2022年旧高考（人教版）数学一轮教学案：第十章第三讲　几何概型（文） 第六讲　几何概型（理） （含解析）.doc

1、第三讲第三讲 几何概型几何概型(文文) 第六讲第六讲 几何概型几何概型(理理) 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_长度(面积或体积)_成比例，则称这样 的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 知识点二 几何概型的特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性 知识点三 几何概型的概率公式 P(A)_ 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积_ 知识点四 随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，通过这个试验求出随机事件

2、的概率的近似 值的方法就是模拟方法 (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是：用计 算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义 的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N；计算频率 fn(A)M N作为所求概率的近似值 归 纳 拓 展 几种常见的几何概型 (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关 (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可 将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域， 即可借助平面区域解决问题 (3)与体积有关的几何概型，

3、可借助空间几何体的体积公式解答问题 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零( ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中 的每一点被取到的机会相等( ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关( ) (6)从区间1,10内任取一个数，取到 1 的概率是 P1 9( ) 题组二 走进教材 2(P140T1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，

4、在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影 部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( A ) 解析 P(A)3 8，P(B) 1 4，P(C) 1 3，P(D) 1 3， P(A)P(C)P(D)P(B)故选 A 3 (P146B 组 T4)设不等式组 0 x2， 0y2 表示的平面区域为 D， 在区域 D 内随机取一个点， 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( D ) A 4 B2 2 C 6 D4 4 解析 如图所示， 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域 D， 且区域 D 的面 积为 4，而阴影部分(不包括AC )表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2

5、 的区域易知该 阴影部分的面积为 4因此满足条件的概率是4 4 ，故选 D 题组三 走向高考 4(2017 全国)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中 的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自 黑色部分的概率是( B ) A1 4 B 8 C1 2 D 4 解析 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S正方形4 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S黑S白1 2S 圆 2，所 以由几何概型知，所求概率 P S黑 S正方形 2 4 8故选 B 5(2019 全国)在 R

6、tABC 中，ABBC，在 BC 边上随机取点 P，则BAP30 的概率 为( B ) A1 2 B 3 3 C3 3 D 3 2 解析 在 RtABC 中，ABBC，RtABC 为等腰直角三角形，令 ABBC1，则 AC 2； 在 BC 边上随机取点 P，当BAP30 时，BPtan 30 3 3 ， 在 BC 边上随机取点 P，则BAP30 的概率为：PBP BC 3 3 ，故选 B 考点突破 互动探究 考点一 与长度有关的几何概型自主练透 例 1 (1)(2021 山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度，规定每天 8：30 上班，有 15 分钟的有效刷卡时间(即 8：158：30)，一名职

7、工在 7：50 到 8：30 之间到单位且到达单 位的时刻是随机的，则他能正常刷卡上班的概率是( D ) A2 3 B5 8 C1 3 D3 8 (2)(2021 福建龙岩质检)在区间 2， 2 上随机取一个实数 x， 使 cos x1 2的概率为( B ) A3 4 B2 3 C1 2 D1 3 (3)(2020 山东省青岛市模拟)已知圆 C：x2y21 和直线 l：yk(x2)，在( 3， 3)上 随机选取一个数 k，则事件“直线 l 与圆 C 相交”发生的概率为( C ) A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 解析 (1)一名职工在 7：50 到 8：30 之间到单位，刷卡时间长度为

8、40 分钟，但有效刷 卡时间是 8：158：30 共 15 分钟，由测度比为长度比可得，该职工能正常刷卡上班的概率 P 15 40 3 8故选 D (2)由 ycos x 在区间 2，0 上单调递增，在 0， 2 上单调递减，则不等式 cos x1 2在区 间 2， 2 上的解为 3x 3，故 cos x 1 2的概率为 2 3 2 3 (3)直线 l 与 C 相交 |2k| 1k21 3 3 k 3 3 所求概率 P 3 3 3 3 3 3 1 3故选 C 引申本例(3)中“圆上到直线 l 的距离为1 2的点有 4 个”发生的概率为_ 5 15_ 解析 圆上到直线l的距离为1 2的点有4个圆

9、心到直线l的距离小于 1 2 |2k| 1k2 1 2 15 15 k 15 15 ， 所求概率 P 15 15 15 15 3 3 5 15 名师点拨 与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 P(A) 构成事件A的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度 变式训练 1 (1)(2017 江苏卷)记函数 f(x) 6xx2的定义域为 D在区间4,5上随机取一个数 x， 则 xD 的概率是_5 9_ (2)(2021 河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数 f(x)sin x 3cos x，当 x0，时， f(x)1 的概率为( D ) A1 3

10、 B1 4 C1 5 D1 2 解析 (1)Dx|6xx202,3， 所求概率 P32 54 5 9 (2)由 f(x)2sin x 3 1，x0，得 x 0， 2 ， 所求概率 P 2 1 2，故选 D 考点二 与面积有关的几何概型师生共研 角度 1 与平面图形有关的问题 例 2 (1)(2021 河南商丘、周口、驻马店联考)如图，AC，BD 上分别是大圆 O 的 两条相互垂直的直径，4 个小圆的直径分别为 OA，OB，OC，OD，若向大圆内部随机投掷一 点，则该点落在阴影部分的概率为( D ) A 4 B 8 C1 D2 (2)设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概

11、率为( C ) A3 4 1 2 B1 2 1 C1 4 1 2 D1 2 1 解析 (1)不妨设大圆的半径为 2，则大圆的面积为 4，小圆的半径为 1，如图，设图中 阴影部分面积为 S， 由图形的对称性知，S阴影8S 又 S1 21 2 1 41 21 21 2 21， 则所求概率为 8 4 2 ，故选 D (2)|z|x12y21， (x1)2y21，其几何意义表示为以(1,0)为圆心，1 为半径的圆面，如图所示，而 yx 所表示的区域如图中阴影部分，故 P 4 1 2 1 4 1 2 引申本例(1)中图形改成下图，则此点取自图中阴影部分的概率为_2 2 _ 解析 不妨设大圆的半径为 2，

12、则小圆的半径为 1， 所求概率 P 2 4 1 2 1 44 2 2 角度 2 与线性规划交汇的问题 例 3 在满足不等式组 xy10， xy30， y0 的平面点集中随机取一点 M(x0，y0)，设事 件 A 为“y02x0”，那么事件 A 发生的概率是( B ) A1 4 B3 4 C1 3 D2 3 解析 如图所示，不等式组 xy10 xy30， y0 表示的平面区域为ABC 且 A(1,2)，B( 1,0)，C(3,0)，显然直线 l：y2x 过 A 且与 x 轴交于 O，所求概率 PS AOC SABC |OC| |BC| 3 4选 B 名师点拨 解决与面积有关的几何概型的方法 求解

13、与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何元素，必要时可根据题意 构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解 变式训练 2 (1)(2021 唐山模拟)右图是一个边长为 4 的正方形二维码，为了测算图中 黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷 400 个点，其中落入黑色部分的有 225 个点，据 此可估计黑色部分的面积为( B ) A8 B9 C10 D12 (2)(2021 四川模拟)以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成 的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专 家、数学家勒洛首先发现如图

14、，D，E，F 为正三角形 ABC 各边中点，作出正三角形 DEF 的勒洛三角形 DEF(阴影部分)，若在ABC 中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分 的概率为( C ) A 3 2 B2 33 9 C 33 6 D 32 6 解析 (1)根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积 S44225 4009， 故选 B (2)设ABC 的边长为 2，则正DEF 边长为 1， 以 D 为圆心的扇形面积是1 2 6 6， DEF 的面积是1 211 3 2 3 4 ， 勒洛三角形的面积为 3 个扇形面积减去 2 个正三角形面积， 即图中勒洛三角形面积为 3 6 3 4 3 4 3 2 ，

15、ABC 面积为 3， 所求概率 P 3 2 3 33 6 故选 C 考点三,与体积有关的几何概型师生共研 例 4 (1)(2021 山西省模拟)以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内 任取一点 P，则 P 落在该几何体内的概率为( C ) A1 8 B5 6 C1 6 D7 8 (2)(2020 江西抚州临川一中期末)已知三棱锥 SABC，在该三棱锥内任取一点 P，则使 VPABC1 3VSABC 的概率为( D ) A1 3 B4 9 C 8 27 D19 27 解析 (1)如图以正方体各面中心为顶点的几何体是由两同底正四棱锥拼成， 不妨设正方 体棱长为 2，则 GH 2，所求概率

16、 PVE GHIJF V正方体 21 3 2 21 222 1 6，故选 C (2)作出 S 在底面ABC 的射影为 O，若 VPABC1 3VSABC， 则三棱锥 PABC 的高等于1 3SO， P 点落在平面 EFD 上，且SE SA SD SB SF SC 2 3， 所以S EFD SABC 4 9， 故 VSEFD 8 27VSABC， VPABC1 3VSABC 的概率 P1 8 27 19 27故选 D 名师点拨 求解与体积有关问题的注意点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事 件空间)，对于某些较复杂的问题常转化为其对立事件的概率问题求

17、解 变式训练 3 一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行， 若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( C ) A4 81 B814 81 C 1 27 D 8 27 解析 由已知条件可知， 蜜蜂只能在以正方体的中心为中心棱长为1的小正方体内飞行， 结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为 P1 3 33 1 27 引申若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 8 个顶点的距离均大于 1， 称其为“安全飞 行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为_14 81_ 解析 所求概率 P 334 3 33 14 81 考点四,与角度有关的几

18、何概型师生共研 例5 (1)(2021 南岗区校级模拟)已知正方形ABCD的边长为 3， 以A为顶点在BAD 内部作射线 AP，射线 AP 与正方形 ABCD 的边交于点 M，则 AM2 的概率为( D ) A 3 2 B1 2 C 3 3 D2 3 (2)在等腰 RtABC 中，过直角顶点 C 在ACB 内作一条射线 CD 与线段 AB 交于点 D， 则 ADAC 的概率为_3 4_ 解析 (1)正方形 ABCD 的边长为 3，以 A 为顶点在BAD 内部作射线 AP，射线 AP 与 正方形 ABCD 的边交于点 M，如图所示： 己知 ADABBCCD 3， DM 1， 所以 AM 3212

19、2 所以DAM 6 根据阴影的对称性， 故 P(AM2) 6 6 2 2 3，故选 D (2)在 AB 上取 ACAC， 则ACC180 45 2 67.5 设事件 A在ACB 内部作一条射线 CD，与线段 AB 交于点 D，ADAC 则所有可能结果的区域角度为 90 ，事件 A 的区域角度为 67.5 ， P(A)67.5 90 3 4 名师点拨 与角度有关的几何概型的求解方法 (1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为 P(A) 构成事件A的区域角度 试验的全部结果所构成区域的角度 (2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，

20、 然后再利用公式计算 变式训练 4 (1)(2021 山西太原一模)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB 3，BC1，在DAB 内任作 射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为_1 3_ (2)如图所示，在ABC 中，B60 ，C45 ，高 AD 3，在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，则 BM1 的概率为_2 5_ 解析 (1)当点 P 在 BC 上时，AP 与 BC 有公共点，此时 AP 扫过ABC，所以所求事 件的概率 P30 90 1 3 (2)因为B60 ，C45 ，所以BAC75 ， 在 RtABD 中，AD 3，B60 ， 所以 BD AD tan 60

21、 1，BAD30 记事件 N 为“在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M， 使 BM1”， 则可得BAMBAD 时事件 N 发生 由几何概型的概率公式，得 P(N)30 75 2 5 名师讲坛 素养提升 转化与化归思想在几何概型中的应用 例 6 (1)(2021 贵州遵义模拟)在区间0,2上任取两个数，则这两个数之和大于 3 的 概率是( A ) A1 8 B1 4 C7 8 D3 4 (2)(2021 济宁模拟)甲、乙两人约定晚 6 点到晚 7 点之间在某处见面，并约定甲若早到则 等乙半小时， 而乙还有其他安排， 若乙早到则不需等待， 则甲、 乙两人能见面的概率为( A ) A3 8

22、B3 4 C3 5 D4 5 解析 (1)设函数为 x，y， 则 0 x2， 0y2 由图可知 xy3 的概率 P 1 2 4 1 8故选 A (2)以 6 点作为计算时间的起点，设甲到的时间为 x，乙到的时间为 y，则基本事件空间是 (x，y)|0 x1,0y1，事件对应的平面区域的面积 S1，设满足条件的事件对应的平 面区域是 A，则 A(x，y)|0 x1,0y1，yx1 2，且 yx，其对应的区域如图中阴影 部分所示，则 B 0，1 2 ，D 1 2，1 ，C(0,1)，则事件 A 对应的平面区域的面积是 1 1 2 1 2 1 2 1 2 113 8，根据几何概型的概率计算公式得 P

23、 3 8 1 3 8 名师点拨 生活中的几何概型度量区域的构造方法： (1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息 (2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型 (3)解模：求解建立的数学模型 (4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论 变式训练 5 (2020 海口调研)张先生订了一份南昌晚报 ，送报人在早上 6：307：30 之间把报纸 送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上 7：008：00 之间，则张先生在离开家之前能 拿到报纸的概率是_7 8_ 解析 以横坐标 x 表示报纸送到时间，以纵坐标 y 表示张先生离家时间，建立平面直角 坐标系，如图因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条 件根据题意只要点落在阴影部分，就表示张先生在离开家之前能拿到报纸，即所求事件 A 发生，所以 P(A) 111 2 1 2 1 2 11 7 8