 有 A26种方法，中间 5 个位置由余下 5 人进行全排列，有 A55种方法，共有 A26A553 600 种 (4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全排列，有 A44种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法，故共有 A44A44576 种 (5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 A44种方法，再在女生之 间及首尾空出 5 个空位中任选 3 个空位排男生，有 A35种方法，故共有 A44A351 440 种 (6)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有 A22种方法；第二步从 余下 5 人中选 3

10、人排在甲、乙中间，有 A35种；第三步把这个整体与余下 2 人进行全排列，有 A33种方法故共有 A22 A35 A33720 种 (7)消序法： A77 2！2 520 (8)间接法：A772A67A553 720 位置分析法：分甲在右端与不在右端两类 甲在右端的排法有 A66(种)排法， 甲不在右端的排法有 55A55(种)排法， 共有 A6625A553 720(种) 引申本例中 7 人排一排，(1)甲站中间的站法有_720_种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头 和排尾的站法有_960_种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有_960_种 解析 (1)A36A33720；或 A66720

11、(2)A22A14A55960； (3)A22A44A25960 名师点拨 求解排列应用问题的 6 种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素 的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素 插在前面元素排列的空当中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的 全排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 变式训练 1 (1)(2021 广东深圳宝安区调研)某车队有 6 辆车，现要调出 4 辆按一定的顺序出去执行任 务，要

12、求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有_72_种不同的调度方法(用 数字填写答案) (2)(2020 广西兴宁、南宁三中期末)2020 年 3 月 31 日，某地援鄂医护人员 A，B，C，D， E，F,6 人(其中 A 是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导 的热烈欢迎当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这 6 名医护人员和接见他们的一位领导 共7人站一排进行拍照， 则领导和队长站在两端且BC相邻， 而BD不相邻的排法种数为( D ) A36 种 B48 种 C56 种 D72 种 解析 (1)C24C24A2272或 C24 A44 2 72 (2)领

13、导和队长站在两端，有 A222 种情况， 中间 5 人分 2 种情况讨论： 若 BC 相邻且与 D 相邻，有 A22A3312 种安排方法， 若 BC 相邻且不与 D 相邻，有 A22A22A2324 种安排方法， 则中间 5 人有 122436 种安排方法， 则有 23672 种不同的安排方法；故选 D 考点二 组合问题师生共研 例 2 (1)(2021 广东中山模拟)从 10 名大学毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、 乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( B ) A85 B49 C56 D28 (2)(2021 福建宁德联考)福建省第十六届运动会于 2018 年在宁

14、德召开，组委会预备在会议 期间将 A，B，C，D，E，F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作若要求 A， B 必须在同一组，且每组至少 2 人，则不同的分配方法有( D ) A15 种 B18 种 C20 种 D22 种 解析 (1)丙没有入选，可把丙去掉，总人数变为 9 个甲、乙至少有 1 人入选， 可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有 C12 C2742(种)，另一类是甲、乙都入选 的选法有 C22 C177(种)，根据分类加法计数原理知共有 42749(种) (2)先从两个不同的地点选出一地点分配 A，B 两人，有 C122(种)情况，再将剩余 4 人分 入两地有三种

15、情况， 4 人都去 A，B 外的另一地点，有 1 种情况； 有 3 人去 A，B 外的另一地点，有 C344(种)情况； 有 2 人去 A，B 外的另一地点，有 C246(种)情况 综上，共有 2(146)22(种)，故选 D 引申本例(1)中，甲、乙恰有 1 人入选的选法有_56_种；甲、乙都不入选的选法有 _56_种 解析 C12C2856 C3856 名师点拨 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另 外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解

16、这类题必须十分重视“至少”与 “至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直 接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 变式训练 2 (1)(2020 海南省联考)楼道里有 9 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏互不相邻的灯，为了 行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( A ) A10 B15 C20 D24 (2)(2021 江苏南通质检)我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配 23 艘驱逐 舰，12 艘核潜艇船厂现有 5 艘驱逐舰和 3 艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组 建方法种数为( D ) A30 B60 C90 D120

17、 解析 (1)问题等价于将这 3 盏关着的灯插入 4 盏亮着的灯形成的 5 个空档中， 所以关灯 方案共有 C3510 种 (2)有两种情况，一艘航母配 2 艘驱逐舰和 1 艘核潜艇，另一艘航母配 3 艘驱逐舰和 2 艘核潜艇，一艘航母配 2 艘驱逐舰和 2 艘核潜艇，另一艘航母配 3 艘驱逐舰和 1 艘核潜艇， C12 (C25C13C25C23)120，故选 D 考点三,排列、组合的综合应用多维探究 角度 1 相邻、相间问题 例 3 (1)(2021 河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由 6 个节目组成，考虑整体效果， 对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起

18、，则该校 毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有_120_种 (2)(2021 湖南师范大学附属中学模拟)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、 物理、化学各一节课要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则 不同排课方案的种数是( A ) A16 B24 C8 D12 解析 (1)当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有 A44A2248 种；当甲在第二 位，首位不能是丙和丁，共有 3A33A2236 种；当甲在第三位，前两位分为是丙、丁和 不是丙、丁两种情况，共 A22A23A23A22A2236 种，因此共 483636120 种 (2)根据题意，分三步进行分析，要求语文

19、与化学相邻，将语文和化学看成一个整体， 考虑其顺序，有 A222(种)情况；将这个整体与英语全排列，有 A222(种)情况，排好后，有 3 个空位；数学课不排第一节， 有 2 个空位可选， 在剩下的 2 个空位中任选 1 个，安排物理， 有 2 种情况，则数学、物理的安排方法有 224(种)，则不同排课方案的种数是 224 16，故选 A 角度 2 特殊元素(位置)问题 例 4 (1)(2021 重庆模拟)从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学、物理、化学、生物 四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( D ) A48 B72 C90 D96 (2)(2021 山东质检)高

20、三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数学、英语和体育其 中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节， 则不同的课表安排方法共有_9_种 解析 (1)由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外 3 场竞赛或甲不参加任何竞赛 当甲参加另外 3 场竞赛时，共有 C13 A3472(种)选择方案； 当甲学生不参加任何竞赛时，共有 A4424(种)选择方案 综上所述，所有参赛方案有 722496(种) (2)由于四个元素都有特殊要求，不宜从排列、组合数公式入手，列表法为佳， 如： 第一节 第二节 第三节 第四节 数学语文体育英语英语体育语文体育语文英语 同理第一节排英

21、语、体育也都有 3 种排法，故共有 9 种排法 引申本例(1)若增加“且乙不参加数学竞赛”，则不同的参赛方法种数为_78_ 解析 甲、 乙都参赛有 C23(A33C12C12A22)42 种方案； 甲参赛乙不参赛或乙参赛甲不 参赛均有 A33C1318 种方案；共有 42181878 种参赛方案 角度 3 分组、分配问题 例 5 (1)按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在 对应横线上 分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；_60_ 甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；_360_ 平均分成三份，每份 2 本；_15

22、_ 平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；_90_； 分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本；_15_ 甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；_90_ 甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本_30_ (2)8 个相同的小球放入 5 个不同盒子中，每盒不空的放法共有_35_种 15 个小球完全相同，放入编号依次为 1,2,3 的三个不同盒子中，若每个盒子内的小球数 不少于盒子的编号，则不同放法有_55_种 解析 (1)C16C25C3360；C16C25C33A33360； C 2 6C 2 4C 2 2 A33 15；C26C24C2290；C2615；C46A

23、3390； C16C15C4430 (2)一共有 8 个相同的小球，放入 5 个不同的盒子，每个盒子不空，即将小球分成 5 份， 每份至少 1 个(定分数) 将 8 个小球摆放一列，形成 9 个空，中间有 7 个空，(定空位) 则只需在这 7 个空中插入 4 个隔板，隔板不同的放法有 C47C37765 32135(种)，(插隔 板) 所以每盒不空的放法共有 35 种 先将 2 号盒内放一个球，3 号盒内放 2 个小球，还剩余 12 个小球，用隔板法将 12 个小 球分成 3 组，每组至少 1 个小球，共有 C21155 种分法，亦即有 55 种不同放法 名师点拨 解排列组合综合问题的方法 先

24、选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步 即可完成 第一步：选元素，即选出符合条件的元素； 第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列； 第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数 注意：(1)均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；(2)相同元素的分配问题常用“隔板法” 隔板法的解题步骤 (1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量 (2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数 (3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分 法种数 (4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数

25、以及需要的隔板个数，使用这种方法 需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便 确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能 插隔板 变式训练 3 (1)(角度 1)(2021 山西联考)某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验 活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念，已知农场主人站在中间，两 名男生不相邻，则不同的站法共有_16_种 (2)(角度 2)(2021 陕西汉中质检)将 5 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右 端不能排甲，则不同的排法共有( B ) A36 种 B42

26、种 C48 种 D60 种 (3)(角度 3)(2021 浙江绍兴柯桥中学测试)为抗击新冠疫情，5 名专家前往支援三家定点医 院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有_150_种 解析 (1)先排男生甲有 C14种方法， 再排男生乙有 C12种方法， 最后排两女生有 A22种方法， 故共有 C14C12A2216 种方法 另解(间接法)：农场主人在中间共有 A4424 种站法，农场主人在中间，两名男生相邻共 有 2A22 A228 种站法，故所求站法共有 24816 种 (2)根据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种情况讨论： 甲在最左端，将剩余的 4 人全排列，共有 A4424

27、种不同的排法； 乙在最左端，甲不能在最右端，有 3 种情况，将剩余的 3 人全排列，安排好在剩余的 三个位置上，此时共有 3A3318 种不同的排法，由分类加法计数原理，可得共有 241842 种不同的排法，故选 B (3)5 名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则有两种情况， 将 5 名专家分成三组，一组 3 人，另两组都是 1 人，有 C3510 种方法，再将 3 组分到 3 个医 院，共有 10 A3360 种不同的分配方案，将 5 名专家分成三组，一组 1 人，另两组都是 2 人，有C 1 5 C 2 4 A22 15 种方法，再将 3 组分到 3 个医院，共有

28、15 A3390 种不同的分配方案，根据 分类加法计算原理可得一共有 6090150 种不同的分配方案 名师讲坛 素养提升 排列组合的其它类型及解法 1限制条件的分配问题分类法： 例1 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经 济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析 因为甲、乙有限制条件，所以按照是否含有甲、乙来分类，有以下四种情况： 若甲、乙都不参加，则有派遣方案 A48种：若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方 法，然后安排其余学生有 A38方法，所以共有 3A38；若乙参加而甲不参加同理也有 3A38种； 若甲乙都参加，则

29、先安排甲、乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人中两人到另外两个城市 有 A28种，共有 7A28方法，所以共有不同的派遣方法总数为 A483A383A387A284 088 种 2多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况 分别计数，最后总计 3多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例 2 8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排， 某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析 看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 A24种，某 1 个元素排在 后半段的四个位置中选

30、一个有 A14种， 其余 5 个元素任排 5 个位置上有 A55种， 故共有 A14A24A55 5 760 种排法 4“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法： 例 3 (2020 北京海淀区二模)某运输公司有 7 个车队，每个车队的车辆均多于 4 辆现从这个公司中抽调 10 辆车，并且每个车队至少抽调 1 辆，那么共有_84_种不同的抽 调方法 解析 解法一：(分类法)，在每个车队抽调 1 辆车的基础上，还需抽调 3 辆车可分成 三类：一类是从某 1 个车队抽调 3 辆，有 C17种；一类是从 2 个车队中抽调，其中 1 个车队抽 调 1 辆，另 1 个车队抽调 2 辆，有 A27种；一类

31、是从 3 个车队中各抽调 1 辆，有 C37种故共有 C17A27C3784 种抽调方法 解法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于 4 辆，只需将 10 个份额分成 7 份可将 10 个小球排成一排，在相互之间的 9 个空当中插入 6 个隔板，即可将小球分成 7 份，故共有 C6984 种抽调方法 5选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上， 可用先取后排法 例 4 (1)四个不同球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少 种？ 解析 先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 C24种，再排：在四个盒中每 次排 3 个有 A

32、34种，故共有 C24A34 144 种 6部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不 符合条件数，即为所求 例 5 四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共 有( D ) A150 种 B147 种 C144 种 D141 种 解析 10 个点中任取 4 个点共有 C410种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四 个面上，每面内四点共面的情况为 C46，四个面共有 4C46个；过空间四边形各边中点的平行 四边形共 3 个；过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个所以四点不共面的情况的种数是 C4104C4636141 种 7

33、圆排问题单排法：把 n 个不同元素放在圆周 n 个无编号位置上的排列，顺序(例如按顺 时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的， 它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 n 个普通排列：a1，a2，a3， an；a2，a3，a4，an，a1；a3，a4，an，a1，a2；在圆排中是同一排法 8元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法： 例 6 设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同 的方法？ 解析 从 5个球中取出2个与盒子对号有 C25种， 还剩下 3个球与 3个盒子序号不能对应， 利用枚举法分析，如果剩下 3,4,5 号球与 3,4,5 号盒子时，3 号球不能装入 3 号盒子，当 3 号球 装入 4 号盒子时，4,5 号球只有 1 种装法，3 号球装入 5 号盒子时，4,5 号球也只有 1 种装法， 所以剩下三球只有 2 种装法，因此总共装法数为 2C2520 种