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类型2022年旧高考(人教版)数学一轮教学案:选修4-5 第二讲 不等式的证明与柯西不等式 (含解析).doc

  • 上传人(卖家):小豆芽
  • 文档编号:1305594
  • 上传时间:2021-04-20
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    资源描述:

    1、第二讲第二讲 不等式的证明与柯西不等式不等式的证明与柯西不等式 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 综合法 从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,最终推导出所要证明 的不等式成立,这种证明方法叫做综合法,即“由因导果”的方法 知识点二 分析法 从待证不等式出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直到将待证不等式归结为一个已成 立的不等式(已知条件、定理等),从而得出要证的不等式成立,这种证明方法叫做分析法, 即“执果索因”的方法 知识点三 放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证 明的目的,这种方法称为放缩法 知识点四 均

    2、值不等式 定理 1:设 a、bR,则 a2b2_2ab_当且仅当 ab 时,等号成立 定理 2:如果 a、b 为正数,则ab 2 _ ab_,当且仅当 ab 时,等号成立 定理 3:如果 a、b、c 为正数,则abc 3 _3abc_,当且仅当 abc 时,等号成 立 定理 4:(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1、a2、an为 n 个正数,则 a1a2an n _na1a2an_,当且仅当 a1a2an时,等号成立 知识点五 柯西不等式 (1)设 a、b、c、d 均为实数,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当 adbc 时等号成 立 (2)若 ai、bi(iN)为实数,则

    3、( n i1a 2 i)( n i1b 2 i)( n i1aibi) 2,当且仅当b1 a1 b2 a2 bn an(当 ai0 时,约定 bi0,i1,2,n)时等号成立 (3)柯西不等式的向量形式:设 、 为平面上的两个向量,则| |,当且仅当 , 共线时等号成立 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当 a0,b0 时,ab 2 ab( ) (2)用反证法证明命题“a,b,c 全为 0”的假设为“a,b,c 全不为 0”( ) (3)若实数 x,y 适合不等式 xy1,xy2,则 x0,y0( ) (4)若 ma2b,nab21,则

    4、nm( ) 题组二 走进教材 2(理)(P35例改编)(2020 宁夏银川一中月考)已知正数 x、y 满足 xy1,则1 x 4 1y的 最小值为( B ) A2 B9 2 C14 3 D5 (文)(P35例 3)已知 a,bR ,ab2,则1 a 1 b的最小值为( B ) A1 B2 C4 D8 解析 (理)xy1,所以 x(1y)2, 则 2 1 x 4 1y x(1y) 1 x 4 1y 4x 1y 1y x 52 4x 1y 1y x 59, 所以1 x 4 1y 9 2, 当且仅当 4x 1y 1y x xy1 ,即当 x2 3 y1 3 时,等号成立,故选 B (文)a,bR ,

    5、且 ab2, 1 a 1 b 1 2(ab) 1 a 1 b 1 2 2b a a b 1 2 22 b a a b 2 (当且仅当 ab1 时“” 成立), 1 a 1 b的最小值为 2,故选 B 3(P41习题 3.21 题改编)已知 a,b,c 是正实数,且 abc1,则1 a 1 b 1 c的最小值 为( C ) A3 B6 C9 D12 解析 方法一:1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3 b a a b c a a c c b b c 32229当且仅当 abc1 3时取等号 方法二: 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c (abc)3 3 1 a

    6、bc 3 3 abc9,当且仅当 abc 时,等 号成立,故选 C 方法三:由柯西不等式得 (abc) 1 a 1 b 1 c a1 a b 1 b c 1 c 2,即 1 1 a 1 b 1 c 9, 1 a 1 b 1 c9故选 C 4(P36习题 3 1.1 题改编)函数 f(x)3 x5 6x的最大值为_ 10_ 解析 函数的定义域为5,6且 f(x)0,f(x) 321 x52 6x2 10, 当且仅当 3 6x x5,即 x59 10时取等号, f(x)的最大值为 10 题组三 走向高考 5(2017 课标卷)已知 a0,b0,a3b32证明: (1)(ab)(a5b5)4; (2

    7、)ab2 解析 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a2b2)24 (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b3 23ab(ab)23ab 2 4 (ab) 23ab 3 4 , 所以(ab)38,因此 ab2 考点突破 互动探究 考点一 综合法、分析法证明不等式 例 1 (1)(2019 全国卷)已知 a,b,c 为正数,且满足 abc1证明: 1 a 1 b 1 ca 2b2c2; (ab)3(bc)3(ca)324 (2)(2021 云南模拟)已知 f(x)|x1|x1|,不等式 f(x)4 的解集为 M 求 M; 当 a,b

    8、M 时,证明:2|ab|4ab| 解析 (1)因为 a2b22ab,b2c22bc, c2a22ac,且 abc1, 故有 a2b2c2abbccaabbcca abc 1 a 1 b 1 c 所以1 a 1 b 1 ca 2b2c2 因为 a,b,c 为正数且 abc1,故有 (ab)3(bc)3(ca)3 33ab3bc3ac3 3(ab)(bc)(ac) 3(2 ab)(2 bc)(2 ac)24 所以(ab)3(bc)3(ca)324 另解:因为 abc1,a,b,cR , 所以1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c bcacab b 2c2 2 a 2c2 2 a

    9、 2b2 2 a2b2c2 因为 a,b,cR ,abc1, 所以 1 24(ab) 3(bc)3(ca)3 1 3 ab 2 3 bc 2 3 ca 2 3 1 3(ab) 3 2(bc) 3 2(ca) 3 2 1 33 3 ab3 2 bc 3 2 ca 3 2 abc1, (ab)3(bc)3(ca)324 (2)由|x1|x1|4,得 x1, 2x4 或 1x1, 24 或 x1, 2x4, 解得2x2,所以 M(2,2) 要证 2|ab|4ab|, 只需证 4(a22abb2)a2b28ab16, 只需证 a2b24a24b2160, 即证(a24)(b24)0 因为 a,b(2,

    10、2),所以 a24,b24, 所以 a240,b240 所以(a24)(b24)0,所以原不等式成立 名师点拨 用综合法证明不等式是“由因导果”, 用分析法证明不等式是“执果索因”, 它们是两 种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚,所以在 实际应用时, 往往用分析法找思路, 用综合法写步骤, 由此可见, 分析法与综合法相互转化, 互相渗透,互为前提 变式训练 1 (1)(2021 河南洛阳统考)已知 a、b、c 是正数,且满足 abbcca1,求证:ab c 3; 已知 a、b 是正数,且满足 ab1,求证:a1 2 b1 22 (2)(2020 吉林长春模拟

    11、)设不等式|x1|x1|2 的解集为 A 求集合 A; 若 a,b,cA,求证: 1abc abc 1 解析 (1)a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac 2a22b22c22(abbcca), 即 a2b2c2abbcca (abc)23(abbcca), abbcca1,(abc)23, a、b、c 是正数,abc 3 ab1,且 a、b 是正数, a1 2 b1 2 1 a1 2 2 1 b1 2 2 ab3 2 2(当且仅当 a1 2b 1 21, 即 ab1 2时取等号), a1 2 b1 22 另解:ab1,由柯西不等式得 a1 2 b1 2 2(11) a1 2 b1 2

    12、 2(ab1)4(当且仅当 ab1 2时取等号) a1 2 b1 22 (2)由已知, 令 f(x)|x1|x1| 2,x1, 2x,1x1, 2,x1. 由|f(x)|2 得 Ax|1x1 要证明 1abc abc 1,只需证|1abc|abc|, 只需证 1a2b2c2a2b2c2,只需证 1a2b2c2(1a2b2), 只需证(1a2b2)(1c2)0,因为 a,b,cA,所以(1a2b2)(1c2)0 恒成立 故 1abc abc 1 考点二 放缩法证明不等式 例 2 设 s 12 23 34 nn1,求证:1 2n(n1)s 1 2n(n 2) 证明 s 11 22 33 nn123

    13、n1 2n(n1), s12 2 23 2 34 2 nn1 2 1 2357(2n1) 1 2n(n2) 1 2n(n1)s 1 2n(n2) 名师点拨 “放”和“缩”的常用技巧 放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧主要有:不等式的传递性;等量加不 等量为不等量;同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较缩小分母、扩大分子,分 式值增大;缩小分子,扩大分母,分式值减小;全量不少于部分;每一次缩小和变小,需大 于所求;每一次扩大其和变大,需小于所求,即不能放缩不够也不能放缩过头,同时放缩有 时需便于求知 常用的放缩方法有: (1)舍去或加上一些项,如 a1 2 23 4 a1 2 2;

    14、将分子或分母放大(缩小),如 1 k2 1 kk1, 1 k2 1 kk1, 1 k 2 k k1, 1 k 2 k k1(kN *,k1)等 (2)利用函数的单调性 (3)真分数性质“若 0ab,m0,则a b am bm” 提醒:在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度 变式训练 2 若 a,bR,求证: |ab| 1|ab| |a| 1|a| |b| 1|b| 解析 当|ab|0 时,不等式显然成立 当|ab|0 时, 由 0|ab|a|b| 1 |ab| 1 |a|b|, 所以 |ab| 1|ab| 1 1 |ab|1 1 1 1 |a|b| |a|b| 1|a|b| |a

    15、| 1|a|b| |b| 1|a|b| |a| 1|a| |b| 1|b| 综上,原不等式成立 考点三,三个正数的算术、几何平均不等式问题 例 3 已知 x 为正实数,求函数 yx(1x2)的最大值 解析 yx(1x2), y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2) 1 2 当 0 x1 时, 2x2(1x2)(1x2)2, y21 2 2x21x21x2 3 34 27 当且仅当 2x21x21x2,即 x 3 3 时,取“”, y2 3 9 当 x1 时,y0;当 x1 时,显然 y0ymax2 3 9 , 另解:yxx3,y13x23 x 3 3 x 3 3 ,由 y0 得 0 x

    16、3 3 ,由 y 0 得 x 3 3 , 函数在 x 3 3 时取得极大值即最大值, ymax 3 3 11 3 2 3 9 名师点拨 利用基本不等式必须要找准“对应点”, 明确“类比对象”, 使其符合几个著名不等式 的特征,注意检验等号成立的条件,特别是多次使用基本不等式时,必须使等号同时成立 变式训练 3 设 a,b,c 为正实数,求证: 1 a3 1 b3 1 c3abc2 3 证明 a,b,c 为正实数,则由均值不等式,可得 1 a3 1 b3 1 c33 3 1 a3 1 b3 1 c3, 即 1 a3 1 b3 1 c3 3 abc, 当且仅当 abc 时取等号, 1 a3 1 b

    17、3 1 c3abc 3 abcabc, 而 3 abcabc2 3 abc abc2 3, 当且仅当 abc 3时取等号, 1 a3 1 b3 1 c3abc2 3, 当且仅当 abc31 6时取等号 考点四,柯西不等式的应用 例 4 (1)(2019 课标全国,23)设 x,y,zR,且 xyz1 求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值; 若(x2)2(y1)2(za)21 3成立,证明:a3 或 a1 (2)(2021 山西运城调研)已知函数 f(x)|2x1|x1| 解不等式 f(x)6; 记函数 g(x)f(x)|x1|的最小值为 m,若 a,b,cR,且 a2b3cm0,求 a2b

    18、2c2的最小值 解析 (1)xyz1, 由柯西不等式得(x1)2(y1)2(z1)2 (121212)(x1)(y1)(z1)2(x yz1)24, (x1)2(y1)2(z1)24 3, 当且仅当 x1y1z1, 即 x5 3,yz 1 3时,等号成立, (x1)2(y1)2(z1)2的最小值为4 3 (x2)2(y1)2(za)2(121212) (x2)(y1)(za)2(a2)2 (x2)2(y1)2(za)2a2 3 2, 当且仅当 x4a 3 ,y1a 3 ,z2a2 3 时等号成立, (x2)2(y1)2(za)2的最小值为a2 2 3 由题设a2 2 3 1 3,即 a3 或

    19、a1 (2)f(x)6 x1 3x6 或 1x1 2 2x6 或 x1 2 3x6 , 解得2x2,即不等式 f(x)6 的解集为x|2x2 g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3,当且仅当(2x1)(2x2)0 时取等号,m3故 a2b3c3 由柯西不等式 (a2b2c2)(122232)(a2b3c)29, 整理得 a2b2c2 9 14当且仅当 a 1 b 2 c 3, 即 a 3 14,b 6 14,c 9 14时等号成立 所以 a2b2c2的最小值为 9 14 引申在本例(2)的条件下, a b c的最大值为_ 22 2 _ 解 析 由 柯 西 不 等 式 得a b

    20、 c a 2 2 2b 3 3 3c a2b3c 11 2 1 3 22 2 当且仅当 a 1 2b 2 2 3c 3 3 ,即 a18 11,b 9 22,c 2 11时取等号, a b c的最大值 为 22 2 名师点拨 (1)利用柯西不等式证明不等式,先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的 形式及条件,再使用柯西不等式解决有关问题 (2)利用柯西不等式求最值,实质上就是利用柯西不等式进行放缩,放缩不当则等号可 能不成立,因此,一定不能忘记检验等号成立的条件 变式训练 4 (2018 江苏高考)若 x,y,z 为实数,且 x2y2z6,求 x2y2z2的最小值 解析 由柯西不等式,得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2 因为 x2y2z6,所以 x2y2z24, 当且仅当x 1 y 2 z 2时等号成立, 此时 x2 3,y 4 3,z 4 3 所以 x2y2z2的最小值为 4

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