2022年旧高考（人教版）数学一轮教学案：第七章第三讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 （含解析）.doc

1、第三讲第三讲 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的_两点_在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 公理 2：过_不共线_的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_有且只有一条_过该点的公共 直线 知识点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行 关系 图形语言 符号语言 ab a 相交 关系 图形语言 符号语言 abA aA l 独有 关系 图形语言 符号语言 a，b 是异面直线 a 知识点三 异面直线所

2、成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把 a 与 b所成的_锐角或直角_叫做异面直线 a 与 b 所成的角 范围： 0， 2 (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线_平行_ (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_相等或互补_ 归 纳 拓 展 异面直线的判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 用符号可表示为： 若 l，A，B，Bl，则直线 AB 与 l 是异面直线(如图) 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号

3、中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，就说平面 ， 相交，并记作 a( ) (2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合( ) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面( ) (5)两两相交的三条直线共面( ) (6)若 a，b 是两条直线， 是两个平面，且 a，b，则 a，b 是异面直线( ) 题组二 走进教材 2(必修 2P52B 组 T1)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，AD 的 中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为

4、( C ) A30 B45 C60 D90 解析 连接 B1D1，D1C，则 B1D1EF，故D1B1C 即为所求的角又 B1D1B1CD1C， B1D1C 为等边三角形，D1B1C60 故选 C 3(必修 2P45例 2)如图，在三棱锥 ABCD 中，E，F，G，H 分别是棱 AB，BC，CD， DA 上的点， (1)若AE EB AH HD且 CF FB CG GD，则 E、F、G、H 是否共面_共面_ (2)若 E、F、G、H 分别为棱 AB、BC、CD、DA 的中点，当 AC，BD 满足条件_AC BD_时，四边形 EFGH 为菱形；当 AC，BD 满足条件_ACBD 且 ACBD_时

5、，四边形 EFGH 为正方形 题组三 走向高考 4(2019 新课标)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD 平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则( B ) ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 解析 点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形， M 是线段 ED 的中点， BM平面 BDE，EN平面 BDE， BM 是BDE 中 DE 边上的中线，EN 是BDE 中 BD 边上的中线， 直线 BM，E

6、N 是相交直线， 设 DE a，则 BD 2a， 平面 ECD平面 ABCD， BE 3 4a 25 4a 2 2a， BM 7 2 a，EN 3 4a 21 4a 2a， BMEN，故选 B 5(2017 新课标)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120 ，AB2，BCCC11， 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( C ) A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 解析 解法一：如图所示，补成四棱柱 ABCDA1B1C1D1， 连 DC1、BD，则 DC1AB1， BC1D 即为异面直线 AB1与 BC1所成的角， 由题意知 BC1 2， BD 2212221c

7、os 60 3， C1D 5， BC21BD2C1D2，DBC190 ， cosBC1D 2 5 10 5 故选 C 解法二：如图所示，分别延长 CB，C1B1至 D，D1，使 BDBC，B1D1B1C1，连接 DD1， B1D 由题意知，C1B 綊 B1D， 则AB1D 即为异面直线 AB1与 BC1所成的角 连接 AD，在ABD 中，由 AD2AB2BD22AB BD cosABD，得 AD 3 又 B1DBC1 2，AB1 5， cosAB1DAB 2 1B1D 2AD2 2AB1 B1D 523 2 5 2 10 5 解法三：(理)(向量法) 如图建立空间直角坐标系，则 B(0,0,0

8、)，A(2,0,0)，B1(0,0,1)，C1 1 2， 3 2 ，1 ， 从而AB1 (2,0,1)，BC1 1 2， 3 2 ，1 ， 记异面直线 AB1与 BC1所成角为 ， 则 cos |AB1 BC1 | |AB1 | |BC1 | 2 5 2 10 5 ，故选 C 考点突破 互动探究 考点一 平面基本性质的应用自主练透 例 1 如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BGGCDHHC12 (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线 解析 (1)证明：E，F

9、 分别为 AB，AD 的中点， EFBD 在BCD 中，BG GC DH HC 1 2， GHBD，EFGH E，F，G，H 四点共面 (2)EGFHP，PEG，EG平面 ABC， P平面 ABC同理 P平面 ADC P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC平面 ADCAC， PAC，P，A，C 三点共线 注：本题(2)可改为：求证 GE、HF、AC 三线共点 名师点拨 1证明空间点共线问题的方法 (1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都 在这两个平面的交线上 (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上

10、 2点、线共面的常用判定方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内 (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 ，再证明其余元素确定平面 ，最后证明 平面 ， 重合 3证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 变式训练 1 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，AA1的中点求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点 解析 (1)如图，连接 EF，CD1，A1B 因为 E，F 分别是 AB，AA1的中点，所以 EFA1B 又 A1BCD1，所以 EFCD1， 所以 E，

11、C，D1，F 四点共面 (2)因为 EFCD1，EFCD1， 所以 CE 与 D1F 必相交， 设交点为 P，则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD 同理 P平面 ADD1A1 又平面 ABCD平面 ADD1A1DA， 所以 P直线 DA 所以 CE，D1F，DA 三线共点 考点二 空间两条直线的位置关系师生共研 例 2 (1)(2019 上海)已知平面 、 两两垂直，直线 a、b、c 满足：a，b， c，则直线 a、b、c 不可能满足以下哪种关系( B ) A两两垂直 B两两平行 C两两相交 D两两异面 (2)如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C

12、1D1，C1C 的中点，有以下 四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上) 解析 (1)如图 1，可得 a、b、c 可能两两垂直； 如图 2，可得 a、b、c 可能两两相交； 如图 3，可得 a、b、c 可能两两异面；故选 B (2)因为点 A 在平面 CDD1C1外，点 M 在平面 CDD1C1内，直线 CC1在平面 CDD1C1内， CC1不过点 M，所以 AM 与 CC1是异面直线，故错；取 DD1中点 E，连接 AE，则

13、BNAE， 但 AE 与 AM 相交，故错；因为 B1与 BN 都在平面 BCC1B1内，M 在平面 BCC1B1外，BN 不 过点 B1，所以 BN 与 MB1是异面直线，故正确；同理正确，故填 名师点拨 1异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过 严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常 用到 (2)判定定理法：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面 直线 2判定平行直线的常用方法 (1)三角形中位线的性质 (2)平行四边形的对边平行 (3)平行线分线段成比

14、例定理 (4)公理：若 ab，bc，则 ac 变式训练 2 (1)(2021 甘肃诊断)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB，CD，EF，GH 在原正 方体中互为异面直线的有_3_对 (2)(2021 湘潭调研改编)下图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱 柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形是( C ) A B C D 解析 (1)画出该正方体的直观图如图所示， 其中异面直线有(AB， GH)， (AB， GD)， (GH， EB)故共有 3 对故答案为 3 (2)图中，直线 GHMN； 图中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GH

15、N，NHG，因此直线 GH 与 MN 异面；图 中，连接 MG，GMHN，因此 GH 与 MN 共面； 图中，G、M、N 共面，但 H平面 GMN，GMN 因此 GH 与 MN 异面，故选 C 考点三 异面直线所成的角师生共研 例 3 (1)(2021 广西玉林模拟)如图， 正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别为 A1B1， CD 的中点，则异面直线 D1E 与 A1F 所成的角的余弦值为( A ) A 5 5 B 5 6 C 3 3 D 3 6 (2)(2021 山东泰安模拟)如图，在三棱锥 ABCD 中，ABACBDCD3，ADBC 2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中

16、点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是( C ) A5 8 B 5 8 C7 8 D 7 8 (3)若两条异面直线 a、b 所成角为 60 ，则过空间一点 O 与两异面直线 a、b 所成角都为 60 的直线有_3_条 解析 (1)解法一：(平移法) 如图，连接 BE，BF、D1F， 由题意知 BED1F 为平行四边形， D1EBF， 异面直线 D1E 与 A1F 所成角为 A1F 与 BF 所成锐角，即A1FB， 连接 A1B，设 AB2， 则在A1BF 中，A1B2 2，BF 5， A1F AA21AD2DF23， cosA1FBA1F 2BF2A 1B 2 2 A1F BF 958

17、 23 5 5 5 异面直线 D1E 与 A1F 所成的角的余弦值为 5 5 故选 A 解法二：(理)(向量法) 如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 2， 异面直线 D1E 与 A1F 所成角为 ， 则D1E (2,1,0)，A1F (2,1，2)， cos |D1E A1F | |D1E | |A1F | 3 53 5 5 故选 A (2) 连接 ND，取 ND 的中点 E，连接 ME，则 MEAN，异面直线 AN，CM 所成的角就是 EMC， AN AB2BN22 2， ME 2EN，MC2 2， 又ENNC，EC EN2NC2 3， cosEMCEM 2MC2EC2 2EM M

18、C 283 2 22 2 7 8故选 C (3)如图，过 O 分别作 aa，bb， 则 a，b所成角为 60 ， 如图易知过 O 与 a、b所成角都为 60 的直线有 3 条， 即与 a，b 所成角都为 60 的直线有 3 条 引申 1本例(2)中 MN 与 BD 所成角的余弦值为_ 7 3 _ 解析 取 CD 的中点 H，连 DN，NH，MH，则 NHBD，HNM 为异面直线 MN 与 BD 所成的角，由题意知 AN2 2，从而 MN 7，又 NH3 2MH，cosHNM 1 2MN NH 7 3 引申 2本例(3)中与异面直线 a、b 所成角都为 75 的直线有_4_条 注：与异面直线所成

19、角都为 ，则 (1)0 6时，0 条； (2) 6时，1 条； (3) 6 3时，2 条； (4) 3 2时，4 条； (5) 2时，1 条 名师点拨 求异面直线所成角的方法 1平移法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角 (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角 (3)三求：解三角形，求出所作的角 注：为便于作出异面直线所成角，可用补形法，如将三棱柱补成四棱柱；注意余弦 定理的应用 2(理)向量法 建立空间直角坐标系，利用公式|cos |m n| |m|n|求出异面直线的方向向量的夹角若向量夹 角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为

20、该角的补角 变式训练 3 (1)(2021 山西运城调研)如图，等边ABC 为圆锥的轴截面，D 为 AB 的中点，E 为弧 BC 的中点，则直线 DE 与 AC 所成角的余弦值为( C ) A1 3 B1 2 C 2 2 D3 4 (2)(2021 黑龙江师大附中期中)直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，ABACAA1，则直 线 A1B 与 AC1所成角的大小为( B ) A30 B60 C90 D120 解析 (1)取 BC 的中点 O，连接 OE，OD， D 为 AB 的中点， ODAC， EDO 即为 DE 与 AC 所成的角， 由 E 为BC 的中点得 OEBC，又平面 ABC平

21、面 BCE， OE平面 ABC，从而 OEOD， 设正ABC 的边长为 2a，则 ODaOE， cosEDOcos 4 2 2 ，故选 C (2)解法一：(平移法) 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，连接 A1C，A1CAC1O，则 O 为 A1C 的中点，取 BC 的 中点 H，连接 OH，则 OHA1B，AOH 或其补角即为直线 A1B 与 AC1所成的角 设 ABACAA11，则 BC 2， 易得 AOAHOH 2 2 ， 三角形 AOH 是正三角形，AOH60 ，即异面直线所成角为 60 故选 B 解法二：(理)(向量法) 如图建立空间直角坐标系，不妨设 AB1，A1B 与 AC1所成

22、角为 ， 则A1B (1,0，1)，AC1 (0,1,1)， cos |A1B AC1 | |A1B | |AC1 | 1 2 2 1 2 60 ，故选 B 名师讲坛 素养提升 空间几何体的截面问题 例 4 (原创)E、F 分别为正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CC1、C1D1的中点，若 AB 6，则过 A、E、F 三点的截面的面积为_7 153 2 _ 解析 作直线 EF 分别与直线 DC、DD1相交于 P、Q， 连 AP 交 BC 于 M，连 AQ 交 A1D1于 N，连接 NF、ME 则五边形 AMEFN 即为过 A、E、F 三点的截面 由题意易知 APAQ 117，PQ9 2，

23、SAPQ9 153 2 ， 又 MEAQ，且EM AQ 1 3， SMPESQNF1 9SAPQ， SAMEFN7 9SAPQ 7 153 2 名师点拨 作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有： (1)确定平面的条件； (2)三线共点的条件； (3)面面平行的性质定理 变式训练 4 (2021 百师联盟联考)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，用一个平面 截这个正方体， 把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是_(1)(4)_ (1)这两部分的表面积也相等 (2)截面可以是三角形 (3)截面可以是五边形 (4)截面可以是正六边形 解析 平面 截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则平面 一定过正方 体的中心，所以这两部分的表面积也相等，根据对称性，截面不会是三角形、五边形，但可 以是正六边形(如图)故选(1)(4)