2022年旧高考（人教版）数学一轮教学案：选修4－5　第一讲　绝对值不等式 （含解析）.doc

1、选修 45 第一讲第一讲 绝对值不等式绝对值不等式 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 绝对值三角不等式 定理 1如果 a、b 是实数，那么|ab|_|a|b|_，当且仅当_ab0_时，等号成立 定理 2如果 a，b 是实数，那么_|a|b|ab|_，当且仅当_ab0_时，等号成立 知识点二 绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a 与|x|a 的解法 不等式 a0 a0 a0 |x|a _x|axa_ _ _ |x|a _x|xa 或 xa_ _x|xR 且 x0_ _xR_ (2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|c_caxbc_； |

2、axb|c_axbc 或 axbc_ (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 方法一(分类讨论思想)： 令每个绝对值符号里的一次式为 0，求出相应的根； 把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区间； 在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上 的解集； 这些解集的并集就是原不等式的解集 方法二(函数与方程思想)：构造函数 f(x)|xa|xb|c，写出 f(x)的分段解析式，作 出图象，找出使 f(x)0 或 f(x)0 的 x 的取值范围即可 方法三(数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解，|xa|xb|表示数轴上点

3、P(x)到 点 A(a)， B(b)距离的和 关键是找出到 A(a)， B(b)两点距离之和为 c 的点， “”取中间， “” 取两边 重 要 结 论 1若 a、b、c 为实数，则|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时等号成立； 2若 a、b 为实数，则|a|b|ab|a|b|，当 ab0 时右端等号成立，当 ab0 时 左端等号成立 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若|x|c 的解集为 R，则 c0( ) (2)不等式|x1|x2|2 的解集为( ) (3)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立( ) (4)对|

4、a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立( ) (5)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立( ) 题组二 走进教材 2(P20T7)不等式 3|52x|9 的解集为( D ) A2,1)4,7) B(2,1(4,7 C(2，14,7) D(2,14,7) 解析 由题意得 |2x5|9， |2x5|3， 即 92x59， 2x53或2x53， 解得 2x7， x4或x1， 不等式的解集为(2,14,7) 3(P20T8)不等式|x1|x5|2 的解集为_(，4)_ 解析 当 x1 时，原不等式可化为 1x(5x)2， 42，不等式恒成立，x1； 当 1x5 时，原不等式可化为 x1(

5、5x)2， x4，1x4 当 x5 时，原不等式可化为 x1(x5)2，该不等式不成立 综上，原不等式的解集为(，4) 秒解：由下图易知不等式解集为(，4) 题组三 走向高考 4(2017 全国)已知函数 f(x)|x1|x2| (1)求不等式 f(x)1 的解集； (2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，求 m 的取值范围 解析 (1)f(x) 3，x1， 2x1，1x2， 3，x2. 当 x1 时，f(x)1 无解； 当1x2 时，由 f(x)1，得 2x11，解得 1x2； 当 x2 时，由 f(x)1，解得 x2， 所以 f(x)1 的解集为x|x1 (2)由 f(x)x2xm，

6、得 m|x1|x2|x2x 而|x1|x2|x2x |x|1|x|2x2|x| |x|3 2 25 4 5 4， 当 x3 2时，|x1|x2|x 2x5 4 故 m 的取值范围为 ，5 4 5(2020 新课标卷)已知函数 f(x)|3x1|2|x1| (1)画出 yf(x)的图象； (2)求不等式 f(x)f(x1)的解集 解析 (1)因为 f(x) x3，x1 5x1，1 3x1， x3，x1 3 作出图象，如图所示： (2)将函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位，可得函数 f(x1)的图象，如图所示： 由x35(x1)1，解得 x7 6 所以不等式的解集为 ，7 6 考点突破 互动

7、探究 考点一 绝对值不等式的解法 例 1 (2018 课标卷)已知 f(x)|x1|ax1| (1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围 解析 (1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|， 即 f(x) 2，x1， 2x，1x1， 2，x1. 故不等式 f(x)1 的解集为 x x1 2 (2)当 x(0,1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0,1)时|ax1|1 成立 若 a0，则当 x(0,1)时|ax1|1 若 a0，则|ax1|1 的解集为 x 0 x2 a ， 所以2 a1，故 0a2 综上，a 的

8、取值范围为(0,2 引申若将本例(2)改为x(2,3)使得 f(x)x 成立，则 a 的取值范围是_(0,1)_ 解析 x(2,3)，|ax1|1，即1ax110ax20a2 x，0a1 名师点拨 常见的绝对值不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想 (2)对形如|xa| |xb|c(c)这种不等式问题， 常用“零点分段讨论法”去掉绝对值符号 化为若干个不等式组问题求解，其一般步骤为：求零点；划分区间，去绝对值符号； 分别解去掉绝对值符号之后的不等式；取每个结果的并集 (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 变式训练 1 (2020 陕西

9、汉中质检)已知 f(x)|x1|x1| (1)求不等式 f(x)4 的解集； (2)若不等式 f(x)|a1|0 有解，求 a 的取值范围 解析 (1)f(x)|x1|x1| 2x，x1， 2，1x1 2x，x1 f(x)4， 2x4 x1 或 24 1x1 或 2x4 x1 ， 2x1 或1x1 或 1x2， 故不等式的解集为(2,2) (2)f(x)|x1|x1|(x1)(x1)|2， f(x)min2，当且仅当(x1)(x1)0 时取等号， f(x)|a1|0 有解， |a1|f(x)min2，|a1|2， a12 或 a12，即 a3 或 a1， 故 a 的取值范围是(，3)(1，)

10、考点二 绝对值三角不等式的应用 例 2 (2021 福建永安一中期中)已知函数 f(x)|2x1|x4| (1)解不等式 f(x)6； (2)若不等式 f(x)|x4|a28a 有解，求实数 a 的取值范围 解析 (1)由已知得 f(x) 3x3，x1 2， x5，1 2x4， 3x3，x4， 当 x1 2时，3x36 即 x1， 1x1 2； 当1 2x4 时，x56 即 x1， 1 2x1； 当 x4 时，3x36，即 x3 舍 综上得 f(x)6 的解集为1,1 (2)f(x)|x4|2x1|2x8|9， 当且仅当1 2x4时取等号 f(x)|x4|a28a 有解， a28a9，(a9)

11、(a1)0， a1 或 a9， a 的取值范围是(，1)(9，) 引申1本例中， 若不等式f(x)|x4|a28a恒成立， 则实数a的取值范围是_1,9_ 名师点拨 (1)对绝对值三角不等式定理|a|b|a b|a|b|中取等号的条件要深刻理解， 特别是用 此定理求函数的最值时，要检验等号是否能取到该定理可以强化为|a|b|a b|a|b|， 它经常用于证明含绝对值的不等式 (2)求 y|xa|xb|或 y|xa|xb|型函数的最值问题时， 利用绝对值三角不等式更 方便 变式训练 2 (2020 福建龙岩质检)已知函数 f(x)|x1|xa|(a0) (1)当 a2 时，求不等式 f(x)2

12、的解集； (2)若不等式 f(x)2a 的解集为空集，求 a 的取值范围 解析 (1)当 a2 时，不等式 f(x)2，即|x1|x2|2， 当 x1 时，原不等式可化为x1x22， 即32，此时原不等式无解； 当1x2 时，原不等式可化为 x1x22， 解得 x3 2，所以 3 2x2； 当 x2 时，原不等式可化为 x1x22，即 32， 此时原不等式恒成立，所以 x2； 综上，原不等式的解集为 x x3 2 (2)由 f(x)2a 的解集为空集得 |x1|xa|2a 的解集为空集， 所以|x1|xa|2a 恒成立 因为 a0，所以 f(x)|x1|xa|(x1)(xa)|a1， 且等号能

13、成立，f(x)maxa1， 所以 a12a，解得 a1， 即 a 的取值范围为(1，) 考点三,绝对值不等式的综合应用 例 3 (2018 课标卷)设函数 f(x)|2x1|x1| (1)画出 yf(x)的图象； (2)当 x0，)时，f(x)axb，求 ab 的最小值 解析 (1)f(x) 3x，x1 2， x2，1 2x1， 3x，x1. yf(x)的图象如图所示 (2)由(1)知， yf(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2， 且各部分所在直线斜率的最大值为 3， 故当且仅当 a3 且 b2 时，f(x)axb 在0，)上恒成立，因此 ab 的最小值为 5 例 4 (2021 东北师大

14、附中摸底)已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3 (1)当 a2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)设 a1，且当 x a 2， 1 2 时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围 解析 (1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30 设函数 y|2x1|2x2|x3， 则 y 5x，x1 2， x2，1 2x1， 3x6，x1 其图象如图所示 从图象可知，当且仅当 x(0,2)时，y0所以原不等式的解集是x|0 x2 (2)a1，当 x a 2， 1 2 时，f(x)1a，f(x)g(x)，即 1ax3故 xa2， 对 x a 2， 1 2 都

15、成立，故a 2a2，解得 a 4 3，故 a 的取值范围是 1，4 3 名师点拨 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决 (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法 变式训练 3 (2020 山西大学附中月考)已知函数 f(x)|2xa|x3|(aR) (1)若 a1，求不等式 f(x)10 的解集； (2)已知 a0，若 f(x)3a2 对于任意 xR 恒成立，求 a 的取值范围 解析 (1)因为 a1， 所以 f(x) x2，x1 2 3x4，1 2x3， x2，x3 所以不等式 f(x)10 等价于 x1 2 x210 或 1 2x3 3x410 或 x3 x210 ， 解得 x1 或 x1 所以不等式 f(x)10 的解集为x|x1 或 x1 (2)因为 a0，所以 f(x) xa3，xa 2 3xa3，a 2a3， xa3，x3 根据函数的单调性可知函数 f(x)的最小值为 f a 2 a 23， 因为 f(x)3a2 恒成立， 所以a 233a2，解得 a2 所以实数 a 的取值范围是(2，)